2.1.5 Kesirli Türevler · Ile Birle¸ stirilmesi
¸
Simdi p: basamaktan kesirli türevin, q: basamaktan kesirli türevini göz önüne alal¬m. Bu da a D t p ( a D p t f (t)) demektir.
Burada iki durum sözkonusudur: p < 0 ve p > 0 olma durumu.
· Ilk durum; (q nun i¸ saretine ba¼ gl¬olarak) q > 0 basamaktan türevin veya q > 0 basamaktan integralin p > 0 basamaktan kesirli integrale uygulanmas¬anlam¬na gelmektedir.
· Ikinci durum; bir i¸ slemin p > 0 basamaktan kesirli türeve uygulan- mas¬anlam¬na gelmektedir.
Her iki durumda da tamsay¬basamaktan diferensiyelin d n
dt n
d m f (t)
dt m = d m dt m
d n f (t)
dt n = d m+n f (t) dt m+n
¸ seklinde bilinen özelli¼ gine benzer durum elde edilir.
DURUM1: p < 0 durumu.· Ilk olarak q < 0 alal¬m.
a D q t ( a D p t f (t)) = 1 ( q)
Z t
a
(t ) q 1 ( a D t p f ( ))d
= 1
( p q) Z t
a
(t ) p q 1 f ( )d
= a D p+q t f (t) elde edilir.
¸
Simdi kabul edelim ki 0 < n < q < n + 1 olsun. q n 1 < 0 oldu¼ gu yerlerde q = (n + 1) + (q n 1) olarak belirtelim. Bu durumda
a D t q ( a D t p f (t)) = d n+1
dt n+1 a D t q n 1 ( a D t p f (t))
= d n+1
dt n+1 a D t p+q n 1 f (t)
= a D t p+q f (t) bulunur.
Dolay¬s¬yla p < 0 ve herbir reel q için
a D q t ( a D t p f (t)) = a D p+q t f (t) elde edilir.
DURUM 2: p > 0 durumu.
12
Kabul edelim ki 0 m < p < m + 1 olsun. Bu durumda
a D t p f (t) = lim
nh=t