TC
GAZİ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
İLKÖĞRETİM ANABİLİM DALI SINIF ÖĞRETMENLİĞİ BİLİM DALI
ÖĞRETMENLERİN GEOMETRİ ÖĞRETİMİNE İLİŞKİN GÖRÜŞLERİ VE SINIF İÇİ UYGULAMALARIN VAN HİELE SEVİYELERİNE GÖRE
İRDELENMESİ ÜZERİNE FENOMENOGRAFİK BİR ÇALIŞMA
DOKTORA TEZİ
Hazırlayan Özlem DOĞAN TEMUR
TC
GAZİ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
İLKÖĞRETİM ANABİLİM DALI SINIF ÖĞRETMENLİĞİ BİLİM DALI
ÖĞRETMENLERİN GEOMETRİ ÖĞRETİMİNE İLİŞKİN GÖRÜŞLERİ VE SINIF İÇİ UYGULAMALARIN VAN HİELE SEVİYELERİNE GÖRE
İRDELENMESİ ÜZERİNE FENOMENOGRAFİK BİR ÇALIŞMA
DOKTORA TEZİ
Hazırlayan Özlem DOĞAN TEMUR
Danışman
Yrd. Doç. Neşe TERTEMİZ
iii
ÖNSÖZ
Son yıllarda matematik öğretimi alanında çok önemli değişiklikler ve gelişmeler görülmüştür. Matematik öğretimi alanında görülen bu değişiklikler kendini geometri alanında da hissettirmiştir. Özellikle günümüzde eğitimciler geometri öğretimine büyük bir önem vermekte, etkili bir geometri öğretimi gerçekleştirebilmek için çaba harcamaktadırlar. Bu araştırma öğretmenlerin birinci kademe geometri öğretimine ilişkin görüşlerini alarak sınıf içi uygulamalarının van Hiele seviyelerine göre irdelenmesine yönelik olarak fenomenografik olarak incelenmesine dayalı bir çalışmadır.
Araştırmanın birinci bölümünde matematik öğretimi alanında genel bilgiler verilmiş ve geometri öğretiminin yeri ve önemi konusunda irdelemeler yapılmış, bu konuyla ilgili araştırmalara yer verilmiştir. İkinci bölümde araştırmanın yöntemi olan nitel araştırma yöntemlerinden fenomenografi yöntemine ilişkin bilgiler verilmiştir. Üçüncü bölümde ise verilerin analizi bulgular ve yorumlara yer verilmiştir. Dördüncü bölüm bulgulara dayalı olarak tartışma bölümü, beşinci bölüm ise sonuç ve öneriler bölümüdür.
Araştırmanın her aşamasında görüş ve önerileriyle bana destek olan Sayın Hocam Yrd. Doç.Dr. Neşe Tertemiz’e, araştırma tamamlanıncaya kadar ihtiyacım olan her anda desteğini esirgemeyen hocalarım Doç.Dr.Ahmet Arıkan ve Yrd.Doç.Dr.Melek Çakmak’a desteklerinden dolayı saygı ve teşekkürlerimi sunuyorum.
Araştırmamın başından sonuna kadar evde, okulda, her yerde bana destek olan eşim Dr. Turan Temur’a, bir yandan moral kaynağım diğer taraftan çalışma boyunca denek olarak bana destek olan canım kızım Efsa Ece Temur’a, tezle ilgili çalışmalarım sırasında daha iyi çalışabilmem için çaba harcayan sevgili annem, babam ve kardeşlerime, sınıflarında gözlem yapıp görüşlerini aldığım sayın sınıf öğretmenlerine çok teşekkür ediyorum.
Özlem Doğan TEMUR
v
ÖZET
ÖĞRETMENLERİN GEOMETRİ ÖĞRETİMİNE İLİŞKİN GÖRÜŞLERİ VE SINIF İÇİ UYGULAMALARIN VAN HİELE SEVİYELERİNE GÖRE
İRDELENMESİ ÜZERİNE FENOMENOGRAFİK BİR ÇALIŞMA Doğan Temur, Özlem
Doktora, Sınıf Öğretmenliği Bilim Dalı Tez Danışmanı:Yrd. Doç. Dr. Neşe TERTEMİZ
Aralık – 2007
Öğretmenlerin birinci kademe geometri öğretimine ilişkin görüşleri ve sınıf içi uygulamalarının van Hiele seviyelerine göre irdelenmesine yönelik olarak desenlenen bu çalışma nitel bir araştırmadır.
Araştırma Ankara ili Çankaya ilçesi Maltepe semtindeki bir özel İlköğretim Okulunun 1, 2, 3, 4 ve 5. sınıf öğretmenleri ile yapılmıştır. Araştırmaya katılan öğretmenlerden veriler gözlem ve görüşme tekniği kullanılarak toplanmış ve fenomenografik analize uygun olarak incelenmiştir. Araştırmada aşağıdaki sonuçlara ulaşılmıştır: 1. Öğretmenlerin geometrik şekil öğretim sürecinde gerçek yaşamla ilişkilendirmeye dikkat ettikleri gözlenmiştir. 2. Yapılan görüşmelerde öğretmenler, geometrik şekiller arasında benzerlikler kurarak ilişkilendirme yapmanın ve araç gereç kullanmanın önemine inandıklarını belirtmişler fakat derslerini işlerken bu noktaya yeterince dikkat etmemişlerdir. 3. Tüm öğretmenler kendileriyle yapılan görüşmelerde çizim yaptırmanın görselleştirme, somutlaştırma ve kalıcılığı sağlama açısından önemli olduğunu, şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıkları öğrenmenin ve geometrik şekillerin özelliklerini listelemeye dayanan tanım yaptırmanın gerekli olduğunu belirtmişler fakat beşinci sınıf öğretmeni dışındaki diğer öğretmenler bu noktaları yeterince göz önüne almamışlardır. 4. Öğretmenlerin çoğunluğu çizgiden şekle gitmenin uygun olduğunu, iki öğretmen ise geometri öğretimine üç boyutlulardan başlanmasının daha uygun bir yol olduğu görüşündedirler. Öğretmenlerden üçü geometri öğrenmede başlıca etkeni gelişim özellikleri olarak görürken, ikisi iyi tasarlanmış öğretim etkinliklerinin daha etkili olduğu görüşündedirler. Yukarıda sıralanan tüm bu sonuçlardan hareketle öğretmenlerin geometri derslerini deneyimlerine dayalı etkinliklerle işledikleri söylenebilir.
ABSTRACT
A PHENOMENOGRAPHIC ANALYSIS OF TEACHERS' VIEWS AND CLASSROOM APPLICATIONS REGARDING GEOMETRY TEACHING
ACCORDING TO VAN HIELE LEVELS Doğan Temur, Özlem
PhD, Primary Education Department
Thesis Advisor: Assoc. Prof. Dr. Neşe TERTEMİZ December – 2007
A qualitative study was undertaken to analyze teachers’ views regarding first-grade geometry teaching and classroom applications according to the van Hiele theory of geometric thought.
The study was carried out with Grade 1 to 5 primary school teachers (n=5) at a private Primary Education School in the Çankaya district of Ankara, Turkey. The study employed observation and interview techniques and the data obtained was analyzed in accordance with phenomenographic analysis. The following results were obtained from the study: 1. It was observed that, in the process of teaching geometric shapes, teachers took care to associate the shapes with real life examples. 2. When interviewed, participating teachers stated that they believed in the importance of making associations between the geometric shapes by pointing out similarities and utilizing tools and devices. However, they did not pay sufficient attention to this point when they gave their courses. 3. In interviews, all of the teachers reported that drawing is important for facilitating visualization, reification and permanence, and; That definitions should be taught, based on listing the properties of the geometric shapes and learning the similarities and differences between the shapes. However, apart from the fifth-grade teachers, none of the teachers paid enough attention to this point. 4. The majority of the teachers thought that proceeding “from line to shape” is appropriate, while two teachers thought that starting geometry teaching with three dimensional shapes was a more appropriate method. While three of the teachers considered developmental characteristics as the principal factor in geometry teaching, two thought that properly-designed teaching activities were more effective. Based on the above results, it can be suggested that teachers structured their geometry courses based on their own experiences.
vii
İÇİNDEKİLER
JÜRİ VE ENSTİTÜ ONAY SAYFASI ...İİİ ÖNSÖZ...İV ÖZET... V ABSTRACT...Vİ TABLOLAR LİSTESİ...Xİ 1. BÖLÜM... 1 1.1. GİRİŞ ... 1 1.2. Kavramsal Çerçeve ... 4 1.3. Geometri Öğretimi ... 7
1.4. Uzamsal Kavramların Gelişimi... 13
1.5. Geometrik Düşünme Modelleri... 17
1.6. Van Hiele’nin Geometrik Düşünme Seviyelerine Uygun Kullanılabilecek Etkinlikler... 22
1.6.1. Sıfır (0) Seviyede Öğretim... 23
1.6.2. Birinci Seviyede Öğretim... 24
1.6.3. İkinci Seviyede Öğretim ... 24
1.7. Van Hiele Seviyelerinin Karakteristiği ... 26
1.7.1. İlk seviyelerin asıl elementlerinin sonraki seviyelerde olması ... 26
1.7.2. Hiyerarşi... 26
1.7.3.Yarıda Bırakılma... 26
1.7.4. Dil... 26
1.7.5. Seviyelerin Yetersizliği... 27
1.7.6. Eğitimin Rolü... 27
1.8. Matematik Programı ve Geometri... 28
1.9. Geometri Programının Öğrenme Alanları ve Amaçları ... 30
1.9.1. Öğretim Programında Geometri Kazanımları... 31
1.11. Araştırmanın Amacı... 38 1.12. Araştırmanın Problemi ... 38 1.13. Araştırma Soruları... 38 1.14. Sınırlılıklar ... 38 1.15. Varsayımlar ... 39 2. BÖLÜM... 40 İLGİLİ ARAŞTIRMALAR ... 40 3. BÖLÜM ... 52 YÖNTEM... 52 3.1. Nitel Araştırma... 52 3.2. Fenomenografi ... 53 3.3. Veri Toplama ... 55
3.4. Fenomenografik Çalışmanın Analiz Aşamaları ... 56
3.5. Araştırmada Kullanılan Veri Toplama Araçları ve Verilerin Analizi... 58
3.6. Bireysel Görüşme... 59
3.6. 1. Bireysel Görüşme Formu Güvenirliği... 60
3.7. Gözlem ... 62
3.8. Katılımcılar ve Özel Okula Ait Kısa Bilgiler... 65
3.9. Araştırma Yapılan Okul ... 66
4. BÖLÜM... 68
BULGULAR VE YORUM... 68
4.1. Alt Problem 1: Öğretmenlerin Görüşleri van Hiele Seviyeleriyle Ne Derece Örtüşmektedir?... 68
1. Soruya Verilen Cevapların Analizi ... 69
1.a. Sorusuna Verilen Cevapların Analizi... 78
1.b. Sorusuna Verilen Cevapların Analizi ... 80
1.c. Sorusuna Verilen Cevapların Analizi... 82
ix
2. Soruya Verilen Cevapların Analizi ... 87
3.Soruya Verilen Cevapların Analizi ... 90
4. Soruya Verilen Cevapların Analizi ... 92
5. Soruya Verilen Cevapların Analizi ... 95
6. Soruya Verilen Cevapların Analizi ... 97
7. Soruya Verilen Cevapların Analizi ... 99
4.2. Alt Problem 2: Öğretmenlerin Uygulamaları van Hiele Seviyeleriyle Ne Derece Örtüşmektedir?... 103
4.2.1. Birinci kategori: Gerçek yaşamla ilişkilendirme... 104
4.2.2. İkinci kategori: Geometrik cismin ve şeklin özelliklerini vurgulama... 107
4.2.3.Üçüncü kategori: Araç- gereç kullanımı ... 110
4.2.4. Dördüncü kategori: Öğretmen yanılgıları, bilgi eksiklikleri ve geçiştirmeler ... 112
4.2.5. Beşinci kategori: Çizim yaptırma... 113
3.2.6. Altıcı kategori: Tanımlamalar ve açıklamalar yaptırma ... 115
3.2.7. Yedinci kategori: Tahmin ve çıkarım yaptırma ... 117
3.2.8. Sekizinci kategori: Şekiller arası ilişkiler kurma ... 120
3.2.9. Dokuzuncu kategori: Farklı bakış açılarından şekilleri tanıma... 122
5. BÖLÜM... 125
TARTIŞMA ... 125
5.1. Görüşmelerden Elde Edilen Bulguların van Hiele Seviyelerine Uygunluğunun Değerlendirilmesi... 125
5.2. Gözlemlerden Elde Edilen Bulguların van Hiele Seviyelerine Uygunluğunun Değerlendirilmesi... 131
5.3. Gözlem ve Görüşme Bulgularının Tutarlığı ... 136
6. BÖLÜM... 139
SONUÇ ve ÖNERİLER... 139
6.1. Sonuçlar ... 139
KAYNAKLAR ... 146
EKLER... 154
EK. 1 GÖRÜŞME SORULARI... 155
EK. 2 GÖZLEM FORMU ... 156
EK 3: 2, 3, 4 ve 5. SINIF GEOMETRİ DERSLERİNDE ÖĞRENCİLERİN DEFTERLERİNDE TUTTUKLARI NOTLARDAN ÖRNEKLER ... 157
xi
TABLOLAR LİSTESİ
Tablo 1.1: Geometri ve Farklı Disiplinler………...25
Tablo 4. 1: Birinci Soruya Verilen Cevapların Analizi………..69
Tablo 4.2: 1.a. Sorusuna Verilen Cevapların Analizi……….78
Tablo 4. 3: 1.b. Sorusuna Verilen Cevapların Analizi………80
Tablo 4. 4: 1.c. Sorusuna Verilen Cevapların Analizi………82
Tablo 4. 5: 1.c.a Sorusuna Verilen Cevapların Analizi………..84
Tablo 4. 6: 2. Soruya Verilen Cevapların Analizi………...87
Tablo 4.7: 3. Soruya Verilen Cevapların Analizi………..………...90
Tablo 4. 8: 4. Soruya Verilen Cevapların Analizi………..92
Tablo 4. 9: 5. Soruya Verilen Cevapların Analizi………..95
Tablo 4.10: 6. Soruya Verilen Cevapların Analizi………...97
1. BÖLÜM
Birinci bölümünde giriş, kavramsal çerçeve, geometri öğretimi, uzamsal kavramların nasıl geliştiği, geometrik düşünme modeli ve özellikleri, van Hiele geometrik düşünme seviyeleri, geometri programının öğrenme alanları ve amaçları araştırmanın gerekçesi ve önemi, çalışmanın amacı araştırmanın problemi ve araştırma soruları, araştırmanın kapsam ve sınırlılıkları ile varsayımları hakkında bilgi verilmektedir.
1.1. Giriş
Yaşadığımız çağda eğitim, ekonomi, teknoloji vb. alanlarda gelişim hızla sürmekte ve bu gelişim süreci hayatın her alanında kendisini göstermektedir. Bilimde ve teknolojide karşılaştığımız hızlı gelişme çoğu zaman insanoğlunu şaşırtmakta ve bu gelişmeyi takip etmekte insanoğlu zorlanmaktadır. Gelişmeyi takip etmenin zorluğu kadar gelişimle birlikte hızla ortaya çıkan problemleri çözmek de matematiksel düşünce yapısını gerektirmektedir.
Günlük yaşamdaki matematikten söz edildiğinde, gidilecek yere vaktinde varabilmek için sabah kaçta kalkılması gerektiğini hesaplamakla başlayan ve gün boyu evde, yolda, alışverişte, TV izlerken süren dört işlemli hesaplamalar ya da sayma işlemleri anlaşılmaktadır. Oysa yaşamın içindeki matematik yalnızca bunlardan oluşmaz. Sayılar olmadan düşünürken de günün önemli bir bölümünde matematik kullanılmaktadır. Bir sorunu çözerken eldeki veriler sıralanır, bunlardan yola çıkarak çözümler üretilir. Her düşünme matematiksel değildir, ama sorun çözme üzerinde matematiksel düşünmenin çok önemli bir katkısı vardır (Umay, 1996).
2
Matematiksel düşünce insanların günlük yaşamlarında karşılarına çıkan olaylara sistemli ve zaman kaybetmeden yaklaşmalarıdır. Matematiksel düşünce yapısına sahip birey bir olayı tanımlama, anlama, irdeleme, çözümü tahmin etme, uygun genellemelere ulaşma, soyutlama, ispat, analiz sentez gibi davranışları sergileyebilen kişi olarak düşünülmektedir. Bu davranışları sergileyen bireylerin ise başarılı olmaları beklenmektedir.
Matematiksel düşünce yapısını, onu oluşturan matematiğin ne olduğuna ve matematiğin özelliklerine bakarak cevap verilebilir. Buna göre matematik bir disiplin, bilgi alanı, iletişim aracı, bir düşünce biçimi, mantıksal bir sistemdir. Ayrıca matematik ardışık ve yığmalıdır, birbiri üzerine kurulur (Aksu, 1985).
Baykul (2005)’a göre matematik nedir? Sorusunun cevabı, insanların matematiğe başvurmadaki amaçlarına, belli bir amaç için kullandıkları matematik konularına, matematikteki tecrübelerine, matematiğe karşı tutumlarına ve matematiğe ilgilerine göre değişmektedir. Bu çeşitlilik içinde insanların matematiği nasıl gördükleri ve onun ne olduğu konusundaki düşünceleri dört grupta toplanabilir:
1. Matematik günlük hayattaki problemleri çözmede başvurulan sayma, hesaplama, ölçme ve çizmedir.
2. Matematik bazı sembolleri kullanan bir dildir.
3. Matematik insanda mantıklı düşünmeyi geliştiren mantıklı bir sitemdir.
4. Matematik dünyayı anlamamızda ve yaşadığımız çevreyi geliştirmemizde başvurduğumuz bir yardımcıdır.
Matematik, insan tarafından zihinsel olarak yaratılan bir sistemdir. Bu sistem yapılardan ve ilişkilerden oluşur. Bu bağıntılar herkes tarafından yaygın olarak kullanılmaktadır. Öyle ki hayatında hiç okula gitmemiş olan herkes dört kişilik hazırlanmış olan bir sofraya oturmak için dört sandalye gerektiğini ya da kapının önünde on ayakkabı gördüğünde içerde beş kişinin bulunduğunu bilir. İnsanlar matematiği okuma yazmayı bilmeden anadilini öğrendiği gibi sezgileriyle
öğrenmektedir. Nasıl konuşurken sözcükleri ardı ardına belli kurallara ve yapılara uygun olarak sıralanıyorsa, düşünürken de matematiksel pek çok kavram ve teknikleri kullanarak bir düşünme zinciri oluşturulup, problemlere çözümler üretilebilmektedir (Umay, 1996, s.146).
Matematik insanların ortak düşünme aracıdır. İnsanın kendisini ve evreni tanımasına yardımcı olur. Matematik tüm bu etkinliklerin de temelini oluşturur. Matematiksel düşünme becerisi kazanmış olan bireyler her türlü sorunu çözmede başarılı olurlar. Uygun bir tepki ya da davranışta bulunmak her şeyden önce sağlam ve işlek bir akıl yürütmeye dayanır. Matematik insana akıl yürütme alışkanlığı veren bir bilim dalıdır (Başer, 1996).
Geometri, matematiğin çok önemli bir parçasıdır. Eski dönemlerden bu yana insanoğlu geometriye ilgi duymuş ve çeşitli çalışmalar yapmıştır. Attığımız her adımda matematiği ve geometriyi görmek olasıdır. Her meslek matematik ve geometriyi içerebilir. Mühendis ya da mimar, doktor ya da ressam ilgilendikleri her alanda ve konuda muhakeme yapmak zorundadır. Kısacası matematik ve geometri hayatın her alanında çok önemlidir.
Geometri konuları insanların ilk dikkatini çeken konulardır. Bir yüzey parçasını doğru olarak bölme gereksinimi, cisim ve biçimleri ölçme ve sayı ile anlatma bilgisi olan geometriyi doğurmuştur. Bu nedenle geometri dersinin, insanların günlük yaşamında önemli bir yeri vardır (Binbaşıoğlu, 1981).
Geometri içinde yer alan en önemli ögeler geometrik şekiller ve şekillerle ilgili kavramlardır. Geometri ile ilgili hazırlanan programlar incelendiğinde geometrik cisim ve şekillerin temel alındığı ve cisim ve şekilleri karşılayan kavramlar doğrultusunda hazırlandığı dikkati çekmektedir. Geometrik kavramlarla ilgili formal bilginin ilköğretim yıllarında oluştuğu düşünülerek öğrencilere bu kavramlarla ilgili zengin öğrenme yaşantıları sağlanmalıdır. Geometrik şekillerle ilgili bilgi ve işlemler öğrencilerin gelişimine iki şekilde katkı sağlamaktadır: İlki,
4
geometrik şekiller geometrik durumların daha kolay anlaşılmasını sağlayan şekilsel temsilleridir. İkincisi, geometrik şekiller şekillerin algılanmasında sezgisel bir süreci başlatmaktadır ve algılanabilen nesneler arasında bağlantı kurabilmeyi sağlamaktadır (Charalambus, 1997).
1.2. Kavramsal Çerçeve
Günümüzde matematik ve teknoloji kavramları birlikte anılır hale gelmiştir. Bilginin her geçen gün önemini arttırdığı ve değişen bilgiyle birlikte matematiği kullanabilme ve anlayabilme gereksiniminin artması matematik eğitimine daha çok önem verilmesi gerekliliğini ortaya koymaktadır.
Matematik eğitimi bireylere fiziksel dünyayı ve sosyal etkileşimleri anlamaya yardımcı olacak geniş bir bilgi ve beceri donanımı sağlar. Matematik eğitimi bireylere çeşitli deneyimlerini analiz edebilecekleri açıklayabilecekleri tahminlerde bulunacakları ve problem çözebilecekleri bir dil ve sistematik kazandırır. Ayrıca yaratıcı düşünmeyi kolaylaştırır ve estetik gelişimi sağlar. Bunun yanı sıra çeşitli matematiksel durumların incelendiği ortamlar oluşturarak bireylerin akıl yürütme becerilerinin gelişmesini hızlandırır (İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, 2005).
Öğrencilerin becerilerini geliştirmek için matematik eğitimcilerinin bilgiyi iyi analiz etmeleri gerekmektedir. Bilginin kavramsal bilgi ya da işlemsel bilgi olup olmadığını ayırt etmek matematik eğitiminin kalitesini arttıracaktır. Kavramsal bilgide anlam önemlidir. İşlemsel bilgi ise rutin matematiksel problemlerde kullanılan kural ve işlemleri içerir. Matematik öğrenmek için hem işlemsel hem de kavramsal bilgiye ihtiyaç vardır. Kavramsal bilgi işlemsel bilgiye anlam kazandırarak ona destek olur. Böylece anlama yeni bilginin mevcut bilgilerle olan bağlantısının nitelik ve niceliğinin bir ölçüsü olarak tanımlanabilir Anlama yeni bilginin eskilerle ilişkilendirilme derecesidir. Her birey değişik anlama düzeylerine sahiptir. Çünkü bireylerin sahip oldukları bilgi yapıları birbirinden farklıdır. Kavram ve ilişkiler bir günde değil zamanla oluşur. Bir kavramın çok çeşitli anlamları ve diğer kavramlarla olan ilişkileri birbirlerine bağlandığında ilişkisel öğrenme
gerçekleşir (Olkun ve diğerleri, 2004, s.31 - 32). Günlük hayattaki öğrenmelerimiz dahil olmak üzere tüm öğrenmelerimizde kavramlar arası ilişki kurma çok önemlidir. İlişkisel öğrenmenin öneminin farkında olan eğitimciler öğrenmenin niteliğini arttırma çabası olan eğitimcilerdir. Öğrenmenin niteliği göz önüne alınarak gerçekleştirilen bir öğretim ise matematiğin yapısına uygun olacaktır.
Van de Walle (2004)’ ye göre matematiğin yapısına uygun bir öğretim şu üç amaca yönelik olmalıdır:
1. Öğrencilerin matematikle ilgili kavramları anlamalarına, 2. Matematikle ilgili işlemleri anlamalarına,
3. Kavramların ve işlemlerin arasındaki bağları kurmalarına yardımcı olmak. Bu üç amaç ilişkisel anlama olarak adlandırılmaktadır. İlişkisel anlama matematikteki yapıları anlama sembollerle ifade etme ve bunun kolaylıklarından yararlanma matematikteki işlemlerin tekniklerini anlama ve bunları sembollerle ifade etme metotlar, semboller ve bağıntılar arasındaki bağıntılar veya ilişkileri kurma olarak açıklanabilir. İlişkisel anlama öğretime daha çok yük getirir, daha çok zaman alır. Ancak bu tür öğrenmenin öğrenci açısından birçok faydası vardır :
1. Öğrenme zevkli hale gelir,
2. Öğrenilenlerin hatırda tutulması kolaylaşır, 3. Yeni kavramlar daha kolay öğrenilir, 4. Problem çözme becerisi gelişir,
5. Matematiğe olan kaygı azalır ( Baykul, 2005, s.41).
Öğretim faaliyetleri gerçekleştirilirken verilen kavramların somut ya da soyut olması çok önemlidir. Matematiğin alt dallarından biri olan geometri de soyut kavramlar ve ilişkiler üzerine inşa edildiği için ilköğretimin birinci kademesinde dikkatle verilmesi gereken bir alandır. Birinci kademe öğrencileri somut ve sonlu nesneleri, kavramları, ilişkileri anlayabileceğinden geometri konuları mümkün olduğunca çocuğun yaşadığı, görebileceği yakın çevreden ve algılayabileceği düzeyde ele alınmalıdır (İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, 2005). Bu
6
noktada hem çocukların öğrenme düzeyleri hem de yaşadıkları çevrede edindikleri geometri ile ilgili deneyimleri büyük önem kazanmaktadır.
Dienes, matematiği kendi iç güzelliği olan bir sanat olarak öğrenilmesi gerektiğini savunmuştur. Dienes’in matematik öğrenme teorisinin 4 ana ilkesi vardır. İlki dinamiklik ilkesidir ve bu ilkeye göre, yeni bir kavramın gerçek bir şekilde anlaşılması üç aşamalı evrimsel bir süreçtir demiştir. İkincisi algısal – görsel değişkenlik ilkesidir. Bu ilkeye göre, eğer öğrenciler bir kavramı birden fazla model kullanarak öğrenirse kavramsal anlama en üst düzeyde olur. Üçüncüsü matematiksel değişkenlik ilkesidir. Bu ilkeye göre bir matematiksel kavramın genelleştirilmesi sürecinde, ilgili değişkenler sabit tutulurken, sistematik olarak ilgisiz değişkenlerin değiştirilmesi ile kavram sağlamlaştırılabilir. Sonuncusu ise inşa edicilik ilkesidir. Dienes’e göre 2 çeşit düşünen vardır: yapılandırıcı düşünür ve analitik düşünür. Birey bir kavramın nasıl oluştuğunu, yapılandığını bilmeden analiz edemez. Öğrenciler kendi kavramlarını somut deneyimlerle kendileri inşa etmelidirler (Olkun ve Toluk, 2004).
Baroody (1992)’ye göre matematik yeteneklerinin edinimi okul başarısında ergenlik ve yetişkinlikte önemli rol oynamaktadır. Matematik yeteneklerinin bilişsel başlangıcında iyi bir anlama ve çevresel etkiler önemlidir. Bu etkiler bilişsel alanda matematik öğrenmeyi kolaylaştırma yollarını anlamada bize yardım etmektedir. Matematik yeteneklerinin erken gelişimi ve ailesel etkiler okul çağındaki matematik yeteneklerinin gelişimini etkilemektedir. Okul öncesi dönemde çocuklar birçok aritmetik beceriyi edinmektedirler (Akt: Assel ve diğerleri, 2003). Çocukların okul öncesinde evde, okulda, her yerde oynadığı oyunlar, karşılaştığı zengin uyarıcılar onların matematik becerilerini edinimlerinde faydalı olacaktır denilebilir. Sayma, toplama, çıkarma ve temel geometrik beceriler bu beceriler arasında gösterilebilir.
Geary (1993)’ye göre üç becerinin matematik edinimlerinin gelişiminde önemi büyüktür. İlki, muhtemelen en önce gelişeni sayısal iletişimler içindeki görsel sunumlardan edinilenlerdir. İkincisi, sunumlarda ve tahmin etmede kullanılan öğrenme içerisinde önemli bir yere sahip olan anlama kapasitesidir. Bu uzamsal
beceriden ziyade dil gelişimiyle ilgilidir. Üçüncüsü, akıldan yapılan ve yazılı hesaplamalar için gerekli olan süreci anlama yeteneğidir. Bu edinimler matematik becerilerinin başlangıcıyla ilgilidir ki bu edinimlerin çıkış noktası erken çocukluk dönemindedir. Hartje (1987)’ye göre çocuklar saymayı ilk öğrendiklerinde tipik olarak bunu sayılabilen nesnelerin görsel uzamsal sunumlarıyla yaparlar. Bir gurup objeyi saymak için çocuklar genel olarak parmaklarını kullanırlar. Çocukların saymayı ve basit aritmetik becerileri öğrenmelerinde görsel uzamsal becerinin önemi büyüktür (Akt: Assel ve diğerleri, 2003).
Görsel uzamsal beceriler hayatın her alanında önem taşımaktadır. Bu becerileri edinmiş bireyler çevresindeki nesneleri daha iyi görebilir, edindiği beceriler yardımıyla iletişim kurarken başarılı olur ve çevresindeki olaylar arasında sınıflandırmalar yapabilir. Nitelikli bir geometri öğretimi bireyin uzamsal becerilerinin gelişmesine katkı sağlayabilir.
1.3. Geometri Öğretimi
Geometrinin konusu şekil ve cisimdir ve geometrinin insan hayatındaki yeri oldukça büyüktür. Kullandığımız ve satın aldığımız eşyanın çoğu geometrik bir yapıya sahiptir. Meslek elemanlarının (mimar, iç mimar, mühendis, peyzajcılar vs.) uğraşları içinde çokça geometrik şekil biçim ve desen yer alır. Bütün bunların geometrik olmasının nedeni eşyanın görevini daha iyi yapabilmesidir ( Altun, 1998). Geometri matematiğin nokta, doğru, düzlem, düzlemsel şekiller, uzay, uzaysal şekiller ve bunlar arasındaki ilişkilerle geometrik şekillerin uzunluk, açı, alan, hacim gibi ölçülerini konu edinen dalıdır. Çalışma alanının bu şekilde belirlenmesi, geometrik şekillerin özelliklerini ve bunlar arsındaki ilişkileri a) ölçü katmadan inceleyen b) ölçerek inceleyen olmak üzere iki kısımda düşünülmesine sebep olmuştur. Bunlardan birincisine ölçüsel olmayan geometri, ikincisine de ölçüsel geometri demek gelenekselleşmiştir. Geometri geometrik yapıları noktadan başlayarak sonraki kavramları öncekiler üzerine oturtularak inşa edildiği bir yapı içerisindedir. Geometri kavramlarının inşası noktadan cisme doğru bir durum arz eder (Baykul, 2005).
8
Olkun ve Aydoğdu (2003)’ya göre eğitim öğretim sürecinde çocukların çevreyi ve olayları eleştirel biçimde gözleyip akranları ile görüş alışverişinde bulunarak öğretmenin düzenleme ve yol gösterme dışında öğrenci adına hiçbir ek eylemde bulunmadığı ortamlarda bilgi kazanmaları gerekmektedir. Bu eğitim öğretim türüne gerçekçi eğitim denmektedir. Bu yüzden çocuğun geometri adına yapacağı tüm zihinsel ve bedensel etkinlikler kavram ve bulguları ilk defa kendisi bulmuş ve kazanmış duygusu içinde gerçekleşmelidir. İlk eleştirel geometrik gözlemlerin yapıldığı, kavramların kazanıldığı, sezgilerin oluştuğu ilköğretim döneminde geometri öğretiminin önemi sonraki dönemlere oranla daha büyüktür. Öğrencilerin geometrik bilgi, beceri ve düşüncelerinin gelişmesi için geometrik şekilleri sınıflamaları, yeni şekiller oluşturmaları, çizim yapmaları, bilgisayarda veya elle şekiller oluşturmaları gerekmektedir.
Sherard (1981, s.19-21)’ a göre geometri temel bir beceridir. Bunun nedenleri şöyle açıklanmaktadır:
• Geometri iletişim kurmada önemli bir yere sahiptir. Günlük konuşma ve yazı dilinde birçok geometrik terimlerden yararlanılmaktadır. Nokta, çizgi, kenar, köşe, paralel kavramları gibi. Objelerin şekillerini tanımlamada geometrik terminoloji kullanılmaktadır.
• Geometri gerçek yaşamda karşılaştığımız problemlere çözüm bulmada önemli bir uygulama alanına sahiptir.
• Geometri temel matematiğin diğer alt dallarında uygulama alanına sahiptir. Geometri matematiğin diğer alt dalları ile bütünleşmekte, aritmetik, cebir ve istatistik konularının anlatımında görsellik katmaktadır. Matematik öğretiminde geometrik modeller veya geometrik örneklerin önemli bir yeri vardır.
• Geometri sahip olduğu özellikler sayesinde insanlarda uzamsal algılama gücünü de sağlamaktadır.
• Geometri zihni harekete geçirme, zihin jimnastiği yapma ve problem çözme becerilerini geliştirme de bir araçtır. Geometri öğrencilerin
bakma, kıyaslama, ölçme tahmin etme, genelleme ve özetleme becerilerinin gelişimine fırsatlar sunar.
• Kültürel ve estetik yapılara bakıldığında birçok geometrik şekle rastlamak olanaklıdır. Bu kültürel ve estetik yapıları öğretmek için geometri iyi bir araçtır. Geometrik yapı ve formlar bize içinde yaşadığımız dünyanın doğal ve yapay yönlerini anlamamıza yardımcı olmaktadır. Yapılarda, gökdelenlerde geometrik yapı ve formlara rastlamak olanaklıdır.
Bu sayılan özelliklerden anlaşılabileceği gibi geometri matematiğin önemli bir parçasıdır. İlköğretimde geometri konularının öğretimi matematiğin diğer konularının öğretimi kadar önemlidir. Çünkü matematik çalışmaları arasında eleştirici düşünme ve problem çözme önemli yer tutar. Geometri çalışmaları öğrencilerin eleştirici düşünme ve problem çözme becerilerinin geliştirilmesinde önemli katkı sağlar. Geometri matematiğin diğer konularının öğretiminde yardımcı olur. Geometri öğrencilerin içinde yaşadıkları dünyayı daha yakından tanımalarına yardım eder. Geometri öğrencilerin matematiği sevmelerinin bir aracıdır (Baykul, 2001, s.464). Geometriyi öğrencilerin sevmesinde en önemli rolü ise derste kullanılacak yöntem ve teknikler alacaktır. Bu yöntem ve teknikler öğrencileri tüm yönleriyle derse karşı motive ederek onların ilgisini çekecek nitelikte olmalıdır.
Çocuklar daha okula gelmeden geometri ile ilgili birçok deneyime sahiptirler. Zamanlarının çoğunu şekillerle ilgili olarak araştırma, oyun ve yapılandırma ile geçirmektedirler. Oyun oynarken şekiller arası ilişkileri doğal olarak kurabilmektedirler. Çocuklar ellerinde bulunan şekilleri sınıflama yaparak, bir araya getirerek ve yuvarlayarak daha çok deneyim sahibi olurlar. Çocukların okula gelmeden önce öğrendikleri bu ilk deneyimler daha sonraki yıllarda geometri çalışmalarının da temelini oluşturmaktadır. Bu nedenle, çocukların daha okula başlamadan karşılaştıkları bu ilk deneyimler okul matematiğine uygun olarak eğitici ve istenilen düzeyde olmalıdır ( Burns, 2000, s.79).
10
İlköğretim boyunca öğrenciler birçok geometrik şekli tanımayı öğrenip, basit şekillerin çevre ve alanlarını belirlemek için formüllerle tanışmaktadırlar. Çocuklar ilk olarak çevrelerinde doğal olan ve insan yapımı olan nesnelerle karşılaşır ve böylece geometriyi öğrenmeye başlamaktadırlar. Çocuklar iki ve üç boyutlu şekilleri ilk olarak sezgileriyle sonrasında ise öğretimde kullanılan modeller yardımıyla kavramaktadırlar. Uygun modellerle edinilmiş deneyimler çocukların sezgisel anlamalarını da geliştirmektedir (Kennedy, 1980, s. 431).
İlk çocukluk döneminde eğitimciler, çocukların geometrik şekilleri anlamalarını geliştirmede yardımcı olmalıdır. Bu yardım süreci 3, 4 ve 5 yaş çocuklarının öğretmenleri için daha da önemlidir. Çünkü bu yaşlardaki çocuklar üçgen ve dikdörtgenlerdeki kategorik sınırlamaları tanımlamakta ve şekillerle ilgili kavramları geliştirmektedir. Yine bu yaş çocukları bu şekillerin hem ortak hem de farklı özelliklerine dikkat ederek farklı olan özelliklere daha çok eğilim göstermektedirler. Örneğin: Onun kaç tane kenarı var, fakat oldukça uzun bir üçgendir. Öğretmenler öğrencilerin bir şekil kategorisini nasıl tanımlayarak algıladıklarını merak ederler. Buna gereksinim de vardır. Öğretmenler, kenarların ve açıların bütün özelliklerini ayırt etmede açıların büyüklüğünü, görünüm oranını, yönünü, üçgen ve dikdörtgenleri kavramada çocuklara yardım eder. Ayrıca birçok çocuğun noktalarla kenarlar arasındaki farkı anlayamadıkları gözlenmiştir. Bundan dolayı öğretmenler, şeklin matematiksel tanımını yapmadan önce bu terimleri açıklamaya gereksinim duyarlar. Öğrenciler tanımlamaya ve sınıflamaya çalışırken öğretmenler de şekil kategorileri hakkında, onların mantıksal yönünü sözlü olarak sormalıdırlar. Bu sözel durum sadece çocuğun bir kavramı anlaması hakkında öğretmene önemli bir bilgi sağlamakla kalmaz, aynı zamanda bilgi bazında, çocuğun daha çok bilimsel anlamayı zihinsel fonksiyonlarıyla birleştirmesi noktasında yardımcı olur (Çoban ve Dursun, 2003: 38).
Akan (2001) tarafından yapılan araştırmaya göre öğretmenlerin matematik dersinde yöntem ve teknik konusunda problem yaşadıkları görülmektedir. Bu konuda yeterli bilgi sahibi olmayıp kullandıkları yöntemlerle öğrencilerinin dikkatini çekememektedirler. Bu çalışma öğretmenlerin klasik yöntemi daha çok kullanıp
öğrencilerin dikkatlerini çekecek yöntem ve tekniklere yer vermediklerini göstermektedir.
Geometrinin matematiğin diğer konularına göre kendine has bir yapısı vardır. Bu nedenle öğretmenlerin matematik dersinde yaşadıkları problemleri tespit edip öğrencilerin uzamsal becerilerini geliştirecek, onların ilgilerini çekebilecek, muhakeme yapmalarına yardımcı olacak etkinliklerle derslerini zenginleştirmeleri faydalı olacaktır.
Aşkar ve Baykul (1987)’a göre geometrinin yapısı tümdengelimci bir öğretime çok uygundur. Hatta bu öğretim türü öğretmene bazı konularda çekici ve kolay gelebilir. Ancak, geometrik şekillerin kavratılmasına bu şekillerin özelliklerini araştırma ile başlanabilir. Daha sonra modelleri inceleyerek özellikleri bulunabilir ve buna dayalı genellemeler yapılabilir. Son olarak da genellemelerin doğruluğu denetlenir. Böyle bir yaklaşım öğrencilere matematiğin birçok konusunun yeniden keşfetme zevkini verecektir. Bu da bilgi ve becerilerin daha çok kalıcı olmasını sağlayacaktır.
Hoffer’a (1981, s.11-13) göre geometri öğretiminde öğrencilere kazandırılması gereken bazı temel beceriler vardır. Bu temel becerileri: görüş becerileri, söz becerileri, çizim becerileri, mantık becerileri ve uygulama becerileri olmak üzere beş grupta toplamak mümkündür.
• Görüş becerileri (Visual Skills) : Geometri gözle ilgili bir konudur. Öğrenci şekle baktığında yalnız şekli değil, şeklin gizlediği olanakları da görebilmelidir. Öğrenciler geometriyi daha çok şekillerle ve uygulamalı olarak araç gereçlerle öğrenmeye ihtiyaç duymaktadırlar.
• Söz Becerileri (Verbal Skills): Matematikte dil önemlidir. Söz becerileri gelişmemiş öğrenciler anlıyorum ama anlatamıyorum biçiminde, yakınırlar. Öğrenciler geometriyle ilgili birçok materyal ve konu hakkında okumak ve geometrik kanıtlarını yazabilmek için sorular sormaktadırlar. Bunlar ise zengin söz becerilerini gerektirmektedir.
12
• Çizim Becerileri (Drawing Skills): Geometri öğrencilerin düşüncelerini şekillerle aktarmalarına olanak sağlamaktadır. Bu nedenle öğrencilere bu becerinin kazandırılması gerekmektedir. Çizim becerileri öğrencilerin geometrik ilişkileri öğrenmeleri için hazırlayıcı bir rol üstelenmektedir.
• Mantık Becerileri (Logical Skills): Mantık becerileri gerekli ve yeterli koşulları tanımak, neyin tanım, neyin teorem olduğunu ayırt etmede çok önemlidir. Öğrencilerin mantık becerilerini geliştirmeleri için görsel ve sözel düşüncelerle çalışmalar yapmaya ihtiyaçları vardır.
• Uygulama Becerileri (Applied Skills): Uygulama becerileri dünya ile ilgili somut problemleri geometri problemine dönüştürebilmek için gerekli olan becerilerdir.
Schwarz ve Hershkowitz (1999); Vinner (1991), öğrenci ve öğretmenlerin geometrideki temel kavramlar üzerindeki, kavram imajlarını araştırmışlar ve her kavramın bir ya da daha çok prototip (örneğe) sahip olduğunu bulmuşlardır. Benzer olarak Wilson (1983) çocukların dikdörtgeni tanımlamaları ve dikdörtgen kavramını tanımlamak için konu hakkında sorular sorarak gerekli örnekleri seçmeleri arasındaki ilişkiyi araştırmıştır. Öğrencilerin örnekleri seçerken daha çok kendi prototipleri üzerinde durduklarını, kendi tanımlamaları üzerinde ise daha az durduklarını, öğrencilerin örnekleri seçerken uygun olmayan örnekler de yazdıklarını bulmuştur. Hoffer (1983) öğrencilerin eğer prototip bir yamuğa benzemiyorsa eşit açılı bir yamuğu çocukların yamuk olarak adlandırmadıklarını bulmuştur. Hershkowitz (1989) ise öğrencilerin kareyi dört eşit kenarının diğer dörtgenlerde olmadığı için dörtgen olarak düşünmediklerini bulmuştur ( Akt: Ubuz ve Üstün, 2005). Geometrik kavramların doğru öğrenilmesinde ve kullanılmasında öğrencilerin kavramlar hakkında sahip oldukları geometrik bilgilerin doğruluğunun ve eksikliklerinin saptanmasının öneminin büyük olduğu söylenebilir.
Matematik eğitiminde kavramlar matematiksel tanımlamalardan gelir ve dolayısıyla bu tanımlamalar kritik olan ve olmayan niteliklere sahiplerdir. Sözel tanımlamalar kavramı tanımlamada minimal etkiye sahiplerdir ( Herskowitz, 1990). Herskowitz (1989, 1990); Shwarz ve Herskowitz (1999), bir kavramın adı
duyulduğunda ya da kavram görüldüğünde daima kavramın imajı çağrışır, kavramın tanımı değil. Kavram imajı çoğunlukla kavramla ilişkili olan bilişsel yapıdadır ki bu yapı görsel sunumlar, deneyimler ve kavramın adıyla ilişkili zihinsel resimler içerir. Bir kavramın tekrar adlandırılmasındaki zihinsel süreç boyunca oyunlar içerisinde verme, kavram üzerindeki farkındalık ya da farkında olmama kavramın anlamını ve kullanımını etkiler. Bu özel örneklerle sık sık prototipler adlandırılır. Bu prototipler bizim kişilerin adlandırma yeteneğini etkileyen ve kişilerin prototiplere ait örnekleri kullanma eğilimlerini etkileyen görsel - algısal sınırlarımızın sonucundadır ( Akt: Ubuz ve Üstün, 2005).
1.4. Uzamsal Kavramların Gelişimi
Uzamsal kavramların öğrenilmesinde çocuk ilk önce çevresiyle etkileşimde bulunmakta, görme ve dokunma hislerinin yardımıyla uzamsal tecrübelerinin hemen hemen tamamı temellendirilebilir. Daha sonra dil gelişmeye ve fiziksel çevredekiler bir anlam kazanmaya başlar. Aralarında Piaget, Bruner ve Denis gibi psikologların da bulunduğu birçok psikolog insan bilgisinin temelindeki özellikle matematikte somut objeleri kullanmak gerektiğine inanmaktadır. Piaget çok sayıda deneyinin sonucunda çocuklarda uzamsal kavramların gelişim teorisini ileri sürmüştür. O algılama ve sunumu arasında bir ayrım yapmıştır. Çocuklarda algılama yeteneğinin ve uzamsal imajları algılama gücünün iki yaş civarında gelişmeye başladığını ve yedi yaş civarında da mükemmel bir duruma doğru ilerlediğini söylemektedir. Piaget’in yaptığı çalışmaların özellikle uzamsal düşüncenin gelişimi konusunda çok önemli katkıları olmuştur. Ancak bu teoriler alanla ilişki kurulduğunda bazı yönlerden eleştirilmektedir.
a. Lesh ve Mierkiewich imajları algılamanın Piaget’in dediği gibi net olmadığını, yapılan çalışmalarla bu durumun ortaya konduğunu ifade etmektedir.
b. Piaget’in yaptığı çalışmalar bazen farklı metotlar uygulandığında farklı sonuçlar göstermiştir. Weinzweigh, üçboyutlu şekillerin yüzeylerini kullanarak yapılan çizimler katıların bazı temel özelliklerinin iki boyutlu şekillerinin farklarının farkına
14
varması ile daha iyi geliştiğini iddia etmektedir. Fuson ve Murray (1978)’in çalışmaları göstermiştir ki çocuklar şekiller küçük yapılı ise dokunulan şekilleri kolaylıkla algılayabilir, bu şekilde dokunsal ve görsel algıyı geniş bir şekilde yapılmış olan sistematik yaklaşımlarla ilişkilendirilemeyebilir.
c. Piaget uzamsal fikirlerin gelişimini kendisinin geliştirdiği topoloji, izdüşüm ve öklid bağıntısına göre matematiğin mantıksal yapılanmasını kullanarak açıklamaktadır. Ancak Weinzweing ve Fuson (1978) Piaget’nin matematiksel geçişlerdeki bu özellikleri tanımlayamadığını ifade etmektedir. Son yapılan çalışmalarla Darke topolojiksel fikirlerin daha önce gelişip adlandırılmaya başladığını ortaya koymuştur (Akt: Dickson, Brown ve Gibson, 1990).
Görüldüğü gibi çocukların görsel uzamsal becerilerinin gelişiminde deneyim büyük bir öneme sahiptir. Gerek dokunarak, gerekse görsel olarak çocukların deneyim sahibi olması geometri öğrenmelerinde etkilidir. Yine görülüyor ki çocuklar çok küçük yaşlardan itibaren edindikleri uzamsal deneyimleri beceriye dönüştürmeye başlıyorlar. Bu noktada da özellikle öğretmenlerin geometri öğretimi konusunda daha dikkatli olmaları gerektiği söylenebilir.
Van De Walle (2004, s.309)’nın NCTM’den aktardığına göre geometri önemlidir ve geometriye daha çok önem verilmelidir. Aşağıda sıralanan nedenler geometriye verilen önemin gerekliliğini vurgulamaktadır:
• Geometrik deneyimler problem çözme becerisini geliştirebilir. Uzamsal muhakeme problem çözme için önemlidir.
• Geometri oyunları matematiğin diğer alanlarındaki çalışmalarda da anahtar rol üstlenir. Örneğin, oran – orantı ve ölçüler konuları geometriyle direkt olarak ilişkilidir.
• Birçok insan geometriyi günlük yaşamda kullanır. Bahçe planı yaparken, odasını düzenlerken gibi.
• Geometri eğlencelidir. Eğer öğrenciler geometri konusunda ilerlerlerse matematiğe daha çok efor harcayacaktır.
Tsamir, Tirash ve Stavy (1998), öğrencilerin çokgenlerin çeşitli karakteristiklerini kıyaslama yollarını araştırmışlardır. Bu araştırmacılar öğrencilerin sonuç çıkarma eğilimleri üzerine odaklanmışlardır. Sonuçta çocukların çeşitli seviyelerde çokgenlerin açı ve kenarlarının eşitliğini tartıştıkları ve onlar için eşit açının anlamının eşit kenar ya da tam tersi olabildiğini bulmuşlardır. Bu muhakemenin ise sezgisel bir kural olduğunu vurgulamışlardır ( Akt: Ubuz ve Üstün, 2005). Geometri öğretiminin önemini anlamış eğitimciler çocukların sonuç çıkarma becerilerini geliştirme konusunda dikkatli olmalıdırlar. Çünkü geometri konularının öğretiminde muhakeme yeteneğinin etkisi büyüktür.
İlköğretimde geometri konularının öğretimi matematiğin diğer konularının öğretimi kadar önemlidir. İlköğretimdeki matematik öğretiminde geometri konularına da yer verilmesinin sebepleri Baykul (2005) tarafından aşağıdakiler gibi sıralanmıştır:
• İlköğretimde matematik çalışmaları arasında eleştirel düşünme ve problem çözme önemli bir yer tutmaktadır. Bu bakımdan geometri çalışmaları, öğrencilerin eleştirel düşünme ve problem çözme becerilerinin geliştirilmesinde önemli katkı getirir.
• Geometri konuları matematiğin diğer konularının öğretiminde önemli bir öğe durumundadır. Örneğin kesir sayıları ve ondalık sayılarla ilgili kavramların kazandırılmasında ve işlemlerin tekniklerinin öğretiminde dikdörtgensel bölge, karesel bölge ve daireden büyük ölçüde yararlanılır.
16
• Geometri, matematiğin günlük hayatta kullanılan önemli parçalarından biri olma özelliğindedir. Örneğin odaların şekli, binalar, süslemelerde kullanılan şekiller geometriktir.
• Geometri bilim ve sanatta da çok kullanılan bir araçtır. Örnek olarak mimarlar, mühendisler geometrik şekilleri çok kullanırlar. Diğer taraftan fizikte, kimyada ve diğer bilim dallarında geometrik özelliklerin fazlaca kullanılması önemli bir araç olmasına kanıt olarak gösterilebilir.
• Geometri, öğrencilerin içinde yaşadıkları dünyayı daha yakından tanımalarına ve değerini takdir etmelerine yardım eder. Örneğin, kristallerin, gökcisimlerinin şekil ve yörüngeleri birer geometrik şekildir.
• Geometri, öğrencilerin hoş vakit geçirmelerini, hatta matematiği sevmelerini sağlayan bir araçtır. Örneğin, geometrik şekiller, bunlarla yırtma, yapıştırma, döndürme, öteleme ve simetri yardımıyla eğlenceli oyunlar oynanabilir.
Geometrinin günlük hayatın bir parçası olma, eleştirel düşünmeyi ve estetik duygusunu geliştirme gibi özellikleriyle matematik dersi içerisinde önemli bir yere sahip olduğu söylenebilir. Ele alınacak amaçlar Geometri dersinin bu özellikleri dikkate alınarak belirlenebilir.
Geometride, dört amaç şu başlıklarda özetlenebilir: Şekiller ve özellikleri, konum, dönüşüm, görselleştirme.
1) Şekiller ve özellikleri; özellikler üzerine kurulu ilişkilerin çalışılması kadar iki ve üç boyutlu şekillerin özelliklerinin çalışılmasını kapsar.
2) Konum, koordinat geometrisi ya da nesnelerin uzayda ve düzlemde nasıl konumlandığını belirlemenin başka bir yolu anlamına gelir.
3) Dönüşüm; kayma, dönme ve öteleme gibi yön değiştirme çalışmaları ile simetri çalışmalarını içerir.
4) Görselleştirme; çevrede şekilleri tanıma, iki ve üç boyutlu nesneler arasında ilişkileri geliştirme ve nesneleri farklı açılardan tanıma ve çizme yeteneğini kapsar. Bu içerik amaçlarının önemi, sınıflar arasında ayırım yapan bir içerik çerçeve çalışması olmasıdır. Böylece, hem öğretmenler hem de program geliştirenler gelişmeyi değerlendirebilirler (Van De Walle, 2004).
Günümüzde matematik öğretiminin daha nitelikli hale getirilmesinin gerekliliği üzerinde birçok çalışma yapılmaktadır. Geometri öğrenmenin matematiksel pek çok konuyu öğrenmeye katkı sağladığı yapılan araştırmalarla ortaya konulmaktadır. Geometri öğrenmeyi etkileyen pek çok etkeni ortaya çıkarmak amacıyla ve geometrik düşüncenin gelişimiyle ilgili pek çok araştırma yapılmıştır. Bu araştırmalar sonucunda geometrik düşünce ile ilgili modeller karşımıza çıkmaktadır.
1.5. Geometrik Düşünme Modelleri
French (2004)’in aktardığına göre geometri öğrenmede üç gelişim modeli bilinmektedir. Piaget ve Inhelder (1958) somut operasyonel dönemden formal operasyonel döneme geçişi ileri sürdükleri modelde anlatmaktadırlar. Öğrencilerin somut operasyonel dönemden formal operasyonel döneme geçişlerinin kolay olmadığını belirtmektedirler. Adey ve Shayer (1994) Piaget’in fikrine ek olarak yüksek seviyelerde geometrik düşünme yeteneklerinin oluşabilmesinin iyi yapılandırılmış sınıf görevlerine bağlı olduğunu söylemektedir.
Piaget’in zihinsel gelişim için ortaya koyduğu dört aşama geometri için de geçerlidir. Bu dönemler; duyu- hareket dönemi, işlem öncesi dönem, somut dönem, soyut dönemdir. Piaget’e göre çocukların ilk kavramları uzamsal kavramlardır.
18
Çocuklar insanlara ve nesnelere somut ve değişmez olarak bakmazlar. Bunun yerine uzamsal duyularını kullanırlar. Bu uzamsal bakış duyu hareket dönemi boyunca devam etmektedir. Fakat işlem öncesi dönemde çocukların insan ve nesnelere bakışları değişir. Çocuklar bu dönemde dört önemli uzamsal ilişkiyi geliştirmeye başlamaktadırlar. Bunlar yakınlık, ayırma, sıra ve çevirme olarak belirlenmiştir. Çocuklar nesnelere dokunmak ve onları hareket ettirmek için doğal olarak yakınlarında bulunan varlıklarla ilgilenmektedirler. Çocukların ayrılığı anlayabilmeleri için nesnelerin sahip oldukları parçaları açıkça görsel olarak fark etmeleri bunun için de bol bol çizim yapmaları gerekmektedir. Çocukların kendilerine sunulan modellerdeki sıralamayı ters çevirebildiklerinde sıralamayı anladıkları söylenebilir. Yine işlem öncesi dönemde çocukların çevirmeyi anlamalarına yardım etmek için çizgi ve düzlem üzerinde ve boşlukta şekillerin çevrilmesini içeren etkinliklerle baş başa bırakılması gerekmektedir (Kennedy, 1980, s.431).
Van Hiele Geometrik düşünme modeli Dina van Hiele Geldolf ve eşi Pierre Marie van Hiele’nin Utrecht Üniversitesinde aynı zamanda tamamladıkları (1957) doktora çalışmalarının bir ürünüdür. Hiele’ler Hollandalı matematik öğretmenleridir. Dina doktora tezini tamamladıktan hemen sonra öldüğü için eşi Pierre kuramı geliştirmiştir.
Van Hiele’nin en iyi bilinen kitabı ‘Structure and Insight’ isimli kitabıdır. Bu kitap teorinin ayrıntılarını sunmaktadır. Van Hiele çalışmasında teorinin yapısı ve teorinin dayandığı geometrik düşünme seviyeleri arasındaki ilişkiyi gözler önüne sermektedir. Matematik eğitiminde olgunluk ve dikkatin pedagojik durumunu tartışmaktadır. Bu çalışma yalnızca geometriyle sınırlı değildir. Bunun yanında aritmetik ve cebire kadar da uzanmaktadır (Golinskaia, 1997).
Van Hiele’nin geometrik düşünme modeli uzamsal düşünmenin beş hiyerarşik sınıfa ayrılmasını esas alır. Sınıfların her biri bir düzey belirtir ve geometri kavramlarında işe koşulan düşünme süreçlerini tanımlar. Her düzey, geometri kavramlarından hangilerinin ve ne kadarının kazanıldığını değil, insanların
geometrideki kavramlar üzerinde nasıl düşündüklerini ve bu düşüncelerin tiplerini belirtir. Bu düzeyler hiyerarşiktir. Bir düzeyde olabilmek için önceki düzeylerden geçilmesi gerekmektedir. Düzeyler zihinsel gelişimle ilgilidir, sadece yaşa veya zihinsel gelişim stratejilerine bağlı değildir. Bir ilköğretim öğrencisi ile lise öğrencisi aynı düzeyde olabilir. Bu düzeylerdeki geçiş öğretim konusuna, öğretim niteliğine ve öğrencilerin tecrübelerine bağlıdır. Öğrencileri keşfetmeye, eleştirici düşünmeye tartışmaya bir sonraki düzeydeki gelişimini ve sonraki düzeylere hızlı bir geçişi sağlamaktadır. Öğrencinin halen bulunduğu düzeye ve geometri konusuna uygun olmayan bir yaklaşım öğrenmenin gerçekleşmemesine sebep olur (Van de Walle, 2004, s.348).
Piaget’in teorisiyle van Hiele’nin teorisi arasında büyük farklılıklar vardır. Piaget’in araştırmaları gelişim psikolojisiyle ilgilidir. Geometrik düşüncenin gelişimle ilerleyeceğini vurgulamaktadır. Van Hiele ise geometrik düşünmenin öğrenme sürecindeki ilerlemesini tartışmaktadır. Piaget’in kavram gelişimi için ortaya koyduğu evreler geometrik düşünce içerisindeki öğrenme sürecini açıkça anlatmamaktadır ( Van Hiele, 1986, s.101).
Piaget’in yaptığı çalışmaların özellikle uzamsal düşüncenin gelişimi konusunda büyük katkıları olmuştur. Fakat Lesh ve Mierkiewich (1978) Piaget’in yaptığı çalışmaların farklı metotlar uygulandığında farklı sonuçlar verdiğini vurgulamaktadırlar. Piaget uzamsal düşünmenin iki yaş civarında oluşmaya başladığını ve yedi yaş civarında mükemmel bir duruma geldiğini belirtmektedir. Ancak Lesh ve Mierkiewich (1978) elli altmış günlük bebeklerin firizbiden dörtgeni ayırt edebildiklerini aktarırken Piaget yalnızca beş buçuk altı yaşlarında bu davranışın geliştiğini ifade etmektedir (Dicksonve diğerleri, 1984, s.15).
Her matematiksel kavram ya da işlem gibi geometrik düşünce de belli evrelerden geçmektedir. Van Hiele (1986) yaptığı araştırmalar sonucunda çocukta geometrik düşüncenin gelişiminin beş evreden geçtiğini belirtmektedir. Bunlar görsel dönem, analitik dönem, informal tümdengelim (yaşantıya bağlı çıkarım), formal tümdengelim (çıkarım) ve en ileri dönemdir.
20
Seviye 1, Görsel Dönem: Birinci seviyedeki bir öğrenci geometrik şekilleri bir bütün olarak tanır. Bu öğrenci şekilleri görünüşleri itibariyle belirler, isimlendirir, karşılaştırır. Örneğin bu bir dikdörtgendir çünkü kapıya, pencereye benziyor gibi açıklamalar yapabilir. Öğrencinin geometrik şekillerin özel parçaları ve özellikleri hakkında fikir yürütmesi henüz mümkün değildir. Bu nedenle bu seviyedeki bir öğrenciye karenin açılarının dik olduğu ya da kenarlarının eşit olduğu gibi bilgilerin verilmesi doğru değildir. Bu seviyedeki bir öğrenci bir grup geometrik nesne içerisinden benzer olan şekil ve cisimleri bulabileceği etkinliklere yönlendirilmelidir. Dönemin sonuna doğru şekillerin özellikleriyle ilgili etkinlikler yapılabilir.
Öğrenciler adlandırırlar, kıyaslarlar ve geometrik şekillerin görünümüne göre düşünürler.
Seviye 2, Analitik Dönem: Geometrik düşüncenin ikinci seviyesindeki bir öğrenci şekilleri parçaları ve özellikleri yönünden karşılaştırır ve açıklar. Şeklin özelliklerini kullanarak şekli betimler. Bu seviyedeki bir öğrenci şeklin özelliklerini çeşitli etkinlikler yardımıyla keşfeder. Öğrencinin bir üst düzeye geçişi için öğrencinin geometrik şekiller hakkında topladığı verileri bir tablo halinde düzenlemesi ve tablodan çıkarımlarda bulunması yararlı olmaktadır.
Öğrenciler figürleri, onların parçalarını ve parçalar arasındaki ilişkileri analiz ederler. Şekillerin sınıflandırılmasını ve kurallarını ve şekillerin özelliklerini keşfederler.
Seviye 3, Yaşantıya Bağlı Çıkarım: Üçüncü seviyedeki bir öğrenci şekiller arası ve şekillerin özellikleri arası ilişkileri tanımların rolünü anlayabilir. Şekilleri özelliklerine göre gruplandırabilir. Öğrenci dikdörtgenin özel bir paralelkenar olduğunu söyleyebilir.
Öğrenciler mantıksal olarak önceden keşfettikleri özellikleri ve kuralları kullanarak iç ilişkiler kurarlar.
Seviye 4, Çıkarım: Dördüncü seviyedeki bir öğrenci aksiyom, teorem ve tanımlara dayalı olarak yapılan bir ispatın anlam ve önemini kavrayabilir. Daha önce kanıtlanmış teoremlerden ve aksiyomlardan yararlanarak tümdengelim yardımıyla başka teoremleri ispatlar.
Öğrenciler teoremler ve teoremlerin bağlantıları arasında ilişkiler kurarlar. Teoremleri tartışarak kanıtlarlar.
Seviye 5, En ileri Dönem: Bu seviyedeki bir kişi değişik aksiyomatik sistemler arasındaki farkları anlayarak bu sistemler içerisinde teoremler ortaya atar, Bu sistemleri analiz eder ve bu sistemler arasında karşılaştırmalar yapar.
Öğrenciler farklı ön gerçek sistemlerde teoremler kurarlar ve bu sistemleri kıyaslayıp analiz ederler (Olkun ve Toluk, 2004, s.174-176: Hoffer, 1981: NCTM,
1988: van Hiele, 1986). D C B A A açısı = B açısı = C açısı = D açısı =
Seviye 0: Öğrenciler paralel kenarın açılarını ölçebilirler.
Seviye 1: Öğrenciler paralelkenarın karşıt açılarının eşit olduğunu fark ederler.
3
2
1 Seviye 2: Öğrenciler gördüklerine dayanarak
kendilerine has ifadelerle karşılıklı açıların eşit olduğunu gösterirler.
22
Van Hiele (1959) seviyelerin, düşünülen nesnelerin farklılıklarıyla belirlendiğini vurgulamaktadır. Örneğin seviye 0’da düşünülen şeyin geometrik figürler olduğunu, seviye 1’de öğrencilerin belirli nesneler üzerinde çalıştığını, figürleri adlandırıp sınıflandırdıklarını ve böylece özellikleri keşfettiklerini, seviye 2’de ise özelliklerin ötesinde bu özellikler arası ilişkiler üzerinde yoğunlaştıklarını belirtmektedir. Yine her seviyenin kendine has bir dili ve etkinlikleri bulunmaktadır. (NCTM, 1988). Van Hiele tarafından ortaya konulan geometrik düşünme seviyelerinin eğitimciler tarafından iyi bilinmesi gerektiği ve geometri derslerinde kullanabilecekleri etkinliklerde bu seviyelerin özelliklerini göz önünde bulundurmaları gerektiği söylenebilir.
Van Hiele (1986, s. 50)’ye göre bir seviyeden diğerine ilerlemenin doğal bir süreç olmadığını, bu ilerlemenin uygulanan öğrenme öğretme programının etkisi altında gerçekleştiğini vurgulamaktadır. Her yeni seviyenin yeni dili öğrenilmeden ilerlemenin mümkün olmadığını, öğrencilere görseller kullanılarak rehberlik edildiğinde onların geometrik ilişkileri sezgileriyle fark edeceklerini belirtmektedir. Öyleyse geometri derslerinde kullanılacak etkinlikler belirlenirken van Hiele tarafından ortaya konulan geometrik düşünme seviyelerinin dikkate alınması gerektiği söylenebilir.
1.6. Van Hiele’nin Geometrik Düşünme Seviyelerine Uygun Kullanılabilecek Etkinlikler
Van Hiele Teorisi, öğretime öğrencilerin sahip oldukları düşünme seviyesinden başlama gerekliliğinin altını çizmektedir. Fakat her etkinlik iki düşünme seviyesinin karışımı olarak düzenlenebilir. Birçok etkinlik için öğrencilerle birebir etkileşim içine girmemiz etkinliği onların seviyesine uyarlamakta ve onları bir sonraki seviyede çalışmaları için cesaretlendirip çaba göstermelerine yol açmaktadır.
Geometri öğretirken ilk üç seviyenin her biri için uygun olan soru sorma ve etkinlik çeşidinin nasıl olacağını bilmek gerekmektedir. Her seviyede fiziksel materyaller, çizimler ve bilgisayar modelleri kullanmak gerekmektedir. İlköğretimin
ilk kademesinde sırasıyla 0, 1 ve 2 düzeyindeki düşünme seviyelerini geliştirmek ve bu yönde etkinlikler yapmak çok önemlidir. Bu nedenle araştırmada bu üç düzeye ilişkin öğretim üzerinde durulmuştur.
1.6.1. Sıfır (0) Seviyede Öğretim
0. seviye için geometride uygun öğretim etkinlikleri:
• Bu seviye birçok çeşit ve sınıflama içermelidir. 0. seviyenin en önemli özelliği, şekillerin nasıl birbirine benzedikleri ve nasıl birbirinden farklı olduklarını görmektir. Öğrenciler daha çok içerik öğrendiklerinden fark ettikleri şeylerin çeşitleri daha karmaşık hale gelmektedir. İlk zamanlarda öğrenciler “şişman” ya da parçaların renkleri gibi şekillerin pek geometrik olmayan nitelikleri hakkında konuşabilmektedirler. Öğrencilere simetri ve kenar sayısı gibi özellikler tanıtıldığında, şekilleri sınıflamak üzere bu özellikleri kullanmaları için fırsat verilmelidir.
• Yeterli çeşitlilikte şekil örnekleri göstermek gerekmektedir. Böylece ilgisiz özellikler önemli hale gelmeyecektir. Öğrencilerin iki ve üç boyutlu şekillerle çizmek, inşa etmek, yapmak, bir araya getirmek ve parça çıkarmak için yeteri kadar fırsata ihtiyacı vardır. Bu etkinliklerin belirli özellikler etrafında yapılması gerekmektedir. Bu şekilde öğrenciler, geometrik özellikler hakkında anlayışlarını geliştirir ve doğal olarak bunları kullanmaya başlar.
Öğrencilere, 0. seviyeden 1. seviyeye geçmelerine yardım etmek ve özel bir kategorideki örneklerin çeşidini içeren şekiller hakkındaki düşüncelerini test etmek için fırsatlar verilmelidir. Onlara, “Haydi bunun diğer dikdörtgenler için doğru olup olmadığını görelim” deyip veya “Bir dik açıya sahip olmayan üçgen çizebilir misiniz?” diye sorulmalıdır. Genelde öğrencilere belirli bir şekil için yaptıkları gözlemlerin buna benzer diğer şekillere uygulanıp uygulanılmayacağını görmeleri için imkân verilmelidir.
24
1.6.2. Birinci Seviyede Öğretim
1. seviye için uygun geometri etkinlikleri:
• Basit tanımlamalardan ziyade şekillerin özellikleri üzerine yoğunlaşmak gerekmektedir. Çünkü geometrik kavramlar, öğrenildiği sürece bu şekillerin özelliklerinin sayısı artabilir.
• Kavramlar bireysel modellerden ziyade şekillerin bütün sınıflarına (bütün dikdörtgenler, bütün prizmalar gibi) uygulanmalıdır. Yeni özellikler bulmak için şekillerin sınıflaması analiz edilmelidir. Örneğin, “Mümkün olan bütün üçgenleri gruplara ayırmak için yollar bulun. Bu gruplardan, üçgenlerin çeşitlerini tanımlayın” gibi yönergelerle etkinlikler yönlendirilmelidir.
Öğrencilere 1. seviyeden 2. seviyeye geçmelerine yardım etmek için “Niçin” gibi mantık içeren sorular sorulmalı, Örneğin, “Eğer dört kenarlı bir şeklin bütün kenarları eş ise her zaman kare mi elde edersin?” ve “Bunun tersi bir örnek bulabilir misin?” diye öğrenciler yönlendirilmelidir.
1.6.3. İkinci Seviyede Öğretim
2. seviye için uygun geometri etkinlikleri:
• Öğrenciler hipotezler veya kabuller yapmak ve bunları test etmek için cesaretlendirmelidir. “Her zaman işe yarayacağını düşünüyor musun?” “Bu bütün üçgenler için mi yoksa sadece eşkenar üçgen için mi geçerli?” gibi sorular örnek olabilir.
• Farklı şekiller ve kavramlar için gerekli ve yeterli koşulları belirlemek üzere şekillerin özellikleri test edilmelidir. Tümevarım dilini kullanmak gerekmektedir: hepsi, bazıları, hiçbiri, eğer….ise, ya……ise v.b. ifadeler tümevarım diline örnek ifadelerdir.
• Sezgisel ispatlar yapmak için öğrencileri cesaretlendirmelidir. Buna alternatif olarak diğer öğrencilerin önerdiği veya öğretmenlerin önerdiği sezgisel ispatların anlamlandırılmasını istemek gerekmektedir (Van De Walle, 2004).
Hiele geometrik düşünme seviyeleri, ilköğretim birinci kademe öğrencilerinin gelişim özellikleri ve bu araştırmanın amacına uygun olarak ilk üç seviye etkinliklerine yer verilmiştir.
Van Hiele (1984) geometrik düşünce seviyelerine farklı bakış açılarından yaklaşmaktadır. Van Hiele tarafından ortaya konulan geometrik düşünme seviyeleri tek boyut üzerinde düşünülmemiş geometriyle ilişkili diğer disiplinlerle ilişkilendirilmiştir. Geometri matematik, mantık, yapı, düşünmeyi içeren bu disiplinler farklı seviyelere yerleştirilebilir. Van Hiele’nin tanımlamasının özeti Tablo 1’de verilmiştir (Akt:Golinskaia, 1997).
Tablo 1.1: Geometri ve Farklı Disiplinler
Disiplin Seviye 0 Seviye 1 Seviye2 Seviye 3 Seviye 4 Geometriye yöneliş Geometrinin özü Geometriyi anlama Geometri konularının teorilerine doğru bilimsel anlayış Matematik Matematiğe yöneliş Matematiğin özü Matematiği anlama Mantık Mantığa yöneliş Mantığın özü Yapı Farklılaşmamış yapılar Görsel geometrik yapı Geometrinin yapısı Prensiplerin organize edilmesi Düşünme Uzamsal düşünme Geometrik uzamsal düşünme Matematiksel geometrik düşünme Geometrik figürler Teoremler
Bu tablo Golinskaia (1997)’nın çalışmasından uyarlanmıştır.
Golinskaia (1997)’nın çalışmasında yer verdiği tablo geometri, matematik, mantık, yapı ve düşünme kavramaları arasındaki ilişkiyi ortaya koymaktadır. Van Hiele tarafından ortaya koyulan düşünme seviyeleri, sıralanan bu her bir kavramı hiyerarşik yapıda sunmaktadır. Tablo incelendiğinde 2. seviyede düşünen bir öğrencinin geometrinin özünü kavrarken aynı zamanda geometrinin yapısı hakkında
26
da düşünmeye başladığı söylenebilir. Aynı dönemde öğrencilerde matematiğe yöneliş ve matematiksel olarak geometrik düşünme becerileri edindikleri gözlenebilir.
1.7. Van Hiele Seviyelerinin Karakteristiği
Geometrik düşünme seviyeleri, her seviyenin kendisinden önce gelen seviyenin özellikleri tarafından karakterize edilebilir. Bunlar:
1.7.1. İlk seviyelerin asıl elementlerinin sonraki seviyelerde olması Seviyelerin her biri önceki seviyelerin iç düzenlemesiyle meşguldür. Örneğin seviye 0’da geometrik şekiller karakterize edilir fakat iç düzenleme yoktur. Seviye 1’de öğrenciler açıkça şekillerin özellikleriyle çalışır. Seviye 1’in iç düzenlemesi seviye 2’de dış düzenlemeye dönüşür ki o zaman öğrenciler özellikler arasında ilişkilendirmeler yaparlar.
1.7.2. Hiyerarşi
Öğrenciler hiyerarşik yolla düşünmenin farklı seviyelerine geçerler. Her bir seviyedeki düşünmede önceki seviyelerin düşünmesi gereklidir. Öyle ki öğrenciler seviye 1’e seviye 0, seviye 2’ye de seviye 1 olmadan ulaşamazlar.
1.7.3.Yarıda Bırakılma
Düşünme seviyeleri yarıda kalır. Yüksek seviyeler için öğrencilerin getirdiği öğrenmelerin sürecinde atlama vardır. Bu atlama düşük seviyelerdeki öğrenmelerin süreç özelliklerine uygun olarak tamamlanamamasından kaynaklanmaktadır. Van Hiele bu süreci düşünme krizi olarak tanımlar.
1.7.4. Dil
Her seviyenin kendi dili ve sembolü gereklidir. Örneğin özellikler ve karakteristikler birinci seviyenin kelimeleridir. Tanımlama ikinci seviyenin, aksiyom ise üçüncü seviyenin kelimeleridir.
1.7.5. Seviyelerin Yetersizliği
Öğrenciler seviyelerinin üzerindeki problemleri çözemez ya da sunumları izleyemezler. Bu öğretmen ve öğrenciler arasındaki anlama hatalarından kaynaklanmaktadır. Öğrenciler öğretmenlerin sunumlarında kullandığı yüksek seviye ve dile sahip değillerdir.
1.7.6. Eğitimin Rolü
Her birey yüksek seviyelere ulaşamayabilir. Bu süreçte eğitim kurucu rol oynar. Bir seviyeden diğerine hareket doğal süreçte gerçekleşmeyebilir. Bu durum öğrenme öğretme programlarının etkisi altında gerçekleşir. Belirli yollarla sunumlar organize edildikten sonra yüksek seviyelere geçiş yavaş ya da hızlı olabilir (Golinskaia, 1997).
Van Hiele’ye göre geometrik fikirlerin öğrenilmesinde zincirleme bir geçiş vardır. Dolayısıyla öğrenciler farklı kavramlar için farklı seviyelerde olabilirler. Van Hiele’nin bu görüşünü eğitim araştırmaları da desteklemektedir. Bu konuda van Hiele (1986) geometrik figürlerin benzerliklerini örnekleyerek çizmek için görsel prototipler kullanılabileceğini önermektedir. Öyle ki kare ya da üçgenin özellikleri öğrencilere sorulduğunda akıllarında tutabilirler, kolayca adlandırabilir, yeniden üretebilirler (Burger ve Shaughnessy,1986; Teppo, 1991).
National Council of Teachers of Mathematics’e göre çocuklar şekillerin özelliklerini tanımlamak için cesaretlendirilmelidir ve aynı zamanda öğretmenler sunumlarında doğru matematik dili kullanmalıdır. Bu çocuklarda yanlış kavramsal yapıların oluşmamasında önemli bir etkiye sahiptir. Çocuklar örnek ve örnek olmayan şekilleri kullanarak şekillerin özelliklerini gösterebilmelidir. 3 ve 5. sınıf çocuklarında şekilleri tanımlamak ve adlandırmak için daha çok yol kullanılmalıdır. Şekillerin özelliklerini tanımlamak ve adlandırmak için özel kelimeler, şekiller, şekillerin özellikleriyle ilgili öğrenme yaşantılarına odaklanılmalıdır (NCTM 2000, s. 165). Çocuklar tahmin yapmaya, şekilleri sınıflandırmaya ve bunun sebeplerini bulmak için cesaretlendirilmelidir.
28
NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) öğretmenlerin iyi hazırlanmış etkinlikler ve uygun araç gereçlerle derslerini zenginleştirmeleri gerektiğini vurgulamaktadır. Öğrenciler geometri hakkında okulun ilk yıllarında tahmin yapabilip öğrendiği geometrik fikirleri dikkatlice kullanabilmesi, öğrencilerin geometrik kavramlarla kavramsal bilgileri arasında aktif olarak bağ kurabilmeleri için öğretmenlerin zengin etkinlikler oluşturması gerektiği, ayrıca öğrenme durumlarının görsellerle desteklenip, öğrencilerin sahip oldukları geometrik düşüncelerini birbirleriyle paylaşabilmelerinin önemli olduğunu vurgulamaktadır.
1.8. Matematik Programı ve Geometri
Hâlihazırda uygulanan İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı matematikle ilgili kavramları, kavramların kendi aralarındaki ilişkileri, işlemlerin altında yatan anlamı ve işlem becerilerinin kazandırılmasını vurgulamaktadır. Programın odağında kavram ve ilişkilerin oluşturduğu öğrenme alanları bulunmaktadır. Kavramsal yaklaşım, matematikle ilgili bilgilerin kavramsal temellerinin oluşturulmasına daha çok zaman ayırmayı, böylece kavramsal ve işlemsel bilgiyle beceriler arasında ilişkiler kurmayı gerektirmektedir. Benimsenen yaklaşımla öğrencilerin somut deneyimlerinden, sezgilerinden matematiksel anlamları oluşturmalarına ve soyutlama yapabilmelerine yardımcı olma amaçlanmıştır. Bu yaklaşımla, matematiksel kavramların geliştirilmesinin yanı sıra bazı önemli becerilerin geliştirilmesi de hedeflenmiştir. Öğrenciler etkin şekilde matematik yaparken problem çözmeyi, çözümlerini ve düşüncelerini paylaşmayı, açıklamayı ve savunmayı, matematiği hem kendi içinde hem de başka alanlarla ilişkilendirmeyi ve zengin matematiksel kavramları öğrenirler (İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, 2007).
İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı (2007) içerisinde geometri konuları çocuğun yaşadığı, görebileceği yakın çevreden ve algılayabileceği düzeyde ele alınması gerektiği ilkesinden yola çıkarak belirlenmiştir. Programda ilköğretimin ilk üç sınıfında somut nesnelerle incelenen geometrik kavram, özellik ve ilişkilerin geometri terminolojisi kullanılarak ele alınması gerektiği belirtilmiştir. Yine ilköğretimin 3, 4 ve 5. sınıflarında her yeni incelenen kavramın başlangıçta somut ve
