· Iç Çarp¬m

MAT 114 L· INEER CEB· IR ( · ISTAT· IST· IK, ASTRONOM· I ve UZAY B· IL· IMLER· I)

Hafta 8: · Iç Çarp¬m

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKC· I, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.· Ismail GÖK

2017-2018 BAHAR

· Iç Çarp¬m

Tan¬m 23: V bir reel vektör uzay¬olsun. V üzerinde tan¬ml¬

f : V V ! R ; (! u , ! _v ) ! ^f (! u , ! _v )

dönü¸sümü a¸sa¼ g¬da verilen aksiyomlar¬sa¼ gl¬yorsa f dönü¸sümüne bir iç çarp¬m dönü¸ sümü ad¬verilir.

1

Simetri Aksiyomu: 8! ^{u ,} ! _v 2 ^{V için f} (! u , ! _v ) = f (! v , ! _u )

2

Bilineerlik Aksiyomu: 8! ^u

^, ! _u

_, ! _v 2 ^{V ve} 8 ^{a, b} 2 ^{R için} f ( a ! _u

+ b ! _u

_, ! _v ) = af (! u

, ! _v ) + bf (! u

, ! _v ) f (! v , a ! _u

+ b ! _u

) = af (! v , ! _u

) + bf (! v , ! _u

)

3

Pozitif Tan¬ml¬Olma Aksiyomu: 8! ^u 2 ^V

! !

Örnek 42:

X = ( x

, x

) 2 R

ve Y = ( y

, y

) 2 R

olmak üzere

f : R

R

! ^R

( X , Y ) ! ^f ( X , Y ) = f (( x

, x

) , ( y

, y

))

= x

y

+ x

y

+ x

y

+ 2x

y

dönü¸sümü bir iç çarp¬m fonksiyonudur. Gerçekten;

x

, x

, y

, y

2 R oldu¼gundan

f ( X , Y ) = x

y

+ x

y

+ x

y

+ 2x

y

= y

x

+ y

x

+ y

x

+ 2y

x

= f ( Y , X )

d¬r. O halde simetri aksiyomu sa¼ glan¬r.

8 ^X = ( x

, x

) 2 R

, Y = ( y

, y

) 2 R

ve Z = ( z

, z

) 2 R

ile 8 ^{a, b} 2 ^{R için}

f ( aX + bY ,Z ) = f (( ax

+ by

, ax

+ by

) , ( z

, z

))

= ( ax

+ by

) z

+ ( ax

+ by

) z

+( ax

+ by

) z

+ 2 ( ax

+ by

) z

= ax

z

+ by

z

+ ax

z

+ by

z

+ ax

z

+ by

z

+ 2ax

z

+ 2by

z

= af ( X , Z ) + bf ( Y ,Z )

oldu¼ gundan bi-lineerlik aksiyomu sa¼ glan¬r.

8 ^X = ( x

, x

) 2 ^R

^için

f ( X , X ) = f (( x

, x

) , ( x

, x

))

= x

+ x

x

+ x

x

+ 2x

= ( x

+ x

)

+ x

0 d¬r. Buradan

X 6= ! _{0 ise, x}

1

, x

den en az biri 6= ^{0 oldu¼ gundan f} ( X , X ) > 0 olacakt¬r.

X = ! 0 ise x

= x

= 0 olaca¼ g¬ndan f ( X , X ) = 0 olaca¼ g¬

a¸sikard¬r.

Tan¬m 24: X = ( x

, x

, ...., x

) 2 ^R

^{, Y} = ( y

, y

, ..., y

) 2 ^R

olmak üzere

h ^{X , Y} i =

∑

x

y

biçiminde tan¬mlanan

h ^, i ^{: R}

^R

! ^R

dönü¸sümü bir iç çarp¬m fonksiyonudur. Bu iç çarp¬m fonksiyonuna

Öklid Anlam¬nda · Iç Çarp¬m veya standart iç çarp¬m denir.

Tan¬m 25: V bir reel vektör uzay¬olsun. V üzerinde tan¬ml¬

f : V V ! R ; (! u , ! _v ) ! ^f (! u , ! _v )

iç çarp¬m¬na göre bir u 2 R

vektörünün boyu k ^u k

ile gösterilir ve vektörünün normu olarak adland¬r¬l¬r.

k ^u k

= q

j ^f ( u, u )j

biçiminde tan¬mlan¬r.

Öklid anlam¬ndaki iç çarp¬m¬n tan¬ml¬oldu¼ gu R

n-boyutlu standart Öklid uzay¬n¬ele alal¬m.

8 ^X = ( x

, x

, ...., x

) 2 ^R

^için

k ^X k = q

h ^{X , X} i=

s

i

∑

x

y

= q

x

+ x

+ .... + x

de¼ gerine X vektörünün standart Öklid iç çarp¬m¬na göre normu

ad¬verilir. k ^X k = 1 ise X vektörüne birim vektör denir.

Tan¬m 26: R

reel vektör uzay¬nda A = ( a

, a

, ...., a

) 2 R

, B = ( b

, b

, ..., b

) 2 ^R

olmak üzere A ile B noktalar¬aras¬

uzakl¬k

d ( A, B ) = _AB ! =

∑

( b

a

)

¸seklindedir.

Örnek 43: R

Öklid uzay¬nda tan¬ml¬standart Öklid iç çarp¬m¬na göre

1

! _α = ( 3, 4 ) vektörünün uzunlu¼ gunu bulunuz.

2

A ( 3, 2 ) ve B = ( 5, 4 ) noktalar¬aras¬uzakl¬¼ g¬bulunuz.

3

Merkezil birim çemberin denklemini bulunuz.

Çözüm:

! _α = q

h! ^{α ,} ! _α i

= q

h( ^{3, 4} ) , ( 3, 4 )i

= q

3.3 + ( 4 ) ( 4 )

= 5

d ( A, B ) = _AB !

= _OB ! _OA !

= q

( 5 ( 3 ))

+ ( 4 2 )

= 10

O ( 0, 0 ) ve P ( x, y ) olmak üzere d ( O, P ) = _OP ! =

q

h( ^{x, y} ) , ( x, y )i 1 = ^p x

+ y

oldu¼ gundan merkezil birim çemberin standart Öklid iç çarp¬m¬na

göre denklemi x

+ y

= 1 olur.

Örnek 44: X = ( x

, x

) 2 R

ve Y = ( y

, y

) 2 R

olmak üzere

f : R

R

! R

( X , Y ) ! ^f ( X , Y ) = f (( x

, x

) , ( y

, y

))

= x

y

+ x

y

+ x

y

+ 2x

y

iç çarp¬m¬na göre

1

! _α = ( 3, 4 ) vektörünün uzunlu¼ gunu bulunuz.

2

A ( 3, 2 ) ve B = ( 5, 4 ) noktalar¬aras¬uzakl¬¼ g¬bulunuz.

3

Merkezil birim çemberin denklemini bulunuz.

Çözüm:

! _α

f

=

q

f ! _{α ,} ! _α

= q

f (( 3, 4 ) , ( 3, 4 ))

= q

3.3 + 3. ( 4 ) + ( 4 ) .3 + 2. ( 4 ) ( 4 )

= p

17

d

( A, B ) = _AB !

f

= q

f ( _AB. ! _AB ! ) =

q

f (( 8, 6 ) , ( 8, 6 ))

= q

8.8 + 8. ( 6 ) + ( 6 ) .8 + 2. ( 6 ) ( 6 )

= 2 p

10

O ( 0, 0 ) ve P ( x, y ) olmak üzere d

( O, P ) = _OP !

f

= q

f (( x, y ) , ( x, y ))

1 = p

x.x + x.y + y .x + 2.y .y

oldu¼ gundan merkezil birim çemberin f iç çarp¬m¬na göre denklemi

( x + y )

+ y

= 1 olur.

Örnek 45: X = ( x

, x

) 2 ^R

^{ve Y} = ( y

, y

) 2 ^R

olmak üzere

g : R

R

! ^R

( X , Y ) ! ^g ( X , Y ) = g (( x

, x

) , ( y

, y

))

= ^x

^y

^{, X} = Y x

y

+ x

y

, X 6= ^Y iç çarp¬m¬na göre

1

! _α = ( 3, 4 ) vektörünün uzunlu¼ gunu bulunuz.

2

A ( 3, 2 ) ve B = ( 5, 4 ) noktalar¬aras¬uzakl¬¼ g¬bulunuz.

3

Merkezil birim çemberin denklemini bulunuz.

Çözüm:

! _α

g

=

q

g ! _{α ,} ! _α

= q

g (( 3, 4 ) , ( 3, 4 ))

= p 3.3

= 3

d

( A, B ) = _AB !

g

= q

g ( _AB. ! _AB ! ) = q

g (( 8, 6 ) , ( 8, 6 ))

= p 8.8

= 8

O ( 0, 0 ) ve P ( x, y ) olmak üzere d

( O, P ) = _OP !

g

= q

g (( x, y ) , ( x, y ))

1 = p

x.x

oldu¼ gundan merkezil birim çemberin g iç çarp¬m¬na göre denklemi

j ^x j = ^{1 olur.}

Kaynaklar

1) A. Sabuncuo¼ glu, Mühendislik ve · Istatistik Bölümleri · Için Lineer Cebir, Nobel Akademik Yay¬nc¬l¬k, 2017.

2) B. Kolman and D.R. Hill, Uygulamal¬Lineer Cebir, Çeviri Editörü: Ömer Ak¬n, Palme Yay¬nc¬l¬k, 2011.

3) F. Çall¬alp, Lineer Cebir Problemleri, Birsen Yay¬nevi, 2008.

4) H. Anton, Elementary Linear Algebra, Drexel University, 1984, ISBN:0-471-09890-6.

5) H. H. Hac¬saliho¼ glu, Temel ve Genel Matematik Cilt II, 1985.