B‹NOM DA⁄ILIMINA NORMAL DA⁄ILIM YAKLAfiIMI
SÜREKL‹L‹K ‹Ç‹N DÜZELTME FAKTÖRÜ
Normal da¤›l›m›n binom da¤›l›m›na yaklafl›m›n› sa¤lamak için n denemede x ba-flar›l› sonuç say›s›na ± 0.5 de¤eri eklenir.
Verilen örnekte, x = 19 oldu¤u için, süreklilik düzeltmesi sonucunda 18.5 ve 19.5 de¤erleri elde edilir. Bu durumda, binom da¤›l›m›nda P (x = 19)olas›l›k de¤eri ye-rine, normal da¤›l›mda P (18.5 ≤ x ≤ 19.5) olas›l›k de¤eri bulunacakt›r.
Aflama 3. Normal da¤›l›m kullan›larak istenen olas›l›¤›n hesaplanmas›d›r.
Daha önceki örneklere benzer biçimde standart normal da¤›l›m tablosundan ya-rarlanabilmek için, x s›n›r de¤erlerine karfl›l›k gelen z de¤erlerinin bulunmas› ge-rekir.
x = 18.5 için z = 18.5 - 15
2.7386 = 1.28 x = 19.5 için z = 19.5 - 15
2.7386 = 1.64 m = n . p = 30 0.5 = 15
s = n . p . q = 30 0.5 0.5 = 2.7386 P x = 19 = 30
19 0.5 19 0.511 = 0.0509
Ö R N E K 2 0
ÇÖZÜM
z de¤erinin bulunmas›n›n ard›ndan iki alan de¤eri bulunur ve büyük alandan kü-çük alan ç›kart›larak aranan olas›l›k de¤erine ulafl›l›r.
P (0 ≤ z ≤ 1.64) = 0.4495 ; P (0 ≤ z ≤ 1.28) = 0.3997
P (1.28 ≤ z ≤ 1.64) = 0.4495 – 0.3997 = 0.0498
Normal da¤›l›m yaklafl›m› sonu-cunda elde edilen (yaklafl›k) ola-s›l›k de¤eriyle binom formülün-den elde edilmifl olan kesin olas›-l›k de¤erleri aras›nda (0.0509 – 0.0498 = 0.0011) çok küçük bir fark bulunmaktad›r ve bu fark da ihmal edilebilecek düzeydedir.
Süreklilik düzeltmesi, hep normal da¤›l›m yaklafl›m›n›n kullan›lma-s›nda uygulanmaktad›r. Yukar›da eflitlik durumda süreklilik verilmiflti. Ancak; ba-zen binom da¤›l›m›nda istenen olas›l›k bir aral›k olabilece¤i gibi, eflitsizlik durum-lar› da olabilmektedir. Örne¤in P (7 ≤ x ≤ 12) olas›l›k de¤erinin normal da¤›l›m yaklafl›m›nda aranan olas›l›k de¤eri P (6.5 ≤ x ≤ 12.5), P (x ≥ 9) için P (x
≥ 8.5) ve P (x ≤ 10) içinse P (x ≤ 10.5) olarak bulunmaktad›r.
Yap›lan bir pazar araflt›rmas› neticesinde, çamafl›r makinesi kullanan ev han›mlar›ndan % 63’ünün yerli mal› çamafl›r makinesini tercih ettikleri bulunmufltur. Bu gruptan, rassal seçilen 100 ev han›m›ndan, 55 – 60 tane-sinin, yerli mal› çamafl›r makinesi tercih etme olas›l›¤›n› bulunuz.
‹ki sonuçlu (binom) bu deneyde,
n = 100 ; p = 0.63 , q = 1 – p = 1 – 0.63 = 0.37
dir ve istenen olas›l›k P (55 < x < 60) ‘dir. Burada n p > 5 ve n q > 5 olma-s› nedeniyle istenen olaolma-s›l›k de¤eri, normal da¤›l›m yaklafl›m›yla bulunabilir. An-cak; burada aranacak olas›l›k P (54.5 ≤ x ≤ 60.5) biçimindedir.
‹lk olarak m ve s de¤erleri hesaplanacak olursa,
biçimindedir. Daha sonra gerekli z de¤erleri hesaplan›r.
x = 54.5 için z = 54.5 - 63
4.8280 = -1.76 x = 60.5 için z = 60.5 - 63
4.8280 = -0.52 m = n p = 100 0.63 = 63
s = n p q = 100 0.63 0.37 = 4.8280 x
0
z 18.5 19.5
15
1.28 1.64 fiekil 6.49 x = 18.5
ve x = 19.5 aras›ndaki alan.
Ö R N E K 2 1
ÇÖZÜM
Bu de¤erlerin kullan›m› sonu-cunda ortalaman›n solunda yer alan iki alan bulunur ve büyük alandan küçük alan›n ç›kart›l-mas› sonucunda istenen olas›-l›k de¤erine ulafl›l›r.
P (–1.76 ≤ z ≤ 0) = 0.4608 P (–0.52 ≤ z ≤ 0) = 0.1985 P (–1.76 ≤ z ≤ – 0.52) = 0.2623
18 yafl›n üzerindeki nüfusu hedef alan bir kamuoyu araflt›rmas› sonucun-da, milli piyangodan ikramiye ç›kaca¤›na inananlar›n oran› % 54 olarak bulunmufltur. Bu kitleden rassal seçilen 100 kifliden 60 ya da daha fazla kiflinin piyangodan ikramiye ç›kaca¤›na inanmas› olas›l›¤›n› bulunuz.
Yukar›daki örneklerde oldu¤u gibi, binom deneyine uyan bu deney de, normal da¤›l›m yaklafl›m›yla çözülebilir.
Bu de¤erlerden yararlanarak P (x
≥ 59.5)olas›l›k de¤eri standart nor-mal da¤›l›m tablosundan elde edi-lir.
P (x ≥ 59.5) = P (z ≥ 1.10) = 0.5 – P (z < 1.10) = 0.5 – 0.3643 = 0.1357
1. Hangi koflullarda normal da¤›l›m binom da¤›l›m›na yaklafl›m amac›yla kullan›l›r?
2. Bir binom da¤›l›m›nda n = 25 ve p = 0.40 olarak verilmifltir.
a) Binom formülünü kullanarak P (8 ≤ x ≤ 12 ) de¤erini bulunuz.
b) Normal da¤›l›m yaklafl›m›ndan yararlanarak P (8 ≤ x ≤ 12) de¤erini bulunuz.
3. Bir binom da¤›l›m› için n = 120 ve p = 0.60 ‘d›r. x 120 denemedeki baflar›l› sonuç say›s›n› göstermek üzere;
a) Binom da¤›l›m›n›n ortalama ve standart sapmas›n› bulunuz.
b) Normal da¤›l›m yaklafl›m›yla P (x ≤ 70) de¤erini bulunuz.
0.4608 - 0.1985 = 0.2623
-0.52
Kendimizi S›nayal›m
1.Standart normal da¤›l›mda, 1.5 standart sapma s›-n›rlar› (m - 1.5s ve m + 1.5s) aras›nda kalan alan oldu¤una göre, P (z < -2.04) olas›l›¤› nedir?
a. 0.0207 oldu¤una göre, P (z > -0.78) olas›l›¤› nedir?
a. 0.4713 üze-re normal da¤›lm›flt›r. Bu bilgileüze-re göüze-re, P(22 < x < 33) olas›l›¤› nedir?
5. X, sürekli rassal de¤iflkeni, ortalamas› 100 ve varyans›
225 olmak üzere normal da¤›lm›flt›r. Bu bilgilere göre, P (115 < x < 130) olas›l›¤› nedir?
a. 0.0437 b. 0.0948 c. 0.1056 d. 0.1359 e. 0.1443
6.Tek tip vida üreten otomatik makinelerden üretilen vi-dalar›n boylar›; ortalamas› 3.0 cm. ve standart sapmas› da 0.009 cm. olmak üzere normal da¤›lmaktad›r. Üretilen vi-dalar›n boyu 2.98 cm.’ den k›sa olanlarla 3.02 cm.’ den uzun olanlar kusurlu olduklar› için kullan›lmamaktad›r.
Bu makinede üretilen vidalar›n yüzde kaç› kusurludur?
a. 1.17 b. 2.10 c. 2.64 d. 3.00 e. 3.15
7. Bir A bölgesinde 20 000 konuta iliflkin ayl›k elektrik enerjisi tüketimi, ortalamas› 1 650 kilovat saat ve standart sapmas› da 320 kilovat saat olmak üzere normal da¤›l-maktad›r.
Bu bölgede kaç konutun elektrik tüketim miktar›n›n 900 - 1.300 kilovat saat aras›nda olmas› beklenir?
a. 1.854 b. 2.566 c. 2.700 d. 2.850 e. 3.204
8.Otomobillerin ya¤ de¤iflimini yapan bir servis istasyo-nunda servis süresinin, ortalamas› 15 dakika ve standart sapmas› da 2.4 dakika olmak üzere normal da¤›ld›¤› bi-linmektedir. Servis sorumlusu, daha çok müflteri çekebil-mek amac›yla, bir kampanya bafllatmak isteçekebil-mektedir.
Kampanya süresince, belirlenen süreden fazla bekleyen müflterilerden servis ücretinin yar›s› al›nacakt›r. Ancak, servis maliyeti dikkate al›narak, yar› ücret al›nacak müfl-teri say›s›n›n, toplam müflmüfl-teri say›s›n›n % 5’ inden fazla olmas› istenmektedir. Buna göre öngörülecek bekleme süresi kaç dakikad›r?
9.Yap›lan bir anket sonucunda belirli bir bölgedeki aile reislerinin 0.90 ’›n›n kendilerini ekonomik yönden fakir gördükleri belirlenmifltir.
Bu bölgeden rasgele seçilen 400 aile reisinden 355 ya da daha fazlas›n›n kendini fakir görme olas›l›¤› nedir?
a. 0.1427 b. 0.2218 c. 0.3715 d. 0.5219 e. 0.8212
10. Bilgisayar yan ürünleri üreten A firmas›, bilgisayar üreten B firmas›na, ürünlerini 2 000 birimlik partiler ha-linde göndermektedir. B firmas›, gelen her partiden rast-gele 100 birimi incelemekte ve üretici firman›n en çok % 5 ar›zal› birim garantisine karfl›l›k 7 ya da daha fazla bi-rimin ar›zal› ç›kmas› durumunda partiyi iade etmektedir.
Yeni gönderilecek partinin B firmas›nca kabul edilme ola-s›l›¤› nedir?
HOEL, P.G. and Jessen, R.J.: Basic Statistics for Business and Economics, Wiley, New York, 1971.
MANN, P.S.: Introductory Statistics, 2ndEdition, Wiley, New York, 1995.
O’HAGAN, A.: Probability: Metods and Measurement, Chapman and Hall, London, 1988.
WONNACOTT, R.J., WONNACOTT, T.H.: ‹ntroductory Statistics, 4thEdition, Wiley, Singapore, 1985.
Y
oksul ve e¤itimsiz bir ailenin çocu¤u olan Gauss 25 yafl›ndan önce, matematik ve astro-nomi alan›ndaki çal›flmalar›yla ün kazanm›flt›r. Say›lara ve hesaplamaya karfl› erken yaflla-r›ndaki tutkusu, cebir, analiz, geometri, olas›l›k, hata teorisi, astronomi, haritalama, jeodezi, jeomagnetizma, elektromagnetizma ve aktüerya gibi farkl› dallarda baflar› kazanmas›na neden olmufltur.Gauss, tüm zamanlar›n en büyük bilim ustas› olarak gösterilmektedir.
GAUSS (1777-1855)
Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak
• Kavramlar ve bu kavramlar aras›ndaki iliflkiler dikkatle incelenmeli,
• Örnekler ve örnek çözümleri dikkatle incelenmeli, sorunlarla karfl›lafl›l›rsa kavramsal aç›klamalara geri dönülmelidir.
Örnekleme 7
Amaçlar:
Tamsay›m ve örneklem kavramlar›n› aç›klayabileceksiniz.
‹statistiksel araflt›rmalarda, örneklemenin, tamsay›ma tercih edilmesindeki nedenleri, kavrayarak aç›klayabileceksiniz.
Bir örnekleme plan sürecinin aflamalar›n› belirleyebileceksiniz.
Örnekleme yöntemlerini s›n›fland›rabileceksiniz.
Örnekleme da¤›l›m› kavram›n› aç›klayabileceksiniz.
Örnekleme uygulamalar›nda ifllenecek hata türlerini aç›klayabileceksiniz.
‹çerik Haritas›
• G‹R‹fi
• TAMSAYIM VE ÖRNEKLEM
• ÖRNEKLEME YAPMAYI GEREKL‹ KILAN NEDENLER
• ÖRNEKLEME SÜREC‹N‹N AfiAMALARI
• Ana Kütlenin Tan›mlanmas›
• Çerçevenin Belirlenmesi
• Örnekleme Yönteminin Seçimi
• Örneklem Hacminin Belirlenmesi
• Örneklemin Seçimi
• ÖRNEKLEME YÖNTEMLER‹
• Olas›l›kl› Olmayan Örnekleme Yöntemleri
• Olas›l›kl› Örnekleme Yöntemleri
• ÖRNEKLEME DA⁄ILIMI
• Örneklem Ortalamas› ’n›n Örnekleme Da¤›l›m›
• Örneklem Oran› p’nin Örnekleme Da¤›l›m›
• ÖRNEKLEMEDE HATA KAVRAMI VE STANDART HATA
• Örnekleme Hatas› - Standart Hata
• Örnekleme D›fl› Hatalar X
G‹R‹fi
Genel olarak bir istatistiksel araflt›rma sürecinin ilk aflamas›nda, ilgili ana kütle ta-n›mlan›r. Sonraki aflamalarda, tan›mlanan ana kütlenin ilgilenilen parametreleri hakk›nda bilgi üretilmeye çal›fl›l›r. Tan›mlanan ana kütle hakk›nda bilgi üretmede baflvurulabilecek ilk yöntem, bu ana kütle tan›m› içinde yer alan bütün birimler üzerinden, de¤iflken ya da de¤iflkenlerle ilgili veri derlemek, tamsay›m yapmakt›r.
Ancak tamsay›m, çeflitli nedenlerle her zaman mümkün olmaz. Bu durumda, iste-nilen bilginin üretilebilmesi, ancak, tan›mlanan ana kütleden, onu temsil edebile-cek s›n›rl› say›da birimin, yani bir örneklemin seçilmesi ve bu örneklem birimleri üzerinden, gereken verilerin derlenmesiyle mümkün olur.
Uygulamada, örneklemden elde edilen, verilerden hesaplanan örneklem ista-tistikleri yard›m›yla, ana kütle parametreleri hakk›nda bilgi üretilebilir.
Örnekleme, bir araflt›rma sürecinin bütün aflamalar›yla iç içelik gösteren en önemli aflamas›d›r ve araflt›rmac›lar›n vazgeçemedikleri önemli u¤rafllar›ndan biri-dir. Bu ünitede, öncelikle, örneklemenin temel kavramlar› üzerinde durulacak, uygulamada yayg›n olarak, neden örneklemeye baflvurulur, sorusu yan›tlanacak-t›r. Sonra da bir örnekleme sürecinde izlenecek aflamalar tan›t›lacakyan›tlanacak-t›r. Daha son-ra olas›l›kl› olmayanla, olas›l›kl› örnekleme yöntemleri ve önemli türleri hakk›nda bilgi verilerek, ne tür bir örneklem seçilecektir sorusuna yan›t aranacakt›r. Seçilen örneklemler için, hesaplanan örneklem istatistikleri da¤›l›mlar›n›n özellikleriyle il-gili bilgiler verilecektir. Bu ünite, örneklemede hata kavram›na iliflkin aç›klamalar-la tamamaç›klamalar-lanm›fl oaç›klamalar-lacakt›r.