Riemann-liouville kesirli türevi için leibniz kuralı

(1)

T.C.

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ

RIEMANN-LIOUVILLE KESİRLİ TÜREVİ İÇİN LEIBNIZ KURALI

SEVİLAY ARSLAN

TEMMUZ 2017

(2)

Matematik Anabilim Dalında SEVİLAY ARSLAN tarafından hazırlanan RIEMANN- LIOUVILLE KESİRLİ TÜREVİ İÇİN LEIBNIZ KURALI adlı Yüksek Lisans Tezinin Anabilim Dalı standartlarına uygun olduğunu onaylarım.

Prof. Dr. Kerim KOCA Ana Bilim Dalı Başkanı

Bu tezi okuduğumu ve tezin Yüksek Lisans Tezi olarak bütün gereklilikleri yerine getirdiğini onaylarım.

Doç. Dr. Recep ŞAHİN

Danışman

Jüri Üyeleri

Başkan : ___________________

Üye (Danışman) : ___________________

Üye : ___________________

……/…../…….

Bu tez ile Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini onaylamıştır.

Prof. Dr. Mustafa YİĞİTOĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

(3)

i ÖZET

RIEMANN-LIOUVILLE KESİRLİ TÜREVİ İÇİN LEIBNIZ KURALI

ARSLAN, Sevilay Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi Danışman: Doç. Dr. RECEP ŞAHİN

Temmuz 2017, 86 sayfa

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde yapılan çalışmalar ve tezin genel amacı hakkında bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde ise Gamma fonksiyonu, Beta fonksiyonu gibi temel kavramlar açıklanmıştır. Üçüncü bölümde Grünwald- Letnikov ve Riemann-Liouville kesirli türevi ele alınmıştır. Dördüncü bölümde ise Riemann-Liouville kesirli türevi yardımıyla Leibniz formülünün var olup olmadığı araştırılmıştır. Beşinci bölüm ise tartışma ve sonuç kısmına ayrılmıştır.

Anahtar Kelimeler: Gamma fonksiyonu, Grünwald-Letnikov kesirli türevi, Riemann-Liouville kesirli türevi, Leibniz Kuralı

(4)

ii ABSTRACT

LEIBNIZ RULE FOR RIEMANN-LIOUVILLE FRACTIONAL DERIVATIVE

ARSLAN, Sevilay Kırıkkale University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics, M. Sc. Thesis Supervisor: Assoc. Doç. Dr. RECEP ŞAHİN

July 2017, 86 pages

This thesis consists of five parts. In the first part, the works done and the general purpose of the thesis were given. In the second part, basic concepts such as Gamma function and Beta function are explained. In the third part, Grünwald-Letnikov and Riemann-Liouville have been discuss in the fractional derivation. In the fourth part, it has investigated the existence of Leibniz formula with Riemann-Liouville fractional derivation. The fifth part, it is divided into discussion and conclusion part.

Key words: Gamma functions, Grünwald-Letnikov fractional derivative, Riemann- Liouville fractional derivative, Leibniz rule.

(5)

iii TEŞEKKÜR

Çalışmalarım boyunca; bilgi, ilgi ve desteğini esirgemeyen, tecrübe ve katkıları ile beni yönlendiren değerli hocam Sayın Doç. Dr. Recep ŞAHİN’ e, çalışmalarım esnasında beni destekleyen Kırıkkale Üniversitesi Matematik Bölümündeki değerli hocalarıma ve eğitim hayatım boyunca da maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen değerli aileme teşekkürlerimi bir borç bilirim.

(6)

iv

İÇİNDEKİLER DİZİNİ

Sayfa

ÖZET ... i

ABSTRACT ... ii

TEŞEKKÜR ... iii

İÇİNDEKİLER DİZİNİ ………... iv

ŞEKİLLER DİZİNİ……….…...v

SİMGELER DİZİNİ………...vi

1. GİRİŞ ………. 1

1.1. Kaynak Özetleri……….. 1

1.2. Çalışmanın Amacı ……….. 2

2. TEMEL KAVRAMLAR VE TEOREMLER………...3

2.1. Gamma Fonksiyonu…………...………. 3

2.2. Beta Fonksiyonu..……….………..……...………...… 11

2.3. Çevre İntegrali………..………..………..16

3. KEYFİ BASAMAKTAN TÜREV VE ·INTEGRALLER………...20

3.1 Giriş………..…… 20

3.2. Grünwald-Letnikov Kesirli Türevi……….… 21

3.3. Riemann-Liouville Kesirli Türevi……….. 48

4. RIEMANN-LIOVILLE KESİRLİ TÜREVİ İÇİN LEIBNIZ FORMÜLÜ...68

4.1. Giriş……….………..68

4.2. Riemann-Liouville Kesirli Türevi İçin Leibniz Formülü…….……….72

5. TARTIŞMA VE SONUÇ ………...76

KAYNAKLAR ………....77

(7)

v

ŞEKİLLER DİZİNİ

ŞEKİL Sayfa

1.1. C Çevresi………..14 1.2. C Çevresi……….………..…...17

(8)

vi

SİMGELER DİZİNİ

𝛤 Gama Fonksiyonu

∑ Toplam Sembolü

∏ Çarpım Sembolü

∆ Fark Operatörü

I Birim Operatörü

𝑎𝐷_𝑡^𝛼𝑓(𝑡) Kesirli Türev

⌈𝑥⌉ 𝑥 in tam değer

(9)

1 1.GİRİŞ

Uygulamalı matematiğin birçok alanında kesirli türev konusu önemli bir yer tutmaktadır. Bu konu birçok matematikçi tarafından çalışılmış ve günümüzde de çalışılmaya devam etmektedir.

Matematiğin en temel kavramlarından birisi türevdir. Bilindiği üzere bir 𝑦 = 𝑓(𝑥) fonksiyonu bir [𝑎, 𝑏] kapalı aralığında sürekli ise ve her noktasından yalnızca bir tek teğet bulunuyorsa bu fonksiyon o noktada türevlenebilirdir denir. Bu ise 𝑦 = 𝑓^′(𝑥) ile gösterilir. Burada türevin kuvveti 1 dir ve tüm pozitif tamsayılar için türev elde edilebilir. Burada şu soru akla gelmektedir. Bu türevin kuvveti her zaman pozitif tamsayı mı olmalıdır? Yani kesirli basamaktan türev var mıdır? Gamma fonksiyonu yardımıyla bu sorunun cevabı araştırılmıştır. Grünwald-Letnikov ve Riemann- Liouville verdikleri tanımlarla bu soruya cevap aramışlardır.

𝑓 , 𝑔 fonksiyonları türevlenebilir fonksiyonlar olsunlar. Bilinmektedir ki türev operatörü temel bazı özellikleri sağlamaktadır. Bunlardan birkaçı lineerlik özelliği, toplanabilme özelliği, türevde zincir kuralı ve Leibniz formülüdür.

Bu çalışmada Riemann-Liouville kesirli türev operatörünün Leibniz formülünü sağlayıp sağlamadığı araştırılmıştır.

1.1. Kaynak özetleri

Bu tez çalışmamızda temel kavramlar için Igor Podlubny nin “Fractional Differential Equations” ve Kai Dielthelm in ’’The analiysis of Fractional Differential equations‘’

adlı kitapları referanslarımız olmuştur [1,3]. Ayrıca bu alanda çıkmış pek çok kaynaktan faydalanılmıştır. [1-14]

(10)

2 1.2. Çalışmanın Amacı

Bu tez çalışmasında Riemann-Liouville kesirli türev operatörünün Leibniz kuralını sağlayıp sağlamadığı detaylı bir şekilde incelenmiş olup ileriki çalışmalara iyi bir taban oluşturması amaçlanmıştır.

(11)

3

2. TEMEL TANIMLAR VE KAVRAMLAR

Bu bölümde diğer bölümlerde kullanılacak olan bazı temel kavramlar verilecektir.

2.1.Gamma Fonksiyonu

Gamma fonksiyonunun integral tanımı

𝛤(𝑧) = ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1

∞

0

𝑑𝑡 (2.1)

dır. Gamma fonksiyonu 𝑅𝑒(𝑧) > 0 için yakınsaktır. Gerçekten,

𝛤(𝑥 + 𝑖𝑦) = ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^{𝑥+𝑖𝑦−1}

∞

0

𝑑𝑡 = ∫ 𝑒^−𝑡

∞

0

𝑡^𝑥−1𝑡^𝑖𝑦𝑑𝑡

= ∫ 𝑒^−𝑡

∞

0

𝑡^𝑥−1𝑒^{𝑖𝑦 𝑙𝑜𝑔(𝑡)}dt

= ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑥−1

∞

0

[𝑐𝑜𝑠(𝑦 𝑙𝑜𝑔(𝑡))) + 𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝑦 𝑙𝑜𝑔(𝑡))]𝑑𝑡 (2.2)

olup köşeli parantezin içindeki ifade her 𝑡 için sınırlıdır. 𝑒^−𝑡 fonksiyonu [0, ∞) aralığında sınırlıdır. Ayrıca 𝑡^𝑥−1 tanımından dolayı her ne kadar 𝑥 = 𝑅𝑒(𝑧) > 1 olması gerektiği görünse de 𝑅𝑒(𝑧) > 0 içinde bu integral yakınsaktır.

(12)

4

2.1.1. Gamma Fonksiyonunun Bazı Özellikleri

Gamma fonksiyonunun en temel özelliklerinden birisi

𝛤(𝑧 + 1) = 𝑧𝛤(𝑧) (2.3)

dir. Bu ifade kısmi integrasyon yöntemi ile kolayca ispatlanabilir. Gerçekten

𝛤(𝑧) = ∫ 𝑒^−𝑡

∞

0

𝑡^𝑧−1𝑑𝑡

ifadesinde 𝑧 yerine 𝑧 + 1 alınırsa

𝛤(𝑧 + 1) = ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧+1−1𝑑𝑡 = ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧𝑑𝑡

∞

0

∞

0

dir. Yukarıdaki son integralde 𝑢 = 𝑡^𝑧, 𝑑𝑣 = 𝑒^−𝑡𝑑𝑡 alınarak kısmi integrasyon uygulanırsa

𝛤(𝑧 + 1) = 𝑧𝛤(𝑧)

elde edilir. Buradan açıkça görülmektedir ki 𝛤(1) = 1 dir. (2.3) ü kullanarak 𝑧 = 1,2,3, … için

𝛤(2) = 1𝛤(1) = 1.1! = 1!

𝛤(3) = 2𝛤(2) = 2.1! = 2!

𝛤(4) = 3𝛤(3) = 3.2! = 3!

⁞

𝛤(𝑛 + 1) = 𝑛𝛤(𝑛) = 𝑛(𝑛 − 1)! = 𝑛!

(13)

5 dir.

Gamma fonksiyonunun bir diğer önemli özelliği ise Gamma fonksiyonu

𝑧 = −𝑛 , (𝑛 = 0,1,2, … )

noktalarında basit kutba sahip olmasıdır. Bunu göstermek için (2.1) ifadesini

𝛤(𝑧) = ∫ 𝑒^−𝑡

∞

0

= ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 + ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1

∞

1 1

0

𝑑𝑡 (2.4)

formunda yazalım. (2.4) daki ilk integral, üstel fonksiyonun seri açılımı kullanılarak hesaplanabilir. Eğer 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑥 > 0 ise 𝑅𝑒(𝑧 + 𝑘) = 𝑥 + 𝑘 > 0 için 𝑡^𝑧+𝑘|_𝑡=0 =0 dır.

Böylece

∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1

1

0

𝑑𝑡 = ∫ ∑(−𝑡)^𝑘 𝑘!

∞

𝑘=0 1

0

= ∑(−1)^𝑘 𝑘!

∞

𝑘=0

∫ 𝑡^{𝑘+𝑧−1}

1

0

𝑑𝑡

= ∑ (−1)^𝑘 𝑘! (𝑘 + 𝑧)

∞

𝑘=0

olur.

İkinci integral, 𝑧 kompleks değişkeninin bir tam fonksiyonu olarak tanımlanabilir.

Gerçekten,

(14)

6 𝜑(𝑧) = ∫ 𝑒^−𝑡

∞

1

𝑡^𝑧−1 = ∫ 𝑒(𝑧−1) log(𝑡)𝑒^−𝑡

∞

1

𝑑𝑡 = ∫ 𝑒(𝑧−1) log(𝑡)−𝑡

∞

1

𝑑𝑡 (2.5)

dir. 𝑒(𝑧−1) log(𝑡)−𝑡 fonksiyonu keyfi 𝑧 ve 𝑡 ≥ 1 için 𝑧 ve 𝑡 nin sürekli bir fonksiyonudur. Üstelik, 𝑡 ≥ 1 için log(𝑡) ≥ 0 olduğundan dolayı 𝑒(𝑧−1)𝑙𝑜𝑔(𝑡)−𝑡

ifadesi 𝑧 nin bir tam fonksiyonudur.

Kompleks düzlemde keyfi, sınırlı ve kapalı bir 𝐷 bölgesini ele alalım.

𝑥₀ = max

𝑧𝜖𝐷 𝑅𝑒(𝑧) olsun. O halde,

= |𝑒(𝑥−1) log(𝑡)−𝑡||𝑒^{𝑖𝑦𝑙𝑜𝑔(𝑡)}|

= |𝑒(𝑥−1) log(𝑡)−𝑡| ≤ 𝑒^(𝑥⁰−1) log(𝑡)−𝑡 = 𝑒^−𝑡𝑡^𝑥⁰⁻¹

dir.

Bu demektir ki sınırlandırma 𝑧 den bağımsız olduğu için (2.5) integrali 𝐷 de düzgün yakınsaktır. Böylece 𝜑(𝑧), 𝐷 de düzgündür ve (2.5) deki integral altında türevlenebilmeye izin verir. 𝐷 bölgesi keyfi seçildiği için 𝜑(𝑧) fonksiyonunu tüm kompleks düzlemde yukarıdaki özellikleri sağlayan bir fonksiyon olarak seçebiliriz.

Dolayısıyla 𝜑(𝑧) integral işareti altında türevlenebilmeye izin veren bir tam fonksiyondur. Yukarıdaki hususları göz önüne alarak

𝛤(𝑧) = ∑ (−1)^𝑘 𝑘! (𝑘 + 𝑧)

∞

𝑘=0

+ ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1

∞

1

𝑑𝑡

= ∑ (−1)^𝑘 𝑘! (𝑘 + 𝑧)

∞

𝑘=0

+ 𝑡𝑎𝑚 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛 (2.6)

(15)

7

olduğu görülebilir. Gerçekten de 𝛤(𝑧) fonksiyonu 𝑧 = −𝑘 (𝑘 = 0,1,2, … ) de basit kutup noktalarına sahiptir.

2.1.2. Gamma Fonksiyonunun Limit Gösterimi

Gamma fonksiyonu ayrıca

𝛤(𝑧) = lim

𝑛→∞

𝑛! 𝑛^𝑧

𝑧(𝑧 + 1) … (𝑧 + 𝑛) (2.7)

limiti ile de gösterilebilir. Burada başlangıçta 𝑅𝑒(𝑧) > 0 kabul edilecektir. (2.7) yi ispatlamak için ilk olarak

𝑓_𝑛(𝑧) = ∫ (1 − 𝑡 𝑛)

𝑛

0

(2.8)

fonksiyonunu göz önüne alalım. (2.8) deki integrale ^𝑡

𝑛= 𝜏 dönüşümü uygulanırsa,

𝑓_𝑛(𝑧) = ∫(1 − 𝜏)^𝑛

1

0

(𝜏𝑛)^𝑧−1𝑛𝑑𝜏

= ∫(1 − 𝜏)^𝑛𝜏^𝑧−1𝑛^𝑧−1𝑛𝑑𝜏

1

0

= 𝑛^𝑧∫(1 − 𝜏)^𝑛𝜏^𝑧−1𝑑 𝜏

1

0

olur. Bu integrale bir kez kısmi integrasyon uygulanırsa,

(16)

8 𝑓_𝑛(𝑧) = 𝑛^𝑧[(1 − 𝜏)^𝑛𝜏^𝑧

𝑧 | 1 0

+ ∫𝜏^𝑧 𝑧

1

0

𝑛(1 − 𝜏)^𝑛−1𝑑𝜏]

= 𝑛^𝑧

𝑧 𝑛 ∫(1 − 𝜏)^𝑛−1𝜏^𝑧𝑑𝜏

1

0

elde edilir. Bu işlem n kez tekrarlanırsa

∫(1 − 𝜏)^𝑛−1𝜏^𝑧𝑑𝜏 = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … 2.1

(𝑧 + 1)(𝑧 + 2) … (𝑧 + 𝑛 − 1)∫ 𝜏^{𝑧+𝑛−1}𝑑𝜏

1

0 1

0

= (𝑛 − 1)!

(𝑧 + 1)(𝑧 + 2) … (𝑧 + 𝑛 − 1)(𝑧 + 𝑛)

olup

𝑓_𝑛(𝑧) = 𝑛^𝑧𝑛!

𝑧(𝑧 + 1)(𝑧 + 2) … (𝑧 + 𝑛 − 1)(𝑧 + 𝑛) (2.9)

dir. Diğer taraftan

𝑛→∞lim (1 − 𝑡 𝑛)

𝑛

= 𝑒^−𝑡

olduğu dikkate alınırsa

𝑛→∞lim 𝑓_𝑛(𝑧) = lim

𝑛→∞∫ (1 − 𝑡 𝑛)

𝑛 𝑛

0

yazılabilir. Eğer yukarıdaki ifadede limitle integral yer değiştirebiliyorsa (2.7) deki Gamma fonksiyonunun limit gösterimi ispatlanmış olur. Yani

(17)

9 lim

𝑛→∞𝑓_𝑛(𝑧) = ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 = 𝛤(𝑧) (2.10)

∞

0

dir. Bunu göstermek için ∆ farkını hesaplayalım.

∆= ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1

∞

0

𝑑𝑡 − 𝑓_𝑛(𝑧)

= ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 − ∫ (1 −𝑡 𝑛)

𝑛 𝑛

0

∞

0

= ∫ 𝑒^−𝑡

𝑛

0

𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 + ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1

∞

𝑛

𝑑𝑡 − ∫ (1 − 𝑡 𝑛)

𝑛 𝑛

0

= ∫ [𝑒^−𝑡− (1 −𝑡 𝑛)

𝑛

] 𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 + ∫ 𝑒^−𝑡

∞

𝑛 𝑛

0

𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 (2.11)

Şimdi keyfi bir 𝜀 > 0 sayısını alalım. (2.1) deki integral 𝑅𝑒(𝑧) > 0 için yakınsak olduğundan dolayı 𝑛 ≥ 𝑁 olduğunda

|∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1𝑑𝑡

∞

𝑛

| ≤ ∫ |𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1|𝑑𝑡

∞

𝑛

≤ ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑥−1𝑑𝑡

∞

𝑛

< 𝜀

3 , (𝑥 = 𝑅𝑒(𝑧)) (2.12)

olacak şekilde bir 𝑁 sayısı vardır. 𝑛 > 𝑁 göz önüne alınırsa ∆ üç integralin toplamı şeklinde yazılabilir. Yani

∆= (∫ + ∫

𝑛

𝑁 𝑁

0

) [𝑒^−𝑡− (1 −𝑡 𝑛)

𝑛

] 𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 + ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1

∞

𝑛

𝑑𝑡 (2.13)

(18)

10 dir. Son integralin mutlak değeri ^𝜀

3 den küçük olup, ikinci integralde 𝑥 = 𝑅𝑒(𝑧) için |∫ [𝑒^−𝑡− (1 −𝑡

𝑛)

𝑛

]

𝑛

𝑁

𝑡^𝑧−1| 𝑑𝑡 ≤ ∫ [𝑒^−𝑡− (1 −𝑡 𝑛)

𝑛

]

𝑛

𝑁

𝑡^𝑥−1𝑑𝑡

< ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑥−1

∞

𝑁

𝑑𝑡 <𝜀

3 (2.14)

elde edilebilir.

(2.13) daki ilk integralin hesabı için

0 < 𝑒^−𝑡− (1 −𝑡 𝑛)

𝑛

< 𝑡²

2𝑛 , (0 < 𝑡 < 𝑛) (2.15)

şeklinde yardımcı bir eşitsizlik kullanılmaktadır. Buradan

1 − 𝑒^𝑡(1 − 𝑡 𝑛)

𝑛

= ∫ 𝑒^𝜏(1 − 𝜏 𝑛)

𝑛𝜏 𝑛

𝑡

0

𝑑𝜏 (2.16)

ve

0 < ∫ 𝑒^𝜏(1 −𝜏 𝑛)

𝑡 𝑛

0

𝜏

𝑛𝑑𝜏 < ∫ 𝑒^𝜏

𝑡

0

𝜏

𝑛𝑑𝜏 = 𝑒^𝑡 𝑡²

2𝑛 (2.17)

dir. (2.15) eşitsizliğini kullanarak yeterince büyük 𝑛 ler ve sabit 𝑁 ler için

|∫ [𝑒^−𝑡− (1 − 𝑡 𝑛)

𝑛

] 𝑡^𝑧−1𝑑𝑡

𝑁

0

| < 1

2𝑛∫ 𝑡^𝑥+1𝑑𝑡 <𝜀 3

𝑁

0

(2.18)

(19)

11

yazılabilir. (2.12), (2.14) ve (2.18) eşitsizlikleri göz önüne alınırsa keyfi 𝜀 için (2.10) daki limit ve integral yer değiştirebilir. Bu da 𝑅𝑒(𝑧) > 0 için Gamma fonksiyonunun limit gösterimi olan (2.7) deki formülünün ispatını tamamlar.

(2.3) yardımı ile 𝑅𝑒(𝑧) > 0 koşulu yerine 𝑧 ≠ 0, −1, −2, … alınabilir. Gerçekten de 𝑚 pozitif bir tamsayı olmak üzere −𝑚 < 𝑅𝑒(𝑧) < −𝑚 + 1 ise

𝛤(𝑧) = 𝛤(𝑧 + 𝑚)

𝑧(𝑧 + 1) … (𝑧 + 𝑚 − 1)

(2.7) eşitliğinde

𝛤(𝑧 + 𝑚) = lim

𝑛→∞

𝑛! 𝑛^𝑧+𝑚

(𝑧 + 𝑚)(𝑧 + 𝑚 + 1) … (𝑧 + 𝑚 + 𝑛)

nin yerine yazılmasıyla

𝛤(𝑧) =

𝑛→∞lim

(𝑧 + 𝑚)(𝑧 + 𝑚 + 1) … (𝑧 + 𝑚 + 𝑛) 𝑧(𝑧 + 1) … (𝑧 + 𝑚 − 1)

= 1

𝑧(𝑧 + 1) … (𝑧 + 𝑚 − 1) lim

𝑛→∞

(𝑧 + 𝑚)(𝑧 + 𝑚 + 1) … (𝑧 + 𝑚 + 𝑛)

= 1

𝑧(𝑧 + 1) … (𝑧 + 𝑚 − 1) lim

𝑛→∞

(𝑛 − 𝑚)^𝑧+𝑚(𝑛 − 𝑚)!

(𝑧 + 𝑚)(𝑧 + 𝑚 + 1) … (𝑧 + 𝑛)

= lim

𝑛→∞

𝑛^𝑧𝑛!

𝑧(𝑧 + 1) … (𝑧 + 𝑛)

elde edilir.

2.2. Beta Fonksiyonu

(20)

12

Bazı durumlarda Gamma fonksiyonunun belirli kombinasyonları yerine Beta fonksiyonu olarak adlandırılan bir bağıntı kullanmak daha uygun olur. Beta fonksiyonu genellikle,

𝐵(𝑧, 𝑤) = ∫ 𝜏^𝑧−1(1 − 𝜏)^𝑤−1𝑑𝜏

1

0

(2.19)

(𝑅𝑒(𝑧) > 0 , 𝑅𝑒(𝑤) > 0)

şeklinde tanımlanır.

(2.1) ile verilen Gamma fonksiyonu ile (2.19) daki Beta fonksiyonu arasında bir ilişki kurabilmek için Laplace dönüşümü kullanılabilir. Şimdi aşağıdaki

ℎ_𝑧,𝑤(𝑡) = ∫ 𝜏^𝑧−1(1 − 𝜏)^𝑤−1𝑑𝜏 (2.20)

𝑡

0

integralini göz önüne alalım. Açıktır ki ℎ_𝑧,𝑤(𝑡), 𝑡^𝑧−1 ve 𝑡^𝑤−1 fonksiyonunun konvolüsyonudur ve ℎ_𝑧,𝑤(1) = 𝐵(𝑧, 𝑤) dır.

İki fonksiyonun konvolüsyonunun Laplace dönüşümü, onların Laplace dönüşümünün çarpımına eşit olduğundan,

𝐻_𝑧,𝑤(𝑠) =𝛤(𝑧) 𝑠^𝑧

𝛤(𝑤)

𝑠^𝑤 = 𝛤(𝑧)𝛤(𝑤)

𝑠^𝑧+𝑤 (2.21)

olur. Burada 𝐻_𝑧,𝑤(𝑠) , ℎ_𝑧,𝑤(𝑡) nin Laplace dönüşümüdür.

Diğer taraftan, 𝛤(𝑧)𝛤(𝑤) çarpımı sabit olduğundan (2.21) nin sağ tarafının Ters Laplace dönüşümü alınarak ℎ_𝑧,𝑤(𝑡) orijinal fonksiyonu tekrar elde edilebilir. Laplace dönüşümünün tekliğinden

(21)

13 ℎ_𝑧,𝑤(𝑡) =𝛤(𝑧)𝛤(𝑤)

𝛤(𝑧 + 𝑤) 𝑡^{𝑧+𝑤−1} (2.22)

olup, 𝑡 = 1 alınırsa Beta fonksiyonunun en bilinen özelliklerinden birisi olan 𝐵(𝑧, 𝑤) =𝛤(𝑧)𝛤(𝑤)

𝛤(𝑧 + 𝑤) (2.23)

elde edilir. Ayrıca, buradan

𝐵(𝑧, 𝑤) = 𝐵(𝑤, 𝑧) (2.24)

olduğu görülebilir.

Beta fonksiyonu yardımıyla Gamma fonksiyonu için aşağıdaki iki önemli eşitlik verilebilir. Bunlardan birincisi

𝐵(𝑧, 1 − 𝑧) = 𝛤(𝑧)𝛤(1 − 𝑧) = 𝜋

sin (𝜋𝑧) (2.25)

dir. Bu formül 0 < 𝑅𝑒(𝑧) < 1 ve 𝑧 ≠ 0, ±1, ±2, … koşulları altında geçerlidir.

Şimdi bunu gösterelim. (2.23) ve (2.19) eşitliklerini kullanarak

𝛤(𝑧)𝛤(1 − 𝑧) = 𝐵(𝑧, 1 − 𝑧) = ∫ ( 𝑡 1 − 𝑡)

𝑧−1 𝑑𝑡 1 − 𝑡

1

0

(2.26)

yazabiliriz. Bu integral 0 < 𝑅𝑒(𝑧) < 1 için yakınsaktır. (2.26) deki integralde 𝜏 =

𝑡

1−𝑡 değişken değişimi yapılırsa

𝛤(𝑧)𝛤(1 − 𝑧) = ∫ 𝜏^𝑧−1 1 + 𝜏

∞

0

𝑑𝜏 (2.27)

elde edilir. Şimdi

(22)

14

∫ 𝑓(𝑠)𝑑𝑠 , 𝑓(𝑠) = 𝑠^𝑧−1 1 + 𝑠

𝐿

(2.28)

integralini göz önüne alalım.

Şekil 1.1. C Çevresi

𝑓(𝑠) fonksiyonunun 𝑠 = 𝑒^𝜋𝑖 de bir basit kutbu vardır. Bu nedenle şekildeki 𝑅 > 1 için

∫ 𝑓(𝑠)𝑑𝑠 = 2𝜋𝑖[𝑅𝑒𝑠𝑓(𝑠)]_𝑠=𝑒𝜋𝑖 = −2𝜋𝑖𝑒^𝜋𝑖𝑧 (2.29)

𝐶

dir. Öte yandan C çevresi boyunca eğrisel integral alınır ve Rezidü teoremi göz önünde bulundurulursa 𝜀 → 0 ve 𝑅 → ∞ için

∫ 𝑓(𝑠)𝑑𝑠 = 2𝜋𝑖[𝑅𝑒𝑠𝑓(𝑠)]_𝑠=𝑒𝜋𝑖 𝐶

= −2𝜋𝑖𝑒^𝑖𝜋𝑧 = 𝛤(𝑧)𝛤(1 − 𝑧)(1 − 𝑒^{2𝜋𝑖𝑧}) (2.30)

(23)

15 olup, buradan

𝛤(𝑧)𝛤(1 − 𝑧) = 2𝜋𝑖𝑒^𝑖𝜋𝑧

𝑒^{2𝜋𝑖𝑧}− 1 = 𝜋

sin(𝜋𝑧) , (0 < 𝑅𝑒(𝑧) < 1) (2.31) bulunur.

Eğer 𝑚 < 𝑅𝑒(𝑧) < 𝑚 + 1 ise 𝑧 = 𝛼 + 𝑚 de alınabilir. Burada 𝛼, 0 < 𝑅𝑒(𝛼) < 1 özelliğini sağlayan bir reel sayıdır. (2.3) kullanılırsa

𝛤(𝑧)𝛤(1 − 𝑧) = (−1)^𝑚𝛤(𝛼)𝛤(1 − 𝛼)

=(−1)^𝑚𝜋

sin(𝜋𝛼) = 𝜋

sin(𝜋(𝛼 + 𝑚))= 𝜋

sin(𝜋𝑧) (2.32)

elde edilir ki bu bize (2.25) in 𝑧 ≠ 0, ∓1, ∓2, … için de geçerli olduğunu gösterir.

(2.25) de 𝑧 =¹

2 alınarak Gamma fonksiyonunun iyi bilinen bir diğer özelliği olan

𝛤 (1

2) = √𝜋 (2.33)

elde edilir.

Gamma fonksiyonu için ikinci önemli eşitlik, Beta fonksiyonu yardımıyla kolayca elde edilebilen

√𝜋𝛤(2𝑧) = 2^2𝑧−1𝛤(𝑧)𝛤 (𝑧 +1

2) (2.34)

(2𝑧 ≠ 0, −1, −2, … . )

Legendre formülüdür. (2.34) ı ispatlamak için

(24)

16

𝐵(𝑧, 𝑧) = ∫[𝜏(1 − 𝜏)]^𝑧−1𝑑𝜏 (2.35)

1

0

eşitliğini göz önüne alalım. 𝑦(𝜏) = 𝜏(1 − 𝜏) fonksiyonunun simetrik olduğu göz önüne alınır ve 𝑠 = 4𝜏(1 − 𝜏) değişken değişimi yapılırsa

𝐵(𝑧, 𝑧) = 2 ∫[𝜏(1 − 𝜏)]^𝑧−1𝑑𝜏

1 2

0

= 2 ∫ (𝑠 4)

𝑧−1 𝑑𝑠 4(1 − 𝑠)¹²

1 2

0

= 1

2^2𝑧−1∫ 𝑠^𝑧−1 2^2𝑧−2

1 2

0

𝑑𝑠 2²(1 − 𝑠)¹²

= 1

2^2𝑧−1∫ 𝑠^𝑧−1(1 − 𝑠)⁻¹²

1

0

𝑑𝑠

= 2^1−2𝑧𝐵 (𝑧,1

2) (2.36)

dir. (2.36) da (2.23) kullanılırsa (2.34) Legenre formülü elde edilir.

(2.34) da 𝑧 = 𝑛 +¹

2 alınarak Gamma fonksiyonunun

𝛤 (𝑛 +1 2) =

√𝜋𝛤 (2 (𝑛 +1 2)) 2^2(𝑛+¹²⁾⁻¹𝛤 (𝑛 +1

2 + 1 2)

=√𝜋𝛤(2𝑛 + 1)

2^2𝑛𝛤(𝑛 + 1) =√𝜋(2𝑛)!

2^2𝑛𝑛! (2.37)

değeri elde edilir.

2.3. Çevre İntegrali

(25)

17

Gamma fonksiyonunun (2.7) tanımındaki 𝑡 değişkeni reeldir. Eğer 𝑡 kompleks değişken ise 𝑒(𝑧−1) log(𝑡)−𝑡 fonksiyonu için 𝑡 = 0 noktası bir dallanma noktası olur.

Kompleks 𝑡 düzleminin reel yarı ekseni 𝑡 = 0 dan 𝑡 = +∞ a kadar olan kısmı kompleks düzlemden çıkarılırsa fonksiyon geri kalan yerde tek değerli olur. Bu nedenle Cauchy teoremine göre

∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 = ∫ 𝑒(𝑧−1) ln(𝑡)−𝑡𝑑𝑡

𝐶 𝐶

integrali herhangi bir 𝐶 çevresi boyunca iki ucuda 𝑡 = 0 ile 𝑡 = +∞ boyunca her iki uçta aynı değere sahiptir. Şimdi 𝐶 çevresini Şekil 1.2 deki gibi alalım. Şekildeki kesitin üst kısmında yani (𝜀, +∞) aralığında ln 𝑡 reel olarak alınırsa

𝑡^𝑧−1= 𝑒^{(𝑧−1)ln(𝑡)}

olur. Alt kısımda ise ln (𝑡) yerine ln𝑡 + 2𝜋𝑖 alınarak

𝑡^𝑧−1 = 𝑒(𝑧−1)[ln(𝑡)+2𝜋𝑖]= 𝑒^{(𝑧−1)ln(𝑡)}𝑒^{(𝑧−1)2𝜋𝑖}

= 𝑡^𝑧−1𝑒^{2(𝑧−1)𝜋𝑖}

bulunur.

(26)

18

Şekil 1.2. C Çevresi

Böylece

∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 = ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 + ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 + 𝑒^{2(𝑧−1)𝜋𝑖}∫ 𝑒^−𝑡

+∞

𝜀 𝐶_𝜀

𝜀

+∞

𝐶

𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 (2.38)

dır.

Şimdi 𝜀 → 0 için 𝐶_𝜀 boyunca integralin sıfıra gittiğini gösterelim. Aslında, 𝐶_𝜀 da

|𝑡| = 𝜀 ve

𝑀 = max

𝑡𝜖𝐶𝜀

|𝑒^{−𝑦𝑎𝑟𝑔(𝑡)−𝑡}| , (𝑦 = 𝐼𝑚(𝑧))

dersek 𝑀, 𝑡 den bağımsız olur. (𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦)

| ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1𝑑𝑡

𝐶𝜀

| ≤ ∫|𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1|

𝐶𝜀

𝑑𝑡 = ∫|𝑡^𝑥−1|

𝐶𝜀

|𝑒^{−𝑦𝑎𝑟𝑔(𝑡)−𝑡}|𝑑𝑡

≤ 𝑀𝜀^𝑥−1 ∫ 𝑑𝑡 = 𝑀𝜀^𝑥−1

𝐶𝜀

2𝜋𝜀 = 2𝜋𝑀𝜀^𝑥

(27)

19 elde edilir ve buradan

lim

𝜖→0 ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 = 0 (2.39)

𝐶𝜀

ve

∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 = ∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 + 𝑒^{2(𝑧−1)𝜋𝑖}

0

+∞

𝐶

∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 (2.40)

+∞

0

dır. (2.1) kullanılırsa

𝛤(𝑧) = 1

𝑒^{2𝜋𝑖𝑧}− 1∫ 𝑒^−𝑡

𝐶

𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 (2.47)

bulunur. 𝑒^{2𝑧𝜋𝑖}− 1 fonksiyonunun 𝑧 = 0, ±1, ±2, … noktalarında sıfır yeri vardır.

𝑧 = 1,2, … noktalarında 𝛤(𝑧) nin kutupları yoktur. Çünkü bu durumda 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1 analitik fonksiyonu tek değerlidir ve Cauchy teoremine göre

∫ 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1𝑑𝑡 = 0

𝐶

dır.

Eğer 𝑧 = 0, −1, −2, … ise 𝑒^−𝑡𝑡^𝑧−1 fonksiyonu 𝑡 nin bir tam fonksiyonu değildir ve 𝐶 çevresi boyunca integrali 0’a eşit olmayabilir. Bu yüzden, 𝑧 = 0, −1, −2, … noktaları 𝛤(𝑧) nin kutup noktalarıdır.

(28)

20

3. KEYFİ BASAMAKTAN TÜREV VE ·İNTEGRALLER

Bu bölümde diferansiyel ve integral kavramlarının genelleştirilmiş halleri göz önüne alınacaktır.

3.1. Giriş

Keyfi basamaktan türevler ve integraller teorisinin ismi olan kesirli analiz 𝑛 −kez integrallenme ve tamsayı basamaktan diferansiyellenme notasyonlarının genelleştirilmesi ve birleştirilmesidir. Şimdi sırasıyla

… , ∫ 𝑑𝜏₂

𝑡

𝑎

∫ 𝑓(𝜏₁)𝑑𝜏₁ , ∫ 𝑓(𝜏₁)𝑑𝜏₁ , 𝑓(𝑡)

𝑡

𝑎 𝜏2

𝑎

,𝑑𝑓(𝑡)

𝑑𝑡 ,𝑑²𝑓(𝑡) 𝑑𝑡² , …

𝑛 − kez integrallenme ve 𝑛 −kez türevlenme ifadelerini göz önüne alalım. Keyfi 𝛼 reel basamaktan türev almak yukarıdaki operatörlerin bir interpolasyonu olarak düşünülebilir. Biz bunu

(29)

21 𝐷_𝑡^𝛼

𝑎 𝑓(𝑡) notasyonu ile göstereceğiz.

Keyfi basamaktan türeve kısaca kesirli türev denilir. Kesirli integral ise kesirli türevde 𝛼 nın negatif değerlerine karşılık gelecektir. Böylece 𝛽 > 0 basamaktan bir kesirli integral _𝑎𝐷_𝑡^−𝛽𝑓(𝑡) ile gösterilir. Kesirli denklem kesirli türevleri içeren denklemdir. Kesirli integral ise kesirli integralleri içeren integral denklemdir. Kesirli basamaktan sistemler, kesirli diferansiyel denklem, kesirli integral denklem veya bu denklemlerin bir birleşimi olarak ifade edilen sistemdir.

3.2. Grünwald-Letnikov Kesirli Türevi

3.2.1. Tamsayı Basamaktan Türevlerin ve İntegrallerin Birleştirilmesi

Bu bölümde klasik analizde farklı olarak verilen iki notasyonun ortak ifadesine yaklaşımlar ele alınacaktır. Bunlar 𝑛 yinci basamaktan türev ve 𝑛 katlı integrallerdir.

Aşağıda göstereceğimiz gibi bu notasyonlar zannedilenin aksine birbirlerine daha yakındır.

Şimdi sürekli bir 𝑦 = 𝑓(𝑡) fonksiyonunu göz önüne alalım. Bilindiği gibi 𝑓(𝑡) fonksiyonunun birinci basamaktan türevi

𝑓^′(𝑡) =𝑑𝑓 𝑑𝑡 = lim

ℎ→0

𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑡 − ℎ)

ℎ (3.1) şeklinde tanımlanır. (3.1) in bir kez daha türevi alınırsa

𝑓^′′(𝑡) =𝑑²𝑓 𝑑𝑡² = lim

ℎ→0

𝑓^′(𝑡) − 𝑓^′(𝑡 − ℎ) ℎ

(30)

22

= lim

ℎ→0

1

ℎ{𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑡 − ℎ)

ℎ −𝑓(𝑡 − ℎ) − 𝑓(𝑡 − 2ℎ)

ℎ }

= lim

ℎ→0

𝑓(𝑡) − 2𝑓(𝑡 − ℎ) + 𝑓(𝑡 − 2ℎ)

ℎ² (3.2)

dir. (3.1) ve (3.2) kullanılarak

𝑓^′′′(𝑡) =𝑑³𝑓 𝑑𝑡³ = lim

ℎ→0

𝑓(𝑡) − 3𝑓(𝑡 − ℎ) + 3𝑓(𝑡 − 2ℎ) − 𝑓(𝑡 − 3ℎ)

ℎ³ (3.3)

bulunur. Bu işlem 𝑛 kez tekrarlanırsa

𝑓^(𝑛)(𝑡) =𝑑^𝑛𝑓 𝑑𝑡^𝑛 = lim

ℎ→0

1

ℎ^𝑛∑(−1)^𝑟

𝑛

𝑟=0

(𝑛

𝑟) 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) (3.4)

elde edilir. Burada

(𝑛

𝑟) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑟 + 1)

𝑟! (3.5)

dir. Şimdi (3.1) - (3.4) deki ifadelerin

𝑓_ℎ^(𝑝)(𝑡) = 1

ℎ^𝑝∑(−1)^𝑟

𝑛

𝑟=0

(𝑝

𝑟) 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) (3.6)

şeklindeki genellemesini göz önüne alalım. Burada 𝑝 keyfi bir tamsayı ve 𝑛 de (3.4) deki gibi bir tamsayıdır.

Açık olarak (3.5) den (𝑝

𝑝) den sonraki tüm katsayıların sıfıra eşit olmasından dolayı, 𝑝 ≤ 𝑛 için

(31)

23 lim

ℎ→0𝑓_ℎ^(𝑝)(𝑡) = 𝑓^(𝑝)(𝑡) =𝑑^𝑝𝑓

𝑑𝑡^𝑝 (3.7)

dir. Şimdi 𝑝 nin negatif değerlerini alalım. Uygunluk için

[𝑝

𝑟] =𝑝(𝑝 + 1)(𝑝 + 2) … (𝑝 + 𝑟 − 1)

𝑟! (3.8) şeklinde tanımlanırsa

(−𝑝

𝑟 ) =−𝑝(−𝑝 − 1) … (−𝑝 − 𝑟 + 1)

𝑟! = (−1)^𝑟[𝑝

𝑟] (3.9)

bulunur. (3.6) da 𝑝 yerine −𝑝 alınırsa 𝑓_ℎ^(−𝑝)(𝑡) = 1

ℎ^−𝑝∑ [𝑝

𝑟] 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) (3.10)

𝑛

𝑟=0

yazılabilir. Burada 𝑝 pozitif bir tam sayıdır.

Eğer 𝑛 sabit tutulursa, 𝑓_ℎ^(−𝑝)(𝑡) ifadesi ℎ → 0 için sıfır olur. Sıfırdan farklı bir limite ulaşmak için ℎ → 0 iken 𝑛 → ∞ kabul etmemiz gerekir. Böylece 𝑎 reel sabit olmak üzere ℎ =^𝑡−𝑎

𝑛 alınabilir ve 𝑓_ℎ^(−𝑝)(𝑡) nın sonlu ya da sonsuz olan limit değerleri göz önüne alınırsa bu ifade

lim

𝑛ℎ=𝑡−𝑎ℎ→0

𝑓_ℎ^(−𝑝)(𝑡) = 𝐷_𝑎 _𝑡^(−𝑝)𝑓(𝑡)

(3.11)

ile gösterilebilir.

Şimdi aşağıdaki birkaç özel durumu düşünelim: İlk olarak 𝑝 = 1 için

𝑓_ℎ⁽⁻¹⁾(𝑡) = ℎ ∑ [1 𝑟]

𝑛

𝑟=0

𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) (3.12)

(32)

24

dir. 𝑡 − 𝑛ℎ = 𝑎 olduğu dikkate alınır ve 𝑓(𝑡) fonksiyonunun sürekli olduğu göz önüne alınırsa

lim

ℎ→0 𝑛ℎ=𝑡−𝑎

𝑓_ℎ⁽⁻¹⁾(𝑡) = 𝐷_𝑡⁻¹𝑓(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡 − 𝑧)𝑑𝑧 = ∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏 (3.13)

𝑡

𝑎 𝑡−𝑎

0 𝑎

elde edilir.

Şimdi 𝑝 = 2 alalım. Bu durumda

[2

𝑟] =2.3 … (2 + 𝑟 − 1)

𝑟! = 𝑟 + 1

olup

𝑓_ℎ⁽⁻²⁾(𝑡) = ℎ ∑(𝑟 + 1)ℎ𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) (3.14)

𝑛

𝑟=0

elde edilir. 𝑡 + ℎ = 𝑦 alınırsa

𝑓_ℎ⁽⁻²⁾(𝑡) = ℎ ∑ 𝑟ℎ𝑓(𝑦 − 𝑟ℎ) (3.15)

𝑛+1

𝑟=1

yazılabilir ve ℎ → 0 için

limℎ→0 𝑛ℎ=𝑡−𝑎

𝑓_ℎ⁽⁻²⁾(𝑡) = 𝐷_𝑡⁻²𝑓(𝑡) = ∫ 𝑧𝑓(𝑡 − 𝑧)𝑑𝑧 = ∫(𝑡 − 𝜏)𝑓(𝜏)𝑑𝜏

𝑡

𝑎 𝑡−𝑎

0 𝑎

(3.16)

elde edilir. Burada ℎ → 0 için 𝑦 → 𝑡 dir.

𝑝 = 3 durumu bize 𝐷_𝑎 _𝑡^−𝑝 için genel ifadeyi gösterecektir.

(33)

25 [3

𝑟] =3.4 … (3 + 𝑟 − 1)

𝑟! =(𝑟 + 1)(𝑟 + 2)

1.2 olduğundan

𝑓_ℎ⁽⁻³⁾(𝑡) = ℎ

1.2∑(𝑟 + 1)(𝑟 + 2)ℎ²

𝑛

𝑟=0

𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) (3.17)

dir. Yukarıdaki gibi 𝑡 + ℎ = 𝑦 dersek

𝑓_ℎ⁽⁻³⁾(𝑡) = ℎ

1.2∑ 𝑟(𝑟 + 1)ℎ²

𝑛+1

𝑟=1

𝑓(𝑦 − 𝑟ℎ) (3.18) bulunur. Bu ifade

𝑓_ℎ⁽⁻³⁾(𝑡) = ℎ

1.2∑(𝑟ℎ)²𝑓(𝑦 − 𝑟ℎ) + ℎ² 1.2

𝑛+1

𝑟=1

∑ 𝑟ℎ𝑓(𝑦 − 𝑟ℎ) (3.19)

𝑛+1

𝑟=1

şeklinde de yazılabilir. Böylece, ℎ → 0 için

𝐷_𝑎 _𝑡⁻³𝑓(𝑡) = 1

2!∫ 𝑧²𝑓(𝑡 − 𝑧)𝑑𝑧 = 1 2!

𝑡−𝑎

0

∫(𝑡 − 𝜏)²𝑓(𝜏)𝑑𝜏 (3.20)

𝑡

𝑎

dir. ℎ → 0 için 𝑦 → 𝑡 olduğundan

lim

ℎ²

1.2∑ 𝑟ℎ𝑓(𝑦 − 𝑟ℎ) = lim

ℎ ∫(𝑡 − 𝜏)𝑓(𝜏)𝑑𝜏 = 0

𝑡

𝑎 𝑛+1

𝑟=1

dır.

(3.13) − (3.20) den genel gösterim

(34)

26 𝐷_𝑡^−𝑝𝑓(𝑡) = lim

ℎ^𝑝∑ [𝑝

𝑟] 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) = 1

(𝑝 − 1)!∫(𝑡 − 𝜏)^𝑝−1𝑓(𝜏)𝑑𝜏 (3.21)

𝑡

𝑎 𝑛

𝑟=0 𝑎

şeklinde elde edilebilir.

(3.21) formülü tümevarımla ispatlanabilir. 𝑝 için doğruluğunu kabul edip 𝑝 + 1 için doğruluğunu gösterelim. Açıktır ki

𝑓₁(𝑡) = ∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏 (3.22)

𝑡

𝑎

fonksiyonu 𝑓₁(𝑎) = 0 özelliğine sahiptir.

𝐷_𝑡^−𝑝−1𝑓(𝑡) = lim_ℎ→0

𝑛ℎ=𝑡−𝑎

ℎ^𝑝+1∑ [𝑝 + 1

𝑟 ] 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ)

𝑛

𝑟=0 𝑎

= lim_ℎ→0

𝑛ℎ=𝑡−𝑎

ℎ^𝑝∑ [𝑝 + 1

𝑟 ] 𝑓₁(𝑡 − 𝑟ℎ) − lim_ℎ→0

𝑛ℎ=𝑡−𝑎

ℎ^𝑝∑ [𝑝 + 1

𝑟 ] 𝑓₁(𝑡 − (𝑟 + 1)ℎ)

𝑛

𝑟=0

(3.23)

𝑛

𝑟=0

eşitliğini göz önüne alalım. (3.8) i kullanarak

[𝑝 + 1 𝑟 ] = [𝑝

𝑟] + [𝑝 + 1

𝑟 − 1] yazılabilir. Burada

[𝑝 + 1

−1 ] = 0

dır. (3.24) deki ilişki (3.23) deki ilk toplama uygulanırsa ve ikinci toplamda 𝑟 yerine (𝑟 − 1) yazılırsa

(35)

27 𝐷_𝑡^−𝑝−1 = lim_ℎ→0

𝑛ℎ=𝑡−𝑎

ℎ^𝑝∑ [𝑝

𝑟] 𝑓₁(𝑡 − 𝑟ℎ) + lim_ℎ→0

𝑛ℎ=𝑡−𝑎

ℎ^𝑝∑ [𝑝 + 1

𝑟 − 1] 𝑓₁(𝑡 − 𝑟ℎ)

𝑛

𝑟=0 𝑛

𝑟=0 𝑎

− lim_ℎ→0

𝑛ℎ=𝑡−𝑎

ℎ^𝑝∑ [𝑝 + 1

𝑟 − 1] 𝑓₁(𝑡 − 𝑟ℎ)

𝑛+1

𝑟=1

= 𝐷_𝑎 _𝑡^−𝑝𝑓₁(𝑡) − limℎ→0 𝑛ℎ=𝑡−𝑎

ℎ^𝑝[𝑝 + 1

𝑛 ] 𝑓₁(𝑡 − (𝑛 + 1)ℎ)

= 𝐷_𝑎 _𝑡^−𝑝𝑓₁(𝑡) − (𝑡 − 𝑎)^𝑝 lim

𝑛→∞[𝑝 + 1 𝑛 ] 1

𝑛^𝑝𝑓₁(𝑎 −𝑡 − 𝑎 𝑛 )

elde edilir ve (3.22) deki 𝑓₁(𝑡) fonksiyonunun tanımından

𝑛→∞lim 𝑓₁(𝑎 −𝑡 − 𝑎 𝑛 ) = 0

bulunur. (2.13) deki Gamma fonksiyonunun tanımından

𝑛→∞lim [𝑝 + 1 𝑛 ] 1

𝑛^𝑝 = lim

𝑛→∞

(𝑝 + 1)(𝑝 + 2) … (𝑝 + 1 + 𝑛 − 1) 𝑛!

1

𝑛^𝑝 = 1

𝛤(𝑝 + 1)

olduğu kullanılırsa

𝐷_𝑎 _𝑡^−𝑝−1𝑓(𝑡) = 𝐷_𝑎 _𝑡^−𝑝𝑓₁(𝑡) = 1

(𝑝 − 1)!∫(𝑡 − 𝜏)^𝑝−1𝑓₁

𝑡

𝑎

(𝜏)𝑑𝜏

=−(𝑡 − 𝜏)^𝑝𝑓₁(𝜏)

𝑝! |𝜏 = 𝑡

𝜏 = 𝑎 + 1

𝑝!∫(𝑡 − 𝜏)^𝑝

𝑡

𝑎

𝑓(𝜏)𝑑𝜏

= 1

𝑝!∫(𝑡 − 𝜏)^𝑝

𝑡

𝑎

𝑓(𝜏)𝑑𝜏 (3.25)

(36)

28 bulunur. Böylece (3.21) formülü ispatlanmış olur.

Şimdi (3.21) deki formülün 𝑝 −katlı integrali temsil ettiğini gösterelim.

𝑑

𝑑𝑡( 𝐷_𝑎 _𝑡^−𝑝𝑓(𝑡)) = 1

(𝑝 − 2)!∫(𝑡 − 𝜏)^𝑝−2𝑓(𝜏)𝑑𝜏 = 𝐷_𝑎 _𝑡^−𝑝+1𝑓(𝑡)

𝑡

𝑎

ifadesinin 𝑎 dan 𝑡 ye integre edilmesiyle

𝐷_𝑎 _𝑡^−𝑝𝑓(𝑡) = ∫ ( 𝐷_𝑎 _𝑡^−𝑝+1𝑓(𝑡)) 𝑑𝑡

𝑡

𝑎

𝐷_𝑡^−𝑝+1𝑓(𝑡) = ∫( 𝐷_𝑎 _𝑡^−𝑝+2𝑓(𝑡))𝑑𝑡

𝑡

𝑎 𝑎

elde edilir. Böylece

𝐷_𝑎 _𝑡^−𝑝𝑓(𝑡) = ∫ 𝑑𝑡 ∫( 𝐷_𝑎 _𝑡^−𝑝+2𝑓(𝑡))𝑑𝑡

𝑡

𝑎 𝑡

𝑎

= ∫ 𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑡 ∫( 𝐷_𝑎 _𝑡^−𝑝+3𝑓(𝑡))𝑑𝑡

𝑡

𝑎 𝑡

𝑎

= ∫ 𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑡 … ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑡

𝑎 𝑡

𝑎⏟

𝑝−𝑘𝑒𝑟𝑒

(3.26)

olur.

(37)

29

𝑓(𝑡) sürekli fonksiyonunun 𝑛 tamsayı basamaktan (3.4) türevinin ve 𝑝 −katlı (3.21) integralinin

𝐷_𝑎 _𝑡^𝑝𝑓(𝑡) = lim

ℎ^−𝑝∑(−1)^𝑟(𝑝

𝑟) 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ)

𝑛

𝑟=0

(3.27)

genel ifadesinin birer özel durumları olduğu görülebilir. Eğer 𝑝 = 𝑚 alınırsa 𝑚. basamaktan türevi ve 𝑝 = −𝑚 alırsak 𝑚 −katlı integrali elde edilir.

Bu gözlem doğal olarak (3.27) deki 𝑝 nin keyfi reel veya kompleks sayı olması durumunda diferensiyel ve integral gösteriminin genel düşüncesi hakkında yol göstermektedir. Biz dikkatimizi 𝑝 nin reel olması durumuna kısıtlayacağız.

3.2.2. Keyfi Basamaktan İntegraller

𝑝 < 0 olma durumunu göz önüne alalım. Uygunluk için (3.27) de 𝑝 yerine −𝑝 yazarsak

𝐷_𝑎 _𝑡^−𝑝𝑓(𝑡) = lim_ℎ→0

𝑛ℎ=𝑡−𝑎

ℎ^𝑝∑ [𝑝

𝑟] 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) (3.28)

𝑛

𝑟=0

sonucuna ulaşırız. Burada, yukarıdaki gibi ℎ ve 𝑛 değerleri 𝑛ℎ = 𝑡 − 𝑎 ifadesi ile birbirine bağlıdır. (3.28) deki limitin varlığını ispatlamak ve bu limit değerini hesaplayabilmek için aşağıdaki teoreme ihtiyaç vardır:

Teorem 3.1. (3.29) − (3.32) özelliklerine sahip 𝛽_𝑘, (𝑘 = 1,2, … ) serisini göz önüne alalım.

lim

𝑘→∞𝛽_𝑘 = 1 (3.29)

(38)

30 lim

𝑛→∞𝛼_𝑛,𝑘 = 0 , ℎ𝑒𝑟 𝑘 𝑖ç𝑖𝑛 (3.30)

lim

𝑛→∞∑ 𝛼_𝑛,𝑘

𝑛

𝑘=1

= 𝐴 , ℎ𝑒𝑟 𝑘 𝑖ç𝑖𝑛 (3.31)

∑|𝛼_𝑛,𝑘| < 𝐾 , ℎ𝑒𝑟 𝑛 𝑖ç𝑖𝑛 (3.32)

𝑛

𝑘=1

Bu durumda,

lim

𝑛→∞∑ 𝛼_𝑛,𝑘𝛽_𝑘

𝑛

𝑘=1

= 𝐴 (3.33)

dır.

İspat. (3.29) dan

𝛽_𝑘= 1 − 𝛿_𝑘 , lim

𝑘→∞𝛿_𝑘= 0 (3.34) dır. (3.30) dan her sabit 𝑟 için (1 < 𝑟 < 𝑛)

lim

𝑟−1

𝑘=1

= 0 (3.35)

ve

lim

𝑟−1

𝑘=1

= 0 (3.36)

yazılabilir. (3.35), (3.34), (3.31) ve (3.36) yı kullanarak

(39)

31 lim

𝑛

𝑘=1

𝛽_𝑘 = lim

𝑛

𝑘=𝑟

( lim

𝑛→∞∑ 𝛼_𝑛,𝑘𝛽_𝑘= 0

𝑟−1

𝑘=1

)

= lim

𝑛

𝑘=𝑟

− lim

𝑛→∞∑ 𝛼_𝑛,𝑘𝛿_𝑘

𝑛

𝑘=𝑟

(𝛽_𝑘 = 1 − 𝛿_𝑘)

= lim

𝑛→∞∑ 𝑎_𝑛,𝑘

𝑛

𝑘=1

− lim

𝑛→∞∑ 𝑎_𝑛,𝑘

𝑛

𝑘=𝑟

𝜎_𝑘 ( lim

𝑟−1

𝑘=1

= 0)

= 𝐴 − lim

𝑛

𝑘=𝑟

𝜎_𝑘

elde edilir. Şimdi (3.36) ve (3.32) yi kullanarak,

|𝐴 − lim

𝑛

𝑘=1

| = | lim

𝑛→∞∑ 𝛼_𝑛,𝑘𝜎_𝑘

𝑛

𝑘=𝑟

| < lim

𝑛→∞∑|𝛼_𝑛,𝑘||𝜎_𝑘|

𝑛

𝑘=𝑟

< 𝜎^∗ lim

𝑛→∞∑|𝛼_𝑛,𝑘| = 𝜎^∗ lim

𝑛→∞∑|𝛼_𝑛,𝑘|

𝑛

𝑘=1 𝑛

𝑘=𝑟

< 𝜎^∗𝐾

elde ederiz. Olur ki burada, 𝜎^∗ = 𝑚𝑎𝑥|𝜎_𝑘| dır.

(3.34) den her bir keyfi 𝜀 > 0 için 𝜎^∗ = ^𝜀

𝐾 olacak şekilde bir 𝜀 mevcuttur ve böylece

|𝐴 − lim

𝑛

𝑘=1

𝛽_𝑘| < 𝜀

olur. Buradan görülmektedir ki (3.33) sağlanmaktadır.

Teorem 3.1. basit bir sonuca sahiptir. Şöyle ki, eğer

(40)

32

𝑘→∞lim 𝛽_𝑘 = 𝐵

alınırsa

lim

𝑛→∞∑ 𝛼_𝑛,𝑘𝛽_𝑘 = 𝐴𝐵 (3.37)

𝑛

𝑘=1

dir. Gerçekten

𝛽̃ =_𝑘 𝛽_𝑘 𝐵 , lim

𝑘→∞𝛽̃ = 1 _𝑘

özelliklerine sahip 𝛽̃ serisini göz önüne alalım. Son ifadeye Teorem 3.1. uygulanırsa _𝑘

𝑛→∞lim ∑ 𝛼_𝑛,𝑘

𝑛

𝑘=1

𝛽̃ = lim_𝑘

𝑛

𝑘=1

𝛽_𝑘 𝐵 = 𝐴

olur. Bu da bize (3.37) ifadesini verir.

(3.28) deki limiti hesaplamak için Teorem 3.1. uygulanırsa

𝐷_𝑡^−𝑝𝑓(𝑡) = lim_ℎ→0

𝑛ℎ=𝑡−𝑎

ℎ^𝑝∑ [𝑝

𝑟] 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ)

𝑛

𝑟=0 𝑎

= lim

∑ 1

𝑟^𝑝−1[𝑝

𝑟] ℎ(𝑟ℎ)^𝑝−1𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ)

𝑛

𝑟=0

= 1

𝛤(𝑝) lim

∑𝛤(𝑝) 𝑟^𝑝−1[𝑝

𝑟] ℎ(𝑟ℎ)^𝑝−1𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ)

𝑛

𝑟=0

(41)

33

= 1

𝛤(𝑝) lim

𝑛→∞∑𝛤(𝑝) 𝑟^𝑝−1

𝑛

𝑟=0

[𝑝 𝑟]𝑡 − 𝑎

𝑛 (𝑟𝑡 − 𝑎

𝑛 )

𝑝−1

𝑓 (𝑡 − 𝑟𝑡 − 𝑎 𝑛 )

olur. Şimdi yukarıdaki seride

𝛽_𝑟 =𝛤(𝑝) 𝑟^𝑝−1[𝑝

𝑟]

𝛼_𝑛,𝑟 =𝑡 − 𝑎

𝑛 (𝑟𝑡 − 𝑎

𝑛 )

𝑝−1

𝑓 (𝑡 − 𝑟𝑡 − 𝑎 𝑛 )

diyelim. Açıktır ki (2.13) den

lim

𝑟→∞𝛽_𝑟 = lim

𝑟→∞

𝛤(𝑝) 𝑟^𝑝−1[𝑝

𝑟] = 1 (3.38)

elde edilir.

Diğer taraftan, eğer 𝑓(𝑡) fonksiyonu [𝑎, 𝑡] kapalı aralığında sürekli ise

lim

𝑛→∞∑ 𝛼_𝑛,𝑟 = lim

𝑛→∞∑𝑡 − 𝑎 𝑛

𝑛

𝑟=0 𝑛

𝑟=0

(𝑟𝑡 − 𝑎

𝑛 )

𝑝−1

𝑓 (𝑡 − 𝑟𝑡 − 𝑎 𝑛 )

= lim

ℎ→0∑ ℎ(𝑟ℎ)^𝑝−1

𝑛

𝑟=0

𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ)

= ∫(𝑡 − 𝜏)^𝑝−1𝑓(𝜏)𝑑𝜏 (3.39)

𝑡

𝑎

olur. (3.38) ve (3.39) dikkate alınır ve Teorem 3.1. uygulanırsa

(42)

34 𝐷_𝑡^−𝑝

𝑎 𝑓(𝑡) = lim

ℎ^𝑝∑ [𝑝

𝑟] 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) = 1

𝛤(𝑝)∫(𝑡 − 𝜏)^𝑝−1𝑓(𝜏)𝑑𝜏

𝑡

𝑎 𝑛

𝑟=0

(3.40)

elde edilir. Eğer 𝑓′(𝑡) türevi [𝑎, 𝑏] de sürekli ise (3.40) ifadesi

𝐷_𝑡^−𝑝𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑎)(𝑡 − 𝑎)^𝑝 𝛤(𝑝 + 1)

𝑎 + 1

𝛤(𝑝 + 1)∫(𝑡 − 𝜏)^𝑝

𝑡

𝑎

𝑓^′(𝜏)𝑑𝜏 (3.41)

şeklinde de yazılabilir. Eğer 𝑓(𝑡) fonksiyonunun (𝑚 + 1). basamaktan türevi sürekli ise

𝐷_𝑡^−𝑝𝑓(𝑡) = ∑𝑓^(𝑘)(𝑎)(𝑡 − 𝑎)^𝑝+𝑘 𝛤(𝑝 + 𝑘 + 1)

𝑚

𝑘=0

𝑎

+ 1

𝛤(𝑝 + 𝑚 + 1)∫(𝑡 − 𝜏)^𝑝+𝑚𝑓^(𝑚+1)(𝜏)𝑑𝜏

𝑡

𝑎

(3.42)

formülü elde edilebilir.

3.2.3. Keyfi Basamaktan Türevler

𝑝 > 0 durumunu göz önüne alalım. Buradaki amacımız yukarıdaki gibi

𝐷_𝑎 _𝑡^𝑝𝑓(𝑡) = lim_ℎ→0

𝑛ℎ=𝑡−𝑎

ℎ^−𝑝∑(−1)^𝑟(𝑝

𝑟) 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) = lim

𝑓_ℎ^(𝑝)(𝑡)

(3.43)

𝑛

𝑟=0

limitini hesaplamaktır. Burada

𝑓_ℎ^(𝑝)(𝑡) = ℎ^−𝑝∑(−1)^𝑟(𝑝 𝑟)

𝑛

𝑟=0

𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) (3.44)

(43)

35

şeklindedir. (3.43) deki limiti hesaplamak için ilk olarak 𝑓_ℎ^(𝑝)(𝑡) nin ifadesi ve

(𝑝

𝑟) = (𝑝 − 1

𝑟 ) + (𝑝 − 1

𝑟 − 1) (3.45) özelliği kullanılarak

𝑓_ℎ^(𝑝)(𝑡) = ℎ^−𝑝∑(−1)^𝑟(𝑝 − 1

𝑟 ) 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) + ℎ^−𝑝∑(−1)^𝑟

𝑛

𝑟=1 𝑛

𝑟=0

(𝑝 − 1

𝑟 − 1) 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ)

= ℎ^−𝑝∑(−1)^𝑟(𝑝 − 1

𝑟 ) 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) + ℎ^−𝑝∑(−1)^𝑟+1(𝑝 − 1

𝑟 ) 𝑓(𝑡 − (𝑟 + 1)ℎ)

𝑛−1

𝑟=0 𝑛

𝑟=0

= (−1)^𝑛ℎ^−𝑝(𝑝 − 1

𝑛 ) 𝑓(𝑎) + ℎ^−𝑝∑(−1)^𝑟

𝑛−1

𝑟=0

(𝑝 − 1

𝑟 ) [𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) − 𝑓(𝑡 − (𝑟 + 1)ℎ)]

= (−1)^𝑛(𝑝 − 1

𝑛 ) ℎ^−𝑝𝑓(𝑎) + ℎ^−𝑝∑(−1)^𝑟(𝑝 − 1

𝑟 )

𝑛−1

𝑟=0

∆𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) (3.46)

şeklinde yazılır. Burada

∆𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) = 𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) − 𝑓(𝑡 − (𝑟 + 1)ℎ)

dir. Açıktır ki ∆𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ) farkı 𝜏 = 𝑡 − 𝑟ℎ noktasında 𝑓(𝜏) fonksiyonunun birinci basamaktan geri farkıdır. Binom katsayılarının (3.45) teki özelliği 𝑚 − kez tekrarlanırsa (3.46) dan

𝑓_ℎ^(𝑝)(𝑡) = (−1)^𝑛(𝑝 − 1

𝑛 ) ℎ^−𝑝𝑓(𝑎) + (−1)^𝑛−1(𝑝 − 2

𝑛 − 1) ℎ^−𝑝∆𝑓(𝑎 + ℎ)

+ℎ^−𝑝∑(−1)^𝑟

𝑛−2

𝑟=0

(𝑝 − 2

𝑟 ) ∆²𝑓(𝑡 − 𝑟ℎ)