N (O + nR) = Kn (n. dönü³ sonucu ortaya çkan ürün) ortaya çkar.
10.15 Örnek
2002 ylnda Mariel Vazquez ve De Witt Sumners Gin spesi k-bölgeli rekombiinasyonu analiz edebilmek için tangle modeli kullandlar. Bu böl§mde onlarn bulu³larndan bahsedece§iz. Bu tangle modelin spesi k-bölgeli rekombinasyon için kullanld§ yalnzca bir örnektir. Gin,Mu adl bir bakteriyofaj tarafndan kodlanan bir spesi k-bölgeli rekom-binasyon i³lemidir. Bakteriyofaj, bakterileri etkileyen virüslerdir. Faj genomu gix L ve gix R olarak adlandrlan iki rekombinasyon bölgesine sahiptir. Biri DNA'ya ba§lanr ve Gin her iki taraf da krar, bitim nok-talarn yönlendirir ve bunlar birle³tirir. Gin, çift ba§lanma srasnda birden daha fazla rekombinasyon meydana getiren processive rekom-binassyon ile etki gerçekle³tirir. Gin rekombinasyonun dü§ümsüz sub-strat molekülü üzerindeki tangle analizinin sonuçlar ters olarak gix bölgelerinde a³a§daki gibi tekrar edilir:
K0 = h1i (dü§ümsüz) K1 = h1i (dü§ümsüz) K2 = h3i = 31 (trefoil dü§ümü) K3 = h2, 1, 1i = 41 (8- gür dü§ümü)
K4 = h2, 2, 1i (5-twist dü§ümü)
2004 ylnda De Witt Sumners ve Mariel Vazquez yukardaki dört klemin çözümünü veren bir sonuç ke³fetti ve tam olarak be³inci den-klemi tahmin ettiler.
Teorem 10.15.1. A³a§daki denklem sisteminin O,P,R tangel'lar için çözümü olan (O, R)
(a) N(O + P ) = h1i =dü§ümsüz (b) N(O + R) = h1i = dü§ümsüz
(c) N(O + R + R) = h3i =trefoil dü§ümü
ya ((−2, 0), 1) ya da ((4,1),(-1))dir. Ayrca e§er (d) N(O + R + R + R) = h2, 1, 1i =8- gür dü§ümü ise (O, R) = ((−2, 0), (1)) ³eklinde bir tek çözüm vardr.
Biz burada O ve R nin rasyonelli§ini kontrol etmedik bunun yerine tangle denkleminin nasl çözüldü§ünü inceledik.Daha önce verilen bir lemmada A1 = αβ1
1 ve A2 = βα2
2 gibi iki rasyonel tangle verildi§inde α = |α1β2+ α2β1| alnd§nda N(A1+ A2)³eklinde ve b(α, β) 4-plat'in e³it oldu§unu bulmu³tuk. Yukarda verilen (2) ve (3) denklemlerinden a³a§daki sistemi elde edebiliriz:
|u + rv| = 1
|yu + 2rv| = 3
u,r,v bilinmeyen de§erlerdir. (uv, r)sral ikilisi için on farkl çözüm elde edebiliriz. Böylece (O, R) tangle çifti için on farkl çözüm elde ederiz. Bu çözümler ((−2, 0), (1), ((1), (−2)), ((5), (−4)), ((−2, −2), (2)), ((4, 1), (−1)) ve bunlarn ayna yansmalardr. Bir sonraki teorem yardmyla bu sonuçlarn bir ksmn eleyebiliriz.
Teorem 10.15.2. Bir sonraki teoremde verilen (1), (2), (3) denklem-lerinde verilen tangle'lar ters olarak tekrar edilen bölgeli Gin rekombi-nasyonundan gelirler. Ve bunlar a³a§da verdi§imiz özellikleri sa§lar:
O ≈ (0, 0), R ≈ (1), P ≈ (0).
O ≈ (0, 0) oldu§undan ve integral tangle (0),(1) ile e³li§i oldu§undan O integral tangle' için elde edilen sonuçlar yok sayabiliriz. Ek olarak, e§er R ≈ (1) ise integral tangle'lar (0) e³li§ine sahip olmasndan dolay
R = (2) çözümünden de kurtulabiliriz. Ayn zamanda (3) denkleminin dü§üm ürünü chiral oldu§undan ayna yansmalarn da yok sayabiliriz.
Böylece yalnzca iki çözümümüz kalr ve bunlardan da yalnz birisi (4) denklemini sa§lar.
Bu tangle analizinin ³§nda Sumners ve Vazquez Gin gix bölgeleri ile bir substrata etki etti§inde herbir rekombinasyona kar³lk gelen dönü³te enzim mekanizmas substrata bir pozitif çaprazlama ekler.
Teorem 10.15.3. A³a§daki denklem sisteminin O,P,R tangel'lar için çözümü olan (O, R)
(a) N(O + P ) = h1i =dü§ümsüz (b) N(O + R) = h3i =trefoil dü§ümü
(c) N(O + R + R) = h1, 2, 2h=(-5)twist dü§ümü
ya ((−2, 0), (2)) yada ((2, 1, 1, 2), (−2)) olur Bunna ek olarak e§er (d) N(O + R + R + R) = h1, 4, 2i =(-7)twist dü§ümü
ise (O, R) = ((−2, 0), (2)) olur ve
(e) her n ≥ 4 içi N(O + nR) =-(2n+1)twist dü§ümü olur.
Bu örnekte tangle model Gin mekanizmasnn yapsnn matematiksel olarak gösterimi için kullanld. Ve sonuç olarak bu bize gösterir ki; ters olarak tekrarlanan rekombinasyon bölgeleri tangle'a (1) ekler ba³ka bir deyi³le R = (+1) olur. Direk olarak tekrarlanan bölgelerde ise R = (+2) olur.
ALITIRMALAR
(a) A³a§daki zincirlerin zincirleme saylarn belirleyiniz. Bu zincir-lerden hangileri a³ikar olmayan zincirlerdir? Açklaynz.
(b) Hopf, Borromean ve Whitehead zincirlerine bir yön tayin ediniz ve zincirleme saylarn hesaplaynz. Bu zincirlerden hangileri a³ikar olmayan zincirlerdir? Açklaynz.
(c) a) ekilde verilen Möbiüs ³eridinin snr e§risi ile merkez do§rusu-nun zincirleme saysn hesaplaynz. b) Gösteriniz ki R3 de sol-el
Möbiüs ³eridini sa§-el Möbiüs ³eridine deforme edebilecek bir am-bient isotopy yoktur.
c) Gösteriniz ki üç yar-burulmal Möbiüs ³eridinin tek yar-burulmal
Möbiüs ³eridine deforme edilemez.
(d) 5 çaprazlamaya sahip 2 dü§üm tipi bulunmaktadr ve a³a§da terilmi³tir. Bu iki dü§ümün de üç renklendirilebilir olmad§n gös-teriniz.
(e) 6 çaprazlamaya sahip 3 temel dü§üm tipi bulunmaktadr ve a³a§da gösterilmi³tir. Bu dü§ümlerin hangilerinin üç renklendirilebilir oldu§unu belirleyiniz.
(f) a) Trefoil dü§ümünün diyagramnn 6 farkl yolla üç renklendirilebile-ce§ini gösteriniz.
b) Yukardaki "granny" dü§ümü iki trefoil dü§ümünün birbirine ba§lanmas ile edilir. Bu dü§ümün diyagramnn 24 farkl yolla üç renklendirilebilece§ini gösteriniz.
(g) ekil-sekiz dü§ümünün Alexander polinomunu hesaplaynz.
(h) Derste Alexander polinomunu hesaplad§mz a³a§daki dü§ümün çaprazlama-yay matrisinde farkl bir satr ve sütunu sildi§imizde Alexander polinomunun de§i³meyece§ini gerçekleyiniz.
(i) A³a§daki yönlendirilmi³ dü§üm diyagramnn çaprazlamalarnn ve bölgelerinin indislerini belirleyiniz.
(j) a) A³a§daki dü§ümün Alexander polinomunun −2t+2 oldu§unu görünüz. b) Bu dü§ümün e§rilerinden birinin yönünü de§i³tiriniz.
Gösteriniz ki 4 tane sol el çaprazlamaya sahip bu zincirin Alexan-der polinomu −t3 + t2 − t + 1dir.
(k) Hopf zincirinin 4 polinomunu hesaplam³tk. Yine ayn ³ekilde x2
çaprazlamasna sol el çaprazlamas uygulanrsa Skein ba§ntsn-dan 4 = t1/2− t−1/2 elde edilece§ini gösteriniz.
(l) Yine ayn Hopf zincirinin 4 polinomunu hesaplamadaki ³ekli ele alalm. Hopf zincirinin e§rilerinden birinin yönünü de§i³tirelim böylece iki çaprazlama da sa§ el çaprazlamas olsun. O zaman Skein ba§ntsndan 4 = −t1/2+ t−1/2 elde edilir. Gösteriniz.
(m) a) ekil-8 dü§ümünün bir sa§ el çaprazlamasna Skein ba§nts
uygulayarak 4 polinomunu hesaplaynz. b) ekil-8 dü§ümünün bir sol el çaprazlamasna Skein ba§nts uygulayarak 4 polino-munu hesaplaynz. c) Bu iki sonucun bu dü§ümün −2t+2 Alexan-der polinomu ile uyumlu oldu§unu gerçekleyiniz.
(n) a) 10 uncu sorudaki zincirin Skein ba§ntsndan yararlanarak 4 polinomunu hesaplaynz. Elde etti§iniz sonucun bu zincirin −t3+ t2− t + 1Alexander polinomu ile uyumlu oldu§unu gerçekleyiniz.
b) Yine ayn ³ekli ele alalm. Bu sefer a³a§ya bakan okun yönünü yukarya do§ru çevirerek 4 polinomunu hesaplayalm. Elde et-ti§iniz sonucun bu yönlendirimi³ dü§ümün −t3+ t2− t + 1 Alexan-der polinomu ile uyumlu oldu§unu gerçekleyiniz.
(o) A³a§daki zincirin sol el çaprazlamasna sahip en üst çaprazla-masna Skein ba§ntsn uygulayarak 4 polinomunu hesaplaynz.
Bu sonucun 2t − 3 + 2t−1 ile uyumlu oldu§unu gerçekleyiniz.
(p) Üç tane sa§-el çaprazlamasna sahip K Trefoil dü§ümünün Jones polinomunun t + t3 − t−4 oldu§unu gösteriniz.Buradan hareketle trefoil dü§ümünün aynadaki görüntüsüne denk olamayaca§ sonu-cuna varnz.
(q) a) Zincirleme says +1 olan bir Hopf zincirinin Jones
polino-munu hesaplaynz. b) Zincirleme says −1 olan bir Hopf zin-cirinin Jones polinomunu hesaplaynz.
(r) 4 üncü sorudaki 5 çaprazlamal iki dü§ümün Jones polinomlarn
hesaplaynz.
Kaynakça
[1] Colin C. Adams, The Knot Book: An Elemantery In-roduction to Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, 2004.
[2] Colin Adams and Robert Franzosa, Introduction to Topol-ogy, Pearson Prentice Hall Inc., 2008.
[3] Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer-Verlag, New York, 1993.
[4] Stephan C. Carlson, Topology of Surfaces, Knots, and Manifolds, John Wiley & Sons, Inc, 2001
[5] Fred H. Croom, Basic Concepts of Algebraic Topology, Springer-Verlag, New York, 1978.
[6] Sue E. Goodman, Beginning Topology, American Mathe-matical Society, 2009.
[7] William S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topol-ogy, Springer-Verlag, New York, 1991.
[8] John McCleary A First Course in Topology, American Mathematical Society, 2006.
[9] Robert Messer and Philip Stra n, Topology Now!, The Mathematical Association of America, 2006.
[10] James R. Munkres, Elements of Algebraic Topology, Springer-Verlag, New York, 1984.
[11] Joseph J. Rotman An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, New York, 1998.
[12] Brian Sanderson, Lecture Notes (Knot Theory MA3F2), 2006.
[13] Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, Springer-Verlag, New York 2008.