·Iç çarp¬m uzay¬nda metrik özelliklerden söz edebiliriz

MAT 114 L·INEER CEB·IR ( ·ISTAT·IST·IK, ASTRONOM·I ve UZAY B·IL·IMLER·I)

Hafta 9: ·Iç Çarp¬m Uzaylar¬

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKC·I, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.·Ismail GÖK

2017-2018 BAHAR

·Iç Çarp¬m Uzaylar¬

Tan¬m 26: V bir reel vektör uzay¬olsun. V üzerinde simetrik,bi-lineer ve pozitif tan¬ml¬olan bir

f : V V !R ; (!u ,!_v ) !^f(!u ,!_v )

iç çarp¬m¬tan¬mlanabiliyorsa V vektör uzay¬na bir iç çarp¬m uzay¬

ad¬verilir.

·Iç çarp¬m uzay¬nda metrik özelliklerden söz edebiliriz. Bu özellikler uzunluk, aç¬ve alan, hacim ölçüleriyle ilgilidirler. Örnek olarak, üzerinde Öklid anlam¬ndaki iç çarp¬m¬n tan¬ml¬oldu¼guRⁿ n-boyutlu standart Öklid uzay¬n¬ele alal¬m.

Teorem 14: 8^X = (x1, x2, ..., xn) 2Rⁿ ve

8^Y = (y1, y2, ..., yn) 2^{Rn ile 0 θ} π olmak üzere

h^,i ^{: Rn Rn} !^R

(X , Y) ! h^{X , Y}i = k^Xk^.k^Yk^{cos θ} dönü¸sümü bir iç çarp¬m fonksiyonudur.

Bu durumda standart Öklid iç çarp¬m¬na göre iki vektör aras¬aç¬

θ =arccos h^{X , Y}i k^Xk^.k^Yk olur.

Tan¬m 27: V bir reel iç çarp¬m uzay¬olsun. X , Y 2^{V için} h^{X , Y}i =0 ise X ve Y vektörlerine ortogonal ya da dik vektörler denir.

Tan¬m 28: V bir reel iç çarp¬m uzay¬olsun. S = f^{X1, X2, ..., Xn}g vektör cümlesi için i 6=j olmak üzere h^{Xi, Xj}i =0 ise S cümlesine ortogonal vektör cümlesi denir. E¼ger bu cümledeki her vektör birim vektör ise yani k^Xik =1 ise S cümlesine ortonormal vektör cümlesi denir

Teorem 15: V bir reel iç çarp¬m uzay¬olsun. 8^{X , Y} 2^{V için} jh^{X , Y}ij k^Xk^.k^Yk

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. Bu e¸sitsizlik literatürde Schwarz E¸sitsizli¼gi olarak bilinir.

Teorem 16: V bir reel iç çarp¬m uzay¬olsun. 8^{X , Y} 2^{V için} k^X+Yk²+ k^{X Y}k² =2(k^Xk + k^Yk)² e¸sitli¼gi gerçeklenir. Bu e¸sitli¼ge Paralelkenar kural¬ad¬verilir.

Teorem 17: V bir reel iç çarp¬m uzay¬olsun. 8^{X , Y} 2^{V için} k^X+Yk² k^{X Y}k² =4h^{X , Y}i

e¸sitli¼gi gerçeklenir. Bu e¸sitli¼ge Polarizasyon E¸sitli¼gi ad¬verilir.

Teorem 18: Rⁿ standart Öklid uzay¬nda S = f^{X1, X2, ..., Xn}g ortonormal bir vektör cümlesi olmak üzere 8^X 2^{Rn için}

∑ n i=1

jh^{X , Xi}ij² k^Xk²

e¸sitsizli¼gi gerçeklenir. Bu e¸sitsizlik literatürde Bessel E¸sitsizli¼gi olarak bilinir.

Teorem 19: X 6= !0 olmak üzere8^X 2^Rn vektörü için X0= ¹

k^Xk^.X olarak tan¬mlanan X0 vektörü birim vektördür.

Bu biçimde tan¬mlanan X₀ vektörüne X vektörünün normlanm¬¸s¬

denir ve bu vektör X vektörü yönündeki birim vektördür.

Teorem 20: Rⁿ n boyutlu iç çarp¬m uzay¬nda bir S = f^{X1, X2, ..., Xn}gortogonal vektör sistemi için

∑k i=1

x_i

2

=

∑k i=1

k^xik² dir.

Kaynaklar

1) A. Sabuncuo¼glu, Mühendislik ve ·Istatistik Bölümleri ·Için Lineer Cebir, Nobel Akademik Yay¬nc¬l¬k, 2017.

2) B. Kolman and D.R. Hill, Uygulamal¬Lineer Cebir, Çeviri Editörü: Ömer Ak¬n, Palme Yay¬nc¬l¬k, 2011.

3) F. Çall¬alp, Lineer Cebir Problemleri, Birsen Yay¬nevi, 2008.

4) H. Anton, Elementary Linear Algebra, Drexel University, 1984, ISBN:0-471-09890-6.

5) H. H. Hac¬saliho¼glu, Temel ve Genel Matematik Cilt II, 1985.