18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar

(1)

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler Problem Seti 2

Sayfa 1 www.acikders.org.tr

MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

2009 Bahar

Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret ediniz.

(2)

18.034 PROBLEM SETİ 2

Notasyon.

1. bir sabit olmak üzere,

olsun. k sabiti ne seçilirse seçilsin ) diferansiyel denkleminin orjini içeren bir aralıkta mevcut bir çözümünün olmadığını gösteriniz.

2. fonksiyonun tüm reel eksende sürekli ve sınırlı olduğunu kabul edelim. Eğer sürekli ise başlangıç değer probleminin sıfırdan farklı çözümünün tüm değerleri için mevcut olduğunu gösteriniz. (Tekliği kullanmaya ihtiyacınız olabilir.)

3. Birkhoff-Rota, s. 20, p.9.

4. (Ricatti denklemi) biçimindeki diferansiyel denklemdir.

Genel olarak Ricatti denklemi elemanter yollarla^* çözülemez. Bununla birlikte,

(a) bir özel çözüm ise, genel çözüm, belli bir tip Bernouilli denkleminin genel çözümü olmak üzere, Riccati denkleminin genel çözümü şeklindedir.

(bkz PROBLEM SETİ 1).

(b) Yukarıdaki metodu kullanarak Ricatti denklemini çözünüz.

5. olsun. diferansiyel denkleminin denge çözümünü, yani koşullarını sağlayan çözümü, bulacağız.

(a) denkleminin genel çözümünü bulunuz.

(b) Deneme çözümler kullanarak , , ve denklemlerini çözünüz.

(c) ifadesindeki sabitleri belirleyerek çözümü bulunuz

6. (Euler denklemi) ve sabit sayılar olmak üzere, biçimindeki denklem Euler denklemidir.

(a) değişken değişimi ile denklemin sabit katsayılı bir denkleme indirgendiğini gösteriniz.

* 1841 yılında Liouville tarafından gösterildi.

(3)

(b) denkleminin genel çözümünü bulmak için (a) daki yöntemi kullanınız.

(c) Hangi değerleri için denkleminin genel çözümü reel ekseninin tamamında tanımlıdır.