2.2 Riemann-Liouville Kesirli Türevi:

2.2 Riemann-Liouville Kesirli Türevi:

Kesirli basamaktan geri fark¬n limiti olarak tan¬mlanan Grünwald-Letnikov kesirli türevi i¸ slem yaparken çok kullan¬¸ sl¬ de¼ gildir. Riemann-Liouville kesirli türevi

a D _t ^p f (t) = ( d

dt ) ^m+1 1 (m p + 1)

Z t

a

(t ) ^{m p} f ( )d (m p < m+1)

¸ seklinde tan¬mlan¬r.

¸

Simdi Riemann-Liouville tan¬m¬n¬n nas¬l, tamsay¬ basamaktan in- tegralin ve diferensiyel kavramlar¬n¬n birle¸ stirilmesi sonucu olarak elde edildi¼ gini inceleyelim.

2.2.1 Tamsay¬ Basamaktan Türevlerin ve · Integrallerin Bir- le¸ stirilmesi:

Kabul edelim ki f ( ) fonksiyonu sürekli ve her sonlu (a; t) aral¬¼ g¬nda inte- grallenebilir olsun. f (t) fonksiyonu = a noktas¬nda r < 1 basamaktan singülerli¼ ge sahip olsun.

lim !a ( a) ^r f (t) = sabit( 6= 0)

f ^{( 1)} (t) = Z t

a

f ( )d

integrali mevcuttur ve sonlu bir de¼ gere sahiptir, öyle ki t ! a için s¬f¬ra e¸ sittir. Asl¬nda = a + y(t a) de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ stirmesi yaparsak ve

" = t a al¬rsak

lim t!a f ^{( 1)} (t) = lim

t!a

Z t

a

f ( )d

= lim

"!0 " ^{1 r} Z 1

0

("y) ^r f (a + y(t a))y ^r dy = 0

elde edilir. · Iki katl¬integrali gözönüne al¬rsak

f ^{( 2)} (t) = Z t

a

d ₁ Z

a

f ( )d = Z t

a

f ( )d Z t

d ₁

= Z t

a

(t )f ( )d

14

buluruz. Benzer ¸ sekilde

f ^{( 3)} (t) = Z t

a

d ₁ Z

a

d ₂ Z

a

f ( ₃ )d ₃

= 1 2 Z t

a

(t ) ² f ( )d

ve tümevar¬mla Cauchy formülü elde edilir:

f ^{( n)} (t) = 1 (n)

Z t

a

(t ) ^{n 1} f ( )d :

¸

Simdi kabul edelim ki n 1 sabit ve k 0 tamsay¬olsun.

Bu durumda

f ^{( k n)} (t) = 1 (n) D ^k

Z t

a

(t ) ^{n 1} f ( )d

d¬r.Burada D ^k sembolü (k 0) k kez tekrarlanan integrasyonu göster- mektedir.

Di¼ ger yandan n 1 olmak üzere k n tamsay¬lar¬için f (t) fonksiy- onunun (k n):basamaktan türevi

f ^{(k n)} (t) = 1 (n) D ^k

Z t

a

(t ) ^{n 1} f ( )d

dir.D ^k (k 0) k kez türevi göstermektedir.

Buradan görülüyor ki, f ^{( k n)} (t) ve f ^{( k n)} (t) formülleri biri di¼ gerinin özel bir durumu olarak göz önüne al¬nabilir.

15