TC. ANADOLU ÜN VERS TES YAYINI NO: 1448 AÇIKÖ RET M FAKÜLTES YAYINI NO: 771 STAT ST K

(1)

AÇIKÖ⁄RET‹M FAKÜLTES‹ YAYINI NO: 771

‹STAT‹ST‹K

Yazarlar

Prof.Dr. Ali Fuat YÜZER (Ünite 1, 2) Prof.Dr. Embiya A⁄AO⁄LU (Ünite 3, 13) Prof.Dr. Hüseyin TATLID‹L (Ünite 4, 5, 6) Prof.Dr. Ahmet ÖZMEN (Ünite 7, 8, 9, 14) Prof.Dr. Emel ﬁIKLAR (Ünite 10, 11, 12)

Editör

Prof.Dr. Ali Fuat YÜZER

ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹

(2)

“Uzaktan Ö¤retim” tekni¤ine uygun olarak haz›rlanan bu kitab›n bütün haklar› sakl›d›r.

‹lgili kurulufltan izin almadan kitab›n tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kay›t veya baflka flekillerde ço¤alt›lamaz, bas›lamaz ve da¤›t›lamaz.

No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic, tape or otherwise, without

permission in writing from the University.

UZAKTAN Ö⁄RET‹M TASARIM B‹R‹M‹

Genel Koordinatör Prof.Dr. Levend K›l›ç Genel Koordinatör Yard›mc›s›

Yard.Doç.Dr. Müjgan Bozkaya Ö¤retim Tasar›mc›s›

Yard.Doç.Dr. Melih Zeytino¤lu Grafik Tasar›m Yönetmenleri

Prof. T. Fikret Uçar Ö¤r.Gör. Cemalettin Y›ld›z Televizyon Programlar› Yöneticisi

Prof. Yalç›n Demir Dil ve Yaz›m Dan›ﬂmanlar›

Yard.Doç.Dr. Hülya Pilanc›

Okt. Ayd›n F›nd›ko¤lu Okt. Meral Aﬂkar

Ölçme De¤erlendirme Sorumlular›

Ö¤r.Gör. Reha Akgün Kitap Koordinasyon Birimi

Yard.Doç.Dr. Feyyaz Bodur Uzm. Nermin Özgür

Kapak Düzeni Prof. T. Fikret Uçar

Dizgi

Aç›kö¤retim Fakültesi Dizgi Ekibi

‹statistik ISBN 975 - 06 - 0183 - 1

2. Bask›

Bu kitap ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ Web-Ofset Tesislerinde 75.000 adet bas›lm›ﬂt›r.

ESK‹ﬁEH‹R, Eylül 2004

(3)

‹çindekiler

Sunuﬂ ... ix

Kullan›m K›lavuzu ... x

Temel Kavramlar ... 1

G‹R‹ﬁ ... 3

B‹R‹M, DE⁄‹ﬁKEN VE ‹STAT‹ST‹K KÜTLES‹ (ANA KÜTLE) ... 4

Birim ... 4

Birim Türleri ... 4

Maddesel Bir Varl›¤a Sahip Olan ya da Olmayan Birimler ... 4

Sürekli ya da Ani Birimler ... 4

Do¤al ya da Do¤al Olmayan Birimler ... 4

Gerçek ya da Varsay›msal Birimler ... 5

De¤iﬂken (Özellik) ... 5

De¤iﬂken (Özellik) Türleri ... 5

‹statistik Kütlesi (Ana Kütle) ... 5

Kütle Türleri ... 6

VER‹ DERLEME ... 6

Birim Seçimi ... 7

De¤iﬂken ve ﬁ›klar›n Belirlenmesi ... 7

Kütlenin S›n›fland›r›lmas› ... 7

Veri Derleme Türleri ... 7

Ani ya da Sürekli Veri Derleme ... 7

Genel ya da K›smi Veri Derleme ... 8

Kendimizi S›nayal›m ... 9

Yan›t Anahtar› ... 10

Yararlan›lan Kaynaklar ... 10

‹statistik Serileri (Frekans Da¤›l›mlar›) ... 11

G‹R‹ﬁ ... 13

SER‹ TÜRLER‹ ... 13

Zaman ve Mekan Serileri ... 13

Da¤›lma Serileri ... 14

Birikimli Seriler ... 19

Bileﬂik Seriler ... 21

SER‹LER‹N GRAF‹KLE GÖSTER‹LMES‹ ... 22

Frekans Serilerinin Grafikle Gösterilmesi ... 22

S›n›fland›r›lm›ﬂ Serilerin Grafikle Gösterilmesi ... 23

Histogram ... 23

Frekans Poligonu ... 25

Birikimli Serilerin Grafikle Gösterilmesi ... 27

Bileﬂik Serilerin Grafikle Gösterilmesi ... 29

Ü N ‹ T E 1

Ü N ‹ T E 2

(4)

Merkezi E¤ilim ve De¤iﬂkenlik Ölçüleri ... 35

G‹R‹ﬁ ... 37

MERKEZ‹ E⁄‹L‹M ÖLÇÜLER‹ (ORTALAMALAR) ... 37

Duyarl› Ortalamalar ... 37

Aritmetik Ortalama ... 37

Aritmetik Ortalaman›n Özellikleri ... 41

Tart›l› Aritmatik Ortalama ... 43

Geometrik Ortalama ... 45

Kareli Ortalama ... 46

Duyarl› Olmayan Ortalamalar ... 49

Medyan ... 49

Mod ... 53

Serinin Simetri Durumuna Göre Ortalamalar Aras›ndaki ‹liﬂki ... 57

DE⁄‹ﬁKENL‹K ÖLÇÜLER‹ ... 59

De¤iﬂim Aral›¤› ... 60

Standart Sapma ... 60

De¤iﬂim Katsay›s› ... 62

Olas›l›k ... 67

G‹R‹ﬁ ... 69

DENEY, SONUÇ VE ÖRNEKLEM UZAYI ... 69

Basit ve Bileﬂik Olaylar ... 71

Basit Olay ... 72

Bileﬂik Olay ... 72

OLASILIK HESAPLAMA ... 74

Olas›l›¤›n ‹ki Özelli¤i ... 74

Olas›l›¤a Üç Kavramsal Yaklaﬂ›m ... 75

Klasik Olas›l›k ... 75

Olas›l›¤›n Göreli S›kl›k Kavram› ... 76

Öznel Olas›l›k Kavram› ... 78

SAYMA KURALI ... 79

B‹LEﬁEN (MARJ‹NAL) VE KOﬁULLU OLASILIKLAR ... 79

AYRIK OLAYLAR ... 83

BA⁄IMSIZ VE BA⁄IMLI OLAYLAR ... 85

‹ki Önemli Nokta ... 87

TAMAMLAYICI (BÜTÜNLEY‹C‹) OLAYLAR ... 87

OLAYLARIN ARA KES‹T‹ VE ÇARPMA KURALI ... 89

Olaylar›n Ara Kesiti ... 89

Çarpma Kural› ... 90

Ba¤›ms›z Olaylar ‹çin Çarpma Kural› ... 92

Ayr›k Olaylar›n Bileﬂik Olas›l›¤› ... 94

OLAYLARIN B‹LEﬁ‹M‹ VE TOPLAMA KURALI ... 95

Olaylar›n Bileﬂimi ... 95

Toplama Kural› ... 96

Ayr›k Olaylar ‹çin Toplama Kural› ... 97

Yararlan›lan Kaynaklar ...102 Ü N ‹ T E 3

Ü N ‹ T E 4

(5)

Kesikli Rassal De¤iﬂkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› ... 103

G‹R‹ﬁ ... 105

RASSAL DE⁄‹ﬁKENLER ... 105

Kesikli Rassal De¤iﬂken ... 105

Sürekli Rassal De¤iﬂken ... 106

KES‹KL‹ B‹R RASSAL DE⁄‹ﬁKEN‹N OLASILIK DA⁄ILIMI ... 107

KES‹KL‹ B‹R RASSAL DE⁄‹ﬁKEN‹N ORTALAMASI VE STANDART SAPMASI ... 111

Kesikli Bir Rassal De¤iﬂkenin Ortalamas› ... 111

Kesikli Bir Rassal De¤iﬂkenin Standart Sapmas› ... 112

Standart Sapman›n Yorumu ... 114

FAKTÖR‹YELLER VE KOMB‹NASYONLAR ... 115

Faktöriyeller ... 115

Kombinasyonlar ... 116

B‹NOM (‹K‹ TER‹ML‹) OLASILIK DA⁄LIMI ... 118

Binom Deneyi ... 118

Binom Olas›l›k Da¤›l›m› ve Binom Formülü ... 119

Baﬂar› Olas›l›¤› ve Binom Da¤›l›m›n›n Biçimi ... 125

Binom Da¤›l›m›n›n Ortalama ve Standart Sapmas› ... 126

PO‹SSON OLASILIK DA⁄ILIMI ... 128

Poisson Olas›l›k Da¤›l›m›n›n Ortalama ... 132

Sürekli Rassal De¤iﬂkenler ve Normal Da¤›l›m ... 135

G‹R‹ﬁ ... 137

SÜREKL‹ OLASILIK DA⁄ILIMI ... 137

Normal Da¤›l›m ... 140

Normal Olas›l›k Da¤›l›m› ... 140

Standart Normal Da¤›l›m ... 142

Normal Da¤›l›m›n Standartlaﬂt›r›lmas› ... 147

Normal Da¤›l›m Uygulamalar› ... 152

NORMAL DA⁄ILIM E⁄R‹S‹ ALTINDAK‹ ALAN B‹L‹N‹YORKEN z VE x DE⁄ERLER‹N‹N BULUNMASI ... 156

B‹NOM DA⁄ILIMINA NORMAL DA⁄ILIM YAKLAﬁIMI ... 160

Örnekleme ... 167

G‹R‹ﬁ ... 169

TAMSAYIM VE ÖRNEKLEM ... 169

ÖRNEKLEME YAPMAYI GEREKL‹ KILAN NEDENLER ... 171

ÖRNEKLEME SÜREC‹N‹N AﬁAMALARI ... 173

Ana Kütlenin Tan›mlanmas› ... 173

Çerçevenin Belirlenmesi ... 174

Örnekleme Yönteminin Seçimi ... 174

Örneklem Hacminin Belirlenmesi ... 174

Ü N ‹ T E 5

Ü N ‹ T E 6

Ü N ‹ T E 7

(6)

Nitel De¤erlendirmede Esas Olan Faktörler ... 175

Nicel Yöntemler ... 175

Örneklemin Seçimi ... 177

ÖRNEKLEME YÖNTEMLER‹ ... 177

Olas›l›kl› Olmayan Örnekleme Yöntemleri ... 177

Kolayda Örnekleme ... 177

Yarg›sal Örnekleme ... 178

Kota Örneklemesi ... 178

Kartopu Örneklemesi ... 179

Olas›l›kl› Örnekleme Yöntemleri ... 179

Basit Rassal Örnekleme ... 180

Tabakal› Örnekleme ... 181

Sistematik Örnekleme ... 183

Küme Örneklemesi ... 183

ÖRNEKLEME DA⁄ILIMI ... 184

Örneklem Ortalamas› Örnekleme Da¤›l›m› ... 185

Ortalama ve Standart Hata ... 186

Merkezi Limit Teoremi ... 187

Örneklem Oran› p’nin Örnekleme Da¤›l›m› ... 188

Ortalama ve Varyans ... 190

Da¤›l›m ﬁekli ve Merkezi Limit Teoremi ... 191

ÖRNEKLEMEDE HATA KAVRAMI VE STANDART HATA ... 191

Örnekleme Hatas› - Standart Hata ... 191

Örnekleme D›ﬂ› Hatalar ... 192

‹statistiksel Tahminleme... 195

G‹R‹ﬁ ... 197

‹STAT‹KSEL TAHM‹NLEME ... 197

‹STAT‹KSEL TAHM‹NLEME TÜRLER‹ ... 198

Nokta Tahminlemesi... ... 198

Ana Kütle Aritmetik Ortalamas› m ’nün Nokta Tahminlemesi... 198

Ana Kütle Oran› p’nin Nokta Tahminlemesi... 199

Aral›k Tahminlemesi ... 200

Ana Kütle Aritmetik Ortalamas›n›n Aral›k Tahminlemesi ... 201

Hipotez Testleri ... 211

G‹R‹ﬁ ... 213

‹STAT‹ST‹KSEL H‹POTEZ VE ‹STAT‹ST‹KSEL H‹POTEZ TEST‹ ... 213

H‹POTEZ TEST‹ TÜRLER‹ ... 215

H‹POTEZ TEST‹ SÜREC‹N‹N ADIMLARI ... 215

Hipotezlerin ‹fade Edilmesi ... 215

Anlaml›l›k Düzeyinin Belirlenmesi ... 218

Verilerin Derlenmesi ... 219

Test ‹statisti¤inin Seçilmesi ... 219

‹statistiksel Karar›n Verilmesi ... 220 X'n›n

Ü N ‹ T E 8

Ü N ‹ T E 9

(7)

Probleme ‹liﬂkin Karar›n Verilmesi ... 222

TEK ANAKÜTLE PARAMETRES‹YLE ‹LG‹L‹ H‹POTEZ TESTLER‹ ... 223

Anakütle Ortalamas›na ‹liﬂkin Hipotez Testleri ... 223

Anakütle Ortalamas›na ‹liﬂkin Büyük Örneklem Testi ... 223

Anakütle Ortalamas›na ‹liﬂkin Küçük Örneklem Testi ... 227

Anakütle Oran›na ‹liﬂkin Test ...230

Ki-Kare Testi ... 237

G‹R‹ﬁ ... 239

K‹-KARE BA⁄IMSIZLIK TEST‹ ... 239

K‹-KARE HOMOJENL‹K TEST‹ ... 242

K‹-KARE UYGUNLUK (‹Y‹ UYUM) TEST‹ ... 244

KONTENJANS KATSAYISI ... 246

Basit Do¤rusal Regresyon ... 251

G‹R‹ﬁ ... 253

SERP‹LME D‹YAGRAMI ... 253

BAS‹T DO⁄RUSAL REGRESYON ... 255

Basit Do¤rusal Regresyon Modeli ... 255

Basit Do¤rusal Regresyon Denkleminin Kestirimi ... 256

Katsay›lar›n En Küçük Kareler (EKK) Kestirimleri ... 256

VARYANSIN (s2 ) KEST‹R‹M‹ ... 261

BAS‹T DO⁄RUSAL REGRESYONDA ARALIK KEST‹R‹M‹ ... 262

REGRESYON KATSAYILARININ ANLAMLILIK TESTLER‹ ... 264

Korelasyon ... 267

G‹R‹ﬁ ... 269

KORELASYON KATSAYISI ... 269

BEL‹RL‹L‹K KATSAYISI ... 272

KORELASYON KATSAYISININ ANLAMLILIK TEST‹ ... 274

‹ndeksler ... 293

G‹R‹ﬁ ... 279

‹NDEKSLER ... 280

Mekan ‹ndeksleri ... 280

Zaman ‹ndeksleri ... 281

Basit ve Bileﬂik ‹ndeksleri ... 283

Ü N ‹ T E 1 0

Ü N ‹ T E 1 1

Ü N ‹ T E 1 2

Ü N ‹ T E 1 3

(8)

Basit ‹ndeksler ... 283

Bileﬂik ‹ndeksler ... 284

Fisher ‹ndeksi ... 289

Zaman Serisi Çözümlemesi ... 293

G‹R‹ﬁ ... 295

ZAMAN SER‹S‹N‹N TANIMI VE GRAF‹KLE GÖSTER‹LMES‹ ... 295

Zaman Serisi Tan›m› ... 295

Zaman Serisinin Grafikle Gösterilmesi ... 296

ZAMAN SER‹LER‹N‹ ETK‹LEYEN FAKTÖRLER ...297

Zaman Serisini Etkileyen Temel Faktörler (Bileﬂenler) ...297

Yan›lt›c› Faktörler ... 300

ZAMAN SER‹S‹ ÇÖZÜMLEMES‹ ... 301

Zaman Serisi Çözümlemesi Tan›m› ... 301

Zaman Serisi Çözümlemesinde Hareketli Ortalamalar ... 302

ZAMAN SER‹S‹ ÇÖZÜMLEMES‹NDE B‹LEﬁENLERE AYIRMA YÖNTEM‹ ... 304

Genel Aç›klamalar ... 304

Yönteme ‹liﬂkin Modeller ... 304

Bileﬂenlere Ay›rma Yöntemiyle Çözümlemede Aﬂamalar ... 305

Serinin Yan›lt›c› Faktörlerin Etkisinden Ar›nd›r›lmas› ... 305

Çarp›msal Modelin Uygulanmas› ... 305

Sözlük ... 324

Dizin ... 326

Ü N ‹ T E 1 4

(9)

Sunuﬂ

Anadolu Üniversitesi uzaktan e¤itim uygulayan ‹ktisat ve ‹flletme Fakültelerin- de yürütülen istatistik dersleri kapsam›na ve uzaktan ö¤retim koflullar›na göre haz›rlanan bu kitap, istatisti¤in temel konular›n›n ele al›nd›¤› ondört üniteden oluflmufltur.

Kitab›n haz›rlanm›fl amaçlar› uyar›nca konular ifllenirken ilgili kavramlar daha çok sezgiye dayal› yaklafl›mlarla verilmeye özen gösterilerek, teorik anlat›mlardan kaç›n›lmaya çal›fl›lm›flt›r. Bu nedenle her ünitede, ele al›nan kavram ve tekniklere iliflkin yeterli say›da çözümlü örne¤e yer verilmifltir.

Metin içerisinde s›ra sizde bafll›¤› alt›nda, ifllenen konuyla do¤rudan ilgili al›fl- t›rmalarla ö¤renilenlerin, basit de olsa, günlük yaflamdaki baz› sorunlar›n çözü- münde kullan›larak verilen kavram ve tekniklerin pekifltirilmesi amaçlanm›flt›r.

Ünitelerin sonunda kendimizi s›nayal›m baﬂl›¤› alt›nda, ilgili ünitenin yan› s›- ra, önceki ünitelerde ö¤renilenleri de s›namaya yönelik, cevaplar› ünitenin sonunda bulunan ve sizleri s›nava haz›rlamay› amaçlayan, çoktan seçmeli test türü sorular yer almaktad›r. Ancak çözüm için gerekli çabay› harcamadan cevaplara bakma- y›n›z. Unutmay›n›z ki ö¤renmek keﬂfetmek demektir. Özveri, sab›r ve çaba ister.

Ö¤renebilmek için kaleminizi kullan›n›z. E¤er karfl›laflt›¤›n›z problemlerin çözü- münde güçlüklerle karfl›lafl›yorsan›z, ilgili konular› tekrar tekrar gözden geçiriniz.

Örnek çözümleri ve al›ﬂt›rmalar› yeniden çözünüz. Baﬂard›¤›n›z› göreceksiniz.

Elinizdeki kitap, genifl bir ekibin uzun süren çal›flmalar› sonucunda ortaya ç›kan bir üründür. Bu ekibin oluflturulmas› ve çal›flmas›nda her türlü olana¤› sa¤- layan Anadolu üniversitesi Rektörü Prof.Dr.Engin ATAÇ’a ve genel koordinatör Prof.Dr.Levend KILIÇ’›n flahs›nda kitab›n haz›rlanmas›nda tüm eme¤i geçenlere, editör ve yazarlar olarak teflekkür ederiz.

Prof.Dr. Ali Fuat YÜZER Mart 2003

(10)

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak: Ça- l›flma biçimiyle ilgili bölümde, ünite- de yeralan konular› daha iyi kavraya- bilmeniz için neler yapman›z gerekti-

¤i maddeler halinde s›ralanmaktad›r.

endi kendine ö¤renme ilkelerine göre

haz›rlanm›ﬂ olan bu kitab›n iﬂlevlerini ö¤renmek için haz›rlanan “Kullan›m K›lavuzu”, konular›

anlaman›zda ve s›navlara haz›rlanman›zda sizlere fayda sa¤layacakt›r.

K

‹çerik Haritas›: ‹çerik haritas›, ünite içinde yeralan ana konular› ve bu konulara ba¤l› alt düzey konular›

gösterir.

Amaçlar›m›z: Amaçlar›m›z bölümünde, okudu¤unuz ünite sonunda kazanaca¤›n›z bilgi ve beceriler sunulmaktad›r.

Amaç: Amaçlar›m›z bölümünde s›rala- nan sorular›n ya- n›tlanmas› için gerekli bilgi ve becerilerin iﬂlendi¤i bö- lümleri gösterir.

3

A M A Ç

(11)

Yanyaz›: Ünitenin içinde yer alan baz›

önemli kavram ve bilgilere yönelik tan›m ya da aç›klamalar› sayfan›n yan boﬂlu¤unda bulabilirsiniz.

Örnek: Üniteler içinde çal›ﬂt›¤›n›z konuyu daha iyi kavraman›z, bilgi ve beceri kazanman›z›

sa¤layacak, çok say›da örnek problem ve çözümleri bulabilirsiniz.

Yan›t Anahtar›: Kendimizi s›nayal›m bölümlerinde yan›tlad›¤›n›z çoktan seçmeli sorular›n yan›tlar› kitab›n›z›n sonunda sunulmuﬂtur.

Yararlan›lan Kaynaklar:

Ünitelerde çal›ﬂt›¤›n›z konu- larla ilgili baﬂvurabilece¤iniz di¤er kaynaklar kitab›n›z›n sonunda yer almaktad›r.

Kendimizi S›nayal›m: Ünitelerin sonunda, kendi kendinizi test edebilmenizi amaçlayan çoktan seçmeli sorular sunulmufltur. Bu sorular, s›navda karfl›laflt›¤›n›z sorularla ayn› türdendir.

S›ra Sizde: Herhangi bir baﬂl›k alt›nda yap›lan aç›klamalar›n bitiminde ya da aras›nda sizlerin aç›klanan konuyu kavray›p kavramad›¤›n›z›

ölçmenize yard›mc› olmak için sorulan sorulard›r.

(12)

(13)

Çal›ﬂma Biçimine ‹liﬂkin Olarak:

• Tüm kavramlar dikkatle gözden geçirilmeli,

• Kavramlar aras› iliﬂkilere dikkat edilmelidir.

Temel Kavramlar 1

(14)

Amaçlar:

‹statisti¤in temel kavramlar›n› aç›klayabileceksiniz.

Veri derleme kavram›n› aç›klayabilecek ve veri derleme türlerini s›n›fland›- rabileceksiniz.

‹çerik Haritas›

• G‹R‹ﬁ

• B‹R‹M, DE⁄‹ﬁKEN VE ‹STAT‹ST‹K KÜTLES‹ (ANA KÜTLE)

• Birim

• De¤iﬂken (Özellik)

• ‹statistik Kütlesi (Ana Kütle)

• VER‹ DERLEME

• Birim Seçimi

• De¤iﬂken ve ﬁ›klar›n Belirlenmesi

• Kütlenin S›n›fland›r›lmas›

• Veri Derleme Türleri

(15)

G‹R‹ﬁ

‹statistik sözcü¤ü farkl› yaklafl›mlara göre de¤iflik anlamlar tafl›r. Günlük dilde istatistik ya da istatistikler denildi¤inde, belirli bir olaya iliflkin derlenmifl say›sal bil- giler akla gelir. Örne¤in, d›flal›m, d›flsat›m, turizm, inflaat istatistikleri ve benzerleri gibi.

Metodoloji aç›s›ndan istatistik sözcü¤ü, istatisti¤e konu olabilen olaylar›n göz- lenerek ilgili verilerin derlenmesi, iﬂlenmesi, analizi ve yorumlanmas›nda kullan›- lan tekniklerin tümünü ifade eder.

XX. yüzy›l›n bafllar›nda istatistik alan›ndaki geliflmeler, istatistik sözcü¤üne teknik içerikli yeni bir anlam kazand›rm›flt›r. Ba¤l› olarak istatistik sözcü¤ü, hakk›n- da bilgi edinilmek istenen ve ana kütle olarak isimlendirilen y›¤›na iliflkin say›sal karakteristikleri (parametreleri) tahminleyebilmek amac›yla, ilgili kütleden belirli kurallara göre seçilen istatistik birimlerinin oluflturdu¤u ve örneklem ad› verilen toplulu¤a iliflkin say›sal karakteristikler anlam›nda da kullan›lmaktad›r.

‹statistik de tüm di¤er bilim dallar› gibi olaylar› konu al›r. Olay varsa istatistik vard›r. Ancak her olay da istatisti¤e konu oluﬂturamaz. ‹statistik y›¤›n olaylarla ilgilenir. Y›¤›n olay, bir olaylar kümesinde tek bir olay›n di¤erlerini, ba¤l› olarak da ait oldu¤u kümeyi temsil edemeyen olaylard›r. E¤er bir olaylar kümesinde tek bir olay, tüm olaylar kümesini temsil edebiliyorsa, bu tür olaylara tipik olay denir.

Ancak istatistik tipik olaylarla ilgilenmez. Örne¤in, ideal koﬂullar alt›nda ve uygun bir laboratuvar ortam›nda iki hidrojen ve bir oksijen atomu bir araya getirilirse, su elde edilir. Bu deney ayn› koﬂullar alt›nda kaç kez tekrarlan›rsa tekrarlans›n, her deneyin sonucunda su elde edilecektir. Görülece¤i gibi, bu örnekte tek bir deney ilgili deneyler kümesini temsil edebilmektedir. Dolay›s›yla bu olay tipik olayd›r.

Ancak günlük yaflamdaki olaylar bu örnekteki olaya benzemez. Örne¤in, firmala- r›n y›ll›k cirolar›, trafik kazalar›, evlenmeler, boflanmalar, do¤umlar, ölümler ve benzeri gibi her gün karfl›lafl›lan olaylar, birer y›¤›n olay niteli¤indedir.

‹statistik, belirli amaç ya da amaçlar do¤rultusunda gözlenen y›¤›n olaylardan derlenen say›sal verilerin iﬂlenerek, ilgili olaylar›n oluﬂturdu¤u y›¤›nlar›n bilimsel olarak incelenmesinde kullan›lan teknik ve yöntemler bilimi olarak tan›mlanabilir.

Tan›mdan da anlafl›labilece¤i gibi, çeflitli etkenlerin etkisini tafl›yan y›¤›n›n, ilgilenilen özellik ya da özelliklerinin ald›¤› de¤erler, rakamlarla ifade edilebilmelidir.

Günümüzde, istatistik, deney ya da gözlemlere dayal› tüm bilim dallar›nda, ge- niﬂ bir uygulama alan›na sahiptir.

Daha önce de de¤inildi¤i gibi, istatistik y›¤›n olaylar›n gözlenerek incelenme- si ve analizinde kullan›lan teknikler toplulu¤udur. ‹lgilenilen olay›n kavranabilme- si ve yap›lacak deney ya da gözlemlerin say›sal olarak analiz edilebilmesi için ön- celikle deney ya da gözlemlere konu olan olay›n ilgilenilen özellik ya da özellik- lerinin belirlenmesi, sonra da bunlar›n say›lmas› ya da ölçülmesi gerekir. Bu aﬂa- maya, verilerin toplanmas› ya da verilerin derlenmesi ad› verilir.

Veriler derlenirken, ilgilenilen kütleye iliﬂkin birimler say›l›r ya da ölçülürken, öte yandan da bu birimlerin ilgilenilen özellik ya da özellikleri aç›s›ndan hangi ﬂ›klara sahip oldu¤u belirlenir ve kaydedilir.

Yukar›da de¤inilen kütle, birim, özellik ve ﬂ›k kavramlar›, izleyen kesimlerde yeterli ayr›nt›yla ele al›nacakt›r.

Bir olaylar kümesinde tek bir olay kümedeki di¤er olaylar›

temsil edemiyorsa, bu tür olaylara y›¤›n olay denir ve istatistik y›¤›n olaylar› konu al›r.

‹statistik, belirlenen amaç ya da amaçlar do¤rultusunda gözlenen y›¤›n olaylardan derlenen say›sal verilerin iﬂlenerek, ilgili olaylar›n oluﬂturdu¤u y›¤›nlar›n bilimsel olarak incelenmesinde kullan›lan teknik ve yöntemler bilimidir.

(16)

B‹R‹M, DE⁄‹ﬁKEN VE ‹STAT‹ST‹K KÜTLES‹ (ANA KÜTLE)

‹statisti¤in temel kavramlar›n› aç›klayabileceksiniz.

Birim

Y›¤›n olay niteli¤indeki her olaya birim ad› verilir. Kolayl›kla anlaﬂ›labilece¤i gibi tüm canl› ve cans›z varl›klar birer istatistik birimidir. Ancak, maddesel bir varl›¤a sahip olmayan olaylar ve sosyal kurumlar da birer istatistik birimi olabilirler. Bir olay›n birim olabilmesi için, ölçülmeye ya da say›lmaya elveriﬂli olmas› gerekir.

Ölçülemeyen ya da say›lamayan nesneler ve olaylar istatistiksel anlamda birim oluﬂturamazlar. Örne¤in; insan, bina, araba ve hayvan gibi canl› ve cans›z varl›k- lar istatistik birimleridir. Öte yandan, do¤um, ölüm, evlenme, iflas ve trafik kaza- s› gibi olaylar da birim oluﬂturabilirler. Ancak sevinçler, korkular, rüyalar ve renk- ler say›lamad›klar› ya da ölçülemedikleri için birim olamazlar.

Birim Türleri

Birimler farkl› ölçütlere göre s›n›fland›r›labilirler. ‹zleyen paragraflarda birimlerin maddesel bir varl›¤a sahip olup olmamalar›na, ömür sürelerine, do¤al olup olma- d›klar›na ve gerçek ya da varsay›msal oluﬂlar›na göre s›n›fland›r›larak k›saca ele al›nacakt›r.

Maddesel Bir Varl›¤a Sahip Olan ya da Olmayan Birimler

E¤er birimler insan, araba ve benzeri gibi canl› ya da cans›z maddesel bir varl›¤a sahipse, bu tür birimlere, maddesel varl›¤a sahip birimler ad› verilir. E¤er birimler, do¤um, ölüm, trafik kazas› ve benzeri gibi olay niteli¤indeyse bu tür birimlere de maddesel varl›¤a sahip olmayan birimler ad› verilir.

Sürekli ya da Ani Birimler

‹statisti¤in ilgi alan›na giren olaylar, do¤al olarak, s›n›rl› bir ömre sahiptir. Belirli bir zaman aral›¤› içinde herhangi bir anda gözlenebilen istatistik birimlerine sü- rekli birimler ad› verilir. Örne¤in; insan, bina, ticari bir kuruluﬂ ve benzerleri gibi. Bu tür birimler varl›klar›n› sürdürdükleri süre içinde herhangi bir anda göz- lemlenebilirler. Dolay›s›yla bu tür birimler, istenilen bir zamanda yap›lacak bir sa- y›m için uygun bir ortam oluﬂtururlar. Maddesel bir varl›¤a sahip birimler sürekli birimlerdir.

Öte yandan; evlenme, boflanma, trafik kazas› gibi bir olay ya da bir fiil biçi- minde ortaya ç›kan birimler, oldukça k›sa ömürlüdürler. Ani birimler olarak isimlendirilen bu tür birimler, zaman içinde da¤›lm›fl olarak ortaya ç›karlar. Ko- layl›kla anlafl›labilece¤i gibi, “ani birimler” maddesel bir varl›¤a sahip olmayan birimlerdir.

Do¤al ya da Do¤al Olmayan Birimler

Nitelikleri aç›s›ndan bir bütün oluﬂturan, parçalanmalar› yada birleﬂtirilmeleri halinde niteliklerini kaybeden birimlere “do¤al birim” ad› verilir. Örne¤in bir canl›

parçaland›¤›nda, canl› olma niteli¤ini kaybeder ve her parça da daha küçük bir canl› oluﬂturmaz. Bir TV al›c›s› ya da bir otomobil için de durum ayn›d›r. Öte yandan, iki ö¤renci bir araya getirilerek, daha uzun boylu, daha a¤›r ya da daha ze-

A M A Ç

1

Bir nesne ya da olay›n, birim olabilmesi için, ölçülmesi ya da say›lmas› yeterlidir.

(17)

ki bir ö¤renci oluﬂturulamaz. Kolayl›kla anlaﬂ›labilece¤i gibi, do¤al birimler bir araya getirilerek ya da parçalanarak ayn› nitelikte birimler elde edilemezler.

Nitelikleri aç›s›ndan bir bütün olma özelli¤i göstermeyen birimlere do¤al olmayan birim ad› verilir. Bu tür birimlerin, birlefltirildikleri ya da parçaland›klar› zaman, nitelikleri de¤iflmez. Örne¤in bir arsa bir kaç parçaya bölünürse, daha kü- çük arsalar ortaya ç›kar. Arsan›n, arsa olma niteli¤i de¤iflmez.

Gerçek ya da Varsay›msal Birimler

Gerçekte var olan birimlere “gerçek birim” ad› verilir. Bir birimin gerçek birim olabilmesi için mutlaka maddesel bir varl›¤a sahip olmas› gerekmez. Örne¤in; ev, arsa, insan, bisiklet gibi maddesel bir varl›¤a sahip birimler gerçek birimlere ör- nek oluﬂtururken, do¤um, ölüm, evlenme, iflas gibi olay ya da fiil biçiminde ortaya ç›kan birimler de gerçek birimlerdir. Bir birimin, gerçek birim olabilmesi için, ortaya ç›km›ﬂ olmas› yeterlidir.

Öte yandan kuramsal olarak oluﬂturulabilecek birimler de söz konusudur. Ör- ne¤in on ö¤renci aras›ndan, üçer ö¤renciden oluﬂacak her grup da bir birim olarak görülebilir. Bu tür birimlere de “varsay›msal birimler” ad› verilir.

De¤iﬂken (Özellik)

‹statistik birimlerinin sahip olduklar› özellikler birer de¤iﬂken olarak görülebilir.

Örne¤in bir ö¤renci grubu göz önüne al›nd›¤›nda, bu ö¤rencilerin do¤um yerleri, yaﬂlar›, a¤›rl›klar› ve boy uzunluklar› ayn› de¤ildir. Ö¤renciden ö¤renciye de¤iﬂir.

Bu özelliklerin farkl› ortaya ç›k›fl biçimlerine, baflka bir anlat›mla de¤iflkenlerin al- d›klar› de¤erlere ise “fl›k” ad› verilir.

Yukar›da sözü edilen ö¤renci grubunun boy uzunluklar› ve a¤›rl›klar›yla ilgi- lenilecekse, boy uzunlu¤u ve a¤›rl›k “de¤iflkenleri (özellikleri)”, her ö¤rencinin ayr› ayr› boy uzunlu¤u ve a¤›rl›¤› da bu de¤iflkenlere iliflkin “fl›klar›” oluflturur.

De¤iﬂken (Özellik) Türleri

De¤iflkenler de farkl› ölçütler esas al›narak s›n›fland›r›labilir. Ancak bu ünitede de¤iflkenler zaman, mekan ve maddesel de¤iflkenler bafll›klar› alt›nda s›n›fland›r›lacakt›r.

E¤er bir de¤iflkenin fl›klar› mekana göre olufluyorsa, bu tür de¤iflkenlere “mekan de¤iflkeni”, zamana göre olufluyorsa bu tür de¤iflkenlere de “zaman de¤iflkeni” ad› verilir. Mekan ve zaman de¤iflkenleri d›fl›ndaki tüm de¤iflkenlere ise “maddesel de¤iflken” ad› verilir. Örne¤in; do¤um yeri ve üniversitelerin bulunduklar›

flehirler mekan de¤iflkenlerine, do¤um y›l› ve üniversitelerin kurulufl y›llar› da zaman de¤iflkenlerine örnekler oluflturur. Öte yandan, insanlar›n medeni durumu, bir iflletmedeki birim de¤iflken maliyetler ve bir s›n›fta belirli bir dersten al›nan notlar da maddesel de¤iflkene örnekler oluflturur.

‹statistik Kütlesi (Ana Kütle)

Y›¤›n olay niteli¤inde ve ayn› cins birimlerin oluflturdu¤u toplulu¤a “istatistik kütlesi” ya da “ana kütle” ad› verilir. Ancak, bir istatistik kütlesinden söz edebil- mek için, öncelikle kütleyi oluflturan birimlerin, ayn› genel nedenlerin etkisinde olmas› gereklidir. Ayr›ca kütle, istatistik birimlerinin toplam›ndan farkl› bir yap›- ya da sahip olmamal›d›r. Bir ülkede yaflayan insanlar, belirli bir bölgedeki evler, bir y›l süresince belirli bir yerleflim merkezinde gözlenen do¤umlar, ölümler, trafik kazalar›, istatistik kütlesi için örnekler oluflturur. Ancak, Anadolu Üniversite- si, ö¤renci ve ö¤retim üyelerinden oluflmufl bir istatistik kütlesi olarak de¤erlen-

‹statistik birimlerinin sahip oldu¤u özelliklere

“de¤iflken”, de¤iflkenlerin ald›klar› de¤erlere ise “fl›k”

ad› verilir.

Y›¤›n olay niteli¤indeki ayn›

cins birimlerin oluﬂturdu¤u toplulu¤a “ana kütle” ad›

verilir.

(18)

dirilemez. Üniversite, ö¤renci ve ö¤retim üyelerinin toplam›ndan farkl›, tüzel ki- ﬂili¤e sahip bir varl›kt›r.

Kütle Türleri

‹statistik kütlelerini de, kütleyi oluflturan birimlerin niteliklerine göre s›n›fland›r- mak mümkündür. Böyle bir s›n›fland›rma afla¤›da ana çizgileriyle ele al›nm›flt›r.

Gerçek ya da Varsay›msal Kütleler

Gerçek birimlerin oluﬂturduklar› kütlelere, “gerçek kütle” ad› verilir. Bir üniversi- tenin ö¤rencileri, bir yerleﬂim merkezinde bir y›lda gözlenen trafik kazalar› ve do-

¤um olaylar›n›n oluﬂturduklar› kütleler, gerçek kütlelere örnek oluﬂtururlar.

Henüz oluflmam›fl, ancak oluflturulmas› mümkün olan kütlelereyse “varsay›m- sal kütle” ad› verilir. Kolayl›kla görülebilece¤i gibi varsay›msal kütleler, varsay›m- sal birimlerim oluflturdu¤u kütlelerdir. Örne¤in, 30 kiflilik bir s›n›ftan rasgele seçi- lecek 5 kiflilik bir grup için farkl› seçim yap›labilir. 142.506 farkl› 5 kiflilik gruplar›n oluflturdu¤u kütle varsay›msal bir kütledir.

Sonlu ya da Sonsuz Kütleler

E¤er bir kütledeki birimler sonlu say›daysa baflka bir anlat›mla say›labiliyorsa, bu tür kütlelere “sonlu (belirli)”, kütleyi oluflturan birim say›s› say›lam›yorsa, bu tür kütlelere de “sonsuz (belirsiz)” kütle ad› verilir. Örne¤in, bir ülkede yaflayan insanlar›n say›s› say›labilece¤inden bu ülkede yaflayan insanlar›n oluflturdu¤u kütle sonlu bir kütledir. Marmara Denizinde yaflayan canl›larsa say›lamayacaklar› için sonsuz bir kütle olufltururlar.

Sürekli ya da Süreksiz Kütleler

Parçaland›klar› ya da birlefltirildikleri zaman, niteliklerini kaybettikleri için, do¤al birimlerden oluflan kütleler süreksiz, parçaland›klar› ya da birlefltirildiklerinde, niteliklerini kaybetmedikleri için de do¤al olmayan birimlerden oluflan kütlelerse, sürekli kütleler olufltururlar.

Zaman ve mekan birimleri do¤al birimler olmad›klar› için, her zaman sürekli kütleleri oluﬂtururlar.

1. Günümüzde istatisti¤in hangi nedenlerle geniﬂ bir uygulama alan›na sahip oldu¤unu aç›klay›n›z.

2. ‹statistik ne tür olaylarla ilgilenir, nedenleriyle aç›klay›n›z.

3. Maddesel varl›¤› olmayan trafik kazas›, do¤um, evlenme ve grev gibi olaylar›n niçin birim olabildiklerini aç›klay›n›z.

VER‹ DERLEME

Veri derleme kavram›n› aç›klayabilecek ve veri derleme türlerini s›n›fland›rabileceksiniz.

Veri derleme; belirlenen amaçlar do¤rultusunda gözlemlenecek birimlerin ölçül- mesi ya da say›lmas›, sonra da bunlar›n, ilgilenilen de¤iflkenlere göre, hangi fl›k- lara sahip oldu¤unun belirlenmesi ve kaydedilmesi ifllemlerini içerir.

C 30 5 = 142.506

S I R A S ‹ Z D E

A M A Ç

2

(19)

Yukar›daki tan›mdan da anlafl›labilece¤i gibi, belirlenen amaçlar do¤rultusunda istatistiksel bir çal›flma bafllat›l›rken, öncelikle araflt›rma konusuna uygun birimin ve ilgilenilen de¤iflken ya da de¤iflkenlerin dikkatli bir biçimde belirlenmesi gerekir.

Birim Seçimi

Belirlenen amaç ya da amaçlar do¤rultusunda, ilgilenilen y›¤›n olay›n tan›mlanmas›yla “birim seçme” ifllemi gerçeklefltirilmifl olur. Baflka bir anlat›mla, kimlerin ya da nelerin gözlenece¤i belirlenir. Ancak birim seçilirken, amaca uygunluk ve uygulanabilirlik özelliklerinin öncelikle göz önünde bulundurulmas› gerekir. Bu- nun için de birim belirlenirken, birim tan›m›n›n kesin, amaca uygun ve uygulama- ya elveriflli olmas› gerekir.

Tan›m›n kesin olmas›, uygulamac›larca ilgilenilen y›¤›n olaya iliflkin ayn› fleyin anlafl›lmas›, baflka bir anlat›mla kuflkulara yer açmayacak biçimde aç›k olmas›d›r.

Tan›m›n kesin olmas›n›n yan› s›ra, tan›m›n amaca uygunlu¤u ve kolayl›kla uy- gulanabilirli¤i de gözden uzak tutulmamal›d›r.

De¤iﬂken ve ﬁ›klar›n Belirlenmesi

Aç›kt›r ki, bir kütleyi oluflturan istatistik birimleri üzerinde bir çok de¤iflken tan›m- lanabilir. Veri derlenirken sadece belirlenen amaçlar do¤rultusundaki de¤iflkenler göz önünde tutulmal›d›r. Uygulamalarda fazla ayr›nt› sorunlara neden olabilir.

Öte yandan uygulamalarda gözlem say›s› kesinlikle sonlu bir say› olacakt›r.

Ayr›ca, gözlemlere ba¤l› olarak ilgili de¤iflkenlerin alacaklar› de¤erler de (fl›klar da) ilgili de¤iflken sürekli ya da süreksiz olsun, sonlu olacakt›r.

fi›klar belirlenirken, gözden uzak tutulmamas› gereken önemli bir nokta da gözlemlerde kullan›lan ölçü biriminin araflt›rman›n do¤as›na uygun olmas› gere¤i- dir. Örne¤in; ayçiçek ya¤› üreten bir firman›n, ayl›k üretimi için kilo, flifle, teneke ya da ton makul ölçülerken, bir sarraf›n bir günde satt›¤› bilezikler için gram uygun bir ölçü olur.

Kütlenin S›n›fland›r›lmas›

Bir istatistiksel araflt›rma planlan›rken, araflt›rman›n nerede, kimlerle ve nelerle gerçeklefltirilece¤i, ne kadar zamanda tamamlanaca¤› ve araflt›rma için ayr›lan kaynaklar, ayr›ca gözlem say›s›n›n sonlu olmas›, kütlenin mekan ve zaman aç›s›n- dan s›n›rland›r›lmas›n› zorunlu k›lar.

Baﬂar›l› bir s›n›rland›rma uygulamac›lara büyük kolayl›k sa¤lar.

Veri Derleme Türleri

Veri derleme süreci kabaca, sürekli ya da ani ve k›smi ya da genel olmak üzere iki baﬂl›k alt›nda toplanabilir.

Ani ya da Sürekli Veri Derleme

E¤er gözlemlenecek kütledeki birimler sürekli karakterdeyse, istenilen bir anda gözlenmeye haz›r olan bu tür birimlerin gözlenmesi ya da kaydedilmesi ifllemle- rine “ani veri derleme” denir. Nüfus say›mlar› ve ifl yeri say›mlar› bu tür veri derlemeye örnek oluflturur.

E¤er ilgilenilen kütle ani birimlerden oluflmuflsa (bu tür birimler zamana yay›l- d›¤›ndan), belli bir zaman aral›¤›nda gözlenmeleri ve kaydedilmeleri gerekir. Bu tür ifllemlere “sürekli veri derleme” denir. Belirli bir bölgede ve zaman aral›¤›nda

(20)

evlenmeler, boflanmalar, trafik kazalar›, do¤umlar ve ölümlere iliflkin derlenen veriler, bu tür veri derlemeye örnek oluflturur.

Genel ya da K›smi Veri Derleme

Hakk›nda bilgi edinilmek istenen kütlenin tamam›n›n gözlenmesine “genel veri derleme” ad› verilir. Genel nüfus ve tar›m say›mlar› birer genel veri derlemedir.

Aç›kt›r ki, bu tür veri derleme hem pahal› hem de güçtür. Öte yandan, genel veri derlemede bilgi edinilmek istenen kütlenin zaman içindeki de¤iflim h›z› da önem tafl›r. E¤er kütlenin de¤iflimi, araflt›rmada öngörülen zaman içinde sonuçla- r› etkileyebilecek düzeydeyse, genel veri derleme kendisinden beklenen yararlar›

sa¤layamayaca¤› için tercih edilmemelidir. Ayr›ca gözlem ya da deneyler, gözlen- dikleri anda fiziksel zararlara u¤ruyorsa, böyle durumlarda da genel veri derleme uygulanamaz. Örne¤in, yeni bir teknolojiyle üretilen top mermilerinin hedef üze- rindeki etkilerinin denenmesi gibi. Harcanan her mermi yok olaca¤›ndan, istenilen sonuçlara ne derece ulaﬂ›ld›¤›, ancak üretilen mermilerin bir k›sm›n›n denen- mesiyle araﬂt›r›labilir. Elbette ki genellemelerin yap›labilmesi için, denenecek mermilerin belirli kurallara göre seçilmesi gerekir.

Hakk›nda bilgi edinilmek istenen kütleyi oluﬂturan birimler aras›ndan, belirlenen amaçlar do¤rultusunda yaln›zca bir k›sm›n›n seçilip gözlenmesine, “k›smi veri derleme” ad› verilir.

K›smi veri derleme, genel veri derlemenin pahal› oluﬂu, zaman al›ﬂ›, gözlem birimlerinin fiziksel zarara u¤ramas› gibi nedenlerle yap›lmak istenmedi¤i zaman uygulan›r.

An›msanaca¤› gibi belirlenen amaçlar do¤rultusunda hakk›nda bilgi edinilmek istenen y›¤›n›n tümüne ana kütle (ya da sadece kütle) ad› verilir. Bir ana kütle- den uygun tekniklerle seçilen birimlerin oluﬂturdu¤u toplulu¤aysa “örneklem”

ad› verilir.

Belirlenen amaçlar uyar›nca bir örneklem oluﬂturulurken, örne¤i oluﬂturmak için seçilen tekni¤e göre de k›smi veri derleme, rassal ve iradi olama üzere iki k›s- ma ayr›l›r. Konu örnekleme bölümünde ayr›nt›lar›yla ele al›naca¤›ndan, burada sadece tan›mlarla yetinilecektir.

E¤er örneklem seçilirken, ana kütledeki birimlerin hepsine örnekleme girebil- mek için eflit flans verilirse oluflturulan örnekleme, “rassal örneklem” ad› verilir.

E¤er, bir örneklem oluflturulurken, kütledeki tüm birimlere eflit seçilme flans› ve- rilmez, örne¤e girmesi mümkün birimler aras›nda fark gözetilirse, “iradi örnekle- me” yap›lm›fl olur.

1. Veri derleme kavram›n› aç›klay›n›z.

2. Birim seçilirken dikkat edilmesi gereken noktalar› aç›klay›n›z.

3. Bir istatistik kütlesi hangi nedenlerle s›n›rlanmak zorundad›r, aç›klay›n›z.

Ana kütleden uygun tekniklerle seçilen birimlerin oluﬂturdu¤u alt toplulu¤a

“örneklem” ad› verilir.

S I R A S ‹ Z D E

(21)

Kendimizi S›nayal›m

1. Aﬂa¤›dakilerden hangisi istatistik birimi olarak al›namaz?

a. Co¤rafi bölge b. Do¤um c. Koku d. Boykot e. Aile

2. Aﬂa¤›dakilerden hangisi ani birimdir?

a. Ö¤renci b. Aile c. Derslik d. Kavga e. Evli çiftler

3. Aﬂa¤›dakilerden hangisi sürekli bir de¤iﬂkendir?

a. Medeni hal b. Do¤um y›l›

c. Bir ülkede yaﬂayanlar›n say›s›

d. Ülkelerin yüzölçümü e. Apartmanlar›n daire say›s›

4. Aﬂa¤›dakilerden hangisi maddesel bir de¤iﬂkendir?

a. Do¤um tarihi b. Medeni hal c. Do¤um yeri

d. ‹ﬂletmelerin kuruluﬂ yeri

e. Günün saatlerine göre ortalama s›cakl›k

5. Birimlerle ilgili aﬂa¤›da verilen ifadelerden hangisi yanl›ﬂt›r?

a. Tüm olaylar istatistik birimi oluﬂtururlar.

b. Canl› ve cans›z varl›klar istatistik birimi olabilirler.

c. Birimin mutlaka maddesel bir varl›¤a sahip olma- s› gerekmez.

d. Say›lamayan ya da ölçülemeyen olaylar ya da nesneler birim olamazlar.

e. Maddesel bir varl›¤a sahip birimler, sürekli birimlerdir.

6. Aﬂa¤›dakilerden hangisi do¤al birim de¤ildir?

a. Otomobil b. Ö¤renci c. Banknot d. Kitap e. Uzunluk

7. Kütlelere iliﬂkin aﬂa¤›daki ifadelerden hangisi do¤rudur?

a. Do¤al birimlerden oluﬂan kütleler süreklidir.

b. Bir istatistik kütlesi, istatistik birimlerinin topla- m›ndan farkl› bir yap›ya sahip olabilir.

c. Zaman birimlerinden oluﬂan kütleler, süreksiz kütlelerdir.

d. Mekan birimlerinden oluﬂan kütleler, sürekli kütlelerdir.

e. Do¤al olmayan birimlerden oluﬂan kütleler sürek- siz kütlelerdir.

8. Aﬂa¤›daki olaylardan hangisi ani veri derlemeye konu oluﬂturur?

a. Nüfus say›m›

b. Belirli bir yerde ve zaman aral›¤›ndaki do¤umlar c. Belirli bir yerde ve zaman aral›¤›ndaki iflaslar d. Belirli bir yerde ve zaman aral›¤›ndaki boﬂanmalar e. Belirli bir yerde ve zaman aral›¤›ndaki grevler

9. Belirlenen amaçlar do¤rultusunda hakk›nda bilgi edinilmek istenen y›¤›n›n tümüne ne ad verilir?

a. Topluluk b. Örneklem c. Grup d. Örnek e. Ana Kütle

10. Aﬂa¤›dakilerden hangisi varsay›msal kütledir?

a. Bir kütüphanedeki kitaplar b. Bir üniversitedeki ö¤renciler

c. Belirli bir bölgede ve zaman aral›¤›nda oluﬂan trafik kazalar›

d. 30 kiﬂilik bir s›n›ftan rasgele seçilecek farkl› dör- der kiﬂilik ö¤renci gruplar›

e. Bir fakültedeki ö¤retim üyeleri

(22)

Yan›t Anahtar›

1. c 2. d 3. d 4. b 5. a 6. e 7. d 8. a 9. e 10. d

Yararlan›lan Kaynaklar

AVRAO⁄LU, Zeki: ‹statistik, 2. Bask›, Ankara ‹ktisadi ve Ticari ‹limler Akademisi Yay›n› 14, Ankara, 1977.

ÇÖLMEKÇ‹, Necla: Temel ‹statistik ‹lke ve Teknik- leri, 2. Bask›, Bilim Teknik Yay›nevi, Eskiﬂehir, 1994.

GÜRTAN, Kenan: ‹statistik ve Araﬂt›rma Metodla- r›, ‹stanbul Üniversitesi Yay›nlar›, No 2265, ‹stanbul, 1977.

ÖZMEN, Ahmet: Uygulamal› Araﬂt›rmalarda Ör- nekleme Yöntemleri, Anadolu Üniversitesi Ya- y›nlar›, No 1257, Eskiﬂehir, 2000.

SERPER, Özer: Uygulamal› ‹statistik I, Filiz Kitabevi,

‹stanbul, 1986.

TURANLI, M. GÜR‹ﬁ, S. AYAYDIN, A.: ‹statistik Temel Kavramlar ve Uygulamalar, M. Ü. Nihad Sayar E¤itim Vakf› Yay›nlar›, No 452-685, ‹stanbul, 1993.

B

afllang›çta ilgi alan› astronomi idi. Airy’nin hatalar teorisi üzerinde çal›fl›rken, istatis- ti¤e ilgisi artm›flt›r.

1919’da rassall›k kavram›na iliflkin çal›flmalar› s›ras›nda varyans analizini, 1921’de de Li- kelihood (Benzerlik) kavram›n› gelifltirmifltir.

1921’de kuramsal yap›y› önde tutarak, istatisti¤e iliﬂkin yeni bir tan›m vermiﬂtir.

Sonraki y›llarda küçük örneklemler için uygun yöntemler geliﬂtiren Fisher, modern istatis- ti¤in kurucular›ndan biri olarak görülür.

RONALD AYLMER FISHER (1890-1962)

(23)

Çal›ﬂma Biçimine ‹liﬂkin Olarak

• Ünite dikkatle gözden geçirilmeli,

• Örnekler dikkatle incelenmelidir.

‹statistik Serileri

(Frekans Da¤›l›mlar›) 2

(24)

Amaçlar

Gözlem de¤erlerinden hareketle istatistik serileri oluﬂturabileceksiniz.

‹statistik serilerinin grafiklerini çizebileceksiniz.

‹çerik Haritas›

• G‹R‹ﬁ

• SER‹ TÜRLER‹

• Zaman ve Mekan Serileri

• Da¤›lma Serileri

• Birikimli Seriler

• Bileﬂik Seriler

• SER‹LER‹N GRAF‹KLE GÖSTER‹LMES‹

• Frekans Serilerinin Grafikle Gösterilmesi

• S›n›fland›r›lm›ﬂ Serilerin Grafikle Gösterilmesi

• Birikimli Serilerin Grafikle Gösterilmesi

• Bileﬂik Serilerin Grafikle Gösterilmesi

(25)

G‹R‹ﬁ

Derleme sonucunda elde edilen veriler, bir veri y›¤›n› oluﬂturur. Böyle bir y›¤›n- dan belirlenen amaçlar do¤rultusunda ihtiyaç duyulan bilgilerin elde edilebilmesi, ancak verilerin belirli esaslara göre düzenlenmesiyle mümkün olur. Bunun için de ilk akla gelen, verileri büyüklüklerine göre s›ralamakt›r. Böyle bir s›ralama sonucu elde edilen rakamlar dizisine, istatistik serisi ad› verilir.

Bir istatistik serisi gözlem amaçlar›na uygun de¤iflken ya da de¤iflkenlerin al- d›klar› de¤erlerden (fl›klardan) olufltu¤u için ilgilenilen y›¤›n olay›n gerek yap›s›, gerek de¤iflimlerine iliflkin ayr›nt›l› ipuçlar› içerir. Bu nedenle de istatistik serileri, ilgili y›¤›n olay›n kavranmas› aç›s›ndan etkin bir araç olup, istatistik analizlere temel oluflturur.

SER‹ TÜRLER‹

Gözlem de¤erlerinden hareketle istatistik serileri oluﬂturabile- ceksiniz.

De¤iﬂik ölçütler temel al›narak istatistik serileriyle ilgili farkl› s›n›fland›rmalar yap- mak mümkündür. Ancak bu ünitede, zaman serileri ayr› bir ünitede ele al›naca-

¤›ndan, zaman ve mekan serilerine k›saca de¤inilecek, da¤›lma serileri de yeterli ayr›nt›yla ele al›nacakt›r.

Zaman ve Mekan Serileri

E¤er gözlem sonuçlar› y›l, ay, hafta, gün ya da saat gibi bir zaman de¤iflkeninin fl›klar›na göre s›ralan›rsa, oluflturulan seriye “zaman serisi” ad› verilir. Y›llara göre ülke nüfuslar› ve belirli bir noktada günün saatlerine göre trafik yo¤unlu¤u, bu tür serilere örnek olarak gösterilebilir. Afla¤›daki tabloda, zaman serilerine örnek olarak, Eskiflehir ilindeki aylara göre ortalama s›cakl›klar verilmifltir:

Aylar Ortalama S›cakl›k (C°)

OCAK -1.5

ﬁUBAT 1.3

MART 4.9

N‹SAN 10.4

MAYIS 15.1

HAZ‹RAN 18.8

TEMMUZ 21.4

A⁄USTOS 21.2

EYLÜL 17.1

EK‹M 12.0

KASIM 6.7

ARALIK 2.2

A M A Ç

1

Geniﬂ anlamda istatistik serileri, gözlem de¤erlerinin büyüklüklerine göre s›ralanmas›yla oluﬂturulur.

Tablo 2.1 Eskiﬂehir ilindeki aylara göre ortalama s›cakl›klar (72 y›ll›k gözlem ortalamalar›).

Kaynak: Türkiye

‹statistik Y›ll›¤› 2000.

(26)

E¤er gözlem sonuçlar› ülke, bölge, flehir ya da köy gibi bir mekan (yer) de¤iflkeninin fl›klar›na göre s›ralan›rsa, elde edilen seriye “mekan serisi” ad› verilir. fie- hirlere göre elektrik tüketimi, bölgelere göre tah›l üretimi bu tür serilere örnek olarak gösterilebilir.

Aﬂa¤›daki tabloda, mekan serisine örnek olarak, baz› illerin denizden yüksek- likleri verilmiﬂtir:

‹ller Denizden

Yükseklik (m)

ANKARA 891

BALIKES‹R 147

ÇANAKKALE 6

D‹YARBAKIR 677

ESK‹ﬁEH‹R 801

GAZ‹ANTEP 855

‹ZM‹R 29

KARS 1755

MU⁄LA 646

R‹ZE 9

S‹VAS 1285

TRABZON 30

VAN 1661

ZONGULDAK 137

Da¤›lma Serileri

Gözlem sonuçlar›n›n maddesel bir de¤iflkenin fl›klar›na göre s›ralanmas›yla oluflturulan serilere, “da¤›lma serileri” ad› verilir. Da¤›lma serileri ana çizgileriyle nicel ve nitel da¤›lma serileri olmak üzere ikiye ayr›l›r. Ancak bu ünitede, ifllemlere elveriflli olmas› nedeniyle sadece nicel da¤›lma serileri ele al›nacakt›r. Nicel da¤›lma serileri de basit seriler (diziler), frekans serileri ve s›n›fland›r›lm›fl (grupland›r›lm›fl) seriler olmak üzere üç alt bafll›k alt›nda incelenebilir.

E¤er derlenen veriler ilgilenilen konunun d›ﬂ›nda baﬂka bir yönde, örne¤in;

gözlem s›ras›na göre s›ralanm›flsa, bu s›ralamaya “liste” ad› verilir. Aç›kt›r ki, derlenen verilerden ihtiyaç duyulan bilgilerin bir liste yard›m›yla elde edilmesi veri say›s› artt›kça giderek zorlafl›r. Çünkü, her aflamada listedeki sonuçlar›n tekrar tekrar gözden geçirilmesi gerekir.

Konunun kolayl›kla anlafl›labilmesi için, derlenen verilerden hareketle s›ras›y- la basit, frekans ve s›n›fland›r›lm›fl serilerin elde edilmeleri afla¤›daki örnek temel al›narak gösterilecektir.

Tablo 2.2 Baz› illerin denizden

yükseklikleri.

Kaynak: Türkiye

‹statistik Y›ll›¤› 2000.

E¤er gözlem sonuçlar›, bir zaman de¤iflkeninin fl›klar›na göre s›ralan›rsa zaman, mekan de¤iflkeninin fl›klar›na göre s›ralan›rsa mekan, zaman ve mekan de¤iflkenlerinin d›fl›nda bir de¤iflkenin fl›klar›na göre s›ralan›rsa da¤›lma serileri elde edilir.

(27)

ÇÖZÜM

Tablo 2.3’de bir do¤um evinde do¤an 100 bebe¤in a¤›rl›klar›, do¤um s›ra- s›na göre verilmiﬂtir:

Do¤um A¤›rl›k Do¤um A¤›rl›k Do¤um A¤›rl›k Do¤um A¤›rl›k

S›ras› (kg) S›ras› (kg) S›ras› (kg) S›ras› (kg)

001 2.0 026 3.0 051 2.3 076 1.8

002 2.5 027 2.0 052 2.8 077 2.8

003 2.6 028 3.3 053 2.5 078 2.7

004 1.7 029 3.5 054 2.7 079 2.8

005 2.6 030 2.6 055 1.7 080 1.9

006 2.8 031 3.5 056 2.7 081 3.0

007 2.5 032 1.7 057 2.0 082 2.5

008 1.5 033 2.8 058 3.0 083 2.7

009 2.5 034 3.1 059 2.4 084 3.2

010 2.7 035 2.3 060 2.2 085 2.6

011 2.3 036 3.1 061 2.6 086 2.1

012 3.0 037 2.9 062 2.5 087 2.8

013 2.4 038 2.5 063 1.6 088 2.3

014 1.9 039 2.5 064 2,8 089 2.7

015 3.2 040 2.7 065 2.5 090 3.2

016 2.2 041 2.6 066 3.0 091 2.6

017 3.4 042 2.2 067 2.8 092 1.9

018 2.7 043 2.8 068 2.7 093 3.1

019 3.5 044 2.1 069 1.9 094 2.5

020 1.8 045 2.1 070 2.6 095 2.8

021 3.5 046 2.4 071 2,4 096 2.7

022 2.5 047 2,8 072 3.1 097 2.6

023 2.8 048 2.5 073 2.2 098 2.5

024 2.3 049 2.7 074 3.1 099 2.9

025 2.9 050 2.6 075 2.5 100 2.3

Tablo 2.3’de do¤an bebeklerin a¤›rl›klar› do¤um s›ras›na göre kaydedildi¤inden, oluﬂturulan tablo bir liste niteli¤indedir.

ﬁimdi bu listeden yararlanarak, 3.2 kg’›n üzerinde kaç bebe¤in do¤du¤u araﬂt›r›ls›n.

Verilen listenin incelenmesiyle gözlem (do¤um) s›ras›na göre, 017, 019, 021, 028, 029 ve 031’inci s›rada do¤an bebeklerin 3.2 kg’›n üzerinde oldu¤u görülür. Ancak bu sonuca ulaﬂabilmek için, listenin en az bir kez baﬂtan sona kadar gözden ge- çirilmesi gerekir.

E¤er liste belirlenen amaçlar do¤rultusunda düzenlenirse, baflka bir anlat›mla bir frekans da¤›l›m› oluflturulursa, istenilen sonuçlara daha k›sa zamanda ulafl›labilir. Örne¤in 3.2 kg’dan daha a¤›r do¤an bebek say›s›na, tüm veriler gözden ge- çirilmeden kolayl›kla ulafl›labilir. Böyle bir s›ralama sonucu elde edilen istatistik serisine “basit seri” ad› verilir.

100 bebe¤in a¤›rl›klar› hafiften a¤›ra do¤ru s›ralanarak oluflturulan basit seri afla¤›da Tablo 2.4’de verilmifltir.

Ö R N E K 1

Tablo 2.3 Bebek a¤›rl›klar› (kg) (Liste).

(28)

A¤›rl›k (kg)

1.5 1.9 2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2,8 2,9 3,1

1.6 2.0 2.3 2.5 2.5 2.6 2.7 2,8 3,0 3,2

1.7 2.0 2.3 2.5 2.5 2.6 2.7 2,8 3,0 3,2

1.7 2.1 2.3 2.5 2.5 2.6 2.7 2,8 3,0 3,3

1.8 2.1 2.3 2.5 2.6 2.7 2.7 2,8 3,0 3,4

1.8 2.1 2.3 2.5 2.6 2.7 2.8 2,8 3,1 3,5

1.9 2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2,8 3,1 3,5

1.9 2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2,9 3,1 3,5

Tablo 2.4 yard›m›yla, yap›lan gözlemler çerçevesinde en a¤›r do¤an bebeklerin say›s›n›n 4 oldu¤u bir bak›ﬂta kolayl›kla görülebilir.

E¤er en a¤›r do¤an bebekler de¤il de örne¤in 2.5 kg do¤an bebeklerin say›s›yla ilgilenilirse, 2.5 kg do¤an bebek say›s› tablodan tek tek say›larak elde edilebilecektir.

Aç›kça görülebilece¤i gibi gözlem say›s› artt›kça, istenilen bilgilere ulaﬂmak da giderek zorlaﬂacakt›r.

Tablo 2.4 incelendi¤inde, gözlem de¤erlerindeki tekrarlar dikkat çekecektir.

Verilerin daha kolay kavranmas› aç›s›ndan, gözlem de¤erlerinin yan›na gözlem de¤erinin kaç kez tekrarland›¤› kaydedilerek oluﬂturulan seriye “frekans serisi”, tekrarlara da “frekans” ad› verilir.

Tüm bu sözü edilenler do¤rultusunda oluflturulan frekans serisi afla¤›da verilmifltir:

A¤›rl›k (kg) Frekans

X f

1.5 1

1.6 1

1,7 3

1.8 2

1.9 4

2.0 3

2.1 3

2.2 4

2.3 6

2.4 4

2.5 14

2.6 10

2.7 11

2.8 12

2.9 3

3,0 5

3.1 5

3.2 3

3.3 1

3.4 1

3.5 4

Toplam Frekans 100

Tablo 2.4 Bebek a¤›rl›klar› (Basit Seri).

(29)

Yukar›daki frekans serisinden, örne¤in 2.5 kg do¤an bebeklerin say›s›n›n 14 oldu¤u bir bak›ﬂta görülebilmektedir.

Frekans serilerinin basit serilere göre kavranmalar› daha kolay olmakla birlik- te, yine de ayr›nt›l›d›r. Aç›kt›r ki, gözlem say›s› artt›kça bu tür serilerinde kavranmalar› giderek zorlaﬂ›r.

Deney ya da gözlem say›lar› çok iken, deney ya da gözlem sonuçlar›n›n belirli aral›klar (s›n›flar) içinde kalan fl›klara göre düzenlenmesiyle oluflturulan istatistik serisine s›n›fland›r›lm›fl ya da grupland›r›lm›fl seri ad› verilir. Örne¤in bir do-

¤um evinde dünyaya gelen 100 bebe¤in a¤›rl›klar› için farkl› büyüklükteki s›n›flara göre, aﬂa¤›daki gibi frekans da¤›l›mlar› oluﬂturulabilir:

A¤›rl›k S›n›flar› Frekanslar A¤›rl›k S›n›flar› Frekanslar

(kg) f (kg) f

1.50 - 1.75 5 1.2 - 1.7 2

1.75 - 2.00 6 1.7 - 2.2 15

2.00 - 2.25 10 2.2 - 2.7 38

2.25 - 2.50 10 2.7 - 3.2 36

2.50 - 2.75 35 3.2 - 3.7 9

2.75 - 3.00 15 100

3.00 - 3.25 13 3.25 - 3.50 2 3.50 - 3.75 4 100

S›n›fland›r›lm›fl seriler oluflturulurken dikkat edilmesi gereken önemli bir nokta, e¤er sürekli bir de¤iflkene iliflkin gözlem de¤erleri s›n›fland›r›l›yorsa, her s›n›- f›n üst s›n›r›yla onu izleyen s›n›f›n alt s›n›r› aras›ndaki fark›n sonsuz küçük olacak flekilde oluflturulmas› gere¤idir. Örne¤in yukar›daki s›n›fland›r›lm›fl serilerin ilkin- de 2.50 - 2.75 s›n›f› göz önüne al›ns›n. 2.50 dahil olmak üzere 2.75’den küçük tüm gözlem de¤erleri bu s›n›f içinde, 2.75 dahil olmak üzere 3.00’den küçük tüm göz- lem de¤erleri de izleyen s›n›f içinde yer almal›d›r.

E¤er gözlem de¤erleri sürekli olmayan (kesikli) bir de¤iflkene iliflkinse, örne¤in 100 ö¤rencinin istatistik dersinden ald›¤› notlar afla¤›daki gibi s›n›fland›r›labilir:

Not S›n›flar› Frekanslar

(Puanlar) f

0-15 1

16-31 10

32-47 33

48-63 34

64-79 10

80-95 10

96 ve daha çok 2

100

(30)

ÇÖZÜM

Bir s›n›f›n alt ve üst s›n›rlar› aras›ndaki farka, “s›n›f aral›¤›” ya da “s›n›f büyük- lü¤ü” ad› verilir ve h ile gösterilir. Yukar›daki not da¤›l›m› örne¤inde s›n›f büyük- lü¤ü 15 puand›r. Dikkat edilirse ayn› seride son s›n›f, 96 ve daha çok olarak yer alm›flt›r. Bu durum en büyük puan›n 100 olmas›ndan kaynaklanm›flt›r. E¤er s›n›f- land›rmaya ayn› sistematikle devam edilmifl olsayd›, son s›n›f›n 96 - 111 biçimin- de olmas› gerekirdi. Bafllang›ç ve bitifl s›n›rlar› belirtilmeyen bu tür s›n›flara “aç›k s›n›flar” denir. Aç›k s›n›flar›n kullan›lmalar› halinde, en küçük ya da en büyük de-

¤er bilinemeyece¤inden baz› hesaplamalarda ve grafik çizimlerinde güçlüklerle karﬂ›laﬂ›lacakt›r. Herhangi bir zorunluluk olmad›kça, aç›k s›n›flar›n kullan›lmas›n- dan kaç›n›lmal›d›r.

Kuramda s›n›flar›n oluﬂturulmas›na iliﬂkin kesin bir kural yoktur. S›n›f say›s›n›

do¤rudan araflt›rmac› belirler. Ancak s›n›f say›s›n›n, karfl›lafl›lan özel problemin yap›s›na ve araflt›rman›n amaçlar›na uygun bir biçimde belirlenmesi gerekir.

E¤er s›n›flama yap›l›rken s›n›f aral›¤› dar seçilirse, s›n›f say›s› artar ve frekans da¤›l›m›n›n kavranmas› giderek zorlaﬂ›r. Aksi durumdaysa, s›n›f say›s› azal›r. An- cak da¤›l›ma iliﬂkin baz› ayr›nt›lar gizli kal›r.

Uygulamalarda bir frekans da¤›l›m›na iliﬂkin s›n›f say›s›n›n 7 - 20 ya da 10 - 30 aras›nda olmas›n›n uygun sonuçlar verdi¤i görülmüﬂtür.

Gerçekte verilerin s›n›fland›r›lmas› çok say›daki verinin kavranmas›n› büyük ölçüde kolaylaﬂt›r›rken, baz› bilgi kay›plar›na da neden olur. Örne¤in 100 bebe-

¤in a¤›rl›klar›na iliflkin frekans serisinden 2.6 kg do¤an bebek say›s›n›n do¤rudan 10 bebek oldu¤u görülebilir. Buna karfl›n ayn› veri s›n›fland›r›ld›¤›nda, s›n›fland›- r›lm›fl seride do¤rudan kaç bebe¤in 2.6 kg olarak do¤du¤u görülemez. ‹lgili veriye iliflkin ilk s›n›fland›r›lm›fl seri göz önüne al›nd›¤›nda 2.6 kg, 2.50 - 2.75 s›n›f›n›n içinde yer almakta ve bu s›n›f›n frekans› da 35 olarak görülmektedir. Gerçekte 2.50 - 2.75 s›n›f›nda, 2.50 ve 2.7499... kg do¤an tüm bebekler yer almaktad›r.

S›n›fland›r›lm›fl serilerde s›n›flar› temsil edebilecek de¤iflken de¤erinin ne olaca¤› da bir sorun olarak ortaya ç›kar. Uygulamada gözlem de¤erlerinin ilgili s›n›f içinde düzgün da¤›ld›¤› varsay›larak s›n›f orta noktalar›, ilgili s›n›fa iliflkin de¤iflken de¤eri olarak kabul edilir.

Konuyla ilgili olarak aﬂa¤›daki örne¤i dikkatlice gözden geçiriniz.

Afla¤›da verilen frekans da¤›l›m›nda, ilgili s›n›flara karfl› gelen de¤iflken de¤erlerini belirleyiniz.

S›n›flar f

0 – 4 4

4 – 8 10

8 – 12 17

12 – 16 25

16 – 20 14

20 – 24 6

24 – 28 4

80

S›n›f orta noktalar› ilgili s›n›flara iliflkin de¤iflken de¤eri olaca¤›ndan, her s›n›f›n orta noktas› ilgili s›n›fa de¤iflken de¤eri olarak atan›r.

Ö R N E K 2

(31)

ÇÖZÜM

S›n›f Orta Noktalar›

S›n›flar f X

0 – 4 4 (0+4) / 2 = 2

4 – 8 10 (4+8) / 2 = 6

8 – 12 17 (8+12) / 2 = 10

12 – 16 25 (12+16) / 2 = 14

16 – 20 14 (16+20) / 2 = 18

20 – 24 6 (20+24) / 2 = 22

24 – 28 4 (24+28) / 2 = 26

80

Birikimli Seriler

Bir frekans da¤›l›m›nda, her s›n›f›n frekans›na bir önceki s›n›f›n frekans› eklenerek oluﬂturulan seriye “birikimli seri”, bu tür oluﬂturulan frekanslara da “birikimli frekanslar” ad› verilir.

Birikimli seriler, küçükten büyü¤e ya da büyükten küçü¤e do¤ru oluflturulabi- lirler. E¤er birikimli seriler küçükten büyü¤e do¤ru oluflturulmuflsa “-den az”, bü- yükten küçü¤e do¤ru oluflturulmuflsa “-den çok” olarak isimlendirilirler.

Bir do¤um evinde do¤an 100 bebe¤e iliflkin s›n›fland›r›lm›fl seriyi ele alarak küçükten büyü¤e ve büyükten küçü¤e do¤ru birikimli serileri oluflturunuz.

A¤›rl›k S›n›flar› Frekanslar

(kg) f (-den az) (-den çok)

1.50 - 1.75 5 5 95 + 5 = 100

1.75 - 2.00 6 6 + 5 = 11 85 + 6 = 95

2.00 - 2.25 10 10 + 11 = 21 79 + 10 = 89

2.25 - 2.50 10 10 + 21 = 31 69 + 10 = 79

2.50 - 2.75 35 35 + 31 = 66 34 + 35 = 69

2.75 - 3.00 15 15 + 66 = 81 19 + 15 = 34

3.00 - 3.25 13 13 + 81 = 94 6 + 13 = 19

3.25 - 3.50 2 2 + 94 = 96 4 + 2 = 6

3.50 - 3.75 4 4 + 96 = 100 4

100

Birikimli seriler, uygulamada, genellikle gözlem de¤erlerinin büyüklüklerine göre kaç›nc› s›rada yer ald›klar›n›n belirlenmesinde kullan›l›r. Yukar›daki örnekte bebeklerin a¤›rl›k s›n›flar› göz önüne al›n›rsa -den az serisi yard›m›yla, 66 bebe¤in a¤›r- l›klar›n›n 2.75 kg’dan daha az oldu¤u bir bak›ﬂta görülebilir. Ayr›ca den çok serisi yard›m›yla da 34 bebe¤in 2.75 kg’dan daha a¤›r do¤du¤u do¤rudan görülebilir.

Konuyu yeterince pekiﬂtirebilmek için aﬂa¤›daki örne¤i dikkatlice gözden geçiriniz.

Bir frekans da¤›l›m›nda, her s›n›f›n frekans› kendinden önceki s›n›f›n frekans›na eklenerek oluﬂturulan seriye

“birikimli seri”, bu tür frekanslara da “birikimli frekanslar” denilir.

Ö R N E K 3

(32)

ÇÖZÜMÇÖZÜM

Ö R N E K 4

Ö R N E K 5

S›n›flar -den az

0 – 5 4

5 – 10 6

10 – 15 16

15 – 20 31

20 – 25 51

25 – 30 63

30 - 35 70

serisi verilmiﬂtir.

a. Serideki toplam gözlem say›s›n› belirleyiniz.

b. Say›sal de¤eri 25’den küçük gözlem say›s›n› belirleyiniz.

c. Say›sal de¤eri 15 ve 15’den büyük, 30’dan küçük gözlem say›s›n›

belirleyiniz.

a. Verilen seriye göre say›sal de¤eri 35’den küçük olan gözlem say›s› 70 oldu¤undan, toplam gözlem say›s› 70’dir.

b. Say›sal de¤eri 25’den küçük gözlem say›s› 51’dir.

c. Say›sal de¤eri 30’dan küçük gözlem say›s› 63 ve say›sal de¤eri 15’den küçük gözlem say›s› 16 oldu¤undan, say›sal de¤erleri 15 ile 30 aras›ndaki gözlem sa- y›s› 63 - 16 = 47 olarak elde edilir.

-den az ve -den çok serileri, frekans serileri için de oluﬂturulabilir.

Aﬂa¤›da verilen frekans serisi için -den az ve -den çok serilerini oluﬂturunuz.

X f

5 3

10 5

15 8

20 6

25 3

30 5

30

X f (-den az) (-den çok)

5 3 3 30

10 5 8 27

15 8 16 22

20 6 22 14

25 3 25 8

30 5 30 5

30

(33)

ÇÖZÜM

Bileﬂik Seriler

Birimlerin birden fazla de¤iﬂkene göre da¤›l›mlar›n› bir arada gösteren serilere

“bileflik seri” ad› verilir. Bir bileflik seri oluflturulurken, ilk sütunda bir de¤iflkenin gözlem de¤erleri büyüklük s›ras›na göre yaz›l›rken, di¤er sütunlarda da ilgili de-

¤iﬂkenlerin ilk de¤iﬂkene göre durumlar› yer al›r.

Bir s›n›ftan rasgele seçilen 5 ö¤rencinin boy uzunluklar› ve a¤›rl›klar›

aﬂa¤›daki gibidir:

Uzunluk (m) A¤›rl›k (kg)

Ö¤renci Gözlem No X Y

1 1.72 68

2 1.68 70

3 1.80 76

4 1.74 73

5 1.76 71

‹lgili frekans da¤›l›m›n› oluﬂturunuz.

Verilen problemde birim ö¤rencidir. Boy uzunlu¤u ve a¤›rl›k ise ayn› birim üze- rinde tan›mlanm›fl iki farkl› de¤iflkendir. Bu duruma göre ilgili frekans da¤›l›m›, bir bileflik seri biçiminde oluflturulmal›d›r.

Uzunluk ba¤›ms›z, a¤›rl›k da ba¤›ml› de¤iﬂken olarak al›nd›¤›nda, istenilen frekans da¤›l›m› aﬂa¤›daki gibi olmal›d›r.

Uzunluk (m) A¤›rl›k (kg)

X Y

1.68 70

1.72 68

1.74 73

1.76 71

1.80 76

E¤er a¤›rl›k ba¤›ms›z, uzunluk da ba¤›ml› de¤iflken olarak al›n›rsa, ayn› veriye iliflkin bileflik seri;

A¤›rl›k (kg) Uzunluk (m)

Y X

68 1.72

70 1.68

71 1.76

73 1.74

76 1.80

biçiminde oluﬂturulur.

Ö R N E K 6

Birden fazla de¤iﬂkenin da¤›l›mlar›n› bir arada gösteren serilere “bileﬂik seri” ad› verilir.

(34)

1. Frekans da¤›l›m› kavram›n› aç›klay›n›z.

2. Bir radar taraf›ndan gelifl s›ras›na göre 50 araban›n h›z› (km/saat) afla¤›daki gibi ölçülmüfltür:

82.7 105.6 127.5 107.3 112.2 131.0 105.5 87.9 114.1 116.7

88.4 99.8 101.8 86.5 92.4 80.6 82.4 97.6 125.0 137.0

130.2 87.5 95.6 83.9 94.2 117.3 95.5 120.4 85.7 121.5

103.5 83.0 96.2 95.1 99.9 97.1 134.2 136.3 133.9 81.4

91.3 93.6 88.8 136.0 108.2 129.3 139.1 83.6 97.5 113.1

Yukar›daki veri kümesini kullanarak s›n›f büyüklü¤ü 5 km/saat ve ilk s›n›f da 80 – 85 olacak biçimde bir frekans da¤›l›m› oluﬂturunuz (NOT: H›z›n sürekli bir de¤iﬂken ol- du¤una dikkat ediniz).

3. Bir X de¤iflkenine iliflkin 50 gözlem de¤eri gözlem s›ras›na göre afla¤›da verilmifltir:

11 5 18 38 13 7 32 20 14 6

3 16 36 19 27 9 16 47 9 20

12 11 24 21 42 43 19 49 28 15

9 3 13 42 5 12 27 32 41 48

6 7 44 4 23 29 41 8 40 5

Yukar›daki veri kümesini kullanarak ve ilk s›n›f 2 – 6 olacak flekilde bir frekans da¤›l›m› oluflturunuz (NOT: X de¤iflkeninin kesikli bir de¤iflken oldu¤una dikkat ediniz).

SER‹LER‹N GRAF‹KLE GÖSTER‹LMES‹

‹statistik serilerinin grafiklerini çizebileceksiniz.

Da¤›lma serilerine iliflkin grafikler gözden geçirilirken önce frekans ve s›- n›fland›r›lm›fl serilerin, sonra da birikimli ve bileflik serilerin grafiklerine de¤inilecektir.

Frekans Serilerinin Grafikle Gösterilmesi

An›msanaca¤› gibi, frekans serileri biri gözlem de¤erleri di¤eri de gözlem de¤erlerine karfl› gelen frekanslar› gösteren iki sütundan oluflur. Frekans serilerinde frekanslar gözlem de¤erlerine göre de¤iflti¤inden gözlem de¤erleri yatay eksende, frekanslarsa dik eksende gösterilir. Grafik, yatay eksende belirlenen de¤erlerden uzunluklar› ilgili frekanslar kadar olan dik do¤ru parçalar›yla oluflturulur. Bu tür grafiklere “çubuk grafik” ad› verilir.

S I R A S ‹ Z D E

A M A Ç