2.3 Di¼ger Baz¬Yakla¸s¬mlar:
Diferensiyel ve integral kavramlar¬n¬n genelle¸stirilmesi için, di¼ger yak- la¸s¬mlar aras¬nda, biz M.Caputo taraf¬ndan verilen yakla¸s¬m¬ve genelle¸smi¸s fonksiyonlara dayanan yakla¸s¬m¬dikkate alaca¼g¬z. Çünkü, bu yakla¸s¬m- lar uygulamal¬problemlerin çözümlerinde daha kullan¬¸sl¬d¬r.
2.3.1 Caputo Kesirli Türevi:
Riemann-Liouville kesirli türev tan¬m¬, integral ve uygulamal¬ matem- ati¼gin uygulamalar¬nda çok büyük bir rol oynam¬¸st¬r.
Riemann-Liouville yakla¸s¬m¬yla, t = a noktas¬ndaki Riemann-Liouville kesirli türevinin limit de¼gerlerini ba¸slang¬ç ko¸sullar¬olu¸sturmaktad¬r.Örne¼gin
limt!a aDt 1f (t) = b1 limt!a aDt 2f (t) = b2
:::
limt!a aDt nf (t) = bn burada bk (k = 1; 2; :::; n) lar verilen sabitlerdir.
Kesirli diferensiyel tekni¼ginde, ba¸slang¬ç ko¸sullar¬n¬ …ziksel durum- lara en uygun ¸sekilde veren Caputo olmu¸stur.
Caputo’nun tan¬m¬
c
aDtf (t) = 1
(n )
Zt
a
f(n)( )d
(t ) +1 n ; (n 1 < < n)
ile verilir. Caputo yakla¸s¬m¬n¬n en temel avantaj¬, Caputo kesirli türev- lerinin tamsay¬ basamaktan diferensiyel denklemlerinkiyle ayn¬ formda ba¸slang¬ç ko¸sullar¬na sahip olmas¬d¬r.
Riemann-Liouville kesirli türev ve Caputo kesirli türevi aras¬nda baz¬
farkl¬l¬klar vard¬r. Riemann-Liouville kesirli türevinin Laplace dönü¸sümünün formülü,
Z1
0
e ptf0Dtf (t)g dt = p F (p) Xn 1 k=0
pk:0Dt k 1f (t) j
t=0
, (n 1 < n)
Caputo türevinin Laplace dönü¸sümü ise Z1
0
e ptfc0Dtf (t)g dt = p F (p) Xn 1 k=0
p k 1f(k)(0); (n 1 < n)
21
d¬r. Buradan da görülmektedir ki Riemann-Liouville kesirli türevinin Laplace dönü¸sümü ba¸slang¬ç ko¸sullar¬n¬n kullan¬m¬na izin vermektedir ki bu da problemin …ziksel yorumunu sa¼glamaktad¬r. Aksine, Caputo türevinin Laplace dönü¸sümü bilinen …ziksel yorumu ile klasik tamsay¬
basamaktan türevlerin ba¸slang¬ç ko¸sullar¬n¬n kullan¬m¬na izin vermekte- dir.
Rieman-Liouville tan¬m¬ve Caputo tan¬m¬aras¬ndaki di¼ger bir önemli fark ise, sabitin Caputo türevinin s¬f¬r olmas¬na kar¸s¬n C sabitinin Riemann- Liouville kesirli türevinin alt terminal noktas¬olan a daki sonlu de¼gerinin s¬f¬ra e¸sit olmas¬d¬r.
Riemann-Liouville ve Caputo yakla¸s¬mlar¬aras¬ndaki di¼ger bir önemli fark ise, Caputo türevi için
c
aDt(caDtmf (t)) =caDt+mf (t) ; (m = 0; 1; 2; :::; n 1 < < n) olmas¬na kar¸s¬n
aDtm(aDtf (t)) =aDt+mf (t) ; (m = 0; 1; 2; :::; n 1 < < n) olmas¬d¬r.
Bu formüllerdeki diferensiyel operatörlerinin yer de¼gi¸stirebilmesi baz¬
ko¸sullar alt¬nda mümkün olmaktad¬r.
c
aDt(caDmt f (t)) =caDtm(caDtf (t)) =caDt+mf (t)
f(s)(0) = 0; s = n; n + 1; :::; m (m = 0; 1; 2; :::; n 1 < < n)
aDtm(aDtf (t)) =aDt(aDmt f (t)) =aDt+mf (t)
f(s)(0) = 0; s = 0; 1; :::; n 1 (m = 0; 1; 2; :::; n 1 < < n) Buradan da görülmektedir ki Riemann-Liouville yakla¸s¬m¬n¬n aksine, Caputo türevinde f(s)(0) (s = 0; 1; :::; n 1) de¼gerlerinde herhangi bir k¬s¬tlama yoktur.
22
