FONKSİYONLARIN LİMİTİ 02

DİZİLER YARDIMIYLA LİMİT

Tanım: olmak üzere, fonksiyonu verilmiş olsun. Terimleri A kümesinin elemanı olan bir dizisi için

dizisine; dizisinin f fonksiyonuna göre görüntü dizisi denir. dizisi için, görüntü dizisi; dir.

R

A



f

:

A



R

) (x_n

₍

_f(x

_n

₎₎

) (x_n

,....)

x

,....,

x

,

x

,

x

(

)

(x

_n



_{1 2 3 n}

(

f(x

n

))

),....)

f(x

),...

f(x

),

f(x

),

f(x

(

))

f(x

(

_n



_{1 2 3 n}

Görüntüler Dizisi

bitir

ÖRNEK

dizisi ve f(x)=2x+3 fonksiyonu veriliyor:

a) dizisinin limitini bulalım. b) görüntüler dizisini bulalım.

c) görüntüler dizisinin limitini bulalım.











 



n

1

1

)

(x

_n ) (x_{n (limn(xn ))} )) f(x ( _n )) f(x ( _n )) (x lim ( _{n n} bitir

ÇÖZÜM a) dir. b) bulunur. c) bulunur.

1

n

1

1

lim

)

(x

lim

_{n n n}

_











 



_  











 



























 







n

2

5

3

n

1

1

2

)

3

)

(x

2

(

))

f(x

(

_{n n}

5

n

2

5

lim

))

f(x

(

lim

_{n n n}

_











 



_   bitir

BİR FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Tanım: olmak üzere, ya da fonksiyonu verilmiş olsun.

Terimleri kümesinde bulunan ve a’ya yakınsayan her dizisi için, dizileri bir L sayısına yakınsıyorsa; x, a’ya giderken f(x)’in limiti L’dir, denir ve biçiminde gösterilir.

Limitin Olmaması:

Terimleri kümesine ait ve a’ya yakınsayan en az iki ve dizileri için ise için f fonksiyonunu limiti yoktur.

R

L

R,

a

R,

A







f

:

A



R

 

a

R

-A

:

f



A

-

 

a

) (x_n )) f(x ( _n

L

f(x)

lim

(

_xa



 

a

-A

(x_n)

)

(x

,_n

₍

_lim

_f(x

₎

₍

_lim

_f(x

,

₎

n n



x  a bitir

ÖRNEK fonksiyonunun için limitini bulalım.

4

-3x

f(x)

R,

R

:

f





x



1

bitir

ÇÖZÜM

Terimleri 1’den farklı ve 1’e yakınsayan iki dizi seçelim.

dizilerinin f fonksiyonu ile elde

edilen görüntü dizilerinin limitlerini alalım.

O halde, limiti 1 olan her dizisi için,











 













 



n

1

1

)

(x

,

n

1

1

)

(x

_n ,_n

1

4

n

1

1

3

))

f(x

(

,

1

4

n

1

1

3

))

f(x

(

_n ,_n

_















_











 



















_











 



) (x_n

1

4

3

)

4

x

3

(

))

f(x

(

_n



_n











bitir

EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT

Tanım: bir fonksiyon

olmak üzere önermesine uyan a bağlı varsa x, a’ya yakınsarken f’nin limiti L’dir denir ve biçiminde yazılır. Tanımı aşağıdaki şekiller üzerinde inceleyiniz.

R

A

:

f

R,

A





_a

_

_R,

_L

_

_R,

_

_

_

_R













f(x)

-

L

a

-x



   R

L

f(x)

lim

(

_xa



f(x) f(x) _f(x) y=f(x) f(x) f(x) f(x) y=f(x) y=f(x)   L   L   L   L   L   L L _L L  -a a a  a- a a  a- a a  f(a) 0 0 0 x x x x x x bitir

ÖRNEK

fonksiyonu veriliyor. olduğunu epsilon tekniği ile gösterelim.

1

-2x

f(x)

,

R

R

:

f





3

f(x)

lim

_x2



bitir

ÇÖZÜM

için önermesine uyan bulmalıyız.   2 -X

0







X

-

2







f

 

x



3





0



















x

-

2





2x

-

4

2

-2











2

x

-

1

-

3

2

2













f(x)

-

3

2

-2







 

x

3

2



f







O halde alınabilir. İçin, olduğundan tanıma göre 2 olur.

   _{  0 0} 2  





3

f(x)

lim

_x2



bitir

SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT

ya da şeklinde tanımlı f fonksiyonunda:

Tanım1: x değerleri a dan küçük değerlerle artarak(soldan)a ya yaklaşırken,f(x) ler de bir reel sayısına,f fonksiyonunun a noktasındaki soldan limiti denir ve

biçiminde gösterilir.

Tanım2:x değerleri a dan büyük değerlerle azalarak (sağdan) a ya yaklaşırken f(x) ler de bir reel sayısına yaklaşıyorsa; reel sayısına,f fonksiyonunun a noktasındaki sağdan limiti

denir ve . biçiminde gösterilir.

1. yazılışı x lerin a ya soldan yaklaştığını gösterir.yani daima x<a dır.

2. yazılışı x lerin a ya sağdan yaklaştığını gösterir.yani daima x>a dır. R R : f 

_f

_:

_R

_-

 

_a

_

_R

1

L

1 -a x

f(x)

L

lim

_



2

L

2

L

lim

_xa



-a

X





 a

x

bitir

Şekildeki grafiklerde , x in a ya soldan ve sağdan yaklaşması durumunda soldan ve sağdan limitleri görülmektedir.

1 L 2 L

a

_a

y y X _X Sonuçlar: ve için; 1. ise, dir. 2. ise yoktur. 1 -a x

f(x)

L

lim

_



lim

_xa



L

₂

R

L

L

L

₁



₂





2

L



1

L

L

f(x)

lim

_xa



f(x)

lim

_xa bitir

Aralığının uç noktalarındaki limiti

fonksiyonunun tanım aralığının uç noktalarındaki limiti araştırılırken:

1.a noktasındaki limit sadece sağdan limitle belirlenir.

2.b noktasındaki limit, sadece soldan limitle belirlenir.

 

a

,

b

R

,

y

f

 

x

:

f





 

x

lim

f

 

x

P

f

 

a

f

lim

_xa



_xa





 

x

lim

f

 

x

K

f

 

b

f

lim

_xb



_xb





x y y 0 a b K=f(b) P=f(a) y=f(x) bitir

fonksiyonunun tanım aralığının uç noktalarındaki limiti araştırılırken:

1.a noktasındaki limit,sadece sağdan limitle belirlenir.

dir.f(a) tanımsızdır.

2.b noktasındaki limit sadece soldan limitle belirlenir.

dir. f(b) tanımsızdır.

 

a

,

b

R

,

y

f

 

x

:

f





 

x

lim

f

 

x

P

f

lim

_xa



_xa



 

x

lim

f

 

x

K

f

lim

_xb



_xb



x y y 0 a b K P y=f(x) bitir

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ

PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ

 

 

_{ }

      a x , x h a x , x g x f ise

ise fonksiyonu verilsin.

Kritik nokta dışında limit sorulursa o noktadaki fonksiyon dalı belirlenir.o dalın durumuna göre çalışma yapılır.

Kritik noktada,yani koşuldaki değerinde limit sorulursa,soldan ve sağdan limit incelenir.

a

x



 

 

 

 

_              2 a x a x 1 a x a x L x h lim x f lim L x g lim x f lim 1

L

ve

_L

₂ ye göre cevaplama yapılır.

a

x

₁



a x₂ 

 

x

lim

g

 

x

f

lim

1 1 x x x x





 

x

lim

h

 

x

f

lim

2 2 x x x x



 için için bitir

ÖRNEK:

 

1

R

R

:

f





 

         1 x , 1 x 1 x , 1 x x f ise ise fonksiyonunun

x



1

,

x



2

ve

x





2

noktalarındaki limiti bulalım.

ÇÖZÜM:

 





 





_                 0 1 x lim x f lim 0 1 x lim x f lim 1 x 1 x 1 x 1 x   

 





 





_                    3 1 x lim x f lim 3 1 x lim x f lim 2 x 2 x 2 x 2 x

 





 





_                1 1 x lim x f lim 1 1 x lim x f lim 2 x 2 x 2 x 2 x

 

x 0 f lim_x1 

 

x 3 f lim_x2 

 

x 1 f lim_x2  olduğundan olduğundan olduğundan dır. tür. dir. bitir

MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN LİMİTİ

 

x f lim , R R : f  _xa

a

x





f

 

a  0



 



f

a



0



 

x

f

 

a

f

lim

_xa



in bulunuşunda:

noktası kritik nokta ise, soldan ve sağdan limit incelenmelidir.

Limit sorulan nokta kritik nokta değilse, limit değeri ile görüntü olacağından

dır.

ÖRNEK:





 

x

2

4

x

x

f

,

R

2

,

2

R

:

f

2













2

x

,

0

x

,

2

x









. fonksiyonunun; ve

_x



₄

_{noktalarında limitinin} olup olmadığını araştıralım.

f(X) fonksiyonunu tablo yardımıyla parçalı fonksiyon şeklinde yazalım. ÇÖZÜM: x 4 x2 _ x

 

x f + + + + - -2 2 4 2     x x x 2 x x 2 x 4 2      2 x x 2 x 4 2      _{x 2} x 2 4 x2      -2 0 2  

_

_

 

                      2 x , 2 x 2 x 0 , 2 x 0 x 2 , 2 x 2 x , 2 x x f ise ise ise ise bitir

b.

 





 





_





















       

2

2

x

lim

x

f

lim

2

2

x

lim

x

f

lim

0 x 0 x 0 x 0 x

 

2 x f lim_x0  _dir. c.

 





 





 



  _            4 2 x lim x f lim 4 2 x lim x f lim 2 x 2 x 2 x 2 x

_lim

_f

 

_x

2 x yoktur.

 

6 2 12 4 f x 2 4 x lim 2 4 x _   _    d. _bulunur. a.

 





 





_                      4 2 x lim x f lim 4 2 x lim x f lim 2 x 2 x 2 x 2 x

 

x

f

lim

_x2 yoktur. bitir

İŞARET (sgn) FONKSİYONUNUN LİMİTİ

 

x

f

sgn

lim

,

R

R

:

f



_xa

a

x



f

 

a  0

 

₁ a x

sgn

f

x

L

lim

_ 



lim

_xa

sgn

f

 

x



L

₂ 2 1

L

L



_lim

_xa

_sgn

_f

 

_x



_L

₁



_L

₂ 2 1

L

L



lim

_xa

sgn

f

 

x

 



f a  0



 

x

sgn

f

 

a

f

sgn

lim

_xa



nın bulunuşunda:

1. noktası kritik nokta ise, bu noktalarda soldan ve sağdan limit incelenmelidir.

ve olsun

Eğer _{ise dir.}

Eğer ise yoktur.

2. Limiti sorulan nokta kritik nokta değilse

Limit değeri ile görüntü değeri eşit olacağından, dır.

ÖRNEK:

 

sgn



3



,

:

R



R

f

x



x



f

fonksiyonunun,

x



3

noktalarındaki limitinin olup olmadığını araştıralım.

 

 

 

 

_              1 1 lim x f lim 1 1 lim x f lim 3 x 3 x 3 x 3 x

 

1

x

f

lim

_x3



ÇÖZÜM: olduğundan, 1 0 y x 1 2 3 -1 bitir

TAM KISIM FONKSİYONUN LİMİTİ

 

x

f

lim

,

R

R

:

f



_xa

a

x



f

 

a



Z

0

h







h a x  

_h

_

₀

 

_{h 0}





₁ a x

f

x

lim

f

a

h

L

lim

_ 



_





h a x  

 

_{h 0}





₂ a x

f

x

lim

f

a

h

L

lim

_ 



_





 

x

f

lim

L

L

₁



₂



_xa

 

x

L

f

lim

L

L

L

₁



₂





_xa



ın bulunuşunda:

için ise, soldan ve sağdan limit incelenir. Soldan limit incelenirken,yani olmak üzere,

yazabiliriz.Sonra için limitini alabiliriz.

Sağdan limit incelenirken olduğundan,yani olmak üzere yazabiliriz.

a

x



h







0

0

h



Sonra için limitini alabiliriz.

Eğer dir.

Eğer _dir.

ÖRNEK:

 

x

2

x

1

f





2

1

x



5

3

x



fonksiyonunun ve

noktalarında limitlerinin olup olmadığını inceleyelim.

bitir

 

a Z f 

 

x f

 

a f lim_xa 

a

x



dir.

için ise, limit değeri ile görüntü değeri eşit olacağından;

ÇÖZÜM: 2 1 x  1 0 Z 2 1 1 x 2           2 1 x 

_h







₀

h 2 1 x  

h



0

 

h 1 lim



1 2h 1



0 1 1 2 1 2 lim x f lim _{h 0 h 0} 2 1 x                       _{ }        

 

h 1 lim



1 2h 1



1 1 0 2 1 2 lim x f lim _{h 0 h 0} 2 1 x                      _{ }        

için, olduğundan fonksiyonun soldan ve sağdan limitini inceleyelim.

Soldan limit incelerken, olduğundan, yani

olmak üzere yazalım ve için limitini alalım.

Sağdan limit incelenirken,

2 1 x 

h







0

h 2 1 x  

_h



₀

olduğundan, yani

Olmak üzere, yazalım ve için limitini alalım.

a.

Z 5 1 1 5 3 2 1 x 2 _          

 

1 1 1 0 5 6 1 5 3 2 5 3 f x f lim 5 3 x                     b.

5

3

x



için, olduğundan, limit

değeri ile görüntü değeri eşit olur. O halde,

bitir

noktasında soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan; yoktur. 2 1 x 

 

x

f

lim

2 1 x

Aynı şekilde bir fonksiyon olsun. Terimleri aralığında bulunan ve a

ıraksayan her dizisi için ise; için, f nin limiti K dır, denir ve biçiminde gösterilir. SONSUZ İÇİN LİMİT

 



f x



K lim_{n n} 

 

x K f lim_n 

 

x_n

aralığında bulunan ve a ıraksayan her dizisi için, ise; için, f nin limiti L dir, denir ve biçiminde

gösterilir.



x

,



R

:

f

₀





 

x L f lim_n 

 



f x



L lim_{n n} 

x





bir fonksiyon olsun.Terimleri



x

₀

,









 

xn



,

x



R

:

f





₀









,

x

₀







bitir

ÖRNEK:

 

        0 x , 3 0 x , 3 1 x f , R R : f ise

ise fonksiyonu veriliyor.

a.

_lim

_f

 

_x

x b.

lim

_x

f

 

x

ifadelerinin eşitini bulalım.

a.

 

_{xn dizisi için, olsun.}

 

_

_

n

x

lim

 

 

1

0

x

1

lim

x

f

lim

x

f

lim

n n n n x





_

_

















_{ }  

 

 

1

0

x

1

lim

x

f

lim

x

f

lim

n n n n x

























_{ }  

b.

 

xn dizisi için, olsun.

lim

 

x

_n





dır.

dır.

ÇÖZÜM:

ve olmak üzere, ya da fonksiyonu için , terimleri;

kümesine ait ve a sayısına yakınsayan dizisi için, : SONSUZ LİMİT

R

A



a



A

f

:

A



R

 

a

R

A

:

f





_A



 

_a

 

x

_n





xn  0



 



f x_n



 

lim

_xa

f

 

x





 



f x_n



  1. ise,

 







f

x

lim

_{x a} 2. ise, dur. y x a x 0 bitir