SIRALAMA
A. Tanım
a sayısı, b ye eşit değilse, ab biçiminde yazılır.
b
a ise bu durumda;
b
a , “ a büyüktür b den ” ya da b
a , “ a küçüktür b den ” olur.
Gerçel ( reel ) sayı ekseninde herhangi bir sayının sağında bulunan sayılar daima o sayıdan büyük, solunda bulunan sayılar da o sayıdan küçüktür.
Yukarıdaki sayı doğrusuna göre; abc dir.
y
x , xy , xy ve xy şeklindeki ifadelere eşitsizlik denir.
B. Sıralamanın Özellikleri b
, a , y ,
x reel (gerçel) sayılar olmak üzere,
1. Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir.
ab ise acbc dir.
ab ise acbc dir.
2. Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir reel sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü aynı kalır.
ab ve c0 ise a.cb.c dir.
ab ve c0 ise c b c
a dir.
3. Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir reel sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
ab ve c0 ise a.cb.c dir.
ab ve c0 ise c b c
a dir.
4.
a.b0 ise a ile b ters işaretlidirler.
a.b0 ise a ile b aynı işaretlidirler.
5. Eşitsizliklerde geçişme özelliği vardır.
y
x ve yz ise xz dir.
6. Aynı yönlü eşitsizlikler, taraf tarafa toplanabilir; fakat çıkarılamaz.
y
x ve ab ise, xayb dir.
y
x ve ab ise, xayb dir.
7. x ile y aynı işaretli olmak üzere,
y x ise
y 1 x
1 dir.
8. n pozitif bir doğal sayı ve 0ab ise bn
an dir.
9. n pozitif bir doğal sayı ve ab0 olsun.
n çift sayma sayısı ise anbn dir.
n tek sayma sayısı ise an bn dir.
10. nZ {1} olmak üzere
a1 ise an a dır.
0a1 ise an a dır.
1a0 ise ana dır.
a1 ise
1 a - a2.n
n a . a2
dır.
Örnek:
7 x 1 x
3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
7 x 1 x
3 ise 3x11x71 ise 3xx8
ise 3xxx8x ise 2x8
ise
2 8 2
x
2
ise x4 olur.
Örnek:
6 x 5 3 x
2 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
6 x 5 3 x
2 ise 2x335x63 ise 2x5x9
ise 2x5x5x95x ise 3x9
ise
3 9 3
x 3
ise x3 olur.
Örnek:
3 91 m
70 eşitsizliğini sağlayan en büyük m pozitif tam sayısını bulalım.
Çözüm:
3 91 m 70
3 9 1 m 70
3 28 m 70
m pozitif tam sayı olduğu için, verilen eşitsizliğin her iki tarafı m sayısı ile çarpılırsa eşitsizliğin yönü değişmez.
3 28 m
70 ise
3 .28 m m .70
m
ise 3
m 7028
ise
3 .28 3 70 .
3
ise 21028m
ise
28 m . 28 28 210
ise 7,5m ise m7,5 olur.
Buna göre, m nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 7 dir.
Örnek:
3 1 1 x 2 2
olduğuna göre, x in en geniş aralığını bulalım.
Çözüm:
1
3 1 x 2 2
3.1
3 1 x .2 3 ) 2 .(
3
62x13 612x1131 72x2
2 2 2
x 2 2 7
x 1 2 7
Örnek:
14 x 3 x 10 21 x
3 olduğuna göre, x in en geniş aralığını bulalım.
Çözüm:
3x2110x3x14 x 3 14 x 3 x 3 x 10 x 3 21 x
3
2110x14
7 14 7
x 7 7
21
3x2
Örnek:
1 x 3 13 1 x
2 olduğuna göre, x in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm:
1 x 3 13 1 x
2 ise, 2x113 ve 133x1 olur Bu eşitsizliklerin ikisini de sağlayan x in değerleri sistemin çözüm kümesini oluşturur.
Buna göre, 13 1 x
2 ise 2x131 ise 2x14 ise x7 dir. …( I )
1 x 3
13 ise 1313x ise 123x
ise 4x tir. … ( II )
( I ) ve ( II ) daki eşitsizlikleri birlikte sağlayan tam sayılar 5 ile 6 dır. Buna göre, x in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı, 5 + 6 = 11 olur.
Örnek:
2 0 b . a
0 c .
a
5 0 c b3
olduğuna göre, sırasıyla a, b, c sayılarının işaretlerini bulalım.
Çözüm:
2 0 b .
a ise a ile b2 ters işaretlidir.
2 0
b olduğuna göre, a0 dır.
0 c .
a ise a ile c aynı işaretlidir.
0
a olduğuna göre, c0 dır.
5 0 c b3
ise b3 ile c5 ters işaretlidir.
0
c olduğundan c5 0 olacağından b3 0 olmalıdır.
3 0
b olduğuna göre, b0 dır.
Bu durumda, c , b ,
a sayılarının işaretleri sırasıyla ,, dir.
Örnek:
3 a 1
6 b
1
olduğuna göre, ab nin alabileceği; en büyük tam sayı değeri, en küçük tam sayı değerinden kaç fazla olacağını bulalım.
Çözüm:
Verilen eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa,
olur. Buna göre, ab nin alabileceği; en büyük tam sayı değeri 9, en küçük tam sayı değeri 1 olur.
Bu durumda, ab nin alabileceği; en büyük tam sayı değeri, en küçük tam sayı değerinden 9 – 1 = 8 fazla olur.
Örnek:
a ile b birer tam sayı olmak üzere, 5
a
2
10 b
3
olduğuna göre, ab nin alabileceği en büyük tam sayı değerini bulalım.
Çözüm:
b
a toplamının en büyük değerini alması için a ile b en büyük seçilmelidir.
5 a
2
ise a nın alabileceği en büyük değer 5 tir.
10 b
3 ise b nin alabileceği en büyük değer 9 dur.
Buna göre, ab nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 5 + 9 = 14 olur.
Örnek:
8 a 2
2 b
8
olduğuna göre, 3.a2.b nin kaç farklı tam sayı değeri alabileceğini bulalım.
Çözüm:
Pozitif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizliğin yön değiştirmeyeceğini de göz önüne alarak, 2a8 sisteminin her üç yanını 3 ile çarpalım:
2a8 3.23.a3.8 63a24 … ( I ) Negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizliğin yön
değiştireceğini de göz önüne alarak, 8b2 sisteminin her üç yanını -2 ile çarpalım:
8b2 8.(2)(2).b(2).2 162.b4 42.b16 … ( II )
( I ) ve ( II ) de verilen eşitsizlikleri alt alta yazıp taraf tarafa toplayabiliriz.
6(4)3a2.b2416 23a2.b40
Buna göre, 3.a2.b ifadesi; 3, 4, 5, … ,38, 39 tam sayı değerlerini alabilir. Yani, 37 tam sayı değeri vardır.
Örnek:
m ve n reel sayılardır.
3 m
4
3 n
6
olduğuna göre, m2 n2 nin alabileceği en küçük tam sayı değerini bulalım.
Çözüm:
3 m
4
ise 0m2 16 …( I )
3 n
6
ise 9n2 36 …( II )
( I ) ve ( II ) de verilen eşitsizlikleri alt alta yazıp taraf tarafa toplayabiliriz.
Buna göre, m2 n2 nin alabileceği en küçük tam sayı değeri 10 dur.
Örnek:
2 c
3
10 d
7
olduğuna göre, c.d çarpımının alabileceği değerlerden oluşan en geniş aralığı bulalım.
Çözüm:
c 3
ve d10 ise 30c.d …( I ) 2
c ve d10 ise c.d20 … ( II ) d
. c 30
ve c.d20 ise, 20
d . c
30
olur.
Örnek:
m , n ve p birer reel sayıdır.
0 n .
m
8 0 p 7.
m
3 0 p .
m
olduğuna göre, m, n, p sayılarını sıralayalım.
Çözüm:
8 0 p 7.
m ifadesinde, 8p her p reel sayısı için pozitif olduğundan m7 0 ve dolayısıyla m0 dır.
0
m ve m.n0 olduğundan n0 dır.
0
m ve m.p3 0 olduğundan p3 0 ve dolayısıyla 0
p dır.
0
m , n0 ve p0 olduğundan, mnp olur.
Örnek:
m , n ve p birer reel sayıdır.
p m n m p
n
olduğuna göre, m, n ve p sayılarını sıralayalım.
Çözüm:
p m n m p
n ise,
n m p
n ve mnmp yazılabilir.
n m p
n ise npnmnn ise pm dir. … ( I )
p m n
m ise mnmmpm ise np dir. … ( II ) ( I ) ve ( II ) den, npm olur.
Örnek:
m , n ve p birer pozitif tam sayıdır.
n 5 n 3 m
2
p 6 p 4 n
3
olduğuna göre, mnp toplamının alabileceği en küçük değeri bulalım.
Çözüm:
n 5 n 3 m
2
ise 2
n m 5 2 n 3
m
2
n m n 1
m
olur. … ( I )
p 6 p 4 n
3
ise 2
p n 6 3 p 4
n
3
3 2 p n
olur. … ( II )
p n
m toplamının en küçük olması için, m, n ve p en küçük seçilmelidir.
1
n seçilirse, m2 ve p2 alınabilir.
Buna göre, mnp toplamının alabileceği en küçük değer,
5 2 1 2 p n
m olur.
Örnek:
4 b 3 a
9 a
1
olduğuna göre, b nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulalım.
Çözüm:
4 b 3
a ise a3b4 tür.
Bu değer 1a9 eşitsizliğinde yerine yazılırsa, 4
b 3
a ise 13b49
ise 143b4494 ise 53b5
ise
3 5 3
b 3 3 5
ise
3 b 5 3 5
olur.
Bu sistemi sağlayan b nin alabileceği tam sayı değerleri, -1, 0 ve 1 olup bu sayıların toplamı, -1 + 0 + 1 = 0 dır.
Örnek:
4 c . 3 b . 2
a
3 a 2
1 b
3
olduğuna göre, c nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri olduğunu bulalım.
Çözüm:
3 a
2
… ( I )
2 b 2 6 1 . 2 b . 2 ) 3 .(
2 1 b
3
… ( II )
( I ) ve ( II ) deki eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa,
5 b 2 a
8
olur. …( III )
4 c . 3 b . 2
a a2b43c dir.
Bulunan bu değeri ( III ) eşitsizliğinde yazarsak, 5
c 3 4 8 5 b 2 a
8
8443c454 123c1
3 1 3
c 3 3 12
c 4
3 1
olur.
Bu sistemi sağlayan c nin alabileceği tam sayı değerleri 3, 2,1 ve 0 olup 4 tanedir.
Örnek:
20 n
m
7 p n
27 t 2 p m
olduğuna göre, t nin alabileceği en büyük tam sayı değerini bulalım.
Çözüm:
20 n
m … ( I ) 7
p
n ise (n)(p7)np7 pn7 … ( II ) ( I ) ve ( II ) deki eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa,
mp13 olur. …( III ) 27
t 2 p
m ise mp272t dir. … ( IV ) ( IV ) daki mp nin değeri ( III ) de yerine yazılırsa,
27 13 t 2 13 t 2 27 13 p
m
2t14
2 14 2
t 2
t7 olur.
Buna göre, t nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 6 olur.
Örnek:
A şehrinden B şehrine iki farklı yolla gidilebilmektedir.
1. yol: 8a29 km.
2. yol: 5a17 km.
2.yol, 1. yoldan daha kısa olduğuna göre, a nın alabileceği en küçük tam sayı değerini bulalım.
Çözüm:
2.yol, 1. yoldan daha kısa olduğuna göre, 29
a 8 17 a
5 olur.
17 29 a 8 a 5 29 a 8 17 a
5
3a46
3 46 3
a 3
15,333...
3 a 46
olur.
Buna göre, a nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 16 dır.
Örnek:
x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, üretilen bir malın maliyeti x YTL ve satış fiyatı y YTL dir. Bu malın satış fiyatının hesaplanması için:
a) yx130 b) y3x250
biçimindeki iki bağıntı önerilmiştir.
Üretilen malın tümü satılabildiğine ve satış fiyatının hesaplanmasında b) de verilen bağıntıyı kullanmak daha karlı olduğuna göre, x maliyetinin en az kaç YTL olabileceğini bulalım.
Çözüm:
250 x 3
y bağıntısını kullanmak, yx130 bağıntısını kullanmaktan daha karlı olduğuna göre,
130 x 250 x
3 dur.
250 130 x x 3 130 x 250 x
3
2x380
2 380 2
x 2
x190 olur.
Buna göre, x (maliyet) pozitif tam sayı olduğuna göre en az 191 YTL olabilir.
C. Aralıklar
1. Kapalı Aralık
a ve b reel sayılar ve ab olsun.
a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel sayıları içine alan küme [a,b] veya axb , xR şeklinde gösterilir ve bu şekilde tanımlanan aralıklara kapalı aralık denir.
2. Açık Aralık
a ve b reel sayılar ve ab olsun.
] b , a
[ kapalı aralığının uç noktalarının ikisi de bu aralıktan çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa açık aralık denir. Açık aralık (a,b) veya axb , xR şeklinde gösterilir.
3. Yarı Açık Aralık
a ve b reel sayılar ve ab olsun.
] b , a
[ kapalı aralığının uç noktalarından birisi bu aralıktan çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa açık aralık denir.
] b , a
[ kapalı aralığından b noktası çıkarılırsa [a,b) veya b
x
a , xR yarı açık aralığı elde edilir.
] b , a
[ kapalı aralığından a noktası çıkarılırsa (a,b] veya b
x
a , xR yarı açık aralığı elde edilir.
Örnek:
x pozitif reel (gerçel) sayı olmak üzere,
3 1 1 x 3 2
eşitsizliğinin çözüm kümesini (aralığını) bulalım.
Çözüm:
1
3 1 x 3 2
3 . 1 3 3 .
1 x 3 2 .
3
92x13 1 3 1 1 x 2 1
9
102x4
2 4 2
x 2 2
10
5x2
Bu kümeyi ( aralığı ) [5,2) biçiminde de gösteririz.
Örnek:
19 4 x
3
7 x 2
3
koşullarına uygun olan x reel sayılarının kümesini (aralığını) bulalım.
Çözüm:
4 19 x 3 19 4 x
3
3x15
3 15 3
x 3
x5 olur. …( I )
x 2 7 3 7 x 2
3
42x
2 x 2 2
4
2x olur. …( II )
( I ) ve ( II ) koşulunun birlikte sağlandığı aralık istenen koşulları sağlar.
x 2
ve x5 ise 2x5 olur.
Bu aralığı (2,5) biçiminde de gösterebiliriz.
Çözümlü Sorular
1. a,b,c birer pozitif gerçel sayı ve b
3 a
2
c b
3
olduğuna göre, a,b,c sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
c , b ,
a birer pozitif gerçel sayı ve 2a3b , 3bc olduğuna göre a3 seçebiliriz.
Bu durumda, b2 ve c6 olur.
Buna göre, bac dir.
2. bb2 ve b.cc olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A ) 1c1 B ) c0 C ) c1 D ) c1 E ) c0 Çözüm:
b2
b ise 0b1 dir.
c c .
b ise b.ccccb.cc0
0 ) 1 b .(
c
dır.
1 b
0 olduğuna göre, b10 dır. Buna göre, 0
1
b ve c.(b1)0 eşitsizliklerinden c0 olur.
3. xyz olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu sıfır olamaz?
A ) xyz B ) xyz3 C ) xy5
D ) x3 y3 4 E ) 2xyz Çözüm:
y
x olduğuna göre xy0 dır. …( I ) z
x olduğuna göre xz0 dır. …( II )
Aynı yönlü eşitsizliklerde taraf tarafa toplama yapılabileceği için ( I ) ve ( II ) daki eşitsizlikleri taraf tarafa toplayalım.
Buna göre,
0 z y x 2 0 0 z x y
x dır.
Bu durumda E seçeneğinde verilen 2xyz ifadesinin sıfırdan büyük olduğu görülmektedir. Dolayısıyla bu ifade sıfıra eşit olamaz.
Diğer seçeneklerde x, y, z yerine uygun sayı değerleri verilirse sonucun sıfır olacağı görülür.
4. 4a3 olduğuna göre, a2 nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözüm:
3 a
4
ise 0a2 16 dır.
a2 nin alabileceği tam sayı değerleri, 0, 1, 2, 3, …, 15 tir.
Buna göre a2 nin alabileceği farklı tam sayı değerleri sayısı 16 tanedir.
5. 5 4 20
1 x 3 2
1
olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözüm:
5 .4 20 20
1 x .3 2 20 .1 5 20 4 20
1 x 3 2
1
103x116
1013x11161 93x15
3 15 3
x 3 3 9
3x5
Buna göre, x yerine yalnızca 4 gelebilir.
6. 12
1 x 2
4 60
olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözüm:
4 ile 12 aynı işaretli olduğu için,
12 1 60
1 x 2 4 12 1 1 x 2
4 60
12 . 1 60 60
1 x .2 4 60 .1
60
152x15
1512x1151
2 4 2
x 2 2
14
7x2
2x7 olur.
Buna göre x in alabileceği tam sayı değerleri 3, 4, 5, 6 olup 4 tanedir.
7. 2x7x4 33 y 5 y
3
olduğuna göre xy nin alabileceği doğal sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm:
4 x 7 x
2 ise 2xx47x11 dir.
33 y 5 y
3 ise 3yy5334y28 y7 dir.
Aynı yönlü eşitsizliklerde taraf tarafa toplama yapılabilir.
Buna göre, x11 ve y7 eşitsizlikleri taraf tarafa toplanırsa;
4 y x 7 11 y
x tür.
Bu eşitsizliği sağlayan xy nin alabileceği doğal sayı değerlerinin toplamı,
6 3 2 1
0 olur.
8. a8 5 a b
17 b c
2
olduğuna göre, c nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm:
Verilen eşitsizlikleri taraf tarafa toplayalım.
ab2c8a5b17 ab2cab20
20 b a c 2 b
a
2c20 c10 olur.
Buna göre c nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 9 dur.
