• Sonuç bulunamadı

Özet. 1. Üstel Fonksiyon. Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonu 1 / 5 MATEMATİK. f : f = 2. Örnek: f(x) = 3 x, x

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Özet. 1. Üstel Fonksiyon. Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonu 1 / 5 MATEMATİK. f : f = 2. Örnek: f(x) = 3 x, x"

Copied!
5
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

1. Üstel Fonksiyon I

 a  + – {1} ve x  R olmak üzere,

f :  +, f(x) = ax şeklinde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon denir.

Örnek: f(x) = 3x, f

 

= 1

2

  

 

x

x

 a  + – {1} ve x  olmak üzere, f(x) = ax > 0 olur.

Örnek: f(x) = 3x için x = 1 ise f(1) = 3 > 0

x = – 2 ise f – 2 = 3

 

– 2 = 12

3 > 0 olur.

 f :  +, f(x) = ax üstel fonksiyonu

 a > 1 için artan fonksiyon,

 0 < a < 1 için azalan fonksiyon olur.

Örnek: f(x) = 2x fonksiyonu için 2 > 0 olduğundan artan fonksiyondur.

f

 

= 1

3

  

 

x

x fonksiyonu için 1

0 1

 3 olduğundan azalan fonksiyondur.

 f :  +, f(x) = ax üstel fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi çizilebilir:

a > 1 ise 0 < a < 1 ise

(2)

I

 a  + – {1} olmak üzere,

f:  +, f(x) = ax üstel fonksiyonu bire bir ve örtendir.

Örnek:

Şekilde f: R  R+,

f x

( )

= 1

3 æ

èç ö

ø÷

x

fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

I. f(x) fonksiyonu bire birdir.

II. f(x) fonksiyonu örtendir.

III. f(x) fonksiyonu azalandır.

IV. f(2) < f–1(1) I.

f x

( )

= 1

3 æ

èç ö

ø÷

x

fonksiyonunun grafiğinde, x eksenine paralel doğrular çizildiğinde, her bir doğru, grafiği yalnızca bir noktada keser. Bu durumda f(x) fonksiyonu bire birdir. I. ifade doğrudur.

II.

f x

( )

= 1

3 æèç ö

ø÷

x

fonksiyonunun görüntü kümesi R+dır. Görüntü kümesi değer kümesine eşit olduğundan, f(x) örtendir. II. ifade doğrudur.

III. 0 < 1

3 < 1 olduğu için, grafikte de görüldüğü gibi

f x

( )

= 1

3 æ

èç ö

ø÷

x

fonksiyonu azalandır. III. ifade doğrudur.

 

 

2

–1

f 2 = 1 3

= 1 ' dur.

9 f 1 = olsun.

 

 

 

a IV.

(3)

I

Bu durumda

 

f = 1

1 = 1 ise 3

= 0 olur.

 

 

 

a

a

a

O hâlde,

 

   

–1 –1

f 1 = 0 ' dır ve f 2 > f 1

1 > 0 9

2. Logaritma Fonksiyonu

 a  R+ – {1} olmak üzere,

f: R  R+, f(x) = ax üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir ve f –1(x) = logax şeklinde gösterilir.

Örnek: f(x) = 5x ise f –1(x) = log5x ve g

 

= 1

2

  

 

x

x ise g –1(x) = 1

2

log x olur.

Örnek: f: R  R+ olmak üzere, f(x) = 2x – 1 fonksiyonunun tersini bulunuz.

y = f(x) = 2x – 1 fonksiyonunun ters fonksiyonunun kuralını bulmak için, x ve y’nin yeri değiştirilerek y yalnız bırakılır.

O hâlde,

 

 

   

– 1 – 1 – 1

1

2 –1

2

f x = 2

= 2

= 2

= 2 2

2 = 2 = log 2

f = log 2 olarak bulunur.

x x y y

y

y x x

x y x

x x

olur. IV. ifade yanlıştır.

(4)

I

Eğer x = ay ifadesi verilmişse, bu ifadede y’ye x’in logaritması adı verilir ve y = logax şeklinde gösterilir.

Örnek: 81 = 34 ise log381 = 4 ve

0,1 = 10–1 ise log10(0,1) = – 1 olur.

 a  R+ – {1} olmak üzere,

f: R+  R, f(x) = logax fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.

 f: R+  R, f(x) = logax logaritma fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi çizilebilir:

a > 1 ise 0 < a < 1 ise

Grafiklerden de görüldüğü gibi logax ifadesinin tanımlı olabilmesi için a > 0, a ≠ 1 ve x > 0 olması gerekir.

Logaritma fonksiyonu grafikleri bire bir ve örtendir.

3. Onluk Logaritma Fonksiyonu ve Doğal Logaritma Fonksiyonu

a, b, c  ve a  0 olmak üzere, y = ax2 + bx + c parabolü ile d, e, f  ve d  0 olmak üzere, y = dx2 + ex + f parabolünün birbirine göre durumlarını incelemek için ortak çözüm yapılır ve varsa kesişim noktaları bulunur.

Onluk Logaritma Fonksiyonu

f: R + R, f(x) = logax logaritma fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa bu fonksiyona onluk logaritma fonksiyonu denir ve logx şeklinde gösterilir.

(5)

f: R

I

+ R, f(x) = log10x = logx olur.

Örnek: 10x = 5 olduğuna göre, x’i bulunuz.

ax = b  x = logab olduğu için, 10x = 5  x = log105 = log5 olur.

Doğal Logaritma Fonksiyonu

f: R + R, f(x) = logax logaritma fonksiyonunda taban a = e  2,718... alınırsa bu fonksiyona doğal logaritma fonksiyonu denir ve lnx şeklinde gösterilir.

Bu durumda

f: R +  R, f(x) = logex = lnx olur.

Örnek: lnx = –2 olduğuna göre, x’i bulunuz.

–2

2

ln = –2 = e

= 1 olur.

e

x x

x

Örnek: ex + 3 = 5 denklemini çözünüz.

+ 3

e

e = 5

+ 3 = log 5 + 3 = ln 5

= ln5 – 3 ' tür.

x

x x

x

Örnek: f(x) = logx – 1(4 – x) fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulunuz.

f(x) = logax fonksiyonunun tanım kümesinde x > 0, a > 0 ve a  1 olduğu için,

f(x) = logx – 1(4 – x) fonksiyonunun tanım kümesinde 4 – x > 0, x – 1 > 0 ve x – 1  1

4 > x, x > 1, x  2 olmalıdır.

x < 4

x < 4, x > 1 ve x  2 olduğu için, verilen fonksiyonun tanım kümesi (1, 4) \ {2}

olmalıdır.

Referanslar

Benzer Belgeler

(˙Ipucu: ¨ Ozge inte- graller ile ilgili teorem(ler) kullanarak veya integral testi ile ¸c¨ oz¨ ulebilir) 6.. D¨ onel cisimlerin

Şekilde, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiştir... Yukarıda, bir f fonksiyonunun türevinin grafiği

a) Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun yani f(x) in altında kalan alan 1’dir.. c) Normal dağılım çan şeklinde bir dağılımdır.. Bu fonksiyon X

Verilen f(x) fonksiyonunun sürekli olmadığı noktaları söylemeye çalışınız. Fonksiyonun -4, -2, 1 ve 5 apsisli noktalarda limitleri varsa bulunuz. Bulduğunuz

Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir... 1 den küçük pozitif sayıların on tabanına göre

Bu polinom yardm ile f(0.5) de§erine bir yakla³mda bulununuz ve yakla³mda olu³an hata için bir üst snr

f (x) = cos x fonksiyonun grafi˘ gi π birim sa˘ ga kaydırılır, dikey olarak 5 katsayısı ile uzatılır, x−eksenine g¨ ore yansıtılır ve son olarak 1 birim a¸sa˘

Determine whether the statement is true or false. If it is true,