uv uv c x  ax  Re  bza

(1)

1.2. Belirli Sınır Koşullarını Sağlayan Bir Harmonik Fonksiyonun Bulunması

Örnek 1.2.1. a Rezb düşey şeridinde harmonik olan bir u

 

x,y fonksiyonu bulunuz öyle ki x ve a x düşey doğruları üzerinde sırasıyla b u

 

a,y  ve u₁ u

 

b,y u₂ sınır değerlerini alsın.

Çözüm: Sezgisel olarak u

 

x,y nin sadece x in bir fonksiyonu olduğunu ve x x₀ biçimindeki düşey doğruları boyunca sabit değerler aldığını düşünürüz.

Yani,

 

x y P

 

x a x b y R

u ,  ,   ,  dir ve uxx

 

x,y uyy

 

x, y 0 Laplace denklemi

 

0  x

P olmasını gerektirir. Buradan m ve c sabit olmak üzere

 

x mx c

P  

dir. u

 

a,y P

 

a u₁ ve u

 

b,y P

 

b u₂ sınır koşullarının sağlanabilmesi için

 



x a



a b u u u y x u      2 1 1 , olmalıdır. Şekil 1

Not: Eğer bir eğri boyunca bir  harmonik fonksiyonu sabit kalırsa bu eğriye  nin düzey eğrisi denir. xy-düzlemindeki bir 

 

x,y C düzey eğrisi bir w f

   

z u x,y iv

 

x,y konform dönüşümü altında uv -düzleminde



  



u x y v x y



C  ( , , ,

düzey eğrisine dönüşür. Bu durumda özel olarak xy-düzlemindeki bir bölge üzerinde  nin

sabit bir değer aldığı herhangi sınır parçası, kendisine uv -düzleminde karşılık gelen öyle bir eğriye dönüşür ki, bu eğri boyunca  nin değeri sabit kalır. Yani, ilk problemdeki  C

(2)

Örnek 1.2.2. 0 Argz,







daire kesmesinde harmonik olan bir 

 

x,y fonksiyonu bulunuz öyle ki

 

, , , r 0 0 , 0 , 2 1          C y x x C x sınır değerlerini alsın.

Çözüm. Argz fonksiyonu verilen daire kesmesinde harmoniktir ve orijinden çıkan ışınlar

boyunca sabittir (Şekil 2). a ve b reel sabitler olmak üzere bir çözümün

 

x,y abArgz



olduğunu görürüz. Sınır koşullarından

 

x y C C C Argz



 2 1

1

,   

olduğu ortaya çıkar.

Şekil 2 ) ( ) , ( ₁ 1 2 1 2 1 _ _       C C C Argz y x

Örnek 1.2.3. 1 z R halkasında harmonik olan bir 

 

x,y fonksiyonu bulunuz öyle ki 1  z iken 

 

x,y K₁ R z  iken 

 

x,y K₂ sınır değerlerini alsın.

Çözüm. Örnek 1.2.2 dekine benzer düşünce ile, ln z , z0 için harmoniktir. Buradan

(3)

bulunur. Şekil 3 de görüldüğü gibi 

 

x,y sabit düzey eğrileri iç içe çemberlerdir. Şekil 3 Ek. R₁  z  R₂ 1 1 K R z    z R₂  K₂ (ln ln ) ln ln ) , ( ₁ 1 2 1 2 1 z R R R K K K y x       Problemler.

1. {z: 1 Im< z<2} yatay şeridinde harmonik olan öyle bir ( yx, ) fonksiyonu bulunuz ki f( ,1)x =6, xÎR ve ( , 2)f x = -3,xÎR sınır koşulları sağlansın.

2. {z: Imz >0} üst yarı düzleminde harmonik olan öyle bir ( yx, ) fonksiyonu bulunuz ki ( ,0) 1, 1x x 1 f = - < < ve ( ,0)f x =0, x>1sınır koşulları sağlansın. 3.       _ _ 3 0 : Argz 

z daire kesmesinde harmonik olan öyle bir ( yx, ) fonksiyonu bulunuz ki

3





Argz için(x,y)2 ve x0 için(x,0)1 sınır koşulları sağlansın.

4.



z:1 z 2



halkasında harmonik olan öyle bir ( yx, ) fonksiyonu bulunuz ki

z 1için(x,y)5 ve z 2 için(x,y)8