GEOMETRK TOPOLOJ
Prof. Dr. smet KARACA
Ders Notlar
çindekiler
1 EUCLID UZAYINDA DÜZGÜN (SMOOTH) FONKSYON-
LAR 5
1.1 Rn de Tanjant(Te§et) Vektörleri . . . 9
1.2 Yönlü Türev . . . 10
1.3 Türev . . . 11
1.4 Vektör Alanlar . . . 12
1.5 Türev Cinsinden Vektör Alanlar . . . 12
2 ALTERNE K-LNEER FONKSYON 14 2.1 Dual Uzaylar . . . 14
2.2 Çoklu Lineer Fonksiyonlar . . . 15
2.3 k-Lineer Fonksiyonlar Üzerinde Permütasyon Hareketi . . . 16
2.4 Simetrik ve Alterne Operatörleri . . . 17
2.5 Tensör Çarpm . . . 18
2.6 D³ Çarpm . . . 18
2.7 D³ Çarpmn Birle³me Özelli§i . . . 19
2.8 k-E³vektör Bazlar . . . 21
3 Rn ÜZERNDE DFERANSYEL FORMLAR 23 3.1 Diferansiyel 1-form, Bir fonksiyonun diferansiyeli . . . 23
3.2 Diferansiyel k-formlar . . . 24
3.3 D³ Türev (Exterior Derivation) . . . 25
3.4 Kapal Formlar ve Tam Formlar . . . 27
3.5 Vektör Analiz Uygulamalar . . . 27
4 Topolojik Manifoldlar 31 4.1 Haritalar . . . 32
4.2 Smooth Manifold . . . 33
4.3 Manifold Üzerindeki Smooth Dönü³ümler . . . 33
4.4 Ksmi Türevler . . . 35
4.5 Ters Fonksiyon Teoremi . . . 36
4.6 Bölüm Uzaylar . . . 37
4.7 Açk Denklik Ba§nts . . . 38
4.8 Tanjant Uzay . . . 40
4.9 Bir Dönü³ümün Diferansiyeli . . . 40
4.10 Zincir Kural . . . 41
4.11 Tanjant Uzay Bazlar . . . 42
4.12 Bir Manifolda ait E§ri . . . 43
4.13 E§riler Kullanlarak Diferansiyel Hesab . . . 43
4.14 Rank, Kritik ve Regüler Nokta . . . 44
4.15 Alt Manifoldlar . . . 46
4.16 Fonksiyonu Sfrlayan Elemanlarn Kümesi . . . 48
4.17 Regüler Ters Görüntü Kümesi Teoremi . . . 49
4.18 C∞-Dönü³ümlerin Rank . . . 51
4.19 Sabit Rank Teoremi . . . 51
4.20 Batrma(Immersion) ve Daldrma(Submersion) . . . 52
4.21 C∞-Dönü³ümlerin Görüntüleri . . . 53
4.22 Alt Manifoldlar çine C∞-Dönü³ümler . . . 56
4.23 R3 deki Yüzeylerin Te§et Düzlemi . . . 57
5 YÜZEYLER 60 5.1 Kulplu Yüzeyler(Handled Surfaces) . . . 60
5.2 Çapraz Yüzeyler(Cross Cap Surfaces) . . . 61
5.3 Yönlü Yüzeyler(Orientable Surfaces) . . . 62
6 YÜZEYLERN SINIFLANDIRILMASI 63 6.1 Ba§ntl Toplam(Connected Sum veya Topolojik Toplam) . . 63
6.2 Kompakt Yüzeylerin Sn andrlmas . . . 64
6.3 Kompakt Yüzeylerin Üçgenle³tirilmesi . . . 64
6.4 Euler Karakteristi§i . . . 67
6.5 Yüzeyler Cebiri . . . 71
6.6 Ekli Uzaylar . . . 72
6.7 Al³trmalar . . . 73
7 TOPOLOJK GRUPLAR, GRUP HAREKET, LE GRU- PLARI 75 7.1 Topolojik Gruplar . . . 75
7.2 Grup Hareketi ve Orbit Uzaylar . . . 84
7.3 Lie Gruplar . . . 86
7.4 Lie Cebirleri . . . 88
7.5 Al³trmalar . . . 88
8 SMPLEKSLER 90
8.1 A ne Uzaylar . . . 90
8.2 Simpleksler Kompleksi . . . 99
9 SMPLEKSKER HOMOLOJ GRUPLARI 107 9.1 Simpleksler Kompleksin Euler Karakteristi§i . . . 117
9.2 Homoloji ve Simpleksler Dönü³ümü . . . 120
9.3 Lefschetz Sabit Nokta Teoremi . . . 121
9.4 Borsuk-Ulam Teoremi . . . 122
10 DÜÜM TEORS 124 10.1 Dü§ümler, Zincirler, Diya§ramlar . . . 125
10.2 Ambient zotopik . . . 131
10.3 Alexander Polinomu . . . 136
10.4 Skein Ba§nts . . . 139
10.5 Jones Polinomu . . . 143
10.6 Aynalar VE Dü§üm Kodlamas . . . 150
10.6.1 Dü§üm Kodlamas . . . 150
10.7 Dü§üm Toplamlar . . . 151
10.8 DNA'ya Ksa Bak³ . . . 152
10.9 Tangle . . . 153
10.10Tangle ³lemleri . . . 155
10.114-Plat . . . 157
10.12Tangle Denklemlerinin Çözümü . . . 159
10.13Özel Bölgeli Rekombimasyon . . . 160
10.14Tangle Modeli . . . 161
10.15Örnek . . . 162
ekil Listesi
5.1 Küre 0-kulpludur . . . 60
5.2 Tor 1-kulpludur . . . 60
5.3 2-kulplu . . . 60
5.4 g-kulplu . . . 60
5.5 RP2 1-çapraz yüzeydir. . . 61
6.1 . . . 63
6.2 RP2 # RP2 ≈ Kb . . . 64
6.3 Torun iki farkl üçgenle³tirilmesi . . . 64
6.4 Projektif düzlemin üçgenle³tirilmesi . . . 65
6.5 Küpün üçgenle³tirilmesi . . . 65
6.6 Kürenin üçgenle³tirilmesi . . . 66
6.7 RP2 # T . . . 66
6.8 RP2 # RP2 . . . 67
6.9 RP2 # RP2 # RP2 . . . 67
6.10 S1#S1 . . . 71
6.11 Koni dönü³ümü . . . 73
6.12 Süspansiyon . . . 73
6.13 Silindir dönü³ümü . . . 73
10.1 trefoil dü§ümü- sekiz dü§ümü -kare dü§ümü . . . 126
10.2 hoph zinciri- whitehead zinciri - borromean zinciri . . . 127
10.3 uygun çaprazlama-kötü çaprazlama . . . 127
10.4 41 ve 31 . . . 128
10.5 Dü§ümsüz - Sol Trefoil - Sa§ Trefoil . . . 131
10.6 ekil-8 dü§ümü . . . 131
10.7 ε = +1 ε = −1 . . . 133
10.8 zincirleme says +2 . . . 135
10.9 Tangle Örnekleri a.Rasyonel b.A³ikar c.Asal d.Yerel Dü§üm- lenmi³ . . . 154
10.104-plat çizimi . . . 158
Bölüm 1
EUCLID UZAYINDA DÜZGÜN (SMOOTH) FONKSYONLAR
Tanm 1.0.1. k negatif olmayan bir tamsay olsun. f : U −→ R fonksiyonu tüm mertebeden j ≤ k için ksmi türevleri ∂jf
∂xi1∂xi2...∂xij
var ve bu ksmi türevler p noktasnda sürekli ise f'ye p noktasnda Ck fonksiyonu denir.
E§er f : U −→ R k ≥ 0 için Ck-fonksiyonu ise f'ye C∞-fonksiyonu denir.
Örnek 1.0.1. 1.
f : R −→ R, x 7−→ f (x) = x13 f0(x) = 1
3x−23, 1. mertebeden türevi var fakat 0 noktasnda sürekli de§il dolaysyla türev mevcut de§ildir. f, C0-fonksiyonudur fakat C1-fonksiyonu de§ildir.
2.
g : R −→ R, x 7−→ g(x) = Z x
0
f (t)dt = Z x
0
t13dt g0(x) = f (x) = x13 g, C1-fonksiyonudur.
3. R üzerindeki polinom, sinüs, kosinüs, üstel fonksiyonlar C∞-fonksiyonudur.
Tanm 1.0.2. Bir fonksiyonu p noktasnn kom³ulu§unda bu fonksiyonun Taylor serisine e³it ise (yani bir fonksiyon Taylor serisine açlabiliyorsa) f'ye (p ∈ R) p noktasnda analitiktir denir.
Çok de§i³kenli fonksiyonun Taylor serisi:
f (x) = f (p) +X
i
∂f
∂xi(xi− pi) + 1 2!
X
i,j
∂2f
∂xi∂xj(xi− pi)(xj− pj) + ...
Tek de§i³kenli fonksiyonun Taylor serisi:
f (x) = f (x0) + f0(x0)(x − x0) + 1
2!f00(x0)(x − x0)2+ ...
Örnek 1.0.2. i) Bir analitik fonksiyon C∞-fonksiyonudur çünkü yaknsak kuvvet serisi (yani Taylor serisi) terim terim türevlenebilirdir.
1. f(x) = sinx = x − x3 3! +x5
5! − ... =
∞
X
n=0
(−1)2n+1 x2n+1 (2n + 1)!
2. g(x) = cosx = 1 − x2 2! + x4
4! − ... =
∞
X
n=0
(−1)2n x2n (2n)!
ii) C∞-fonksiyonu analitik olmak zorunda de§ildir.
f (x) =
(e−1x, x > 0 0 , x ≤ 0
f fonksiyonunun 0 noktasndaki türevleri f(k)(0) = 0 dr. Bu durumda f Taylor serisine e³it de§ildir. Böylece f analitik de§ildir.
C∞-fonksiyonu Taylor serisine e³it olmad§ndan C∞-fonksiyonlar
için Taylor Teoremini ifade edelim.
Tanm 1.0.3. S ⊂ Rn ve p ∈ S olsun. Her x ∈ S için p'den x'e giden bir do§ru parças S içinde kalyorsa S alt kümesine p noktasna göre yldz ³eklindedir (yldz konveks) denir.
Lemma 1.0.1. (Taylor Teoremi)
f, Rne ait p noktasna göre yldz ³eklinde U açk alt kümesi üzerinde C∞-fonksiyonu olsun. O zaman
f (x) = f (p)+
n
X
i=1
gi(x)(xi−pi), (gi(p) = ∂f (p)
∂xi ) olacak ³ekilde p noktasnn kom³ulu§unda C∞-fonksiyonu gi(x) vardr.
spat : U, p noktasna göre yldz ³eklinde bir açk altküme olsun. O zaman x ∈ U için, p + t(x − p) ∈ U dur. t ∈ [0, 1] için f(p + t(x − p)) nin ksmi türevini belirleyelim.
∂
∂tf (p + t(x − p)) =X
i
(xi− pi)∂f
∂xi(p + t(x − p)) Z 1
0
∂
∂tf (p + t(x − p))dt = Z 1
0
X
i
(xi− pi)∂f
∂xi
(p + t(x − p))dt
f (x) − f (p) =X
i
(xi− pi) Z 1
0
∂f (p + t(x − p))
∂xi
dt
gi(x) = Z 1
0
∂f
∂xi(p + t(x − p))dt olsun. gi(x), C∞-fonksiyonudur.
f (x) − f (p) =X
i
(xi− pi)gi
f (x) = f (p) +X
i
(xi− pi)gi
gi(p) = Z 1
0
∂f (p)
∂xi dt = ∂f (p)
∂xi Özel olarak x = 1 ve p = 0 olsun.
f (x) = f (0) + x.f1(x) (f1 C∞-fonksiyon) fi(x) = fi(0) + x.fi+1(x) (fi, fi+1 C∞-fonksiyon)
f (x) = f (0) + x.(f1(0) + x.f2(x))
= f (0) + x.f1(0) + x2.f2(x)
= f (0) + x.f1(0) + x2.[f2(0) + x.f3(x)]
= f (0) + x.f1(0) + x2.f2(0) + x3.f3(x) ...
= f (0) + x.f1(0) + x2.f2(0) + ... + xi.fi(0) + xi+1.fi+1(x)
fk(0) = 1
k!f(k)(0) alrsak f fonksiyonunun Taylor serisini elde ederiz.
ALITIRMALAR
1. x = 0 noktasnda C2 olan fakat C3 olmayan bir h : R −→ R fonksiy- onu bulunuz.
2. f(x), R de
f (x) =
(e−1x, x > 0 0 , x ≤ 0
³eklinde tanmlansn.
a) x > 0 ve k ≥ 0 için tümevarmla y ekseninde 2k dereceli baz p2k(y) polinomlar için f(k)(x) yani f in k. türevinin p2k(1
x)e−1x formunda oldu§unu gösteriniz.
b) f in R üzerinde C∞-fonksiyon oldu§unu ve her k ≥ 0 için f(k)(0) = 0 oldu§unu gösteriniz.
3. (−1, 1) açk aral§nn reel saylar kümesi R ye dieomor k oldu§unu gösteriniz.
4. f : R2 −→ R C∞-fonksiyon ise f (x, y) = f (0, 0)+∂f
∂x(0, 0)x+∂f
∂y(0, 0)y +x2f11(x, y)+xyf12(x, y)+
y2f22(x, y)
olacak ³ekilde R2 de f11, f12 ve f22 C∞-fonksiyonlarnn var oldu§unu ispatlaynz.
5. f : R2 −→ R f(0, 0) = 0 olmak üzere f, C∞-fonksiyon olsun.
g(t, u) =
f (t, tu)
t , t 6= 0 0 , t = 0
ile tanmlansn. (t, u) ∈ R2 için g(t, u) nun C∞-fonksiyon oldu§unu ispat- laynz.
6. f : R −→ R, f (x) = x3 ³eklinde tanmlansn. f in bijektif C∞- dönü³üm oldu§unu fakat f−1 in C∞ olmad§n gösteriniz.
1.1 R
nde Tanjant(Te§et) Vektörleri
R3 de bir noktadaki vektörü cebirsel olarak
v =
v1 v2
v3
veya geometrik olarak
³eklinde ifade etmekteyiz.
Tanm 1.1.1. p noktasndaki bir vektör, p noktasn içeren tanjant (te§et) düzleminde bulunuyorsa bu vektöre bir yüzeyin p noktasnda tanjantdr (te§etidir) denir.
1.2 Yönlü Türev
Tp(Rn), Rn e ait p noktasndaki tanjant uzayn göstersin. Tp(Rn) nin ele- manlarna tanjant vektörü denir.
Tanm 1.2.1. p = (p1, p2, ..., pn) noktasndan geçen ve v = (v1, ..., vn) vek- törü do§rultusundaki do§runun parametrik denklemi c(t) = (p1+ tv1, ..., pn+ tvn) olsun. f C∞-fonksiyonu ve v p'de tanjant vektörü olsun.
Dvf = lim
t→0
f (c(t)) − f (p)
t = d
dtf (c(t)) |t=0
ifadesine f'nin yönlü türevi denir.
Zincir kuralndan,
Dvf =
n
X
i=1
dci(0) dt .∂f
∂xi(p) =
n
X
i=1
∂f
∂xi(p)vi
Tanm 1.2.2. U, p noktasnn kom³ulu§u ve f : U −→ R C∞-fonksiyonu olsun. f |W= g |W olacak ³ekilde p ∈ W ⊂ U ∩ V açk kümesi mevcut ise (f, U ), (g, V )'ye denktir denir.
Not 1.2.1. Bu ba§nt bir denklik ba§ntsdr.
Tanm 1.2.3. (f, U) nun denklik snfna f'nin p noktasndaki germi denir.
Cp∞(Rn) C∞-fonksiyonu p noktasndaki tüm germlerin kümesini göstersin.
Örnek 1.2.1. f(x) = 1
1 − x , (x ∈ R − {1}) ve g(x) = 1 + x + x2+ x3+ ...
(−1, 1) açk aral§nda bu iki fonksiyon ayn germe sahiptir fakat bu aral§n d³nda ayn germe sahip olamazlar.
Tanm 1.2.4. A, K cismi üzerinde bir vektör uzay olsun. A³a§daki özel- likleri sa§layan
µ : A × A −→ A, (a, b) 7−→ µ(a, b) = a × b i³lemi ile birlikte A'ya bir cebirdir denir.
a, b, c ∈ A, r ∈ K,
1) (a × b) × c = a × (b × c) (birle³meli)
2) (a + b) × c = a × c + b × c a × (b + c) = a × b + a × c (da§lmal) 3) r.(a × b) = (ra) × b = a × (rb)
1.3 Türev
Tanm 1.3.1. V , W , K cismi üzerinde birer vektör uzay olsun. L : V −→
W dönü³ümü a³a§da verilen özellikleri sa§lyorsa L'ye lineer dönü³üm denir.
1) u, v ∈ V için L(u + v) = L(u) + L(v) 2) u ∈ V , r ∈ K için L(ru) = rL(u)
Dv : Cp∞ −→ R, f 7−→ Dv(f ) vektör uzay dönü³ümüdür. (Cp∞, R :vektör uzay)
Dv lineer ve Leibniz kuraln sa§lar.
Dv(f.g) = Dv(f ).g(p) + f (p)Dv(g)
Tanm 1.3.2. Leibniz kuraln sa§layan lineer dönü³üm D : Cp∞ −→ Rn ye türev dönü³ümü denir. Dp(Rn) ile gösterilir.
Dp(Rn): türev dönü³ümlerinin kümesi vektör uzaydr.
Ödev: Cp∞ un vektör uzay oldu§unu gösteriniz.
φ : Tp(Rn) −→ Dp(Rn), v 7−→ φ(v) = Dv =X
i
vi ∂
∂xi
|p
Dv lineer oldu§undan φ de lineerdir.
Teorem 1.3.1. φ bir izomor zmdir.
spat: v ∈ Tp(Rn) için φ(v) = Dv = 0 olsun.
0 = Dv(xj) =X
i
vi ∂
∂xi|pxj =X
i
viδij = vj ⇒ v = 0
δji =
(1, i = j 0, i 6= j
⇒ φ injektiftir.
D p noktasndaki türevi, (f, U) da Cp∞ daki bir germi temsil etsin. Taylor
teoreminden,
f (x) = f (p)+
n
X
i=1
gi(x)(xi−pi), (gi(p) = ∂f
∂xi |p) olacak ³ekilde p noktasnn kom³ulu§unda C∞-fonksiyonu gi(x) vardr.
E³itli§in her iki tarafna D dönü³ümünü uygulayalm.
Df (x) =X
i
Dxigi(p) +X
i
(pi− pi)Dgi(x)
=X
i
Dxi∂f
∂xi(p)
Böylece D = Dv ve v = (Dx1, Dx2, ..., Dxn) ∈ Tp(Rn) bulunur.
1.4 Vektör Alanlar
Tanm 1.4.1. U, Rn de açk alt küme olsun. U'daki her noktay Tp(Rn) deki tanjant vektörüne Xp e³leme yapan fonksiyona U üzerindeki vektör alan denir.
Tanjant vektör uzaynn Tp(Rn) nin bazlar { ∂
∂xi
|p}dir. Dolaysyla Xp =X
ai(p) ∂
∂xi |p (∗) p ∈ V olarak ifade edebiliriz.
Tanm 1.4.2. (∗) ifadesindeki katsay fonksiyonlar ai(p), U üzerinde C∞-fonksiyonu ise vektör alan Xp, U üzerinde C∞-fonksiyonudur.
Örnek 1.4.1. p = (x, y) olsun. Vektör alan
Xp = − y
px2 + y2. ∂
∂x + x
px2+ y2. ∂
∂y
1.5 Türev Cinsinden Vektör Alanlar
U, Rn de açk alt küme ve X de U üzerinde C∞-vektör alan olsun.
Ayrca f, U üzerinde C∞-fonksiyonu olsun.
Xf (p) =X
i
ai(p)∂f (p)
∂xi ⇒ Xf = X
i
ai∂f
∂xi
C∞(U ) −→ C∞(U ), f 7−→ Xf. Burada Xf, U üzerinde C∞-fonksiyonudur.
Önerme 1.5.1. X C∞-vektör alan, f, g C∞-fonksiyonu olsun. X(fg) = (Xf )g + f (Xg) dir.
spat : p ∈ U için Xp Leibniz kuraln sa§lar.
Xp(f g) = Xp(f )g + f Xp(g) U daki tüm p ler için söyleyebildi§imiz için genel olarak
X(f g) = X(f )g + f X(g) yazabiliriz.
ALITIRMALAR 1. X = x ∂
∂x + y ∂
∂y vektör alan ve f(x, y, z) = x2+ y2+ z2 R üzerinde bir fonksiyon olsun.
Xf i hesaplaynz.
2. Cp∞ uzaynda toplama, çarpma ve skaler ile çarpma i³lemlerini tanm- laynz. Ayrca Cp∞ uzaynda toplama i³leminin de§i³meli oldu§unu ispat- laynz.
3. p ∈ Rn noktas için D ve D0 türevler olsun ve c ∈ R (skaler) olsun. spatlaynz ki
a) D + D0 toplam da p nin türevidir.
b) cD skaler ile çarpm da p nin türevidir.
4. A bir K cismi üzerinde cebir olsun. D1 ve D2, A nn türevleri iken D1◦ D2 nin A nn bir türevi olmas gerekmedi§ini ( D1 = 0 veya D2 = 0 iken D1◦ D2, A nn türevidir. ), fakat D1◦ D2− D2◦ D1 in her zaman A nn bir türevi oldu§unu gösteriniz.
Bölüm 2
ALTERNE K-LNEER FONKSYON
2.1 Dual Uzaylar
Tanm 2.1.1. V, W R cismi üzerinde vektör uzay olmak üzere Hom(V, W ) = {f |f : V −→ W lineer}
olsun. V nin duali
V∗ = Hom(V, R) = {f |f : V −→ R lineer}
V∗ n elemanlarna e³vektör (kovektör) denir.
V sonlu boyutlu vektör uzay ve {e1, e2, ..., en} V'de bir baz olsun.
V'deki her v eleman bu bazlarn lineer kombinasyonu olarak tek türlü ifade edilebilir. Yani
v =
n
X
i=1
viei, vi ∈ R αi : V −→ R, v 7−→ αi(v) = vi αi(v) = αi(X
j
vjej) = X
j
vjαi(ej)
αi(ej) =
(1, i = j 0, i 6= j Önerme 2.1.1. α1, α2, ..., αn V∗ için bazdr.
spat: f ∈ V∗ ve v =
n
X
i=1
viei ∈ V olsun.
f (v) = f (
n
X
i=1
viei) =
n
X
i=1
vif (ei) =
n
X
i=1
αi(v)f (ei)
f =
n
X
i=1
f (ei)αi α1, α2, ..., αn V∗ gerer.
ci ∈ R olmak üzere
n
X
i=1
ciαi = 0 olsun.
0 =
n
X
i=1
ciαi(ej)αi =
n
X
i=1
ciδji = cj j = 1, ..., n α1, α2, ..., αn lineer ba§mszdr.
Sonuç 2.1.1. Sonlu boyutlu vektör uzaynn duali de sonludur.
Örnek 2.1.1. e1, e2, ..., en V vektör uzaynn baz olsun. v ∈ V tek türlü yazlr. Yani
v =
n
X
i=1
bi(v).ei bi(v) ∈ R
α1, α2, ..., αn V∗ n baz ve e1, e2, ..., en nin dual baz olsun.
αi(v) = αi(
n
X
j=1
bj(v).ej) =
n
X
j=1
bi(v)αi(ej) =
n
X
j=1
bi(v)δji = bi(v)
{b1, ..., bn} koordinat fonksiyonlar, {e1, ..., en} bazna dualdir.
2.2 Çoklu Lineer Fonksiyonlar
Tanm 2.2.1. Vk= V ×V ×...×V (k-tane) olsun. f : Vk −→ R fonksiyonu a³a§daki özellikleri sa§lyorsa, f'ye k-lineer denir.
f (v1, v2, ..., avj + bωj, vj+1, ..., vk) = af (v1, v2, ..., vj, vj+1, ..., vk) + bf (v1, v2, ..., ωj, vj+1, ..., vk)
V üzerindeki k-lineer fonksiyona ayn zamanda V üzerinde k-tensör de denir. LK(V ), V üzerindeki tüm k-tensörlerin vektör uzayn göstersin.
Tanm 2.2.2. f : Vk −→ R k-lineer fonksiyon olsun.
1) Tüm σ ∈ Sk (simetrik grup) için
f (vσ(1), vσ(2), ..., vσ(n)) = f (v1, v2, ..., vn) e³itli§i varsa, f'ye simetrik fonksiyon denir.
2) Tüm σ ∈ Sk için
f (vσ(1), vσ(2), ..., vσ(n)) = Sgn(σ)f (v1, v2, ..., vn) e³itli§i varsa, f'ye alterne fonksiyon denir.
Örnek 2.2.1. 1) f : Rn× Rn −→ R, (v, ω) 7−→ f(v, ω) = v.ω =
n
X
i=1
viωi
³eklinde tanml fonksiyon simetriktir.
2)
f :Rn× Rn× ... × Rn−→ R
(v1, v2, ..., vn) 7−→ g(v1, v2, ..., vn) = det(v1, ..., vn)
³eklinde tanml fonksiyon alternedir.
2.3 k-Lineer Fonksiyonlar Üzerinde Permüta- syon Hareketi
f, V üzerinde k-lineer, σ ∈ Sk olsun.
(σ.f )(v1, v2, ..., vk) = f (vσ(1), vσ(2), ..., vσ(k)).
Sonuç 2.3.1. 1) f simetriktir ⇔ Tüm σ ∈ Sk için σ.f = f 2) f alternedir ⇔ Tüm σ ∈ Sk için σ · f = Sgn(σ)f.
Lemma 2.3.1. σ, τ ∈ Sk ve f, V üzerinde k-lineer olsun.
τ · (σ · f ) = (τ σ)f.
spat:
τ · (σ · f )(v1, v2, ..., vk) = σ · f (vτ (1), vτ (2), ..., vτ (k))
= f (vτ (σ(1)), vτ (σ(2)), ..., vτ (σ(k)))
= (τ σ) · f (v1, v2, ..., vk).
Tanm 2.3.1. G bir grup ve X bir küme olsun.
G × X −→ X, (σ, x) 7−→ σ · x
dönü³ümü a³a§daki özellikleri sa§lyorsa, G grubu X kümesi üzerinde soldan hareket ediyor denir.
1) Tüm τ, σ ∈ G ve x ∈ X için τ · (σ · x) = (τ · σ) · x 2) 1 ∈ G ve x ∈ X için 1 · x = x
2.4 Simetrik ve Alterne Operatörleri
Tanm 2.4.1. f, V üzerinde k-lineer olsun.
1) Sf(v1, v2, ..., vk) = X
σ∈Sk
σf (vσ(1), vσ(2), ..., vσ(k)) ise S ye simetrik operatör denir.
2) Af(v1, v2, ..., vk) = X
σ∈Sk
Sgn(σ)σf (v1, v2, ..., vk) ise A ya alterne operatör denir.
Önerme 2.4.1. 1) Sf simetriktir.
2) Af alternedir.
spat: 1) Ödev 2) σ ∈ Sk olsun.
τ (Af ) = X
σ∈Sk
Sgn(σ) τ (σf ) = X
σ∈Sk
Sgn(σ)(τ σ)f
= Sgn(τ ) X
σ∈Sk
Sgn(σ)σf
= Sgn(τ )Af Sonuç 2.3.1 den Af alternedir.
Lemma 2.4.1. f, V üzerinde alterne k-lineer fonksiyon olsun. Af = k!f
spat: Af = X
σ∈Sk
Sgn(σ)σf = X
σ∈Sk
Sgn(σ)Sgn(σ)f = k!f.
2.5 Tensör Çarpm
f, V üzerinde k-lineer fonksiyon, g, V üzerinde l-lineer fonksiyon olsun.
f ve g nin tensör çarpm
(f ⊗ g)(v1, , ..., vk+l) = f (v1, v2, ..., vk)f (vk+1, vk+2, ..., vk+l)
³eklinde tanmlanr.
Örnek 2.5.1. <, >: Rn× Rn −→ R, (v, ω) 7−→< v, ω >=
n
X
i=1
viωi
v =
n
X
i=1
viei ω =
n
X
i=1
ωiei
< v, ω >=
n
X
i=1
viωi =
n
X
i=1
αi(v)αi(ω) =
n
X
i=1
(αi⊗ αi)(v, ω)
<, >=
∞
X
i=1
(αi⊗ αi)
2.6 D³ Çarpm
f ve g, V üzerinde çoklu lineer fonksiyonlar olsun. f ∈ Ak(V ), g ∈ Al(V ) için
f ∧ g = 1
k!.l! A(f ⊗ g)
³eklinde tanmlanan çarpma d³ (wedge-exterior) çarpm denir.
f ∧g(v1, v2, ..., vk, vk+1, ..., vk+l) = 1 k!.l!
X
σ∈Sk+l
Sgn(σ) f (vσ(1), ..., vσ(k)) g(vσ(k+1), ..., vσ(k+l))
Önerme 2.6.1. D³ çarpm de§i³meli de§ildir; yani f ∈ Ak(V ), g ∈ Al(V ) için f ∧ g = (−1)klg ∧ f dir.
spat: τ ∈ Sk+l
τ =
1 2 ... l l + 1 l + 2 ... l + k k + 1 k + 2 ... k + l 1 2 ... k
σ(1)+ = σ(τ (k + 1)) σ(2) = σ(τ (l + 2)) ... σ(k) = σ(τ (l + k)) (v1, ..., vk+l) ∈ V olsun.
A(f ⊗ g)(v1, ..., vk+l) = X
σ∈Sk+l
Sgn(σ) f (vσ(1), ..., vσ(k)) g(vσ(k+1), ..., vσ(k+l))
= X
σ∈Sk+l
Sgn(σ) f (vσ(τ (l+1)), ..., vσ(τ (l+k))) g(vσ(τ (1)), ..., vσ(τ (l)))
= Sgn(τ ) X
σ∈Sk+l
Sgn(σ) g(vστ (1), ..., vστ (l)) f (vστ (l+1), ..., vστ (l+k))
= Sgn(τ ) A(g ⊗ f ) (v1, ..., vk+l) f ∧ g = 1
k!.l!.A(f ⊗ g) = 1
k!.l!Sgn(τ ).A(g ⊗ f )
= 1
k!.l!.(−1)kl.A(g ⊗ f )
= (−1)klg ∧ f.
Sonuç 2.6.1. k tek say olmak üzere f, V üzerinde k-e³vektör ise f ∧ f = 0
dr.
spat: f ∧f = (−1)k.k f ∧f = −f ∧f ⇒ 2f ∧f = 0 ⇒ f ∧f = 0.
2.7 D³ Çarpmn Birle³me Özelli§i
Lemma 2.7.1. f, V üzerinde k-lineer, g, V üzerinde l-lineer fonksiy- onlar olsun.
1) A(A(f) ⊗ g) = k!.A(f ⊗ g) 2) A(f ⊗ A(g)) = l!.A(f ⊗ g)
spat: Ödev.
Önerme 2.7.1. f, V üzerinde k-lineer, g, V üzerinde l-lineer ve h, V üzerinde m-lineer fonksiyonlar olsun.
(f ∧ g) ∧ h = f ∧ (g ∧ h)
spat:
(f ∧ g) ∧ h = 1
(k + l)!.m! A((f ∧ g) ⊗ h) = 1 (k + l)!.m!
1
k!.l! A(A(f ⊗ g) ⊗ h)
= 1
(k + l)!.m!
1
k!.l!.(k + l)! A((f ⊗ g) ⊗ h)
= 1
k!.l!.m! A((f ⊗ g) ⊗ h) f ∧ (g ∧ h) = 1
k!.(l + m)! A(f ⊗ (g ∧ h)) = 1 k!.(l + m)!
1
l!.m! A(f ⊗ (g ⊗ h))
= 1
k!.(l + m)!
1
l!.m!(l + m)! A(f ⊗ (g ⊗ h))
= 1
k!.l!.m! A(f ⊗ (g ⊗ h))
Tensör çarpm birle³meli oldu§undan istenilen sonuç elde edilir.
Sonuç 2.7.1. Bir önceki önermenin hipotezi altnda f ∧ g ∧ h = 1
k!.l!.m! A(f ⊗ g ⊗ h) dir.
Önerme 2.7.2. α1, α2, ..., αk, V üzerinde lineer ve v1, v2, ..., vk ∈ V olsun.
(α1∧α2∧· · ·∧αk)(v1, v2, ..., vk) = det[αi(vj)] =
α1(v1) α1(v2) ... α1(vk) α2(v2) α2(v2) ... α2(vk)
: :
αk(v1) αk(v2) ... αk(vk)
spat: Bir önceki sonuçtan,
(α1∧ α2∧ ... ∧ αk)(v1, v2, ..., vk) = A(α1⊗ α2⊗ ... ⊗ αk)(v1, v2, ..., vk)
= X
σ∈Sk
Sgn(σ)α1(vσ(1))...αk(vσ(k))
= det(αi(vj)).
2.8 k-E³vektör Bazlar
{e1, e2, ..., en}, V vektör uzaynn baz ve {α1, ..., αn}, V∗ e³vektör uzaynn baz olsun.
Önerme 2.8.1. I = (i1, ..., ik) (i1 < i2 < ... < ik) indeks olmak üzere alterne k-lineer αI, Ak(V ) uzay için bir bazdr.
spat: cI ∈ R için X
cIαI = 0 olsun. 0 = X
cIαI(ej) = cj j = 1, 2, ..., k
⇒ αI lineer ba§mszdr. f ∈ Ak(V ) olsun. f = X
f (eI)αI oldu§unu gösterelim.
g =X
f (eI)αI olsun.
g(ej) =X
f (eI).αI(ej) =X
f (eI).δjI = f (ej) ⇒ g = f =X
f (eI).αI.
Sonuç 2.8.1. 1) V n-boyutlu vektör uzay olsun. Ak(V ) uzay nk
boyut- ludur.
2) k > dimV ise Ak(V ) = 0 dr.
spat: 1) Ödev.
2) αi1 ∧ αi2 ∧ ... ∧ αik daki en az iki çarpm ayn oldu§undan αi1 ∧ αi2 ∧ ... ∧ αik = 0.
ALITIRMALAR
1. Vektör uzay V üzerinde bir k-tensör ω nn alterne olmas için gerek ve yeter ko³ul ard³k herhangi iki vektör yer de§i³tirdi§i zaman
ω(..., vi+1, vi, ...) = −ω(..., vi, vi+1, ...) olmasdr. Gösteriniz.
2. Vektör uzay V üzerinde bir k-tensör ω nn alterne olmas için gerek ve yeter ³art v1, ..., vk vektörlerinden herhangi iki vektör birbirine e³it iken
ω(v1, ..., vk) = 0 olmasdr. Gösteriniz.
3. V bir vektör uzay olsun. a, b ∈ R, f ∈ Ak(V ) ve g ∈ Al(V ) için af ∧ bg = (ab)f ∧ g oldu§unu gösteriniz.
4. ω, V vektör uzay üzerinde bir k-e³vektör olsun. V de, uj =
k
X
j=1
ajivi, j = 1, ..., k ³eklinde verilmi³ 2 tane u1, ..., uk ve v1, ..., vk vektörlerinin kümesini kabul edelim. A = [aji] k × k matris olsun.
ω(u1, ..., uk) = (detA) ω(v1, ..., vk) oldu§unu gösteriniz.
5. α1, ..., αk; V vektör uzaynda 1-e³vektörler olsun. α1 ∧ ... ∧ αk 6= 0 olmas için gerek ve yeter ³art V∗ dual uzaynda α1, ..., αk vektörlerinin lineer ba§msz olmasdr. Gösteriniz.
6. Sonlu boyutlu V vektör uzaynda, α sfrdan farkl bir 1-e³vektör ve w bir k-e³vektör olsun. α ∧ ω = 0 olmas için gerek ve yeter ³art τ, V de (k − 1)-e³vektör olmak üzere ω = α ∧ τ olmasdr. Gösteriniz.
Bölüm 3
R n ÜZERNDE DFERANSYEL FORMLAR
Diferansiyel formlar, R3'deki vektör analiz teoremlerinin birle³tirilmesini sa§layan bir yoldur.
3.1 Diferansiyel 1-form, Bir fonksiyonun difer- ansiyeli
Tanm 3.1.1. p noktasndaki Rn nin kotanjant uzay Tp(Rn) tanjant uza- yn duali olarak tanmlanr ve Tp∗(Rn) ile gösterilir. Tp∗(Rn) nin eleman
Tp(Rn) tanjant uzay üzerindeki e³vektör veya lineer fonksiyoneldir.
Tanm 3.1.2. f : U −→ R bir C∞-fonksiyonu olsun. p ∈ U, Xp ∈ Tp(U ) için 1-form (df)p(Xp) = Xpf ³eklinde tanmlanr.
Önerme 3.1.1. (x1, x2, ..., xn) Rn de standart koordinatlar olsun. Her bir p ∈ Rn noktasnda {(dx1)p, ..., (dxn)p}, Tp∗(Rn) kotanjant uzay için bir bazdr. Ayn zamanda bu baz tanjant uzaynn baz olan { ∂
∂x1|p, ..., ∂
∂xn|p} baznn dualidir.
spat: (dxi)p( ∂
∂xj
|p) = ∂
∂xj
|p xi = δij.
Önerme 3.1.2. f : U −→ R, Rn e ait U açk alt kümesi üzerinde C∞- fonksiyonu olsun. O zaman
df = X
i
∂f
∂xidxi.
spat: Bir önceki önermeden, (df)p = X
ai(p)(dxi)p (ai(p), p nok- tasna ba§l bir sabittir.)
df =X aidxi df ( ∂
∂xj) =X
aidxi( ∂
∂xj) =X
aiδji = aj Di§er taraftan
df ( ∂
∂xj
) = ∂f
∂xi
Dolaysyla
df =X
i
∂f
∂xidxi bulunur.
Örnek 3.1.1. Xp ∈ Tp(Rn) tanjant vektörü, standart bazlarn lineer kombi- nasyonudur. Yani
Xp =X
i
bi(Xp)∂f
∂xi|p bi(Xp) = (dxi)p(Xp)
3.2 Diferansiyel k-formlar
Tanm 3.2.1. Rn nin açk alt kümesi U üzerinde k-formu U'daki p ele- mann, Tp(Rn) tanjant vektör uzay üzerindeki alterne k-lineer fonksiyona e³leme yapan bir fonksiyondur. Yani ωp ∈ Ak(Tp(Rn)) dir.
Not 3.2.1. A1(Tp(Rn)) = Tp∗(Rn) oldu§undan k-form, 1-formun genelle³tir- ilmi³idir.
Ak(Tp(Rn)) nin baz; 1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n ve aI : U −→ R (katsay
fonksiyonu) olmak üzere
dxI |p= dxi1 |p ∧... ∧ dxik |p ωp =X
aI(p)dxI(p)
Tanm 3.2.2. E§er tüm katsay fonksiyonlar aI, U üzerinde C∞-fonksiyonu ise k-form ω, C∞ snfndandr. Ωk(U ) = U üzerindeki C∞ k-formlarn olu³turdu§u vektör uzaydr.
Not 3.2.2. 1) U üzerinde 0-form, U'daki her noktay, A0(Tp(Rn)) = R elemanna e³leme yapan bir dönü³ümdür. Yani 0-formlar, U üzerinde bir fonksiyondur.
2) Ωk(U ), R üzerinde vektör uzaydr ve C∞(U ) üzerinde de modüldür.
3) Ω∗(U ) = Ln
k=0Ωk(U ) R üzerinde bir cebirdir. Bu cebir birle³meli olup de§i³meli de§ildir.
Örnek 3.2.1. (x, y, z) ∈ R3 olsun. R3 üzerinde C∞ 1-formlar a(x, y, z)dx + b(x, y, z)dy + c(x, y, z)dz
C∞ 2-formlar
a(x, y, z)dy ∧ dz + b(x, y, z)dx ∧ dz + c(x, y, z)dx ∧ dy C∞ 3-formlar
a(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz olur.
3.3 D³ Türev (Exterior Derivation)
Tanm 3.3.1. Bir C∞-fonksiyonu f ∈ C∞(U ) d³ türevi df =X ∂f
∂xidxi ∈ Ω1(U )
³eklinde tanmlanr.
Tanm 3.3.2. ω = X
I
aIdxI ∈ Ωk(U ) ise
dw =X
I
daI∧ dxI =X
I
X
J
(∂aI
∂xj) ∧ dxI ∈ Ωk+1(U ).
Örnek 3.3.1. ω, R3 üzerinde 1-form olsun. Yani ω = f dx + gdy ise
dw = df ∧dx+dg∧dy = (fxdx+fydy)∧dx+(gxdx+gydy)∧dy = (gx−fy)dx∧dy Tanm 3.3.3. 1) A, K cismi üzerinde bir cebir olsun. A = L∞k=0Ak ve Ak× Al −→ Ak+l çarpm ile birlikte A'ya graded cebir denir.
2) A = L∞k=0Ak graded cebir olsun. D : A −→ A k-lineer dönü³ümü D(ω.τ ) = Dω.τ + (−1)kω.D(τ )
özelli§ini sa§lyorsa, anti türev dönü³ümü denir. (D : Ak −→ Ak+m, D'nin derecesi m dir.)
Önerme 3.3.1. i) d : Ω∗(U ) −→ Ω∗(U ) 1. dereceden anti türev dönü³ümüdür.
Yani
d(ω ∧ τ ) = dω ∧ τ + (−1)deg(ω)ω ∧ dτ ii) d2 = 0
iii) f ∈ C∞(U ) ve X ∈ χ(U), df(X) = X(f).
spat: i) ω = fdxI ve τ = gdxJ olsun.
d(ω∧τ ) = d(f dxI∧gdxJ) = d(f gdxI∧dxJ) =X∂f g
∂xidxi∧dxI∧dxJ
=X ∂f
∂xidxi∧ dxI ∧ gdxJ+X f ∂g
∂xidxi∧ dxI ∧ dxJ
= dw ∧ τ + (−1)kω ∧ dτ ii) ω = fdxI olsun.
d2(ω) = d2(f dxI) = d(d(f dxI)) = d(X ∂f
∂xidxi∧ dxI)
=X
i,j
∂2f
∂xixjdxi ∧ dxj∧ dxI
i = j için dxi ∧ dxj = 0 oldu§undan d2 = 0 dr. i 6= j için ∂2f
∂xixj simetriktir.
iii) X =X ai ∂
∂xi olsun.
df (X) = (X ∂f
∂xj
dxj)(X ai ∂
∂xi
) =X ∂f
∂xi
.ai = Xf.
Önerme 3.3.2. D : Ω∗(U ) −→ Ω∗(U ) a³a§daki özellikleri sa§layan 1.
dereceden antitürev ise D = d i) D2 = 0
ii) f ∈ C∞(U ) ve X ∈ χ(U), Df(X) = X(f)
spat: U üzerindeki her k-form, fdxi1∧...∧dxik gibi terimlerin toplam
oldu§undan k-form üzerinde D = d oldu§unu göstermemiz yeterli olacaktr.
D(f dxi1 ∧ ... ∧ dxik) = D(f Dxi1 ∧ ... ∧ Dxik) = Df ∧ Dxi1 ∧ ... ∧ Dxik
= df ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik
= d(f dxi1 ∧ ... ∧ dxik).
3.4 Kapal Formlar ve Tam Formlar
Tanm 3.4.1. 1) ω, U üzerinde k-form olsun. dω = 0 ise ω'ya kapal
form denir.
2) U üzerinde ω = dτ olacak ³ekilde (k − 1)-form τ varsa, ω'ya tam form denir.
Not 3.4.1. Her tam form kapaldr çünkü d2 = 0 dr.
Tanm 3.4.2. dk : Vk −→ Vk+1 (dk+1 ◦ dk = 0) lineer dönü³ümleri ile birlikte (Vk)∞k=0 vektör uzay kolleksiyonuna diferansiyel kompleksi veya e³- zincir kompleksi denir.
Not 3.4.2. U, Rnde açk alt küme olsun. D³ türev d, Ω∗(U ) vektör uzayn
e³-zincir kompleksine dönü³türür. (k = 0, ... dk : Ωk(U ) −→ Ωk+1(U )) Bu e³-zincir kompleksine de Rham Kompleksi diyece§iz.
Ω0(U ) −→ Ω1(U ) −→ ...d−→ Ωk−1 k(U )−→ Ωdk k+1(U ) −→ ...
i) Kapal formlar, de Rham Kompleksi için Kerd'nin elemanlardr.
ii) Tam formlar, de Rham Kompleksi için Imd'nin elemanlardr. De Rham kohomolojisi,
Hn(Ω∗(U )) = Kerdn Imdn−1
3.5 Vektör Analiz Uygulamalar
Diferansiyel form teorisi, R3 üzerindeki vektör analizine ait teoremleri tek çat altnda toplar. Vektör de§erli fonksiyon ayn zamanda vektör alandr.
{Skaler de§erli fonksiyonlar}Grad−→ {Vektör de§erli fonksiyonlar}
{Vektör de§erli fonksiyonlar}−→ {Curl Vektör de§erli fonksiyonlar}
{Vektör de§erli fonksiyonlar}−→ {Div Skaler de§erli fonksiyonlar}
Gradf =
fx fy fz
Curlf =
P Q R
=
∂
∂x∂
∂y
∂
∂z
×
P Q R
=
Ry − Qz
−(Rx− Pz) Qx− Py
=
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
div
P Q R
= Px+ Qy + Rz
Önerme 3.5.1. 1) Curl(gradf) = 0.
2)
div(Curl
P Q R
) = 0.
3) Bir vektör alan F , bir skaler de§erli fonksiyon f nin gradyantdr. Yani F = grad(f ) ⇔ Curl(F ) = 0.
Not 3.5.1. 1) R3 üzerindeki her 1-form dx, dy, dz nin lineer kombinasy- onudur. Yani
P dx + Qdy + Rdz ⇔
P Q R
2) Benzer ³ekilde R3 üzerindeki 2-formlar
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy ⇔
P Q R
3) 0-form f'nin d³ türevi
df = fxdx + fydy + fzdz = Gradf 4) 1-formun d³ türevi
d(P dx+Qdy +Rdz) = (Ry−Qz)dy ∧dz −(Rx−Pz)dz ∧dx+(Qx−Py)dx∧dy
↔ Curl
P Q R
=
Ry − Qz
−(Rx− Pz) Qx− Py
5) 2-formun d³ türevi
d(P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy) = (Px+ Qy + Rz)dx ∧ dy ∧ dz
↔ div
P Q R
= Px+ Qy+ Rz
Not 3.5.2. R3 üzerindeki < P, Q, R > vektör alannn C∞-fonksiyon f'nin gradyenti olmas için gerek ve yeter ³art df = P dx + Qdy + Rdz
olmasdr.
Örnek 3.5.1. U = R3− {z-ekseni} F =< − y
x2+ y2, x
x2+ y2, 0 >
CurlF = 0 fakat F , U üzerindeki C∞-fonksiyon f'nin gradyenti de§ildir.
Yani F 6= Gradf.
Z
C
− y
x2+ y2dx + x
x2+ y2dy = 0
C = {(x, y) ∈ R2 | x = cos t y = sin t 0 ≤ t ≤ 2π}
Z
C
−ydx + xdy = Z 2π
0
− sin td(cos t) + cos td(sin t) = Z 2π
0
(sin2t + cos2t)dt
= Z 2π
0
dt = 2π 1-form ω = − y
x2+ y2dx + x
x2+ y2dy kapal fakat tam de§ildir. dω = 0 ω = dτ olacak ³ekilde bir τ yoktur.
Tanm 3.5.1. Hk(U ) = U daki kapali k − f ormlar U daki tam k − f ormlar
³eklinde tanmlanan ifadeye U'nun de Rham kohomolojisi denir.
ALITIRMALAR 1. w = zdx − dz 1-form ve X = y ∂
∂x + x ∂
∂y, R3 de vektör alan olsun.
w(X) ve dw yi hesaplaynz.
2. R2 de standart koordinatlar r ve θ olsun. x = r. cos θ ve y = r. sin θ
⇒ dx, dy, dx ∧ dy = ?
3. α, R3 de 1-form; β, R3 de 2-form olsun. O zaman α = a1dx1+ a2dx2+ a3dx3
β = b1dx2 ∧ dx3+ b2dx3∧ dx1+ b3dx1 ∧ dx2 oldu§unu gösteriniz. Ayrca α ∧ β hesaplaynz.
4. R3deki α = a1dx+a2dy+a3dz 1-e³vektörünü Vα=< a1, a2, a3 > ³eklinde gösterebiliriz. Yine R3deki γ = c1dy∧dz+c2dz∧dx+c3dx∧dy 2-e³vektörünü Vγ =< c1, c2, c3 > olarak gösterebiliriz. O halde, α = a1dx + a2dy + a3dz ve β = b1dx + b2dy + b3dz ⇒ Vα∧β = Vα× Vβ e³itli§inin gerçeklendi§ini gösteriniz.
5. V vektör uzaynda w bir k-e³vektör ve v ∈ V , v ile w nn iç çarpm
ise ıvw ³eklinde tanml (ıvw)(v2, ..., vk) = w(v, v2, ..., vk) her v2, ..., vk ∈ V (k − 1)-e³vektördür. E§er α1, ..., αk V
de 1-e³vektörler ise ispatlaynz ki ıv(α1 ∧ ... ∧ αk) =
k
X
i=1
(−1)i+1αi(v)α1 ∧ ... ∧αbi∧ ... ∧ αk dr.
Burada αbi nin anlam αi nin d³ çarpma dahil edilmemesidir.
6. 5. sorudaki ayn ³artlar sa§lanmak üzere ispatlaynz ki, a) ıv ◦ ıv = 0
b) w ∈ Ak(V ) ve τ ∈ Al(V ) için ıv∧τ = ıv∧ τ + (−1)kw ∧ ıτ dr.
Bölüm 4
Topolojik Manifoldlar
Tanm 4.0.2. M topolojik uzay a³a§daki özellikleri sa§lyorsa M'ye topolo- jik manifold denir.
1) M Hausdor
2) kinci saylabilir uzay
3) Rnnin açk alt kümesine homeomorf olacak ³ekilde her p ∈ M noktasnn U kom³ulu§u vardr.
Örnek 4.0.2. 1) Rn nin her açk alt kümesi bir manifolddur.
2) G = {(x, y) ∈ R2 | y = x23} ⊂ R2 kümesi bir topolojik manifolddur.
3) M = R × {0} ∪ {0} × R topolojik manifold de§ildir. M eksenlerdir.
4) Sn, n-manifolddur.(Hem ba§lantl hem kompakt) 5) Kb, Mb, T or, RP2, S2, 2-manifolddur.
M, Hausdor ve ikinci saylabilir uzaydr çünkü R2 Hausdor ve ikinci
saylabilir uzay olup bunlar kaltsal özelliklerdir. Fakat M deki açklar ile R2 nin açklar homeomorf de§ildir.
Özellikler 4.0.1.
1. Bir n-manifoldun açk alt kümesi bir n-manifolddur.
2. M m-manifold ve N n-manifold ise M × N (m + n)-manifolddur.
3. Bir n-manifold ya ba§lantl ya da ba§lantsz, ya kompakt ya da kom- pakt de§ildir.
4. Her n-manifold yerel kompakttr.
4.1 Haritalar
Tanm 4.1.1. Bir topolojik manifolduna ait (U, φ) ikilisine bir harita veya koordinat kom³ulu§u veya koordinat sistemi denir. Bir topolojik manifoldunun (U, φ) ve (V, ψ) gibi iki tane haritas olsun. E§er
ψ ◦ φ−1 : φ(U ∩ V ) −→ ψ(U ∩ V ) φ ◦ ψ−1 : ψ(U ∩ V ) −→ φ(U ∩ V ) dönü³ümleri C∞-fonksiyonu ise bu iki harita C∞-uyumludur denir. φ, ψ fonksiyonlarna transitive fonksiyonlar denir.
Tanm 4.1.2. M yerel Euclid uzay olsun. M üzerindeki C∞-atlas M = [
α
Uα olacak ³ekilde C∞-haritalar kolleksiyonudur. Yani {(Uα, φα)}. Not 4.1.1. C∞-uyumlu haritalar, yansmal, simetrik fakat geçi³meli de§ildir.
Lemma 4.1.1. {(Uα, φα)}, yerel Euclid uzay üzerinde atlas olsun. ki harita (V, ψ), (W, σ) ({(Uα, φα)}) atlasna göre uyumlu ise her ikisi birbirine uyumludur.
4.2 Smooth Manifold
Tanm 4.2.1. M bir topolojik manifold olsun. Maksimum atlas ile birlikte M manifolduna smooth veya C∞-manifoldu denir. Maksimum atlasa M manifoldu üzerindeki diferansiyellenebilir yap denir.
Not 4.2.1. M manifoldunun C∞ olmas için gerek ve yeter ³art M nin Hausdor, ikinci saylabilir ve C∞-atlasa sahip olmasdr.
Örnek 4.2.1. 1) Rn bir smooth manifolddur.
2) Bir M manifoldunun V açk alt kümesi smooth manifolddur.
3) U ⊂ Rn açk f : U −→ Rn C∞-fonksiyonu Gf = {(x, f (x)) ∈ U × Rm φ : Gf −→ U, (x, f (x)) 7−→ x 1 × f : U −→ Gf, x 7−→ (x, f (x)) φ ve 1 × f süreklidir. Gf bir smooth manifolddur.
4) GL(n, R) = {A ∈ Rn2 | detA 6= 0} det : Rn2 −→ R süreklidir.
GL(n, R) de Rn2 de açk alt küme oldu§undan (2) den GL(n, R) bir smooth manifolddur.
5) S1 = {(x, y) ∈ R2 | x2+y2 = 1} birim çemberi de bir smooth manifolddur.
6) M ve N smooth manifold ise M × N de smooth manifolddur.
ALITIRMALAR 1.
R3 deki saçl kürenin q da yerel Öklid olmad§n gösteriniz. Böylece saçl
küre topolojik manifold olamaz.
2. M bir topolojik m-manifold, N bir topolojik n-manifold ise gösteriniz ki M × N de topolojik (m + n)-manifolddur.
4.3 Manifold Üzerindeki Smooth Dönü³ümler
Tanm 4.3.1. M bir smooth manifold olsun. f : M −→ R bir dönü³üm ve p ∈ M olsun. Rn nin açk alt kümesi φ(U) üzerinde tanml olan f ◦ φ−1
dönü³ümü φ(p) noktasnda C∞-fonksiyonu olacak ³ekilde M'nin atlasna ait (U, φ) haritas varsa, f'ye p noktasnda C∞ veya smooth dönü³üm denir.
f, M'nin her noktasnda C∞-fonksiyonu ise f, M üzerinde C∞- fonksiyonudur denir.
Tanm 4.3.2. F : N −→ M bir dönü³üm ve h, M üzerinde bir fonksiyon olsun. h'nin F tarafndan geri çekilim (pull back) dönü³ümü h ◦ F 'dir.
Tanm 4.3.3. N, n-boyutlu ve M m-boyutlu manifold olsun. Ayrca F : N −→ M ve p ∈ N olsun. ψ ◦ φ−1 : Rn −→ Rm dönü³ümü φ(p) noktasnda C∞-fonksiyonu olacak ³ekilde N'de (U, φ) haritas ve M'de (V, ψ) haritas varsa, F 'ye p ∈ N noktasnda C∞-dönü³ümüdür denir.
Tanm 4.3.4. 1) F : N −→ M dönü³ümü N'nin her noktasnda C∞- dönü³ümü ise F 'ye N üzerinde C∞-dönü³ümü denir.
2) F : N −→ M bijektif, kendisi ve tersi C∞-dönü³ümü ise F 'ye dieo- mor zmdir denir.
