1. Üstel Fonksiyon I
a + – {1} ve x R olmak üzere,
f : +, f(x) = ax şeklinde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon denir.
Örnek: f(x) = 3x, f
= 12
x
x
a + – {1} ve x olmak üzere, f(x) = ax > 0 olur.
Örnek: f(x) = 3x için x = 1 ise f(1) = 3 > 0
x = – 2 ise f – 2 = 3
– 2 = 123 > 0 olur.
f : +, f(x) = ax üstel fonksiyonu
a > 1 için artan fonksiyon,
0 < a < 1 için azalan fonksiyon olur.
Örnek: f(x) = 2x fonksiyonu için 2 > 0 olduğundan artan fonksiyondur.
f
= 13
x
x fonksiyonu için 1
0 1
3 olduğundan azalan fonksiyondur.
f : +, f(x) = ax üstel fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi çizilebilir:
a > 1 ise 0 < a < 1 ise
I
a + – {1} olmak üzere,f: +, f(x) = ax üstel fonksiyonu bire bir ve örtendir.
Örnek:
Şekilde f: R R+,
f x
( )
= 13 æ
èç ö
ø÷
x
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
I. f(x) fonksiyonu bire birdir.
II. f(x) fonksiyonu örtendir.
III. f(x) fonksiyonu azalandır.
IV. f(2) < f–1(1) I.
f x
( )
= 13 æ
èç ö
ø÷
x
fonksiyonunun grafiğinde, x eksenine paralel doğrular çizildiğinde, her bir doğru, grafiği yalnızca bir noktada keser. Bu durumda f(x) fonksiyonu bire birdir. I. ifade doğrudur.
II.
f x
( )
= 13 æèç ö
ø÷
x
fonksiyonunun görüntü kümesi R+dır. Görüntü kümesi değer kümesine eşit olduğundan, f(x) örtendir. II. ifade doğrudur.
III. 0 < 1
3 < 1 olduğu için, grafikte de görüldüğü gibi
f x
( )
= 13 æ
èç ö
ø÷
x
fonksiyonu azalandır. III. ifade doğrudur.
2
–1
f 2 = 1 3
= 1 ' dur.
9 f 1 = olsun.
a IV.
I
Bu durumda
f = 1
1 = 1 ise 3
= 0 olur.
a
a
a
O hâlde,
–1 –1
f 1 = 0 ' dır ve f 2 > f 1
1 > 0 9
2. Logaritma Fonksiyonu
a R+ – {1} olmak üzere,
f: R R+, f(x) = ax üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir ve f –1(x) = logax şeklinde gösterilir.
Örnek: f(x) = 5x ise f –1(x) = log5x ve g
= 12
x
x ise g –1(x) = 1
2
log x olur.
Örnek: f: R R+ olmak üzere, f(x) = 2x – 1 fonksiyonunun tersini bulunuz.
y = f(x) = 2x – 1 fonksiyonunun ters fonksiyonunun kuralını bulmak için, x ve y’nin yeri değiştirilerek y yalnız bırakılır.
O hâlde,
– 1 – 1 – 1
1
2 –1
2
f x = 2
= 2
= 2
= 2 2
2 = 2 = log 2
f = log 2 olarak bulunur.
x x y y
y
y x x
x y x
x x
olur. IV. ifade yanlıştır.
I
Eğer x = ay ifadesi verilmişse, bu ifadede y’ye x’in logaritması adı verilir ve y = logax şeklinde gösterilir.Örnek: 81 = 34 ise log381 = 4 ve
0,1 = 10–1 ise log10(0,1) = – 1 olur.
a R+ – {1} olmak üzere,
f: R+ R, f(x) = logax fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.
f: R+ R, f(x) = logax logaritma fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi çizilebilir:
a > 1 ise 0 < a < 1 ise
Grafiklerden de görüldüğü gibi logax ifadesinin tanımlı olabilmesi için a > 0, a ≠ 1 ve x > 0 olması gerekir.
Logaritma fonksiyonu grafikleri bire bir ve örtendir.
3. Onluk Logaritma Fonksiyonu ve Doğal Logaritma Fonksiyonu
a, b, c ve a 0 olmak üzere, y = ax2 + bx + c parabolü ile d, e, f ve d 0 olmak üzere, y = dx2 + ex + f parabolünün birbirine göre durumlarını incelemek için ortak çözüm yapılır ve varsa kesişim noktaları bulunur.
Onluk Logaritma Fonksiyonu
f: R + R, f(x) = logax logaritma fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa bu fonksiyona onluk logaritma fonksiyonu denir ve logx şeklinde gösterilir.
f: R
I
+ R, f(x) = log10x = logx olur.Örnek: 10x = 5 olduğuna göre, x’i bulunuz.
ax = b x = logab olduğu için, 10x = 5 x = log105 = log5 olur.
Doğal Logaritma Fonksiyonu
f: R + R, f(x) = logax logaritma fonksiyonunda taban a = e 2,718... alınırsa bu fonksiyona doğal logaritma fonksiyonu denir ve lnx şeklinde gösterilir.
Bu durumda
f: R + R, f(x) = logex = lnx olur.
Örnek: lnx = –2 olduğuna göre, x’i bulunuz.
–2
2
ln = –2 = e
= 1 olur.
e
x x
x
Örnek: ex + 3 = 5 denklemini çözünüz.
+ 3
e
e = 5
+ 3 = log 5 + 3 = ln 5
= ln5 – 3 ' tür.
x
x x
x
Örnek: f(x) = logx – 1(4 – x) fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulunuz.
f(x) = logax fonksiyonunun tanım kümesinde x > 0, a > 0 ve a 1 olduğu için,
f(x) = logx – 1(4 – x) fonksiyonunun tanım kümesinde 4 – x > 0, x – 1 > 0 ve x – 1 1
4 > x, x > 1, x 2 olmalıdır.
x < 4
x < 4, x > 1 ve x 2 olduğu için, verilen fonksiyonun tanım kümesi (1, 4) \ {2}
olmalıdır.