Borsuk-Ulam Teoremi





Z, q = 0 0, q 6= 0.

ndirgenmi³ homomorzm f∗ : H₀(X) −→ H₀(X) birim homomorz-masdr. Dolasyla λ(f) = 1 6= 0. Lefschetz Sabit Nokta Teoreminden f nin bir sabit noktas vardr.

Sonuç 9.3.2. f : Sⁿ −→ Sⁿ bir sürekl dönü³üm ise λ(f) = 1 + (−1)ⁿ deg (f ). E§er deg (f) 6= ±1 ise f nin sabit noktas vardr.

spat:

H_q(Sⁿ) =







Z, q = 0, n 0, q 6= 0, n.

oldu§unu biliyoruz. f∗ : H₀(Sⁿ) −→ H₀(Sⁿ)dönü³ümü birim dönü³ümdür.

Ayrca f^∗ : H_n(Sⁿ) −→ H_n(Sⁿ) dön³ümünün trace(izi), f nin derece-sine e³ittir. Böylece

λ(f ) = 1 + (−1)ⁿ deg (f ).

kinci ksmda hemen birinci ksmdan elde edilir.

9.4 Borsuk-Ulam Teoremi

Borsuk-Ulam Teoreminin bir sonucu olarak a³a§daki teoremi verbiliriz:

Teorem 9.4.1. Sⁿ üzerindeki antipodal noktalarn, f : Sⁿ −→ Rⁿ sürekli dönü³ümü altnda görüntüleri ayndr.

Sonuç 9.4.1. n ≥ 1 için Sⁿ, Rⁿ nin içine gömülemez.

Sonuç 9.4.2. m 6= n ise R^m, Rⁿ ne homemorf olamaz.

spat:

m > n olsun. f : R^m −→ Rⁿ nin homemorzma oldu§unu varsayalm.

Sⁿ ⊂ R^m dir ve f : Sⁿ −→ Rⁿ sürekli ve injektir, yani f gömme dönü³ümüdür. Buda bir önceki sonuç ile çeli³ir.

Teorem 9.4.2. f : Sⁿ −→ Sⁿ antipodal noktalar koruyan bir sürekli dönü³üm olsun. f nin Lefschetz says λ(f) bir çift saydr.

spat:

Okuyucuya braklm³tr.

Teorem 9.4.3. n ≥ 1 için f : Sⁿ −→ Sⁿ antipodal noktalar koruyan bir sürekli dönü³üm olsun. O zaman deg f tek tamsydr.

spat:

Sonuç 6.6.2 den λ(f) = 1 + (−1)ⁿdegf. Teorem 6.7.2 den λ(f) bir çift saydr. Böylece degf tek tamsaydr.

Teorem 9.4.4. Borsuk-Ulam Teoremi m > n olsun. O zaman an-tipodal noktalar koruyan f : S^m −→ Sⁿ sürekli dönü³ümü yoktur.

spat:

Antipodal noktalar koruyan f : S^m −→ Sⁿ sürekli dönü³ümünün var oldu§unu varsayalm. i : Sⁿ−→ S^m kapsama dönü³ümü olmak üzere

i ◦ f : S^m −→ S^m

bile³keside antipodal noktalar korur. Teorem 6.7.3 den deg i ◦ f tek tamsaysdr. Di§er taraftan (i◦f)∗ sfr dönü³üm oldu§undan deg i◦f sfrdr. Bu bir çeli³kidir.

Sonuç 9.4.3. f : Sⁿ −→ Rⁿ antipodal nokatalar koruyan bir süreklü dönü³üm olsun. f(x) = 0 olacak ³ekilde bir nokta x ∈ Sⁿ vardr.

spat:

∀x ∈ Sⁿ için f 6= 0 oldu§unu varsayalm.

g :Sⁿ−→ Sⁿ⁻¹ (9.58)

x 7−→ g(x) = f ()x

||f (x)|| (9.59)

g dönü³ümü sürekli ve antipodal noktalar koruyan dönü³ümdür. Bu da Borsuk-Ulam Teoremi'ne göre çeli³ir.

Bölüm 10

D܇ÜM TEORS

Elimize küp ³eklinde bir kutu alalm ve kutunun etrafna be³ metre uzunlu§unda bir ipi hediye paketlermi³iz gibi ba§layp uclarini yapi³ti-ralim. Daha sonra bu ipi yava³ça kutunun etrafndan çkaralm. Elde etti§imiz ³ekil bir trefoil (yonca yapra§) olacaktr. Ayn i³lemi be³ me-tre de§ilde yirmi meme-tre uzunlu§unda ve daha kaln bir iple yapsaydk yine bir trefoil elde etmi³ olacaktk.

Yani dü§üm teorisinin topolojinn bir alt dal olarak incelenmesinin se-bebi de budur.

Dü§üm teorisinin tarihinin ba³langc tam olarak bilinmesede ilk olarak Gauss'un ilgilendigi dü³ünülmektedir ancak bu konuyla ciddi manada ilk olarak ilgilenen Amerikali ünlü matematikci Alexandar olmustur.

Alexander dü§üm teorisinin 3-boyutlu topolojide ne kadar önemli oldu§unu göstermi³tir.Daha sonra Alman matematikçi Seifert 1920 de çal³t§ bu

konunun önemini pekçok ki³inin anlamasn sa§lam³tr. Ayrca cebirsel geometri ile dü§üm teorisinin ili³kisi bu dönemde Almanya'da yaplan çal³malarda ortaya konulmu³tur.

Asl büyük ilerlemeler ikinci dünya sava³ srasnda Amerika'da yaplan ara³trmalarla sa§lanm³tr. Amerika'daki bu geli³melerin etkisi zamanla Japonya'ya da sçram³ ve burada da dü§üm teorisi ile ilgili büyük atlmlar gerçekle³tirilmi³tir. 1970 de ise periyodik dönü³ümlerle alakal

Smith tahmininin çözümünden dolay dü§üm teorisinin cebirsel say

teorisi ile ba§lantsnn olabilece§i farkedildi.

1980 lere gelindi§inde ise Jones'un epochal dü§ümlerini ke³ ile dü§üm teorisi topoloji ba³l§ altndan çkp matematiksel zi§e ta³nm³tr.

dü§üm teorisi devaml olarak geli³ti§i içinde pekçok bilimdal ile olan ili³kisi zamanla ortaya çkacaktr. Matematiksel biyoloji, mekanik ve kimyann da pekçok alanndaki i³levselli§i zamanla ortaya konulmu³-tur.Günümüzde ise dü§üm graf dü§üm teorisinin uygulamalarnda oldukça önemli bir yer tutar. Özellikle dü§üm teorisinin kimyaya uygulamalarnda dü§üm graar önemli bir araçtr. Spatial (uzaysal)graar olarak ad-landrlan ve düzlemsel graardan biraz farkl olan bu graf kavram

bu alanda önemli bir araçtr. Bu yüzyln ba³ndan beri ise bu alanda çal³an baz kimyaclar dü§üm veya halkalar içeren yap formülü ile suni molekül sentezlemeye ilgi göstermi³lerdir. Frisch ve Wassermann (1961) bir halkay (Hopf Halkas) ihtiva eden yap formülü ile bir molekülü sentezlemeyi ba³ardlar (Murasugi 1996). Bir dü§ümün yapsal formülü ile bir molekülü sentezleme i³lemi baz kimyaclar tarafndan sürdürülmü³tür ve moleküller bu ilginç yap formülü ile sentezlenmi³tir. Walba (1985) molekülün yapsal formülünü elde etmek için kullanlan i³lemde, yapsal formül olarak bir dü§ümün yapsn kullanr, Mobiüs merdivenli (M3 -graf) bir molekül sentezlemeyi ba³arr (Murasugi 1996). Bu olay molekül topolojisinin do§masna yol açm³tr.

Bir molekülün yapsal formülü,moleküldeki atomlara kar³lk gelen ve kenarlar,kö³eler, kovalent ba§lar yardmyla atomlar arasndaki veri kombinasyonunu ifade eden bir graf olarak tanmlanabilir.

10.1 Dü§ümler, Zincirler, Diya§ramlar

Dü§ümü formel olarak tanmlarken smooth(düzgün) dü§üm ve poligo-nal dü§üm olarak ikiye ayrabiliriz.

Tanm 10.1.1. (Dü§üm ve Zincir)

(a) Birim çembere homeomorf olan 3 boyutlu uzayn alt kümesine dü§üm denir.

(b) Birçok ayrk (kesi³meyen) dü§ümlerin birle³imine zincir denir.

(c) ki zincir 3 boyutlu uzayda izotopik ise bu iki zincir denktir denir.

“ekil 10.1: trefoil dü§ümü- sekiz dü§ümü -kare dü§ümü

Tanm 10.1.2. (a) Birim çembere denk olan dü§üme dü§ümsüz denir.

(b) Bir zincir {(x, y, i)|x²+ y² = 1i = 1, 2, ..., n} kümesine denk ise bu zincire n-bile³enli zincir olmayan denir.

“ekil 10.2: hoph zinciri- whitehead zinciri - borromean zinciri

Not 10.1.1. ki dü§üm ya da iki zincir düzlemde ayn diyagrama sahip iseler bunlar denktir.

“ekil 10.3: uygun çaprazlama-kötü çaprazlama

Tanm 10.1.3. R³ de kendini kesmeyen poligonal do§rulara poligonal dü§üm denir.

Tanm 10.1.4. Diferansiyeli sfra e³it olmayan sonsuz bir diferansiyel-lenebilir gömülme

altnda, R³ deki çemberin görüntüsü olarak tanmlanan dü§ümlere ise

smooth dü§üm denir.

Biz genel olarak dü§ümün smooth tanmn kullanaca§z.

“ekil 10.4: 41 ve 31

Tanm 10.1.5. Ki ler dü§üm ve i6= j için KiT Kj = ∅ iken L = K₁S K₂S . . . S K_n ⊂ R³ olacak ³ekildeki L alt uzayna zincir denir.

Tanm 10.1.6. n bile³enli bir L zincirinin bile³en saysn comp(L)=n ile gösterilir.

comp(L)=1 olan bir zincir ise bir dü§üme kar³lk gelir.

Tanm 10.1.7. Zincirler diyagramlar yardmyla incelenir. R³ deki zincirlerin regüler diyagramn elde etmek için

R²={(x1, x₂, 0) ∈ R³ | x_i ∈ R} deki görüntü resmi alnr. i³te bu diya-gramlarn ³u ³ekilde ifade edilir.

R² deki bir diyagram yaylarn ve çaprazlamalarn says tarafndan gös-terilir. Bir çaprazlamada bir yay yukardan geçerken di§er iki yay a³a§-dan geçer.

Bir diyagramda a³a§daki çaprazlama hareketlerinin yaplmasna izin verilmez.

Tanm 10.1.8. Yönlü bir zincir herbir bile³en boyunca bir yön seçerek zincire kar³lk gelen diyagramda oklarla göstererek elde edilir. Böyle-likle iki çe³it çaprazlama elde etmi³ oluruz:

Tanm 10.1.9. Yönlü bir diyagramn kvrm ³u ³ekilde bulunur:

ω(D)=Pcaprazlamalar çaprazlama i³aretleri Örnek 10.1.1.

Not 10.1.2. Tüm yönleri de§i³tirmek kvrm de§i³tirmez yani yönlü olmayan bir dü§üm diyagramnn kvrm iyi tanmldr.

Tanm 10.1.10. Yönlü bir D diyagramnn bile³enlerinin C1, C₂, . . . , C_n oldu§unu varsayalm.

i 6= j olmak ko³ulu ile Ci ile Cj nin zincirlenme says a³a§daki ³ekilde tanmlanr:

lk(C_i, C_j) = ¹₂P

CiileCjnincaprazlamalari çaprazlama i³aretleri D nin zincirlenme says ise:

lk(D) =P

0≤i≤j≤n lk(C_i, C_j) Örnek 10.1.2.