imdi a³a§daki dü§ümlerin renklendirilebilir olup olmadklarn in-celeyelim;
Dü§ümsüz, renklendirme ko³ullarndan ilkini sa§lamad§ndan renklendirilebilir de§ildir.
Sol trefoil renklendirmenin 2 ko³ulunu da sa§lad§ndan renklendirilebilirdir.
ekil-8 dü§ümü, renklendirme ko³ullarndan ikincisini sa§lamad§ndan renklendirilebilir de§ildir.
Bir dü§üm diyagramnn renklendirilebilirli§i dü§üm tipinin de§i³mez (invaryant) özelli§idir.
10.3 Alexander Polinomu
Bir dü§üm diyagramn ele alalm. Çaprazlamalar x1, ..., xn ve yaylar
da a1, ...an ile gösterelim. Ayrca bu dü§üme bir yönlendirme (orien-tasyon) belirleyelim. Bu dü§üm boyunca hareket etti§imizde üç türlü geçi³ olacaktr;
(a) Çaprazlamadaki üst geçiti 1 − t ile;
(b) Sol tarafndaki alt geçit yayn t ile;
(c) Sa§ tarafndaki alt geçit yayn −1 ile gösterelim.
Örne§in bir orientasyona sahip sa§ trefoil dü§ümünü ele alalm;
Bu diyagramn çaprazlamalar ve yaylarnn matrisini olu³turalm; Bu-radaki matrisin herhangi bir satr veya sütun toplam 0 olmaldr.
imdi bu matrisin herhangi bir satr veya sütunu silinerek determinant
alnr.
Elde edilen bu polinom trefoilin Alexander polinomudur. Burada dikkat edilecek husus polinomda sabit terim bulunmal ve ba³katsay pozitif tutulmaldr. E§er hesaplanan polinomda sabit terim yoksa bu polinom t−n gibi bir ifade ile çarplarak sabit terim elde edilir. E§er ba³katsay
negatif ise polinom eksi parantezine alnmaldr.
imdi a³a§daki yönlendirilmi³ dü§ümün Alexander polinomunu hesaplay-alm;
Bu dü§ümün çaprazlama-yay matrisini olu³turalm.
Herhangi bir satr veya sütunun 0 oldu§unu gözlemleyelim ve iste-di§imiz key bir satur veya sütununu silip determinantn hesaplayalm;
Elde etti§imiz polinomumuzun sabit terimi yok ve ba³katsays negatiftir.
O zaman polinomu −t−1 ile çarparsak; −t−1(−2t3+ 3t2− 2t) = 2t2−
3t + 2 polinomu bü dü§ümün Alexander polinomudur.
Teorem 10.3.1. Alexander Polinomu, dü§üm diyagramndaki yay veya çaprazlama indeksine ba§l de§ildir.
spat 10.3.1. Çaprazlama indeksleri arasndaki de§i³im satrlar etk-iler. Ayn durum yay indeksleri arasndaki arasndaki de§i³im sütunlar
etkileyecektir. Dolaysyla bu matrisin determinant ±1 kadar de§i³e-cektir. Alexander polinomunun sabit terimi olmas için de ±tk katsays
ile çarplacaktr. Bu durumda her iki matrisin de Alexander polinomu ayndr.
Teorem 10.3.2. (a) Alexander polinomu çaprazlama / yay matrisin-den çkartlm³ sütundan ba§msz;
(b) Alexander polinomu çaprazlama / yay matrisinden çkartlm³ satr-dan ba§mszdr.
Teorem 10.3.3. Orientasyona sahip bir dü§ümün Alexander polinomu Reidemeister hareketleri altnda de§i³mezdir.
10.4 Skein Ba§nts
Önceki bölümde Alexander polinomunu ±tp ile çarparak polinomun pozitif sabit terime sahi olmasn sa§lam³tk. imdi ise bir antn+ ... + a1t + a0 an, a0 6= 0 Alexander polinomunu ±tn/2 ile çarpaca§z.
Ve bu elde etti§imiz yeni polinomu 4 ile gösterece§iz. Burada
(a) Pozitif dereceli terimin katsays ile negatif dereceli terimin kat-says
çak³yorsa 4(t−1) = 4(t) dir.
(b) Birden fazla bile³eni olna zincir için 4(1) = 0 alaca§z.
Örne§in sol el çaprazlamal Hopf zincirinin 4 polinomunu hesaplay-alm. Önce Alexander polinomunu hesaplamamz gerekiyor:
Buradan Hopf zincirinin Alexander polinomu t1 − 1 dir. 4 polino-munu elde etmemiz için Alexander polinopolino-munu ±t−n/2 ile çarpmamz gerekiyordu. O zaman biz de t1− 1 polinomunu ±t−1/2 ile çarparsak 4 = t1/2− t−1/2 polinomunu elde etmi³ oluruz.
Tanm 10.4.1. imdi Skein ba§ntsn verelim. Bir orientasyona sahip zincirin önceden sabitlenen bir çaprazlamas için L+ sa§ el çaprazla-may; L− sol el çaprazlamay; L0 da o çaprazlamay ihmal etti§imizi göstersin.Alexander polinomlar için Skein ba§nts a³a§daki gibidir:
Örne§in bir önceki Hopf zincirinin Skein ba§ntsn hesaplayalm. Bu-rada L− sol el çaprazlamasn x1 çaprazlamas olarak alalm. x1 deki çaprazlamay sa§ el çaprazlamas L+ yaparsak içiçe geçmi³ iki dü§üm-süz elde etmi³ oluruz. O zaman x1 deki sa§ el çaprazlamasnn 4
polinomu 4(L+) = 0 dr. x1 deki çaprazlamay L0 elemine edersek dü§ümsüz elde ederiz ve 4(L0) = 1 olur. Böylece Skein ba§ntsn
yazarsak;
4(L−) = 4(L+) + (t1/2− t−1/2) 4 (L0)
= 0 + (t1/2− t−1/2)1
= (t1/2− t−1/2)
Örnek 10.4.1. A³a§daki polinomu Skein ba§nts yardmyla hesaplaynz.
Dü§ümsüzün 4 polinomunun 0 oldu§unu biliyoruz. Hopf zincirinin
Skein ba§ntsndan da yararlanarak;
Örnek 10.4.2. A³a§daki polinomu Skein ba§nts yardmyla hesaplaynz.
10.5 Jones Polinomu
Bir zincirin diyagramnn Kauman bracket polinomu; tamsay kuvvetli A de§i³keni ile a³a§daki üç kuralla hesaplanr:
Birinci kural a³ikar zincirin(dü§ümsüz) polinomunu verir. kinci kural a³ikar zincir ile bir zincirin ayrk birle³iminin polinomunu verir.Üçüncü kural ise çaprazlamay ortadan kaldran ba§nty verir.
Örnek 10.5.1. A³a§daki dü§ümün bracket polinomunu hesaplaynz.
Öncelikle 3üncü kural sonra da 1inci ve 2inci kural uygulayalm:
Teorem 10.5.1. Bracket polinomu Reidemeister hareketleri altnda de§i³mezdir.(invaryanttr)
R3 ün korundu§unu görelim. 3üncü kural uygulayalm:
R1 in korundu§unu görelim. Yine 3 üncü kural uygulayalm:
R2 nin korundu§unu görelim:
Tanm 10.5.1. Bir L zincirinin regüler projeksiyonunun kvranma says (writhe); o zincirdeki sa§ el çaprazlamalarndan sol el çaprazla-malarn çkartarak elde edilir ve bu say ω(L) notasyonu ile gösterilir.
Örne§in a³a§daki zincirin kvranma saysn hesaplayalm;
Burada sa§ el çaprazlamalarnn says 2; sol el çaprazlamalarnn says
ise 4 oldu§undan ω(L) = 2 − 4 = −2 dir.
Bracket polinomunun Reidemeiater hareketleri ile korundu§unun is-pat ederken gördük ki sa§ ve sol el çaprazlamay ortadan kaldran R1 hareketi Bracket polinomundaki −A−3 çarpann ortaya çkarmaktadr.
Böylece Bracket polinomunu (−A)−3ω(L) ile çarparsak R1 hareketinin etkisini ortadan kaldrr. Ancak kvranma kavram R2 ve R3 nin bracket polinomundaki etkisini ortadan kaldramaz. Bunun analizi ö§renciye al³trma olarak braklm³tr.
Böylece X(L) = (−A)−3ω(L)hLipolinomu zincir tipinin invaryant (de§i³mezi) dr. Bir dü§üm için orientasyonun yönü seçimden ba§msz olmasna ra§men birden fazla bile³ene sahip bir zincirin kvranma says bile³en-lerin yönbile³en-lerinin seçimine ba§l olacaktr.
Tanm 10.5.2. L zincirinin V (L) Jones polinomu, X(L) polinomunda A = t−1/4 almakla elde edilir.
Örne§in önceki al³trmamzda sol trefoilin Bracket polinomunu hesaplam³tk ve bu polinomun A7 − A3 − A−5 oldu§unu görmü³tük. Burada tüm çaprazlamalarn sol el çaprazlamas oldu§undan ω(K) = −3 tür.
X(K) = (−A)−3ω(L)hKi = (−A)−9(A7−A3−A−5) = −A16+A12+A4 elde edilir. A = t−1/4 alnrsa V (K) = −t−4+ t−3+ t−1 Jones polinomu hesaplam³ olur.
Bracket polinomunda Skein ba§ntsn kullanarak da Jones polinomunu hesaplayabiliriz.
Teorem 10.5.2. L+, L− ve L0 yönlü bir zincirin 3 diyagram olsun öyleki zincirin sabit bir çaprazlamasnda L+sa§ el çaprazlamasnn, L−
sol el çaprazlamasnn ve L0 da o çaprazlamann yok edilmi³ halinin diyagram olsun. O zaman bu yönlü zincirin Jones polinomu Skein ba§ntsn sa§lar;
t−1V (L+) − tV (L−) + (t−1/2− t1/2)V (L0) = 0
spat:
Örnek 10.5.2.
Önceki teoremi de kullanarak sol trefoil dü§ümünün Jones polinomunu hesaplayalm: Öncelikle dü§ümsüzün (trivial dü§ümün) Jones polino-munun 1 oldu§unu gözlemleyelim;
imdi de iki bile³enli trivial zincirin Jones polinomunu hesaplayalm;
Bu nedenle;
elde edilir. Böylece;
Jones polinomu için verdi§imiz Skein ba§ntsnda V (L−) yi çekersek;
sol trefoil dü§ümünün Jones polinomu böylelikle hesaplanm³ olur.
10.6 Aynalar VE Dü§üm Kodlamas
L bir zincir ve M ⊂ R3 bir a n düzlemi olsun. L nin ayna görüntüsü, m(L), M deki yansmasndan elde edilir.
Önerme 10.6.1. Ayna i³lemi izotopi sn ar üzerinde etkilidir ve ay-nann seçimine ba§l de§ildir.
Önerme 10.6.2. mL nin diyagram L nin diyagramndaki tüm çapra-zlamalar de§i³tirilerek bulunur.
Tanm 10.6.1. E§er bir zincir aynadaki yansmasna denk ise achiral dir denir. Aksi halde ise chiral olarak adlandrlr.
Dü§üm tablosundaki achiraller 41, 63, 83, 89, 812, 817, 818 dir. 31 ise chi-raldir.
Tanm 10.6.2. K yönlü bir dü§üm olsun ve r(K) da K nn belirlenmi³ yönünü göstersin. E§er K ve r(K) izotopik ise K tersinirdir.
Tabloda tersinir olmayan tek dü§üm 817 dir.
10.6.1 Dü§üm Kodlamas
Bir gölgenin bir zincire ait çaprazlama bilgileri ele alnmadan çizilen diyagram oldu§unu hatrlyoruz
Önerme 10.6.3. Tek bile³enli bir gölge, yönsüz de§i³en(alternating) bir tek dü§üm belirtir.
ispat
Gölge etrafnda çaprazlama bilgilerine uyarak a³a§, yukar, a³a§, . . . ³eklinde yürüyelim. Bunu i³e yarad§n görebilmek içinbir satranç tahtas seçe-lim ve yürümeye ba³larken siyah ksmn solumuza alalm siyah-beyaz
³eklinde yürümeye devam ettikçe yukar, a³a§ yürüdü§ümüzü göre-ce§iz.
Not 10.6.1. Tablonun sadece son üç eleman de§i³meyendir (not al-rternating). Bunlar; 819, 820, 821dir. Bir gölge verilsin ve bunun etrafnda ard³k olarak çaprazlama numaralarn yürüyelim. imdi ³öyle bir fonksiyon elde ederiz;
f de§i³meli ise; f : teksayilar → ciftsayilar
burada tek saylar alt kesi³imlere, çift saylar ise üst kesi³imlere kar³lk gelir.
f (1), f (2), f (3), . . . dizisi bize gölgeyi verir.
Örne§in; 31 dü§ümü 4, 6, 2 dizisi tarafndan belirlenir.
Ayn dizinin farkl gölgeleri farkl diziler verir.
10.7 Dü§üm Toplamlar
K1 ve K2 gibi iki dü§ümün ba§lantl toplam her iki dü§ümden birer küçük daire dilimi çkarlup meydana gelen dört bitim noktas birbirini kesmeyen iki yeni e§ri parças ile birle³tirilerek elde edilir, sonuç olarak K = K1]K2 ³eklinde bir çift dü§ümdür.
Tanm 10.7.1. E§er a³ikar olmayan L ve M dü§ümleri için K , L]M izomorf de§il ise K ya asal dü§üm denir. Dü§üm tablosu yalnzca asal dü§ümleri gösterir.
Tanm 10.7.2. Bir D dü§ümünün diyagramnda üst geçi³lere köprü bunlarn saysnada köprü saysn verir.
Tanm 10.7.3. Bir K dü§ümünün köprü says b(K) Kya ait diya-gramlarda elde edilen köprü saylarnn minimumuna e³ittir.
E§er K bir unknot ise b(K) = 1 olur.
Not 10.7.1. 85, 810, 815 hariç olmak üzere dü§üm tablosundaki tüm dü§ümler 2-köprülü dü§ümlerdir. Bu hariç olan dü§ümler 3-köprülü dü§ümlerdir. Ancak 3-köprülü dü§ümler tam olarak sn andrlamam³tr.
10.8 DNA'ya Ksa Bak³
Son yllarda moleküler biyolojide pekçok geli³meler meydana gelmi³tir.
Bu geli³melerin bir ksmda matemati§in moleküler biyolojiye uygulan-mas ile gerçekle³mi³tir. Özellikle dü§üm teorisi DNA rekombinasyonu için oldukça güzel bir yol verir. DNA ile matemati§n ili³kisi 1950 lerde dublex DNA nn sarmal Crick-Watson yapsn ke³ ile ba³lam³tr. Bir matematik modeli olan Özel-Bölgeli Rekombinasyon Tangel Modeli ilk olarak De Witt Sumners tarafndan tantlm³tr.
Bu ksmda ise asl amacmz dü§üm teorisinin DNA rekombinasyonuna uygulanmasnn detaylarn vermek olacaktr. DNA nn hücre çekird-e§i içerisinde bulunan çok uzun ve ince moleküller oldu§unu biliyoruz.
Bu moleküller canlnn hayati özelliklerini ta³yan ve biyolojik bilginin nesilden nesile aktarlmasn sa§layan DNA molekülü bulunur. nsan DNA s 3.2 milyar yap ta³ndan olu³an bir bilgi hazinesi, bir kitaptr.
Bu kitaptaki har eri yan yana dizecek olursak, biner sayfalk 10.000 kitaptaki bilgiye denk gelir.
Bir insann trilyonlara yakn hücrelerinin hepsinin çekirdi§inde bulu-nan DNA çok sk bir ³ekilde kendi etrafnda dolanm³tr ve bu ³ekliyle bir yuma§ andrr . DNA molekülü yumak halinden çkarlp bir ipli§e dönü³türüldü§ünde, bu DNA nn uzunlu§u binbe³yüz cm ye yakndr.
Bu 1.5 metrelik ³erit 10−6 metre çekirdek içinde bulunur. Bu da DNA nn neden çekirdek içinde karma³k ve dü§ümlenmi³ bir ³ekilde
bu-lunu§unu bize açklamaktadr.
DNA'y gözümüzde canlandrrsak çok uzun iki ³eridin milyonlarca kez birbirine geçmi³, dü§ümlenmi³ ve ardarda pekçok kez sarmalanm³ bir halde oldu§unu dü³ünebiliriz. Ancak replikasyon ve translasyon i³lem-lerinin uygulanmas e§er DNA dü§ümlenmi³ ve karma³k olmasndansa, düzenli bir ³ekilde sralanm³ ise daha kolaydr. Enzimler ise dü§üm-leri ince ³eritler ³eklinde böler ve bunlar daha düzgün bir hale gelecek
³ekilde ³eritleri tekrar ba§lar.
Topolojik ilkeleri kullanarak DNA nn dü§üm çözme i³lemini daha iyi anlayabiliriz. Çünkü DNA replikasyon ve translasyon i³lemlerini gerçekle³tirebilmek için hzlca kendi dü§ümlü yapsn çözmelidir. Ve bu aslnda topolojik bir problemdir. Dü§üm teorisi ara³trmaclara DNA paketlemesi ile ilgili olarak nitel bir tahminden çok nicel bir de§er verir ve dü§üm teorisi sayesinde bilimadamlar DNA nn bu dü§üm çözülme i³lemleri srasnda hangi enzimlerin kullanld§n anlamasn
sa§lar. ³te bu noktada DNA nn ifadesinde oldukça önemli olan tangle kavram devreye girecektir.