Duyarl› Ortalamalar

Duyarl› ortalamalar, serideki tüm gözlem de¤erlerinden etkilenen ortalamalard›r.

Bu ünitede duyarl› ortalamalardan sadece aritmetik, geometrik ve kareli orta-lamalar ele al›nacakt›r.

Aritmetik Ortalama

Aritmetik ortalama, bir seriyi oluflturan gözlem de¤erleri toplam›n›n, gözlem say›s›na oran› olarak tan›mlan›r.

Seriyi oluflturan gözlem de¤erleri x₁, x₂, ..., x_n aritmetik ortalama da ile

Ortalama, bir seride en küçük de¤erle en büyük de¤er aras›nda yer al›r.

(X_min< ortalama < X _max)

Bir seride aritmetik ortalama, seriyi oluflturan gözlem de¤erleri toplam›

gözlem say›s›na bölünerek hesaplan›r.

ÇÖZÜM

Ö R N E K 1

x = 6930

∑

Ö R N E K 2

ÇÖZÜM

En kolay hesaplanan ve en çok kullan›lan ortalama, aritmetik ortalamad›r.

E¤er ne tür oldu¤u belirtilmeden bir ortalamadan söz ediliyorsa, muhtemelen kas-tedilen aritmetik ortalamad›r.

Yukar›da verilen 9 dairelik apartmanda oturan ailelerin normal gelirini, aritmetik ortalama kullanarak hesaplay›n›z.

X, ailelerin ayl›k gelirlerini göstermek üzere gelirlerden oluflan basit seri afla¤›da-ki gibi olacakt›r :

x (milyon TL) 520 580 670 700 700 700 860 1000 1200

Ailelerin toplam geliri 6930 milyon TL oldu¤undan tan›m do¤rultusunda, toplam gelir aile say›s›na bölünerek ortalama gelir,

olarak hesaplan›r.

Afla¤›da verilen basit serinin aritmetik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

Gözlenen de¤erlerin toplam› 85 ve gözlem say›s› da 5 oldu¤undan

olarak hesaplan›r.

x =

∑

x n = 85

5 = 17 x =

∑

x

n = 6930

9 = 770 milyon TL

x 10 13 16 20 26 85

ÇÖZÜM

Öte yandan frekans serilerinde her gözlem de¤eri frekans› kadar

tekrarland›-¤›ndan, aritmetik ortalama hesaplan›rken gözlem de¤erleri frekanslar›yla çarp›la-rak toplan›r ve bu sonuç frekanslar toplam›na bölünür.

Afla¤›daki örne¤i dikkatle inceleyiniz.

Afla¤›da verilen frekans serisinin aritmetik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

Verilen seri, 2 tane 10, 3 tane 12, 6 tane 15, 4 tane 19 ve 1 tane de 21 de¤e-rinden oluflmufltur.

16 gözlem de¤erinin toplam›,

olarak elde edilir.

Bu toplam, gözlem de¤eri frekanslar ile çarp›larak afla¤›daki gibi kolayl›kla elde edilebilir.

Hesaplanan gözlem de¤erleri toplam› , frekanslar toplam›na bö-lünerek aritmetik ortalama,

olarak hesaplan›r.

Örnekten de görülebilece¤i gibi, frekans serilerinde aritmetik ortalama,

ile hesaplan›r.

Ö R N E K 4

x f

10 12

15 20

20 25

25 25

30 15

35 3

100

ÇÖZÜM

x =

∑

xf

∑

f

= 2100 100 = 21

Ö R N E K 5

S›n›flar f

10 -14 4

14 - 18 5

18 -22 8

22 - 26 6

26 -30 2

∑

f ^{= 25}

Afla¤›da verilen serinin aritmetik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

x f xf

10 12 120

15 20 300

20 25 500

30 25 625

35 15 450

30 3 105

100 2100

olarak elde edilir.

Aritmetik ortalama s›n›fland›r›lm›fl serilerde de frekans serilerinde oldu¤u gibi he-saplan›r. Ancak dikkat edilmesi gereken, de¤iflken de¤erleri olarak s›n›f orta nok-talar›n›n al›nmas›d›r.

Afla¤›da verilen serinin aritmetik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

ÇÖZÜM

Ö R N E K 6

x f u

23 1 23

25 25 25

26 26 26

28 28 100

102 80 174

ÇÖZÜM

∑

xf ^{= 488}

∑

f ^{= 25}

x =

∑

xf

∑

f

= 488

25 = 19,52

S›n›flar f x xf

10 - 14 4 12 48

14 - 18 5 16 80

18 - 22 8 20 160

22 - 26 6 24 144

26 - 30 2 28 56

Buradan,

olarak elde edilir.

Ancak dikkat etmek gerekir ki, s›n›flamadaki kay›plar nedeniyle, s›n›fland›r›lm›fl serilerde aritmetik ortalama, yaklafl›k olarak hesaplanabilmektedir.

Aritmetik Ortalaman›n Özellikleri

• Aritmetik ortalama duyarl› bir ortalamad›r ve serideki afl›r› de¤erlerden do¤ru-dan etkilenir.

Aritmetik ortalama afla¤›daki serilerin hangisinde daha temsilidir?

Görülece¤i gibi serideki bir tek de¤erin de¤iflmesi bile, ortalamay› etkilemektedir.

x serisinin ortalamas› seriyi oluflturan gözlem de¤erlerine oldukça yak›n, baflka bir anlat›mla temsil yetene¤i daha yüksektir. y ve u serilerinde ise gözlem de¤erle-rindeki afl›r› k›ymetlerin büyüklü¤üne ba¤l› olarak, ortalamalar›n temsil yetene¤i azalm›flt›r.

x =

∑

x n = 102

4 = 25.5

y =

∑

y n = 80

4 = 20.0

u =

∑

u n = 174

4 = 43.5

• Gözlem de¤erlerinin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalar›n›n toplam› s›f›rd›r.

Baflka bir anlat›mla olur.

Bu özellik afla¤›daki örnek üzerinde gösterilmifltir :

E¤er verilen seri bir frekans serisiyse, her gözlem de¤erinden aritmetik ortala-ma ç›kart›l›r ve ilgili gözlem de¤erinin frekans›yla çarp›ld›ktan sonra, toplam

de-¤er hesaplan›r. ‹fllemler afla¤›daki örnek üzerinde gösterilmifltir :

• Gözlem de¤erlerinin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalar›n›n kareleri top-lam› minimumdur.

Bu özellik de afla¤›daki örnek üzerinde gösterilmifltir:

x =

∑

xf

f = 1150

16 = 71.875 x =

∑

x

n = 150 5 = 30

xi - x = 0

∑

i=1 n

Ö R N E K 7

x

10 10 - 30 = -20

20 20 - 30 = -10

30 30 - 30 = 00

40 40 - 30 = 10

50 50 - 30 = 20

150

x -x

x - x

∑

^{= 00}

Ö R N E K 8

x f xf (x - ) (x - ) f

50 1 50 50 - 71.875 = -21.875 -21.875

60 3 180 60 - 71.875 = -11.875 -35.625

70 6 420 70 - 71.875 = -1.875 -11.250

80 4 320 80 - 71.875 = 8.125 32.500

90 2 180 90 - 71.875 = 18.125 36.250

16 1150 -68.750

68.750 x x

x - x

∑

^{= 00,000}

Verilen X serisinde, aritmetik ortalamadan daha küçük (25) ya da daha büyük bir de¤er (40) ç›kart›l›rsa sonuçlar,

olarak elde edilir.

Aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalar›n kareleri toplam› 1000’dir. Ancak bu ortalamadan küçük (25) ve büyük (40) de¤erler ç›kart›ld›¤›nda, görülece¤i gibi cebirsel sapmalar›n kareleri toplam› 1000’den büyük ç›kmaktad›r.

Tart›l› Aritmatik Ortalama

E¤er bir seriyi oluflturan gözlem de¤erleri aras›nda önem derecesine göre farklar varsa ve bu farklar ortalama hesab›nda göz önüne al›nmak isteniyorsa, böyle du-rumlarda tart›l› ortalama hesaplan›r.

t, tart›y› ’de tart›l› aritmetik ortalamay› göstermek üzere, tart›l› aritmetik or-talama basit serilerde,

frekans ve s›n›fland›r›lm›fl serilerde ise,

eflitlikleriyle hesaplan›r.

xt =

™

xtf

™

tf xt =

™

xt

™

t xt

x - 25 ²

∑

^{= 1125 ve}

∑

^{x - 402 = 1500}

x = 30

Ö R N E K 9

x (x - ) (x - )²

10 -20 400

20 -10 100

30 00 000

40 10 100

50 20 400

x x

x - x ²

∑

^{= 1000}

x x - 25 (x - 25)2 (x - 40) (x - 40)2

10 -20 225 -30 900

20 -5 25 -20 400

30 5 25 -10 100

40 15 225 00 000

50 25 625 10 100

x - 25 ²

∑

^{= 1125}

∑

^{x - 40 2 = 1500}

Gözlem de¤erleri aras›ndaki önem derecesine göre farklar, ortalama hesaplan›rken göz önüne al›nmak istenirse, tart›l›

ortalama hesaplanmal›d›r.

‹ktisadi ve ‹dari Bilimler Fakültesi ‹flletme Bölümü’ndeki birinci s›n›f ö¤-rencisinin güz döneminde ald›¤› dersler, baflar› notlar›, baflar› notlar›n›n katsay›lar› ve kredi de¤erleri afla¤›da verilmifltir:

Ö¤rencinin dönem not ortalamas›n› katsay› cinsinden hesaplay›n›z.

Dersler Baflar› Notlar› Katsay›lar Kredi De¤erleri xt

Genel Matematik I AA 4.0 5 20.0

Türkçe I AB 3.7 2 7.4

Makro Ekonomi I CC 2.0 3 6.0

Genel iflletme BC 2.7 3 8.1

A.‹.‹.T AB 3.7 2 7.4

15 48.9

olarak hesaplan›r.

Tart›l› ortalamalarda tart›lar›, gözlem de¤erlerini önem derecesine göre farkl›

k›lan de¤erler oluflturur. Tart› kavram›yla ilgili olarak afla¤›daki örne¤i dikkatle gözden geçiriniz.

Matematik, ‹statistik, Fizik, Kimya ve Biyoloji bölümlerinden oluflan bir Fen Fakültesinde, tüm bölümlerin birinci s›n›flar›na güz döneminde veri-len Genel Matematik I dersinin birinci ara s›nav sonuçlar›na iliflkin bölüm baflar› ortalamalar› afla¤›da verilmifltir:

Genel Matematik I dersinin fakülte düzeyindeki baflar› ortalamas›n›

bulunuz.

xt =

∑

xt

∑

t ⁼ 48,9

15 = 3.26 Ö R N E K 1 0

Dersler Baflar› Notlar› Katsay›lar Kredi De¤erleri

Genel Matematik I AA 4.0 5

Türkçe I AB 3.7 2

Makro Ekonomi I CC 2.0 3

Genel iflletme BC 2.7 3

A.‹.‹.T AB 3.7 2

15

Ö R N E K 1 1

Bölümlerin Bölümlerin Ö¤renci

Bölümler Baflar› Ortalamalar› Say›lar›

f

Matematik 70 70

‹statististik 65 60

Fizik 68 50

Kimya 50 40

Biyoloji 50 25

x

ÇÖZÜM

Bölümler Baflar› Ortalamas› Ö¤renci Say›s›

f xf

Matematik 70 70 4900

‹statististik 65 60 3900

Fizik 68 50 3400

Kimya 50 40 2000

Biyoloji 50 25 1250

245 15450

olarak hesaplan›r.

Uygulamada ortalamalar›n ortalamas›, oranlar›n ortalamas› ve baz› bileflik in-deksler tart›l› ortalama kullan›larak hesaplan›r.

Geometrik Ortalama

Geometrik ortalama, seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin çarp›m›n›n gözlem

de-¤eri say›s›na eflit mertebeden kökü olarak tan›mlan›r. E¤er seriyi oluflturan gözlem de¤erleri x₁, x₂, ..., x_nile ve geometrik ortalama da G ile gösterilirse geometrik ortalama,

eflitli¤i ile hesaplan›r. Ancak seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin say›s› artt›¤›n-da, geometrik ortalamay› yukar›daki formül yard›m›yla hesaplamak güçleflir.

Böyle durumlarda geometrik ortalama logaritma yard›m›yla afla¤›daki eflitlikle hesaplan›r.

Görülece¤i gibi geometrik ortalaman›n logaritmas›, gözlem de¤erlerinin logarit-malar›n›n aritmetik ortalamas›na eflittir.

Afla¤›daki basit serinin geometrik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

logG = 1 baz› bileflik indeksler, tart›l›

ortalama kullan›larak hesaplan›r.

Bir serinin geometrik ortalamas›, serideki gözlem de¤erleri çarp›m›n›n, gözlem de¤eri say›s›na eflit mertebeden kökü al›narak

ÇÖZÜM

Geometrik ortalaman›n tan›m› do¤rultusunda,

olarak elde edilir.

Frekans serilerinde ve s›n›fland›r›lm›fl serilerde geometrik ortalama,

eflitli¤iyle hesaplan›r.

E¤er bir seriyi oluflturan gözlem de¤erleri, bir önceki gözlem de¤erine ba¤l›

olarak de¤ifliyor ve de¤iflimin h›z› belirlenmek isteniyorsa bu durumda geometrik ortalama hesaplan›r.

Uygulamada milli gelir, nüfus, bileflik faiz ve baz› bileflik indekslerin hesaplan-mas›nda geometrik ortalama kullan›l›r.

Kareli Ortalama

Kareli ortalama, seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin karelerinin toplam›n›n göz-lem say›s›na oran›n›n kare kökü olarak tan›mlan›r.

Kareli ortalama K ile gösterilirse kareli ortalama,

eflitli¤iyle hesaplan›r.

K = x₁ ² + x₁ ² +... + xn 2

n =

x_i ²

™

i = 1 n

n log G = 1

fi

™

i = 1

n

™

fi log xi i = 1

n

G =⁴ 2.5.8.20 = ⁴ 1600 = 6.32 ya da,

log G = 1

4 log2 + log5 + log8 + log20

= 14 0.30103 + 0.69897 + 0.90309 + 1.30103

= 14 3.20412 = 0.8010 G = 6.32

Afla¤›da verilen basit serinin kareli ortalamas›n› hesaplay›n›z.

x x²

1 1

3 9

5 25

7 49

8 64

10 100

248 olarak elde edilir ve kareli ortalama,

olarak hesaplan›r.

Frekans ve s›n›fland›r›lm›fl serilerde kareli ortalama,

eflitli¤iyle hesaplan›r.

Afla¤›daki serinin kareli ortalamas›n› hesaplay›n›z.

K =

™

x²f

™

f K = x²

n = 248

6 = 6.4291

Ö R N E K 1 3

ÇÖZÜM

Ö R N E K 1 4

S›n›flar f

0 - 4 1

4 - 8 4

8 - 12 8

12 - 16 5

16 - 20 2

20

Kareli ortalama, seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin kareleri toplam›n›n, gözlem say›s›na oran›n›n kare kökü al›narak hesaplan›r.

x 1 3 5 7 8 10

ÇÖZÜM

Ö R N E K 1 5

ÇÖZÜM

Hesaplamalar afla¤›daki gibidir:

S›n›flar f x x² x²f

0 - 4 1 2 4 4

4 - 8 4 6 36 144

8 - 12 8 10 100 800

12 - 16 5 14 196 980

16 - 20 2 18 324 648

20 2576

Kareli ortalama,

olarak elde edilir.

Görülece¤i gibi, kareli ortalama da tüm gözlem de¤erlerinin büyüklüklerinden etkilenen, duyarl› bir ortalamad›r.

Belgede TC. ANADOLU ÜN VERS TES YAYINI NO: 1448 AÇIKÖ RET M FAKÜLTES YAYINI NO: 771 STAT ST K (sayfa 49-60)