PARABOLÜN TEPE NOKTASI f(x) ax 2bx c fonksiyonunun tepe noktası T(r, k) olmak üzere, b 4ac b2 r ve k f(r) dır

PARABOL TANIM

a 0 ve a,b,c R  olmak üzere f :RR tanımlanan f(x) ax ²bx c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir. Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yukarıdaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir.

PARABOLÜN TEPE NOKTASI

f(x) ax 2bx c fonksiyonunun tepe noktası T(r, k) olmak üzere,

b 4ac b2

r ve k f(r) dır.

2a 4a

    

Parabol b

x 2a doğrusuna göre simetriktir.

x b

 2a doğrusu parabolün simetri eksenidir.

y a.(x r)  2k fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(r, k) dır.

GRAFĠĞĠN EKSENLERĠ KESTĠĞĠ NOKTALAR

Parabolün x eksenini kestiği noktalar A ve B, y eksenini kestiği nokta C olsun.

ax2bx c ın kökleri x₁ ^ve x₂ ^{ise A(}x₁^{, 0), B(}x₂, 0), C(0, c) dir.

ax2bx c denkleminde;

b2 4ac 0

    ise, parabol x eksenini farklı iki noktada keser.

b2 4ac 0

    ise, parabol x eksenini kesmez.

b2 4ac 0

    ise, parabol x eksenine teğettir.

x2 NĠN KATSAYISI OLAN a NIN ĠġARETĠ

a>0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup, f(x) in en küçük değeri tepe noktasının ordinatı olan k dır.

a<0 ise parabolün kolları aşağı doğru olup f(x) in en büyük değeri tepe noktasının ordinatı olan k dır.

|a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yukarıdaki parabollere göre, f deki x² nin katsayısı, g deki x²

nin katsayısından büyüktür.

f(x) ax 2bx c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,

Fonksiyonun tepe noktası bulunur.

Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.

a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.

GRAFĠĞĠ VERĠLEN PARABOLÜNDENKLEMĠNĠN YAZILMASI Parabolün x Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa

1 2

y f(x) a(x x )(x x ) dir.   

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değeri yazılır.

Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa

y f(x) a(x r)   2k dır.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değeri yazılır.

Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa

2

1 1 1

y ax bx c

2

2 2 2

y ax bx c

2

3 3 3

y ax bx c

Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.

PARABOL ĠLE DOĞRUNUNDÜZLEMDEKĠ DURUMU

y ax 2bx c parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.

f(x) = g(x)

ax2bx c mx n  

ax2 (b m)x c n 0 ... (*)  

(*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.

Buna göre, (*) denkleminde;

 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser.

 0 ise, parabol ile doğru kesişmez.

 0 ise, parabol doğruya teğettir.

y ax 2bx c parabolü ile y dx ²ex f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine benzer biçimde işlemler yapılır.

Kaynak: www.derscalisiyorum.com.tr Düzenleme: www.matematikkolay.net