• Sonuç bulunamadı

(1)PARABOLLER R c , b , a  ve a0 olmak üzere, f:RR tanımlanan c 2 bx ax ) x ( f

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "(1)PARABOLLER R c , b , a  ve a0 olmak üzere, f:RR tanımlanan c 2 bx ax ) x ( f"

Copied!
14
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

PARABOLLER

R c , b ,

a ve a0 olmak üzere, f:RR tanımlanan c

2 bx ax ) x (

f biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

} 0 a ve R c , b , a , c 2 bx ax y : ) y , x {(

f

kümesinin elemanları olan ikililere, analitik düzlemde karşılık gelen noktalara f fonksiyonunun grafiği denir.

İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonların grafiklerinin gösterdiği eğriye parabol denir.

Uyarı

c 2 bx ax ) x (

f

fonksiyonunun grafiği (parabol) yandaki gibi kolları yukarı doğru olan ya da kolları aşağı doğru olan bir eğridir.

Örnek:

mx2 ) x (

f fonksiyonunun grafiği (parabol) (-2,8) noktasından geçtiğine göre, m değerini bulalım.

Çözüm:

Grafiğin (-2,8) noktasından geçmesi için, bu noktanın Denklemi sağlaması gerekir. Buna göre,

mx2 ) x (

f ise, f(2)8 dir.

2 m 8 m 4 2 8

) 2 .(

m dir.

Örnek:

9 x 2 5 x 3 ) x (

f fonksiyonunun grafiğinin Oy eksenini kestiği noktayı bulalım.

Çözüm:

Oy ekseni üzerindeki noktaların ortak özellikleri, apsislerinin sıfıra eşit olmalarıdır.

Buna göre, parabolün Oy eksenini kestiği nokta, (0,f(0)) dır.

9 x 2 5 x 3 ) x (

f ise,

0

x için f(0)3.02 5.099 olduğundan, parabolün Oy eksenini kestiği nokta, (0,9) dur.

Örnek:

x 2 5 x ) x (

f parabolünün Ox eksenini kestiği noktaları bulalım.

Çözüm:

Ox ekseni üzerindeki noktaların ortak özelliği, ordinatlarının sıfıra eşit olmalarıdır.

Buna göre, parabolün Ox eksenini kestiği nokta, (x,0) dır.

0 x 2 5 x ) x (

f

0 5 x veya 0 x 0 ) 5 x .(

x

5 x veya 0

x

bulunur.

O halde parabolün Ox eksenini kestiği noktalar, (0,0) ve )

0 , 5 ( dır.

Sonuç

R R :

f , f(x)ax2 bxc fonksiyonunun grafiğinin (parabolün);

Oy eksenini kestiği noktanın; apsis 0 (sıfır), ordinatı c

) 0 (

f dir.

Ox eksenini kestiği noktaların (varsa) ordinatları 0 (sıfır), apsisleri f(x)0 denkleminin kökleridir.

Örnek:

6 2 x x ) x (

f fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) eksenleri kestiği noktaları bulalım.

(2)

Çözüm:

0

x için, 2 0 6 0 6 6

0

y dır.

Buna göre parabolün Oy eksenini kestiği nokta (0,6) dır.

0 ) x (

f için, x2 x60(x3).(x2)0

x3 veya x2 dir.

Buna göre parabolün Ox eksenini kestiği noktalar (3,0) ve )

0 , 2 ( dır.

Örnek:

m x 2 2 x ) x (

f fonksiyonunun grafiği Ox eksenini kesmediğine göre, m nin alabileceği tüm değerlerden oluşan kümeyi bulalım.

Çözüm:

Parabolün Ox eksenini kestiği noktaların (varsa) ordinatları 0 (sıfır), apsisleri f(x)0 denkleminin kökleridir. Eğer parabol Ox eksenini kesmiyorsa, f(x)0 denkleminin kökü yoktur. Reel kök yoksa denklemin diskriminantı sıfırdan küçüktür.(0)

0 m x 2 2 x ) x (

f denkleminde,

0 ) m .(

1 . 2 4 2 0 ac 2 4 b

0

44m04m4m1 dir.

Buna göre verilen koşulları sağlayan, m nin alabileceği tüm değerlerden oluşan küme,

) 1 , ( } R m , 1 m : m

{  dir.

Sonuç

R R :

f , f(x)ax2bxc fonksiyonunda ac

2 4

b

olmak üzere,

0 ise, parabol Ox eksenini kesmez.

0 ise, parabol Ox eksenini bir noktada keser.

Yani parabol Ox eksenine teğettir.

0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser.

Yukarıda verilen şekillere göre,

1. şekilde yf(x) parabolü Ox eksenini farklı iki noktada kestiği için, yf(x)0 denkleminin farklı iki reel kökü vardır. Yani 0 dır.

2. şekilde yf(x) parabolü Ox eksenine teğet olup Ox eksenini bir noktada kestiği için, yf(x)0 denkleminin eşit iki reel kökü vardır(çift katlı kök). Yani 0 dır.

3. şekilde yf(x) parabolü Ox eksenini kesmediği için, 0

) x ( f

y denkleminin reel kökü yoktur. Yani 0 dır.

Parabolün Tepe Noktası

Şekildeki parabollerin tepe noktaları T(r,k) dır. Parabol r

x doğrusuna göre simetrik olan bir şekildir. Bunun için parabolün Ox eksenini kestiği noktaların apsisleri olan

x1 ve x2 nin aritmetik ortalaması r ye eşittir. Bu durumu aşağıdaki kuralla ifade edebiliriz.

Kural

c 2 bx ax ) x (

f parabolünün tepe noktası T(r,k) olmak üzere,

2

x2 x1

r

ise

a 2 r b dır.

(3)

kf(r) ise

a 4

b2 ac

k 4

olur.

Örnek:

Ox eksenini (1,0) ve (3,0) noktalarında kesen bir parabolün tepe noktasının apsisini bulalım.

Çözüm:

Tepe noktası T(r,k) olmak üzere, verilen koşullara uygun parabollerden biri aşağıdaki şekildeki gibi olabilir.

1 1

x ve 3

x2 olmak üzere,

2 1 3 1 2

x2 x1

r

olur.

Buna göre parabolün tepe noktasının apsisi r1 dir.

Örnek:

6 x 2 2 x ) x (

f parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulalım.

Çözüm:

Tepe noktası T(r,k) olmak üzere,

2 1 2 a 2

r b ,

4 7 28 1

. 4

22 ) 6 .(

1 . 4 a 4

b2 ac

k 4

dir.

Buna göre tepe noktası T(1,7) dir.

Örnek:

6 m 2 mx x ) x (

f parabolünün simetri ekseni x2 doğrusu olduğuna göre m nin değerini bulalım.

Çözüm:

Tepe noktasının koordinatları T(r,k) olmak koşuluyla

r

x doğrusu parabolün simetri eksenidir.

2 r 2

x dir.

4 m 2 2

2 m a 2

r b bulunur.

Sonuç

c 2 bx ax ) x (

f parabolünün tepe noktası T(r,k) olmak üzere, parabolün simetri ekseni x r doğrusudur.

Uyarı

c 2 bx ax ) x (

f ifadesi ikinci dereceden fonksiyonun en genel halidir.

2 k ) r x ( a ) x (

f ifadesi düzenlenerek yukarıdaki hale dönüştürülürse tepe noktasının T(r,k) olduğu görülür.

Örnek:

2 3 ) 1 x .(

2 ) x (

f parabolünün tepe noktasını bulalım.

Çözüm:

2 k ) r x ( a ) x (

f parabolünün tepe noktası T(r,k) olduğundan,

2 3 ) 1 x .(

2 ) x (

f parabolünde tepe noktasının apsisi r1 ve ordinatı k3 tür.

O halde parabolün tepe noktası T(1,3) tür.

Örnek:

2 5 ) 1 x .(

2 ) x (

f parabolünün tepe noktası, T(1,5) tir.

Örnek:

2 5 ) 1 x .(

2 ) x (

f parabolünün tepe noktası, T(1,5) tir.

(4)

Örnek:

x2 ) x (

f fonksiyonunun grafiğini inceleyelim.

Çözüm:

Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için, grafiği oluşturan bütün noktaları tek tek bulmak gerekmez; kabaca grafiği ortaya koymak yeterlidir.

x2 ) x ( f

y koşuluna uygun olarak (x,y) sıralı ikililerini belirlemeliyiz.

x2 ) x (

f ise, x2 için f(2)4 tür.

x1 için f(1)1 dir.

x0 için f(0)0 dır.

x1 için f(1)1 dir.

x2 için f(2)4 tür.

Bulduğumuz bu değerleri tabloda gösterirsek

Tabloda gösterildiği gibi (2,4), (1,1), (0,0), (1,1), (2,4) noktaları parabolün üzerindedir. Bu noktaları koordinat düzleminde gösterip, daha sonra da bu noktalardan geçecek biçimde verilen fonksiyonun grafiği çizilir.

Yukarıdaki şekil dikkatle incelenirse şunlar görülür:

1. Parabolün kolları yukarı doğrudur. Bunun nedeni x2

) x (

f ifadesindeki x2 nin katsayısının pozitif olmasıdır. x2 nin katsayısı negatif olsaydı kollar aşağı doğru olacaktır.

2. Parabolün tepe noktası (0,0) noktasıdır.

3. Parabolün simetri ekseni x0 doğrusudur.

4. f(x) fonksiyonunun görüntü kümesinin en küçük elemanı (fonksiyonun en küçük elemanı) parabolün tepe noktasının ordinatıdır. Yani, sıfırdır. f(x)x2 fonksiyonunun en büyük elemanının bilinemeyeceğini görünüz.

Eğer parabolün kolları aşağı doğru olsaydı, tepe noktasının ordinatı fonksiyonun en büyük elemanı olurdu ve en küçük eleman bilinemezdi.

Sonuç

R R :

f , f(x)ax2bxc fonksiyonunun grafiğinde (parabolde)

a0 ise kollar yukarıya doğru,

a0 ise kollar aşağıya doğrudur.

Buna göre, f(x)ax2bxc fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

Parabolün en alt ya da en üst noktasına tepe noktası denir.

Örnek:

1 x ) 1 a 2 ( x ) 3 a ( ) x (

f parabolünün kolları aşağı doğru olduğuna göre a nın ait olduğu en geniş aralığı bulalım.

Çözüm:

1 x ) 1 a 2 ( x ) 3 a ( ) x (

f parabolünün kolları aşağı doğru olduğuna göre,

3 a 0 3

a tür.

Buna göre, a(,3) olur.

(5)

Parabolün Grafiği

c 2 bx ax ) x (

f fonksiyonunun grafiğini (parabolün) çizmek için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır:

1. Parabolün eksenleri kestiği noktalar belirlenir.

2. Parabolün tepe noktası bulunur.

3. kesim noktaları ve tepe noktası koordinat düzleminde gösterilip, bu noktalardan geçecek şekilde grafik çizilir.

Örnek:

R R :

f , 2 2x 3

x ) x (

f fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm:

A. Parabolün eksenleri kestiği noktalar:

0

x için f(0)3 tür.

O halde parabolün Oy eksenini kestiği nokta (0,3) tür.

0

y için, x22x30(x3).(x1)0 x3 veya x1 dir.

O halde parabol Ox eksenini (3,0) ve (1,0) noktalarında keser.

B. Parabolün tepe noktası:

2 1 2 a 2

r b

4 4 16 1

. 4

22 ) 3 .(

1 . 4 a 4

b2 ac

k 4

olup

parabolün tepe noktası T(r,k)T(1,4) tür.

3 x 2 2 x ) x (

f fonksiyonunda a10 olup parabolün kolları yukarıya doğrudur.

Örnek:

Tepe noktası T(1,2) olan 2 2 ) 1 x ( ) x (

f parabolünün

grafiği aşağıda verilmiştir.

Örnek:

Tepe noktası T(1,2) olan f(x)2(x1)22 parabolünün grafiği aşağıda verilmiştir

Çözüm:

Örnek:

 2,1 R

:

f , f(x)x22x3 olduğuna göre f(x) in grafiğini çizip alabileceği en küçük ve en büyük değeri bulalım.

Çözüm:

0

x için f(0)3 tür. O halde parabolün Oy eksenini kestiği nokta (0,3) tür.

0

y için, x2 2x30(x3).(x1)0 3

x

veya x1 dir.

O halde parabol Ox eksenini (3,0) ve (1,0) noktalarında keser.

2 1 2 a 2

r b

4 4 16 )

1 .(

4 )2 2 ( 3 ).

1 .(

4 a . 4

b2 ac

k 4

olup

(6)

parabolün tepe noktası T(r,k)T(1,4) tür.

3 x 2 2 x ) x (

f fonksiyonunda a10 olup parabolün kolları aşağıya doğrudur.

0 ) 1 ( f

Buna göre f: 2,1 R, 3 x 2 2 x ) x (

f

fonksiyonunun grafiği yanda olup f(x) in alabileceği en küçük değer 0 ve alabileceği en büyük değer 4 tür.

) x ( f

y in alabileceği tam sayılar 0,1,2,3,4 tür.

Sonuç

A. f:RR, f(x)ax2bxc olmak üzere, parabolün tepe noktası T(r,k) olsun.

a0 ise parabolün alabileceği en büyük değer k dır.

a0 ise parabolün alabileceği en küçük değer k dır.

B. Parabolün tanım aralığı R, yani reel sayılar kümesi değil de  a,b biçiminde sınırlı bir reel sayı aralığı ise fonksiyonun en büyük ya da en küçük elemanını bulmak için, son örnekte olduğu gibi ya grafik çizerek yorum yaparız ya da aşağıdaki işlemleri yaparız:

1. f(x) in tepe noktasının ordinatı yani k bulunur.

2. f(a) ile f(b) hesaplanır.

3. Tepe noktasının apsisi  a,b aralığında ise, k, )

a (

f , f(b) sayılarının en küçük olanı f(x) in en küçük elemanı: en büyük olanı da f(x) in en büyük elemanı olur.

Tepe noktasının apsisi  a,b aralığında değilse, )

a (

f , f(b) sayılarının küçük olanı f(x) in en küçük elemanı: büyük olanı da f(x) in en büyük elemanı olur.

Örnek:

 2,3 R

:

f , f(x)x2 2x6 olduğuna göre f(x) alabileceği en küçük ve en büyük değeri bulalım.

Çözüm:

2 5 ) 1 x ( 6 x 2 2 x ) x (

f parabolünün tepe noktası

) 5 , 1 ( T ) k , r (

T tir.

Parabolün kolları yukarı doğru olduğu için f(x) in en küçük değeri xr1 için, k5 tir.

2

x için f(2)14 ve x3 için f(3)9 dur.

Buna göre f(x) in en büyük değeri 14 tür.

Parabolün Denkleminin Yazılması

Bir parabolün denklemini tek türlü yazabilmek için, üzerindeki farklı üç noktanın bilinmesi gerekir.

Örnek:

) 4 , 0

( , (1,9) , (3,31) noktalarından geçen parabolün denklemini bulalım.

Çözüm:

İstenen parabolün denklemi yf(x)ax2bxc olsun.

Verilen noktalar parabolün üzerinde olduğuna göre, parabolün denklemini sağlar.

f ) 4 , 0

( ise,

4 c 4 c 0 . 2 b 0 . a 4 ) 0 (

f tür.

f ) 9 , 1

( ise ,

5 b a 9 c 1 . 2 b 1 . a 9 ) 1 (

f tir

f ) 31 , 3

( ise ,

9 b a 3 31 c 3 . 2 b 3 . a 31 ) 3 (

f dur.

Son iki eşitlikten a 2 ve b 3 9

b a 3

5 b

a

bulunur.

(7)

O halde parabolün denklemi f(x)2x23x4 tür.

Kural

Ox eksenini x1 ve

x2 noktalarında kesen parabolün

denklemi, )

x2 x 1).(

x x .(

a ) x (

f dir.

Örnek:

) 6 , 0

( noktasından geçen parabol Ox eksenini 1 ve -3 noktalarında kesmektedir. Buna göre parabolün denklemini bulalım.

Çözüm:

İstenen parabolün denklemi yf(x)ax2bxc olsun.

Parabol Ox eksenini 1 ve -3 noktalarında kestiğine göre, parabol (1,0) ve (3,0)noktalarından geçmektedir.

) 6 , 0

( ,(1,0),(3,0)noktaları parabol üzerinde olduklarından parabolün denklemini sağlarlar.

6 c 6 c 0 . 2 b 0 . a 6 ) 0 (

f dır.

6 b a 0 c 1 . 2 b 1 . a 0 ) 1 (

f dır.

10 b 3 a 9 4 c ) 3 .(

2 b ) 3 .(

a 0 ) 3 (

f dur.

Son iki eşitlikten a 2 ve b 4 10

b 3 a 9

6 b

a

olur.

O halde parabolün denklemi f(x)2x24x6 dır.

2.Yol:

Son verilen kural gereği Ox eksenini 1 ve -3 noktalarında kesen parabolün denklemi, f(x)a.(x1).(x3) tür.

Bu parabol (0,6) noktasından geçtiğine göre, 2 a 6 ) 3 0 ).(

1 0 .(

a 6 ) 0 (

f dir.

O halde parabolün denklemi,

6 x 2 4 x 2 ) 3 x ).(

1 x .(

2 ) x (

f olur.

Kural

Tepe noktası T(1,2) olan parabolün denklemi 2 k

) r x .(

a ) x ( f

y dır.

Örnek:

Tepe noktası T(1,3) olan şekildeki parabolün denklemini yazınız.

Çözüm:

Son verdiğimiz kural gereği tepe noktası T(1,3) olan parabolün denklemi,

2 3 ) 1 x .(

a ) x ( f

y tür.

Bu parabol T(0,2) noktasından geçtiğine göre,

1 a 2 2 3 ) 1 0 .(

a 2 ) 0 (

f bulunur.

O halde parabolün denklemi,

2 x 2 2 x 2 3

) 1 x .(

1 ) x ( f

y dir.

Eşitsizlik Sistemlerinin Grafikle Çözümü

Bir eşitsizliği sağlayan tüm noktaların koordinat düzleminde taranmasıyla, verilen eşitsizliğin grafiği çizilmiş olur.

Örnek:

1 x

y eşitsizliğini sağlayan noktaları analitik düzlemde gösterelim.

Çözüm:

İlk olarak yx1 doğrusunun grafiğini çizelim.

0

y için x1 olduğundan, bu doğrunun Ox eksenini kestiği nokta (1,0) olur.

0

x için y1 olduğundan, bu doğrunun Oy eksenini kestiği nokta (0,1) olur.

(8)

) 0 , 0

( noktasının eşitsizliği sağlayıp sağlamadığına bakalım:

1 x

y ise 0 1 0 1

?

0 ifadesi yanlıştır.

O halde (0,0)noktası eşitsizliği sağlamaz.

Buna göre, doğrunun düzlemi ikiye ayırdığı bölgeden (0,0)noktasının bulunmadığı bölge istenen bölgedir. Bu durumda yx1 eşitsizliğini sağlayan noktaların analitik düzlemde gösterimi yandaki gibidir.

Örnek:

3 x 2 2 x

y eşitsizliğini sağlayan noktaları analitik düzlemde gösterelim.

Çözüm:

3 x 2 2 x

y fonksiyonunun grafiğini daha önce çizmiştik.

) 0 , 0

( noktasının eşitsizliği sağlayıp sağlamadığına bakalım:

3 x 2 2 x

y ise 02 2.0 3 0 3

?

0 ifadesi doğrudur. O halde (0,0)noktası eşitsizliği sağlar.

Buna göre, parabolün düzlemi ikiye ayırdığı bölgeden (0,0) noktasının bulunduğu bölge istenen bölgedir. Bu durumda

3 x 2 2 x

y eşitsizliğini sağlayan noktaların analitik düzlemde gösterimi yandaki gibidir.

Örnek:

2 1 x

y eşitsizliğinin grafiği yanda verilmiştir.

Örnek:

2 1 x

y eşitsizliğinin grafiği yanda verilmiştir.

2 1 x

y parabolü üzerindeki noktalar yx21 eşitsizliğini sağlamadığı için, parabolün grafiği kesik çizgi ile gösterilmiştir.

Örnek:

0 x y

0 2 1 x y

eşitsizlik sistemini sağlayan noktaları analitik düzlemde gösterelim.

Çözüm:

İlk önce yx2 1 parabolünü çizip, yx2 10 eşitsizliğini sağlayan noktaları gösterelim.

Yanda yx210 eşitsizliğini sağlayan noktalar gösterilmiştir.

Aşağıdaki şekilde yx doğrusu çizilip, yx0 eşitsizliğini sağlayan noktalar gösterilmiştir.

Son olarak 2 1 0

x

y ve yx0 eşitsizliklerini sağlayan noktalar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Referanslar

Benzer Belgeler

Tabanına a = 10 olan logaritma fonksiyonuna, onluk logaritma fonksiyonu (yada bayağı logaritma fonksiyonu) denir.. e sayısı, yaklaşık değeri 2,71828182845 olan irrasoyonel bir

It covers all activities and processes for the design, manufacture, modification and maintenance of tire curing presses, tire curing molds, container mechanisms and tire curing

11. 52 yafl›ndaki bir baban›n üç çocu¤undan iki tanesi ikizdir. Di¤er çocuk, ikizlerden 5 yafl büyüktür. Bir baba ve iki çocu¤unun yafllar› toplam› 49 dur. Bir anne

Bunlar¬n (3) de yerlerine yaz¬lmas¬yla verilen denklemin bir özel çözümü

[r]

Lineer Olmayan Skaler Fark Denklemleri.

Takip eden türev kurallarının hepsi türevin limit tanımı

Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yukarıdaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir... a<0