Kesikli rassal de¤iflkenlerin di¤er önemli bir da¤›l›m› olan Poisson da¤›lm››n› kullanarak ilgili olas›l›klar›, ortalama ve standart sap-mas›n› hesaplayabileceksiniz.
Frans›z matematikçi Simeon D. Poisson’un ad›yla an›lan Poisson olas›l›k da¤›l›m›, binom da¤›l›m› gibi X’in kesikli bir rassal de¤iflken olmas› durumunda (yayg›n) kullan›lan da¤›l›mlardan biridir. Örne¤in bir kavflakta trafik kazas› olmas› ayda birkaç kez rastlanan bir olayd›r. Burada istenen, gelecek ay o kavflakta iki trafik kazas› olmas› olas›l›¤›d›r. Bu örnek Poisson olas›l›k da¤›l›m›na uygundur ve her kaza olmas›; meydana gelme ya da tekrar olma (occurrence) biçiminde ifade edi-lir. Bu durumda Poisson da¤›l›m›n›n, rassal ve ba¤›ms›z olayl› deneylerde kulla-n›ld›¤› söylenebilir. Kaza örne¤inde oldu¤u gibi, Poisson da¤›l›m›nda olaylar ras-sald›r, herhangi bir s›ra izlemedikleri gibi önceden kestirilmeleri de olanakl› de¤il-dir. Burada olaylar›n ba¤›ms›zl›¤›n›n anlam›, bir olay›n bir kez meydana gelmesi ve kendisini izleyen olaylar›n meydana gelmesi ya da gelmemesi üzerinde etkisi-nin bulunmamas›d›r. Olaylar›n meydana gelifli, hep bir aral›kta ele al›n›r (trafik ör-ne¤inde bir ay gibi). Bu aral›k bir zaman aral›¤›, bir uzay aral›¤› olabilece¤i gibi bir hacim aral›¤› da olabilmektedir. ‹ncelenen bir aral›kta olay›n tekrar› rassal ve ba¤›ms›zd›r. E¤er verilen bir aral›kta tekrar say›s›n›n ortalamas› biliniyorsa, Pois-son olas›l›k da¤›l›m› kullan›larak, x ile gösterilen tekrar say›s›na iliflkin herhangi bir de¤erin olas›l›¤› hesaplanabilmektedir.
Poisson Olas›l›k Da¤›l›m›n›n Uygulanma Koflullar›, Poisson olas›l›k da¤›-l›m›n›n uygulanabilmesi için afla¤›daki üç koflulun sa¤lanmas› gerekir.
1. x kesikli rassal de¤iflkendir.
2. Tekrarlar rassald›r.
3. Tekrarlar ba¤›ms›zd›r.
Konuya aç›kl›k kazand›r›lmas› aç›s›ndan afla¤›da, Poisson olas›l›k da¤›l›m›n›n uygulanabilece¤i baz› örnekler ele al›nm›flt›r..
1. Bir hastanenin acil servisine belirli bir zaman aral›¤›nda (bir saat, bir gün) gelen hasta say›s›. Burada hasta geliflleri (tekrar) rassald›r ve gelen hasta sa-y›s› 0, 1, 2,.... olabilir. Hasta geliflleri (tekrar) ba¤›ms›zd›r. Çünkü gelifller tek tektir ve gelen iki hasta aras›nda iliflki yoktur.
2. Bir makinede üretilecek 100 parçadan, kusurlu parça say›s› da Poisson
da-¤›l›m›na uygundur. Çünkü burada bir hacim aral›¤› (100 parça) söz konu-su olup, kukonu-surlu parça say›lar› (tekrar) rassal ve bir parçan›n kukonu-surlu olma-s›, bir di¤erinden ba¤›ms›zd›r.
3. 5 metre uzunlu¤unda bir demir çubuktaki hava kabarc›klar› (kusur) incele-niyor olsun. Bu örnekte aral›k bir uzay aral›¤› olup hava kabarc›¤› say›s›
rassald›r ve bu hava kabarc›klar› birbirinden ba¤›ms›zd›r.
Bu örneklere benzer bir biçimde olan afla¤›daki örnekler de Poisson olas›l›k da¤›l›m›na uygundur.
1. Bir otoyolda bir haftal›k süredeki kaza say›s›.
2. Bir manava bir saatlik sürede gelen müflteri say›s›.
3. Bir ma¤azada bir haftal›k sürede sat›lan TV seti say›s›.
A M A Ç
6
Öte yandan bir doktorun muayenehanesine gelen hasta say›s› bunlardan fark-l›d›r. Çünkü gelecek hastalar daha önce randevu ald›klar›ndan rassal bir say› ol-may›p, kaç kiflinin gelece¤i daha önceden (yaklafl›k olarak) bilinmektedir. Ayn›
biçimde bir hava alan›ndan kalkacak ya da bu hava alan›na inecek uçak say›s› da rassal de¤ildir ve önceden bilinmektedir. Bu nedenle rassal olma koflulu sa¤lan-mad›¤› için bu tür verilere Poisson olas›l›k da¤›l›m› uygulanamamaktad›r.
Poisson olas›l›k da¤›l›m›nda ortalama tekrar (meydana gelme) say›s› l (Lam-da) ile, verilen aral›ktaki tekrar say›s› da x ile gösterilmektedir. Poisson olas›l›k
da-¤›l›m› kullan›larak, l ortalama tekrar say›s› biliniyorken, verilen bir aral›kta x tek-rarlanma say›s›n›n olas›l›¤› elde edilmektedir.
Poisson Olas›l›k Da¤›l›m› Formülü, Poisson olas›l›k da¤›l›m›na göre, bir aral›kta x tekrar›n gözlenmesi olas›l›¤›,
eflitli¤iyle bulunmaktad›r. Burada l verilen aral›kta ortalama tekrar say›s›d›r (e=2.71828).
Bir aral›ktaki ortalama tekrar say›s› l , Poisson olas›l›k da¤›l›m›n›n parametre-si ya da k›saca Poisson parametreparametre-si olarak bilinir. Yukar›daki formülden de anla-fl›laca¤› gibi, x tekrar say›s›n›n olas›l›¤›n›n bulunabilmesi için, sadece l de¤erinin bilinmesi yeterlidir. Çünkü formüldeki e-lde¤eri, ya hesaplanmakta ya da haz›r tablolardan bulunmaktad›r.
Yap›lan bir araflt›rmadan 18-24 yafl grubundaki tüketicilerin ayda ortala-ma 6.9 kez al›flverifle ç›kt›lar› bulunmufltur. Poisson olas›l›k da¤›l›m›na uydu¤u düflünülen rassal de¤iflken için, 18-24 yafl grubunun ayda 5 kez al›flverifle ç›kmas› olas›l›¤›n› bulunuz.
Ortalama al›flverifl say›s› olan 6.9 da¤›l›m›n ortalamas› ve olas›l›¤› bulunmas› is-tenen tekrar say›s› x ise 5 al›narak isis-tenen olas›l›k de¤eri, Poisson da¤›l›m› formü-lünden elde edilir.
Bir çamafl›r makinesi, ayda ortalama, üç kez s›kma ar›zas› yapmaktad›r.
Poisson olas›l›k da¤›l›m›ndan yararlanarak bu makinenin gelecek ay a) ‹ki kez ar›zalanmas›,
b) En çok bir kez ar›zalanmas›
olas›l›klar›n› bulunuz.
P x = 5 = lx e -l
x! = 6.95 e -6.9 5!
= 15640.31349 0.001008
120 = 0.1314
P x = lx e -l x!
Ö R N E K 2 3
ÇÖZÜM
Ö R N E K 2 4
ÇÖZÜMÇÖZÜM
Ayda ortalama üç kez s›kma ar›zas› oldu¤una göre l = 3 dür. Bu durumda;
a) Gelecek ay iki kez s›kma ar›zas› olma olas›l›¤›;
olarak bulunur.
b) Gelecek ay, en çok bir s›kma ar›zas› ifadesiyle; hiç ar›za olmamas› ve sadece bir ar›za olmas› kastedilmektedir.
P (En çok bir ar›za) = P(x ≤ 1) = P (0 ya da 1) = P(x = 0) + P(x = 1) olarak elde edilir.
Poisson olas›l›k da¤›l›m›nda l ve x ‘in aral›klar› ayn› olmal›d›r. Aksi takdirde eflitli¤in sa¤lanmas› için l ortalamas›n›n tekrar tan›mlanmas› gerekir.
Bir firma yeni üretti¤i bir ürünün pazar bulabilmesi için, bu ürünü alan-lardan be¤enmeyenlere, 7 günlük süre içerisinde ürünü geri getirdikleri takdirde, paralar›n›n iadesi kampanyas› bafllatm›flt›r. Geçen süre içeri-sinde sat›lan 10 üründen 2 tanesinin paras›n›n, iade edildi¤i görülmüfl-tür. Poisson olas›l›k da¤›l›m›ndan yararlanarak gelecekte sat›lacak 40 üründen 6 tanesinin paras›n›n iade edilmesi olas›l›¤›n› bulunuz.
Burada önemli bir sorunla karfl›lafl›lmaktad›r. Bu sorun, yukar›da de¤inildi¤i gibi;
ortalama de¤erin aral›¤› ile x‘in aral›¤›yla farkl› olmas›d›r. Çünkü l = 2 de¤eri 10 sat›fltan elde edilmiflken gelecekte yap›lacak 40 sat›fltan 6 tanesine para iadesi so-rulmaktad›r. Bu durumda x = 6 ayn› kalacak, ancak l ortalama de¤eri, istenen aral›k için tekrar tan›mlanacak, bu de¤er de l = 8 olacakt›r. Ortalaman›n yeniden tan›mlanmas›n›n ard›ndan Poisson olas›l›k da¤›l›m›ndan yararlanarak istenen ola-s›l›k;
bulunur.
Asl›nda Poisson olas›l›k da¤›l›m›, nadir karfl›lafl›lan ya da tekrarlanan (olas›l›¤›
çok küçük) olaylar için kullan›lmaktad›r. Oysa yukar›daki örnekte olas›l›k de¤eri P = 2 / 10, tekrar say›s› n = 40 ve olas›l›¤› bulunmas› istenen tekrarlanma say›s› x
= 6 olarak düflünüldü¤ünde, deney bir binom deneyi olarak düflünülür ve istenen olas›l›k binom da¤›l›m› formülünden de elde edilebilir.
Bu duruma, binom da¤›l›m› yaklafl›m›nda Poisson da¤›l›m›n›n kullan›lmas› ad›
verilir ve özellikle n say›s›n›n çok büyük olmas› durumunda binom da¤›l›m›yla olas›l›k bulman›n zaman kaybettirmesini ortadan kald›rmak amac›yla kullan›l›r.
P x = 6 = 40 6
= 0.206 0.80 34 = 40!
6! 34! = 0.206 0.80 34 = 0.1246 P x = 6 = lx e -l
x! = 86 e -8
6! = 262144 0.000335
720 = 0.1220 P x = 2 = lx e -l
x! = 32 e -3
2! = 9 0.049787
2 = 0.2240
Ö R N E K 2 5
ÇÖZÜM
Bolkazanç bankas›n›n K›z›lay fiubesinde her gün ortalama iki tane yeni hesap açt›r›ld›¤› bilinmektedir. Verilen bir günde,
a) 6 yeni hesap
b) En çok 3 yeni hesap c) En az 7 hesap
açt›r›lmas› olas›l›klar›n› bulunuz.
Önce, formülde kullan›lacak de¤erler tan›mlanmal›d›r.
l= Her gün aç›lan ortalama yeni hesap say›s›.
x = Verilen günde aç›lacak yeni hesap say›s›.
Bu bilgiler ›fl›¤›nda Poisson olas›l›k da¤›l›m formülü kullan›larak istenen olas›l›klar;
a)
b) P(x ≤ 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)
= 0.1353 + 0.2707 + 0.2707 + 0.1804 = 0.8571 c) P(x ≥ 7) = 1 – P(x < 7)
= 1 – { P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4) + P(x = 5) + P(x = 6) }
= 0.0045 olarak bulunur.
Bir otomobil galerisinde günde ortalama 0.9 otomobil sat›lmaktad›r. x,ver-ilen bir günde sat›lan otomobil say›s›n› göstermek üzere, Poisson olas›l›k da¤›l›m›n› bulunuz ve olas›l›k da¤›l›m›n›n grafi¤ini çiziniz.
Poisson olas›l›k da¤›l›m› için gerekli de¤eri l = 0.9 bilinmektedir. Ancak sat›lan otomobil say›s› x ise 0, 1, 2, 3, 4, ...., olabilecektir. Böylesi durumlarda x de¤erinin say›s›, bulunan olas›l›k de¤erine bak›larak belirlenmektedir. Olas›l›k de¤erinin ih-mal edilebilecek düzeyde olmas› durumunda (yaklafl›k s›f›r) olas›l›¤› bulunan x de¤eri durdurulmaktad›r. Bu düflünce ›fl›¤›nda oluflturulan Poisson olas›l›k da¤›l›m›
ve olas›l›k da¤›l›m›n›n grafi¤i afla¤›da verilmifltir.
P x = 6 = lx e -l
x! = 26 e -2
6! = 0.0120
Ö R N E K 2 6
Ö R N E K 2 7
Tablo 5.13l= 0.9 için Olas›l›k Da¤›l›m›.
x P(x)
0 0.4066
1 0.3659
2 0.1647
3 0.0494
4 0.0111
5 0.0020
6 0.0003
ÇÖZÜM
Poisson Olas›l›k Da¤›l›m›n›n Ortalamas›
Poisson da¤›l›mda ortalama ve varyans parametrelerinin her ikisi de l d›r. Stan-dart sapma, varyans›n pozitif kare kökü oldu¤undan bu da ’dir.
m = l s2= l s =
Örne¤in, yukar›daki Örnek 5.27 için bu de¤erler;
m = l = 0.9 s2= l = 0.9 otomobil olmaktad›r.
1. Poisson olas›l›k da¤›l›m›n›n uygulanabilmesi için sa¤lanmas› gereken koflullar nelerdir?
2. Poisson da¤›l›m›n›n parametresi nedir ? Ne anlama gelmektedir?
3. Poisson formülünden yararlanarak afla¤›daki olas›l›klar› bulunuz.
a) l = 4 için P(x ≤ 1) b) l = 5.3 için P(x = 8)
l
l 0.00
0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
0 1 2 3 4 5 6 x
P(x)
fiekil 5.10 Olas›l›k Da¤›l›m›n›n Grafi¤i.
SIRA S‹ZDE
Kendimizi S›nayal›m
1.Dayan›kl› tüketim mal› satan bir ma¤azan›n son 100 ifl günündeki günlük sat›fllar› afla¤›daki tabloda verilmifltir.
Sat›fl say›lar› 2 3 4 5 6
Gün say›lar› 12 21 34 19 14
Yukar›daki tabloya göre X, günlük sat›fl› göstermek üze-re, P(X<4) olas›l›¤› kaçt›r?
a. 0.04 b. 0.17 c. 0.21 d. 0.33 e. 0.50
2.X, rassal de¤iflkeninin olas›l›k da¤›l›m›, afla¤›daki tablo-da verilmifltir.
Yukar›daki tabloya göre, X’ in ortalamas› ve standart sap-mas› kaçt›r?
3. Bir firma piyasa koflullar›n›n olumsuzlu¤u nedeniyle 16 çal›flan›ndan 2 tanesini rastgele seçerek ifllerine son verecektir. Yap›labilecek farkl› seçim say›s› kaçt›r?
a. 40 rassal de¤iflkendir. X’ in varyans› 2.1 ise n kaçt›r?
a. 2 b. 4 c. 5 d. 7 e. 10
5.Günlük gazete okurlar›n›n 0.60’› okuduklar› gazeteleri güvenilir bulmaktad›r. Bu okuyucular aralar›ndan rastge-le seçirastge-len 3 kiflinin okuduklar› gazeterastge-leri güvenilir bul-mama olas›l›¤› nedir?
6. Bir basketbolcunun serbest at›fldaki baflar›s› 0.85’ dir.
Basketbolcunun deneyece¤i 3 at›fltan, ikisini say›ya dö-nüfltürme olas›l›¤› nedir?
7.Bir havayolu flirketinin merkezine hergün ortalama 9.7 flikayet telefonu gelmektedir. Herhangi bir günde 7 flika-yet gelmesi olas›l›¤› nedir? (Yol gösterme: Poisson da¤›l›-m›ndan yararlan›n›z.)
8. Ekonomik kriz yaflayan ülkemizde çok say›da küçük ve orta boy iflletme kapanmaktad›r. Konuyla ilgili olarak Eskiflehir’de yap›lan bir araflt›rmada hergün ortalama 1.3 iflyerinin kapand›¤› belirlenmifltir.
Verilen bir günde Eskiflehir’de 3’ den az iflyerinin kapan-ma olas›l›¤› nedir?
9. X, ortalamas› 1.8 olan Poisson da¤›lm›fl bir rassal de¤ifl-ken oldu¤una göre standart sapmas› nedir?
a. 0.04 b. 0.17 c. 0.21 d. 1.34 e. 1.50
10. Bir A firmas›nda istenilen verimin elde edilmesi ve sürdürülebilmesine iliflkin olarak çal›flanlara uygulanan bir anket sonucunda, çal›flanlar›n 0.50’ si çal›flma koflulla-r›n›n en önemli faktör oldu¤unu belirtmifllerdir.
A firmas› çal›flanlar›ndan rastgele seçilen 10 kifliden en çok 5 tanesinin çal›flma koflullar›n›n en önemli etken ol-du¤unu iflaretleme olas›l›¤› nedir?
a. 0.2051 b. 0.2725 c. 0.3770 d. 0.6230 e. 0.7730
Yan›t Anahtar›
1. d 2. a 3. d 4. e 5. a 6. b 7. a 8. e 9. d 10. d
Yararlan›lan Kaynaklar
HOEL, P.G. and JESSEN, R.J.: Basic Statistics for Business and Economics, Wiley, NewYork, 1971.
MANN, P.S.: Introductory Statistics, 2ndEdition, Wiley, New York, 1995.
O’HAGAN, A., Probability: Metods and Measurement, Chapman and Hall, London, 1988.
WONNACOTT, R.J., WONNACOTT, T.H.: Introductory Statistics, 4thEdition, Wiley, Singapore, 1985.
1
700’lü y›llar›n sonlar›nda astronomi alan›ndaki çal›flmalar›yla dikkat çekti. ‹zleyen y›llarda integral, sonlu uzaylar ve differansiyel denklemler üzerinde çal›flt›.1812’de, 1779 y›l›nda yay›nlad›¤› bir makalesini temel alarak olas›l›k kavram› üzerinde çal›flmaya bafllad›. Sonraki y›llarda Gauss ve Legendre’nin de ilgilendi¤i en küçük kareler yöntemine iliflkin çal›flmas›n› tamamlad›. 1819’da olas›l›k konusunda yazd›¤› “Theorie des Probabilités” adl› kitab› yay›nland›.