Sistematik örneklemede örnekleme girecek birimler nas›l seçilir, aç›klay›n›z

ÖRNEKLEME DA⁄ILIMI

Örnekleme da¤›l›m› kavram›n› aç›klayabileceksiniz.

Buraya kadar yap›lan aç›klamalarda, bir istatistiksel araflt›rmada önemli amaçlar-dan birinin de ele al›nan ana kütlenin ilgilenilen özelliklerini belirlemek oldu¤u, tamsay›m›n mümkün olmad›¤› durumlardaysa bunun uygun bir örneklem yard›-m›yla nas›l gerçeklefltirilebilece¤i ve uygun örnekleminde nas›l seçilebilece¤i ko-nular› ele al›nd›.

Daha önce de de¤inildi¤i gibi, bir ana kütleye iliflkin say›sal karakteristiklere parametre ad› verilir ve bir parametre genel olarak

q

simgesiyle gösterilir. Daha aç›k bir anlat›mla, parametre tam say›mla elde edilen x₁, x₂ , ... , x_N ölçümleri-nin kullan›lmas›yla hesaplanan ve ana kütle hakk›nda bilgi üreten say›sal karak-teristiklerin genel ad›d›r. Tamsay›m›n yap›lamad›¤› durumlarda hesaplanamayan

q

parametresine iliflkin bilgi,

q

’ya iliflkin bilgi üreten örneklem istatistiklerinden yararlan›larak elde edilebilir. Örneklem istatistikleri genel olarak simgesiyle gösterilir. Örneklem istatisti¤i ya da sadece istatistik, rassal olarak seçilen n hacim-li örneklemden elde edilen x₁, x₂ , ... , x_N gözlem de¤erlerinin kullan›lmas›yla hesaplanan, say›sal karakteristiklerin genel ad›d›r.

Örnekleme sürecinde rassal olarak seçilen n hacimli bir örneklem için hesap-lanan istatistikler, bafllang›çta kendi bafl›na bir anlam ifade etmezler ve sadece ait olduklar› örneklem için bilgi niteli¤indedirler. Çünkü incelenen bu n hacimli ör-neklem birbirinden farkl› ayn› hacimli mümkün örör-neklemlerden sadece biridir ve her mümkün farkl› örneklem için hesaplanan istatistikler birbirinden farkl› de¤er-lere sahip olabilirler. Bu nedenle, örneklem istatistiklerinden yararlanarak, ana kütle parametreleri hakk›nda bilgi üretme sürecinde, bir örnekleme plan›nda ras-sal olarak seçilen n hacimli bir örneklemin hesaplanan istatistiklerinden de¤il, o istatistiklerin mümkün örneklemlerde alaca¤› de¤erlerin da¤›l›m›ndan, bu da¤›l›-m›n özelliklerinden ve fleklinden yararlan›l›r. Bir baflka ifadeyle, örneklem istatis-tiklerinden yararlanmak suretiyle ana kütle parametreleri hakk›nda bilgi nas›l üre-tilir sorusunun yan›t› için bilinmesi gereken en önemli kavram, örneklem

istatisti-¤inin örnekleme da¤›l›m› ya da sadece örneklem da¤›l›m› kavram›d›r.

q

Ö R N E K 1 2

S I R A S ‹ Z D E

A M A Ç

5

N hacimli bir ana kütleden rassal olarak seçilebilecek n hacimli mümkün bü-tün örneklemlerin seçildi¤i ve her örneklem için istatisti¤i hesapland›¤› varsa-y›ld›¤›nda istatistikleri hesaplanm›fl olur. Hesaplanm›fl olan is-tatistiklerinin da¤›l›m›na, bu istatisti¤in örnekleme da¤›l›m› ad› verilir.

Örnekleme planlar›nda ilgili ana kütleden rassal olarak çekilen n hacimli sa-dece bir tek örneklem gözönüne al›n›r ve bu örnekleme iliflkin istatistik hesapla-n›r. Bu durumda örnekleme da¤›l›m› tan›m›, oluflturulacak n hacimli basit rassal örneklemden elde edilecek olan x₁ , x₂, ... , x_n gözlem de¤erlerinin , X₁ , X₂ , ... , X_n rassal de¤iflkenlerinin gözlenen de¤erleri oldu¤u ve bu gözlem de¤er-lerini kullanarak hesaplanan istatisti¤inin de bir rassal de¤iflken oldu¤u

gerçe-¤inden kaynaklanmaktad›r. Buna göre örnekleme da¤›l›m›, bir rassal de¤iflken olan istatisti¤inin olas›l›k da¤›l›m›d›r.

Çeflitli amaçlar için örnekleme yapmaya karar verildi¤i zaman, dikkatlerin en çok odaklaflt›¤› parametreler ana kütle aritmetik ortalamas› m ve ana kütle oran› ^∏ olmaktad›r. Bu nedenle, izleyen bölümlerde bu parametreler hakk›nda bilgi üre-ten örneklem istatistiklerinin, s›ras›yla örneklem aritmetik ortalamas› ’n›n ve ör-neklem oran› p’nin örör-nekleme da¤›l›mlar› ve özellikleri ele al›nacakt›r.

Örneklem Ortalamas› ’n›n Örnekleme Da¤›l›m›

Ana kütle aritmetik ortalamas› m , ilgili ana kütleye iliflkin önemli bir say›sal ka-rakteristiktir. m , N hacimli sonlu ana kütlelerde tam say›m yap›ld›¤›nda gözlem de¤erleri x₁, x₂, ... , x_n olarak gösterildi¤inde,

eflitli¤iyle hesaplan›r.

X s›n›f›nda 4 ö¤renci bulunsun. Bu ö¤rencilerin simgesel isimleri ve bafla-r› puanlabafla-r› Tablo-1 de verilmifltir. Ana kütle aritmetik ortalamas›n› he-saplay›n›z.

Tamsay›m›n yap›lamad›¤› ve örneklemeye baflvuruldu¤u durumlarda aç›kt›r ki µ hesaplanamaz. Bu durumda µ hakk›nda bilgi üretme sorunuyla karfl›lafl›l›r. Bu sorunun çözümlenebilmesi için, rassal olarak seçilen n hacimli bir örneklem için hesaplanan örneklem aritmetik ortalamas› ve bu istatisti¤in da¤›l›m›ndan yararla-n›l›r. Örneklemden elde edilen gözlem de¤erleri x₁, x₂, ... , x_n ise,

Ö¤renci Ad› Baflar› Puan›

A 90

B 80

C 60

D 70

formülü ile hesaplan›r.

Yukar›daki örnek tekrar göz önüne al›ns›n. N=4 ö¤renci olan ana kütleden ba-sit rassal örneklemeyle A ve D isimli ö¤rencilerin seçilmesiyle n=2 ö¤renci olan bir rassal örneklem seçildi¤inde, örneklemdeki ö¤rencilerin baflar› puan› ,

olarak bulunur.

Örnek 1’de verilen sonlu ana kütleden n=2 birim olan birbirinden farkl›

mümkün tüm basit rassal örneklemleri oluflturunuz ve her örneklem için aritmetik ortalamay› hesaplay›n›z.

4 birimden 2 birim, farkl› flekillerde seçilir. Sonuçlar afla¤›daki tabloda verilmifltir:

Yukar›daki örnekte ilgilenilen ana kütledeki birim say›s› az oldu¤u için ’›n örnekleme da¤›l›m› kolayl›kla oluflturulabilir. Ancak, uygulamada, ilgilenilen ana kütleden elde edilecek mümkün tüm örneklemleri ve bunlara iliflkin aritmetik or-talamalar› hesaplamak hem çok külfetli hem de anlams›zd›r. Bunun yerine bir rassal de¤iflken olarak al›n›p onun kuramsal da¤›l›m›ndan yararlan›l›r. Bir tan›m vermek gerekirse, bir ana kütleden ayn› hacimde seçilebilecek mümkün her ör-neklem için farkl› de¤erler alabilen rassal de¤iflkeninin da¤›l›m›na, ’›n örnek-leme da¤›l›m› ad› verilir.

Belirlenen her örneklem hacmi için, ’›n farkl› örnekleme da¤›l›m› vard›r.

’›n örnekleme da¤›l›m›, rassal de¤iflkeninin ortalamas› ve standart sapmas› (stan-dart hata) ile belirlenir.

Ortalama Ve Standart Hata

Örneklem hacmi artt›kça, ’›n örnekleme da¤›l›m›n›n ortalamas› ana kütle arit-metik ortalamas› µ’ye yaklafl›r. ’›n beklenen de¤eri (ya da ayn› anlama gelen

’›n örnekleme da¤›l›m›n›n ortalamas›) E( ) ile gösterilirse, E( ) = µ

olur.

’›n örnekleme da¤›l›m›n›n standart sapmas› (standart hata), örneklem hacmi artt›kça küçülür. ’›n standart sapmas› simgesiyle gösterilir ve ’›n örnekle-me da¤›l›m›n›n de¤iflkenli¤ini ölçer. , basit rassal örneklemede,

s

x

= s

Örneklem No Örneklem Birimleri Gözlem De¤erleri Örneklem Ortalamalar›

1 A,B 90,80 85

eflitli¤i ile hesaplan›r. Standart hatan›n karesi, örnekleme da¤›l›m›n›n varyans›n›

ifade eder ve simgesiyle gösterilir. Eflitlikten de anlafl›labilece¤i gibi, standart hata, ana kütle standart sapmas›

s

’ya ve örneklem hacmi n’e ba¤l›d›r. Bir baflka ifadeyle, ana kütle de¤iflkenli¤i büyükse, herhangi bir n hacimli örneklem için

’›n örneklem da¤›l›m›n›n de¤iflkenli¤i büyük olur. Örneklem hacmi büyüdükçe daha do¤ru ve güvenilir bilgi üretme olana¤› da artar. Öte yandan, standart hata ile örneklem hacminin kare kökü aras›nda ters bir iliflki oldu¤u için, örneklem hacmini artt›rmak suretiyle standart hatay› azaltmak baz› güçlüklere yol açar. Ör-ne¤in; örneklem hacmi n=100 birim iken, ’›n standart sapmas›n› yar›ya indire-bilmek için örneklem hacmi 4 kat artt›r›lmal›d›r.

Ana kütle standart sapmas› genellikle bilinmedi¤inden, hesaplan›rken

s

yerine onun yans›z bir tahminleyicisi olan örneklem standart sapmas› s kullan›l›r.

Bu durumda standart hata simgesiyle de¤il simgesiyle gösterilir ve

ile hesaplan›r.

Örneklem standart sapmas› da,

fleklinde hesaplan›r.

E¤er ilgilenilen ana kütle sonlu bir ana kütle ve örnekleme oran› n/N ≥ 0.05 ise, standart hata hesaplan›rken fleklindeki bir çarpan, düzeltme faktörü ola-rak kullan›l›r.

Basit rassal örneklemede örneklem hacmi artt›kça, ’›n örnekleme da¤›l›m›

normal da¤›l›ma yaklafl›r. Bu sonuca, istatistikte önemli bir yeri olan, afla¤›daki te-orem yard›m›yla ulafl›l›r.

Belgede TC. ANADOLU ÜN VERS TES YAYINI NO: 1448 AÇIKÖ RET M FAKÜLTES YAYINI NO: 771 STAT ST K (sayfa 196-199)