Lineer Periyodik Sistemler
Ankara Üniversitesi
Matematik Bölümü-MAT444 () 4. Hafta 1 / 8
x ( n + 1 ) = A ( n ) x ( n ) (1) sistemini ele alal¬m. Burada A ( n ) , N periyotlu periyodik bir matristir.
Yani, 8 n 2 Z ve bir pozitif N tamsay¬s¬için A ( n + N ) = A ( n ) dir.
Matematik Bölümü-MAT444 () 4. Hafta 2 / 8
Lemma
B, k k tipinde singüler olmayan bir matris ve m 2 Z
+olsun. Bu durumda C
m= B olacak ¸ sekilde k k tipinde singüler olmayan bir C matrisi vard¬r.
Matematik Bölümü-MAT444 () 4. Hafta 3 / 8
Lemma
Φ ( n ) , ( 1 ) sisteminin bir temel matrisi olmak üzere, a¸ sa¼g¬daki ifadeler gerçeklenir:
(i) Φ ( n + N ) de (1) sisteminin bir temel matrisidir.
(ii) Φ ( n + N ) = Φ ( n ) C , C singüler olmayan matris (iii) Φ ( n + N, N ) = Φ ( n, 0 ) .
Matematik Bölümü-MAT444 () 4. Hafta 4 / 8
Teorem
(Floquet teoremi)
( 1 ) sisteminin her Φ ( n ) temel matrisi için Φ ( n ) = P ( n ) B
nolacak ¸ sekilde singüler olmayan N periyotlu periyodik bir P ( n ) matrisi ve singüler olmayan sabit bir B matrisi vard¬r.
Matematik Bölümü-MAT444 () 4. Hafta 5 / 8
Tan¬m
(Floquet üsleri)
C = B
Nmatrisine (1) sistemi için bir monodromi matrisi denir. B nin λ özde¼ gerlerine (1) sisteminin Floquet üsleri ve B
Nmatrisinin
λ
Nözde¼ gerlerine (1) sisteminin Floquet çarpanlar¬denir.
Matematik Bölümü-MAT444 () 4. Hafta 6 / 8
Teorem
(1) sistemi için bir Floquet çarpan¬µ olsun. Bu durumda (1) sisteminin x ( n + N ) = µx ( n )
olacak biçimde a¸ sikar olmayan bir x ( n ) çözümü vard¬r.
Matematik Bölümü-MAT444 () 4. Hafta 7 / 8
Sonuç
(i) (1) sisteminin N periyotlu periyodik bir çözüme sahip olmas¬için gerek ve yeter ko¸ sul bir Floquet çarpan¬n¬n 1 olmas¬d¬r.
(ii) (1) sisteminin 2N periyotlu periyodik bir çözüme sahip olmas¬için gerek ve yeter ko¸ sul bir Floquet çarpan¬n¬n 1 olmas¬d¬r.
Matematik Bölümü-MAT444 () 4. Hafta 8 / 8
