Simdi p: basamaktan kesirli türevin, q: basamaktan kesirli türevini göz önüne alal¬m. Bu da a D tp ( a D pt f (t)) demektir.

2.1.5 Kesirli Türevler · Ile Birle¸ stirilmesi

¸

Simdi p: basamaktan kesirli türevin, q: basamaktan kesirli türevini göz önüne alal¬m. Bu da a D _t ^p ( _a D ^p _t f (t)) demektir.

Burada iki durum sözkonusudur: p < 0 ve p > 0 olma durumu.

· Ilk durum; (q nun i¸ saretine ba¼ gl¬olarak) q > 0 basamaktan türevin veya q > 0 basamaktan integralin p > 0 basamaktan kesirli integrale uygulanmas¬anlam¬na gelmektedir.

· Ikinci durum; bir i¸ slemin p > 0 basamaktan kesirli türeve uygulan- mas¬anlam¬na gelmektedir.

Her iki durumda da tamsay¬basamaktan diferensiyelin d ⁿ

dt ⁿ

d ^m f (t)

dt ^m = d ^m dt ^m

d ⁿ f (t)

dt ⁿ = d ^m+n f (t) dt ^m+n

¸ seklinde bilinen özelli¼ gine benzer durum elde edilir.

DURUM1: p < 0 durumu.· Ilk olarak q < 0 alal¬m.

a D ^q _t ( _a D ^p _t f (t)) = 1 ( q)

Z t

a

(t ) ^{q 1} ( _a D _t ^p f ( ))d

= 1

( p q) Z t

a

(t ) ^{p q 1} f ( )d

= _a D ^p+q _t f (t) elde edilir.

¸

Simdi kabul edelim ki 0 < n < q < n + 1 olsun. q n 1 < 0 oldu¼ gu yerlerde q = (n + 1) + (q n 1) olarak belirtelim. Bu durumda

a D _t ^q ( _a D _t ^p f (t)) = d ⁿ⁺¹

dt ^{n+1 a} D _t ^{q n 1} ( _a D _t ^p f (t))

= d ⁿ⁺¹

dt ^{n+1 a} D _t ^{p+q n 1} f (t)

= _a D _t ^p+q f (t) bulunur.

Dolay¬s¬yla p < 0 ve herbir reel q için

a D ^q _t ( _a D _t ^p f (t)) = _a D ^p+q _t f (t) elde edilir.

DURUM 2: p > 0 durumu.

12

Kabul edelim ki 0 m < p < m + 1 olsun. Bu durumda

a D _t ^p f (t) = lim

nh=t

h!0

f _h ^(p) (t)

= X m

k=0

f ^(k) (a)(t a) ^p+k

( p + k + 1) + 1

( p + m + 1) Z t

a

(t ) ^{m p} f ^(m+1) ( )d

d¬r. Buradan görürüz ki (t a) ^p+k fonksiyonlar¬k = 0; 1; :::; m 1 için singülerli¼ ge sahiptir. Bu nedenle a D _t ^p f (t)nin q reel basamaktan türevi yaln¬zca

f ^(k) (a) = 0 ; (k = 0; 1; :::; m 1) durumunda mevcuttur.

¸

Simdi q < 0 al¬rsak

a D _t ^q ( _a D ^p _t f (t)) = f ^(m) (a)(t a) ^p+m

( p q + m + 1) + 1

( p q + m + 1) Z t

a

f ^(m+1) ( ) (t ) ^{p+q m} d bulunur. Verilen ko¸ sullardan

a D ^q _t ( _a D _t ^p f (t)) = _a D ^p+q _t f (t) elde edilir.

¸

Simdi 0 n < q < n + 1 olsun. Kabul edelim ki f (t), verilen ko¸ sul sa¼ glas¬n ve q n 1 < 0 olsun. Bu durumda

a D _t ^q ( _a D _t ^p f (t)) = d ⁿ⁺¹

dt ^{n+1 a} D _t ^{q n 1} ( _a D _t ^p f (t))

= d ⁿ⁺¹

dt ^{n+1 a} D _t ^{p+q n 1} f (t)

= _a D _t ^p+q f (t) elde edilir.

Böylece p < 0 ise tüm key…reel q lar için a D ^q _t ( _a D ^p _t f (t)) = _a D ^p+q _t f (t) sa¼ glan¬r.

E¼ ger 0 m < p < m + 1 ise tüm key… reel q lar için a D ^q _t ( _a D ^p _t f (t)) = _a D ^p+q _t f (t) in sa¼ gland¬¼ g¬sonucuna f (t) n¬n f ^(k) (a) = 0; (k = 0; 1; :::; m 1) ko¸ sullar¬n¬sa¼ glamas¬durumunda var¬l¬r.

13