y ax bx c biçiminde verilen parabol x önündeki katsayının yarısının karesi her iki tarafa eklenir. Yani her iki tarafa b /4a eklenir.

1 Tanım: a0 ve a,b,c R olmak üzere;

2 0

ax bx c  denklemine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve a,b,c sayılarına denklemin katsayılarına denir.

Örnek 1)

Aşağıda verilen denklemlerin a,b,c katsayıları nedir?

a) 3x²5x 8 0 b) 4x² 9 0 c) 5x²6x0

d) ^mx2





Örnek 2)





1) İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ:

A) DİSKRİMİNANT () İLE KÖK BULMA

2 0

ax bx c  denkleminin çözüm kümesi en fazla iki elemanlıdır. Denklemi sağlayan x değerleri

1 ve 2

x x biçiminde gösterilir. Köklerin bulunuşu için tam kare ifadeden faydalanılır.

 

 

2 2 2

2 2 2

2 2

a ab b a b

a ab b a b

   

   

Tam kare ifadeleri incelersek birinci ve ikinci terim biliniyorsa, üçüncü terimin, ikinci terimin önündeki katsayının yarısının karesine eşit olduğu görülür.

Genel denklemi ile verilen ikinci dereceden denkle- min baş katsayısını 1 yapmak için eşitliğin her iki tarafı a ya bölünür. c/a eşitliğin diğer tarafına atıldıktan sonra sol tarafı tam kare yapmak için x in

önündeki katsayının yarısının karesi her iki tarafa eklenir. Yani her iki tarafa ^{b2/ 4a2}eklenir.

2

2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

0

. 0

. =

4 4

. = 4

4 4

4

2 4

ax bx c

b c

x x

a a

b b b c

x x

a a a a

b b b ac

x x

a a a

b b ac

x a a

  

  

  

  

    

 

 

Her iki tarafın karekökü alınırsa

2

2

1 2

4

2 2

, 4

2

b b ac

x a a

b b ac

x x a

  

  



Kökleri veren denklem elde edilir. b²4ac ifade- sine diskriminant denir ve ile gösterilir. Diskrimi- nantın işaretine göre köklerin varlığı araştırılır.

I. HAL :  0 ise

Denklemin x₁ ve x₂ gibi reel iki kökü vardır. Kökler

1 veya 2

2 2

b b

x x

a a

     

  dır.

Not: a ile c ters işaretli ise a.c<0 ve b²4 .a c0 olacağı için daima iki reel kökü var olacaktır.

Bu durum aşağıdaki gibi birbirine denk üç ifadeyle açıklanır.

a) Farklı reel iki kökü vardır.

b) Çözüm kümesi iki elemanlıdır.

c) yax² bx c biçiminde verilen parabol x eksenini iki noktada keser.

II. HAL :  0 ise

Denklemin birbirine eşit iki reel kökü vardır. Bu kökler 1 2

2 x x b

   a dır.

2 Bu durum aşağıdaki gibi birbirine denk beş ifadeyle açıklanır.

a) Birbirine eşit iki reel iki kökü vardır.

b) Çift katlı yada çakışık iki kökü vardır.

c) Çözüm kümesi iki elemanlıdır.

d) İfade tam karedir.

e) yax² bx c biçiminde verilen parabol x eksenine teğettir.

III. HAL :  0 ise

Bu durum aşağıdaki gibi birbirine denk dört ifadeyle açıklanır.

a) Reel kökleri yoktur.

b) Reel sayılar kümesinde çözüm kümesi boş kümedir.

c) Birbirinin eşleniği komplex sayı olan iki sanal kökü vardır.

d) yax² bx c biçiminde verilen parabol x eksenini kesmez.

Örnek 3) I. Hal Örnekleri

Aşağıdaki verilen denklemlerin köklerini bulunuz.

a) x²5x 6 0

b) 3x²  x 2 0

c) x²8x100

d) 2x²6x 1 0

Örnek 4) II. Hal Örnekleri

Aşağıdaki verilen denklemlerin köklerini bulunuz.

a) x²4x 4 0

b) x²6x 9 0

c) 4x²12x 9 0

Örnek 5) III. Hal Örnekleri

Aşağıdaki verilen denklemlerin köklerini bulunuz.

a) x²4x 4 0

b) x²6x 9 0

c) 4x²12x 9 0

3 ÖZEL DURUMLAR:

1) ax²bx0 yani c=0 ise

 

1 2

. 0

0 ve dır.

x ax b

x x b

a

 

  

2) ax² c 0 yani b=0 ise

Reel köklerin olabilmesi için .a c0 olmalıdır.

Bu durumda denklemin kökleri başlangıç noktasına göre simetriktir. Yani ters işaretlidir. x₁ x₂ gibi.

Örnek 6)

Aşağıdaki denklemlerin köklerinin simetrik olup olmadığını inceleyiniz.

a) x² 4 0

b) 4x² 9 0

c) x²250

UYARI: ax²bx c 0 denkleminde köklerin simetrik olabilmesi için,

b0 ve a.c < 0 olmalıdır.

Örnek 7)

 

2 2

9 12 0

mx  m  x  denkleminin simetrik iki kökünün olması için m kaç olmalıdır.

3) ax²bx c 0 denkleminde a b c  0 ise

1 1 ve 2 c dır.

x x

 a Örnek 8)

2x223x21 0 denkleminin kökleri nedir?

4) ax²bx c 0 denkleminde

 0 ise çift katlı kök vardır. Bu durumda çözüm kümesi bir elemanlıdır. Denklemin çakışık iki kökü vardır denir. İfade tam karedir yada parabol x ekse- nine teğettir cümleleri de aynı anlamda kullanılır.

Örnek 9)

2 16 0

x mx  denkleminin çift katlı kökünün olması için m nin alabileceği değerler kümesi nedir?

Örnek 10)

2 6 4 0

x  x  m denkleminin çakışık iki kökünün olması için m kaç olmalıdır?

Örnek 11)

2 30 25 0

mx  x  denkleminin çözüm kümesinin bir elemanlı olması için m kaç olmalıdır?

4 Örnek 12)

 

2 1 9 0

yx  m x  parabolünün x eksenine teğet olması için m nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

5) ax²bx c 0 denkleminin a) Reel iki kökünün olması için  0 olmalıdır.

b) Farklı reel iki kökünün olması için  0 olmalıdır.

Örnek 13)

2 6 0

x  x m denkleminin reel kökünün olması için m hangi aralığın elemanı olmalıdır?

Örnek 14)

2 8 3 0

mx  x  denkleminin çözüm kümesinin iki elemanlı olması için m nin alabileceği en büyük tamsayı değeri kaçtır?

6) ax²bx c 0 denkleminin reel kökünün olmaması için  0 olmalıdır.

Bu durumu anlatan diğer ifadeler, a) Reel sayılar kümesinde çözüm kümesinin boş küme olması için b) Eşlenik kompleks iki kökünün olması için c) Parabol x eksenini kesmemesi için şeklindedir.

Örnek 15)

2 12 4 0

mx  x  denkleminin eşlenik kompleks iki kökünün olması için m nin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır?

Örnek 16)

2 9 0

x mx  denkleminin reel kökünün olmaması için m hangi aralığın elemanı olmalıdır?

Örnek 17)

2 6 3 0

yx  x m   parabolünün x eksenini kesmemesi için m nin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır?

5 B) ÇARPANLARA AYIRARAK KÖK BULMA

I. a=1 ise

2 0

x bx c  ifadesini çarpanlarına ayırırken c’ nin işareti (+) ise çarpanlar aynı işaretlidir. b (-) ise ikisi de (-), b (+) ise ikisi de (+) dır. c’ nin işareti (-) ise çarpanlar zıt işaretlidir. b (-) ise büyüğü (-), küçüğü (+) , b (+) ise büyüğü (+), küçüğü (-) dir.

Örnek 18)

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

a) x²6x 8 0

b) x²10x240

c) x²2x 8 0

d) x²5x 6 0

I. a≠1 ise

2 0

ax bx c  ifadesini çarpanlarına ayırmak için çapraz çarpım kuralı kullanılır. Çapraz çarpımların toplamı ortadaki terimi veriyor ise katsayıları doğru yerleştirmişiz demektir. Çarpanlar yazılırken çapraz değil, yan yana olanlar yazılır. Ayrıca kökleri

bilinmeyenli denklemlerde de a=1 olmasına rağmen çapraz çarpımı kullanacağız.

Örnek 19)

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

a) 6x²11x100

b) 5x²21x 4 0

c) x²





d) ^x2





e) x²2pxp² 1 0

f) ^x22





g) ^ax2





h) ^{a x2 2}





6 2. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERE

DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER A) at²  bt c 0 BİÇİMİNDE DEĞİŞKEN DÖNÜŞTÜRMESİ YAPILABİLEN DENKLEMLER.

Örnek 20)

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

a) x⁴13x²360

b) x⁴12x²640

c) x⁶7x³ 8 0

d) x⁶19x³2160

e)

1 1

4^x3.2^x 2 0

f) 9^x10.3^x 9 0

g)





h)





i)





j)









k) 3.4^x5.6^x2.9^x 0

7 B) c

t b

 t BİÇİMİNDE DEĞİŞKEN

DÖNÜŞTÜRMESİ YAPILABİLEN DENKLEMLER.

Örnek 21)

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

a) ² 4₂ 5 x x 

b) ³ 27₃ 26 x  x 

c) 9

3 10

3

x

 x 

d) 2^x2^2x4

e)

2

2

6 5

6 4

x x

x x

  



f) 5 2

10. 10. 29

2 5

x x

     

   

   

g) 2^2x.3^x3 .2^{2x x} 13

8 3) İÇİNDE MUTLAK DEĞERLİ İFADE BULUNDURAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜM KÜMELERİ

Mutlak değerli ifadenin içini sıfır yapan değerler mutlak değerli ifadelerin kökleridir. Bu köklere göre tablo yapılır. Mutlak değerin içini (+) yapan yerlerde (+) kendisi, (-) yapan yerlerde (-) kendisi olarak mutlak değerden dışarı çıkartılır. Mutlak değersiz ifadeler her aralıkta, olduğu gibi bırakılır.

Örnek 22)

Aşağıdaki mutlak değerli ifade barındıran denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

a) 5x3.x 16

b) 3x  x 5 7

c) x²6x  8 0

d) x²2x  3 0

e) x²   x 2 4 0

4) YÜKSEK DERECEDEN DENKLEMLERİN ÇÖZÜM KÜMELERİ











 



çift çift

f x g x f x g x

f x g x

 

  Örnek 23)

Aşağıdaki yüksek dereceden denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

a)



 



b)



 



c)



 



d)



 



e)









f)



 



9 5) KÖKLÜ DENKLEMLERİN ÇÖZÜM KÜMELERİ

Köklü ifade yalnız bırakılır. Eşitliğin her ki tarafının üssü alınır elde edilen yeni denklemin kökleri bulunur. Bulunan bu kökler üs alınmadan önceki, yani en baştaki denklemde yerine konur. Denklemi sağlıyorsa çözüm kümesine dahil edilir sağlamıyorsa dahil edilmez.

NOT: 1) Karekökün içi (-) olamaz. 1, 3gibi.

2) Karekökün sonucu (-) çıkamaz.

1 veya 2

x  x   gibi sonuç çıkamaz.

3) Sağlanmayan eşitlikte, 2 3 veya 1 1 gibi.

Örnek 24)

Aşağıdaki Köklü terim barındıran denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

a) x 5x6

b) x12x

c) x²  5 1 x

d) x 6 x 4

e) 2x x 1 8

f) 1 2 x x

 

İçinde birbirinin aynısı iki köklü terim barındırı- yorsa köklü terime değişken atarız. xt gibi.

g) 3

2 x x 

h) 6

2 5

x 2

  x 



İçinde barındırdığı köklü terimler birbirinin çarpmaya göre tersleri ise birine t diğerine 1/t deriz.

i) 1

2. 1

1

x x

x x

  



j) 4

3. 4

4

x x

x x

  



10 İçinde barındırdığı köklü terimlerden birinin kök derecesi diğerinin kök derecesinin iki katı ise küçüğüne t dersek büyüğü t²olur. Burada dikkat edilecek şey köklü terimlerin üssü 1/n ve 1/2n biçiminde olduğu için üssü küçük olan 1/2n olduğundan ⁿ xve ²ⁿx varsa ²ⁿxtderiz, diğerit²olur.

j) x 1 5.⁴x  1 6

j) ³ x 2 3.⁶x  2 2 0

İçinde birbirinden farklı iki köklü terim barındırı- yorsa aşağıda gösterildiği gibi iki kez karesi alınır.

   

köklü terimler bir tarafta toplanır ve her iki terimin karesi alınır.

2. .

2. . , 2 olsun

.

her iki terimin karesi alınar

x y c

içinde değişken barındıran

x y c

x y x y c

x y c x y c x y d x y d

şimdi tekrar

 

 

  

     



2

ak ifade kökten kurtarılır.

xy.=d

k) 5 x x1

k) x 4 x 1 5

k) x2 x x2 x  6

11 6) KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMLERİN KURULMASI Kökleri x₁ ve x₂olan ikinci dereceden denklemi kuralım.

 

 

1 1

2 2

ise bir çarpanı . ise bir çarpanı .

x x x x dir

x x x x dir

 

 

Denklem şu şekildedir.

   

 

1 2

2

1 2 1 2 1 2

2

1 2 1 2 1 2

2

. 0

. . . 0 . . 0 .

. 0

x x x x

x x x x x x x x x T

x x x x x x x x Ç

x T x Ç

  

     

    

  

Örnek 25)

a) Kökleri 3 ve 4 olan ikinci dereceden denklemi kurunuz.

b) Kökleri 7

2 ve -4 olan ikinci dereceden denklemi kurunuz.

c) Köklerinden biri 3 2 5 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemi kurunuz.

d) Köklerinden biri 4 3i olan reel katsayılı ikinci dereceden denklemi kurunuz.

ÖDEŞLİK FORMÜLLERİ HATIRLATMA

 

   

 

2 2 2

3 3 2

2

2. .

3. . a+b=T ve a.b=Ç = T. 3.

a b a b a b

a b a b a b a b

T Ç

   

 

      



7) KÖK KAT SAYI BAĞINTILARI

Kökleri x₁ ve x₂olan ve ax²bx c 0 biçiminde verilen ikinci dereceden denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki bağıntıları bulalım.

2 . 0

x T x Ç  denklemini elde etmiştik.

2 0

ax bx c  biçiminde verilen bu denklemin her iki tarafını a ya bölerek monik hale dönüştürelim.

Yani baş katsayısını 1 yapalım.

2

2

0 0

b c

x x

a a

x Tx Ç

  

  

Bu iki denklem denk olduğundan, yani aynı köklere sahip olduğundan özdeş polinomlar kuralına göre eşit dereceli terimlerin katsayıları eşitlenir. Başka bir değişle oranları birbirine eşittir de denebilir.

1 2

1. 2

T x x b a Ç x x c

a

   

 

Ayrıca kökler farkını da katsayılar cinsinden yazabil- mek için daha önce elde ettiğimiz diskriminantlı kök formüllerinden faydalanacağız. Kök formüllerini alt alta yazıp taraf tarafa çıkarırsak kökler farkını buluruz.

1

2

2 2 x b

a x b

a

  



  



_{1 2}

2 2

b b

x x

a a

     

  

1 2

x x a

  

12 Örnek 26)

2 6 2 0

x  x  denkleminin kökleri x₁ ve x₂

olduğuna göre, aşağıdakileri soruları cevaplandırınız.

2 2

1 2

x x 

3 3

1 2

x x 

1 2

2 1

x x x  x 

3 3

1 2

1 1

x x 

Örnek 27)

2 8 2 0

x  x  denkleminin kökleri pozitif reel sayı olan x₁ ve x₂ ise

1 2

2 1

x x

x  x 

Örnek 28)

2 4 6 0

x  x  denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise

1 2

2 2

2 1

x x

x x 

Örnek 29)

2 8 4 0

x  x  denkleminin kökleri pozitif ve reel sayı olan x₁ ve x₂ ise

1 2

x  x 

Örnek 30)

2 2 63 0

x  x  denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir.

2 1

x x olmak üzere

1 2

1 1

x x 

Örnek 31)

3x2mx 2 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir.

1 2 2

x x  ise m’ nin alabileceği değerler kümesi nedir?

Örnek 32)

2x24x a  9 0 denkleminin kökleri x1 ve x2

dir. 2x₁x₂7 ise a kaçtır?

Örnek 33)

2x29x  m 2 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir. _{1 2} 3

2x x 2 ise m kaçtır?

13 Örnek 34)

 

3x2 m3 x480 denkleminin kökleri

1 ve 2

x x dir. x₁2x₂² ise m kaçtır?

Örnek 35)

2 5 36 0

x  ax  denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir.

1 4 2 0

x  x  ise a’ nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

Örnek 36)

2 2 0

x ax  a denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir. x₁²x₂²6 ise a’ nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

Örnek 37)









Örnek 38)

 

2 3 1 2 0

x  m x  m denkleminin kökleri

1 ve 2

x x dir. ¹

2

= 4

x x ise x₁³x₂³ kaçtır?

Örnek 39)

2 2 0

x mx  denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir.

3 3

1. 2 2 . 1 4 1 4 2 8

x x x x  x  x  ise m’ nin alabileceği değerler kümesi nedir?

Örnek 40)

2 0

x ax b  denkleminin kökleri ve a b ise,

2 2

a b kaçtır?

Örnek 41)

 

2 2 1 3 0

x  m x  n denkleminin kökleri pozitif reel sayı olan ve m n dir. m²n² kaçtır?

14 Örnek 42)

2 12 2 4 0

x  x m  denkleminin kökleri pozitif reel sayı olan ve p q dur.

p²6 .p q q ²0 ise m kaçtır?

Örnek 43)

18x29x200 denkleminin kökleri x₁ ve x dir. ₂

1 2

x x ise 12x₁18x₂ kaçtır?

Örnek 44)

2 2

2

8 24 6

x xy y 2 x

 

 eşitliğini sağlayan x in alabileceği değerler toplamının y türünden değeri kaçtır?

Örnek 45)

2 2

2

6 12 9

x xy y 5 y

   eşitliğini sağlayan y nin

alabileceği değerler toplamının x türünden değeri kaçtır?

KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMLERİN KURULMASI (2)

2 0

ax bx c  denkleminin kökleri x₁ ve x₂dir.

kökleri x₁a ve x₂b olan ikinci dereceden denk- lemi kurunuz biçimindeki örneklerde ilk denklemden kökler toplamı ve çarpımı bulunur. Yeni denklemin kökler toplamı ve çarpımı bu değerlerden faydalanı- larak bulunup, x²T x Ç.  0 denkleminde yerine konur?

Örnek 46)

2 0

ax bx c  denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir.

Kökleri x₁ ve x₂ olan ikinci dereceden denklemi kurunuz.

Örnek 47)

2 0

ax bx c  denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir.

Kökleri

1 2

1 1

ve

x x olan ikinci dereceden denklemi kurunuz.

15 Örnek 48)

2 6 4 0

x  x  denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir.

Kökleri x₁2 ve x₂2 olan ikinci dereceden denklemi nedir?

Örnek 49)

2 5 1 0

x  x  denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir.

Kökleri 2x₁1 ve 2x₂1 olan ikinci dereceden denklemi nedir?

Örnek 50)

2 6 4 0

x  x  denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir.

Kökleri _{2 2}

1 2

4 4

ve

x x olan ikinci dereceden denklemi nedir?

Örnek 51)

2 3 2 0

x  x  denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir.

Kökleri _{3 3}

1 2

1 1

ve

x x olan ikinci dereceden denklemi nedir?

İKİ DENKLEMLİ ÖRNEKLER I. TİP

Birer Kökleri ortak iki denklem verilir. Bu iki denklem birbirine eşitlenerek ortak kök bulunur. Bu kök her hangi denklemden birinde yerine konarak

bilinmeyen katsayı bulunur.

Örnek 52)

2 2 0

x  x k  ve x²  kx 2 0 farklı iki

denklemdir. Bu iki denklemin birer kökleri eşit ise k kaçtır?

Örnek 53)

2 10 0

x ax  ve x²5x2a0 denklemlerinin birer kökleri eşit ise a kaçtır?

16 Örnek 54)

4x2ax180 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ 4x26x3a0 denkleminin kökleri x₁ ve x₃ ise a kaçtır?

Örnek 55)

 

2 2 2 0

x  m x  ve x²2x  2 m 0 denklemlerinin köklerinden yalnız birinin ortak olması için m kaç olmalıdır?

II. TİP

İki farklı denklem verilir. Birinci denklemin kökleri ikinci denklemin köklerine bağlı olarak verilir. Birinci ve ikinci denklemlerin kökler toplamı ve kökler çarpımları ayrı ayrı yazılır. Bu dört denklem birlikte çözülür.

Örnek 56)

2 20 0

x ax  denkleminin kökleri

2 0

x bx b  denkleminin köklerinin ikişer katına eşittir. Buna göre a+b kaçtır?

Örnek 57)

2 3 0

x  x c  denkleminin kökleri x²bx 8 0 denkleminin köklerinden 3’er eksik ise (b,c) kaçtır?

Örnek 58)

2 10 0

x kx  denkleminin kökleri

2 2 10 0

x  kx  denkleminin köklerinden 6’ şar fazla olduğuna göre k kaçtır?

Örnek 59)

2 0

x px k  denkleminin kökleri 2, x¹

2 0

x ax b  denkleminin kökleri -6, x1 ise

a) ap kaçtır? b) b

k kaçtır?