y y = f(x) θ α h x = a daki türevi olarak tanımlamıştı. Diğer taraftan

KONU: B. TÜREVİN UYGULAMALARI 1. TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

f (a+h)-f(a)

y y = f(x)

x

a a+h

f (a+h)

f (a)

h θ

α α

B

A

t

n

A ve B noktalarından geçen doğrunun eğiminin

h a f h a

m_AB f( ) ( )

tan + −

=

= θ

olduğu açıktır. h→0 durumunda

h a f h a

f( + )− ( )

oranının limitini f fonksiyonunun x=a daki türevi olarak tanımlamıştı. Diğer taraftan

→0

h durumunda m_AB = tanθ nın limitinin tan olacağı açıktır. α

Özetle; x=ada türevlenebilen bir f fonksiyonunun x=a daki türevinin değeri;

) (x f

y= eğrisinin A

(

a, f(a)

)

noktasındaki teğetinin eğimine eşittir. Kısaca tanα = f ′(a) dır. Buradan y= f(x) eğrisinin ^A

(

^{a, f(a)}

)

noktasındaki teğetinin denklemi;

) ( ) ( )

(a f a x a f

y− = ′ −

ve normalinin denklemi ( f′ a( )≠0 şartıyla )

) ) (

( ) 1

( x a

a a f

f

y −

− ′

=

−

Örnek: y=x² eğrisine, x=2 apsisli noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz.

Normalin denklemini bulunuz.

Örnek: y =sinx eğrisine

a) x= ^π₆ apsisli noktasından çizilen teğet ve normalin denklemini

b) x=^π₂ apsisli noktasından çizilen teğet ve normalin denklemini yazınız.

Örnek: y=³ xeğrisine, x=0 apsisli noktasından çizilen teğeti araştırınız.

NOT: Eğer f , x=ada sürekli ve x→a durumunda f′ )(x →∞ ise y= f(x) eğrisi

(

a, f(a)

)

A noktasında bir düşey teğete sahiptir.

Örnek: y= x2 ² +3 ve

10 47 10

3 2+

= x

y eğrileri kaç derecelik açı altında kesişirler?

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

2 1

1 tan tan 1

tan tan tan

m m

m m

+

= − +

= −

−

=

= +

α α

α θ α

α α θ

α θ α

Örnek: y cos= x ve y sin= x eğrileri kaç derecelik açı altında kesişirler?

2. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI

t zamanı göstermek üzere bir hareketlinin t anındaki konumu s=s(t) ile verilsin. Herhangi bir t anında hareketlinin hızı;

h t s h t t s

v h

) ( ) lim (

)

( 0

−

= +

→

olur ki türevin tanımından

x y

y=g(x) α₁

y=f(x)

α₂ θ

) ( ) (t s t v = ′

elde edilir. Aynı düşünceyle bu hareketlinin herhangi bir t anında ivmesi;

) ) ( ( ) lim (

)

( 0 v t

h t v h t t v

a h + − = ′

= →

dir.

Temel fizikten hatırlayacağınız üzere t=0 anında )s₀ =s(0 konumundan v ilk hızı ₀ ve a sabit ivmesi ile harekete (düzgün doğrusal hareket) başlayan hareketlinin herhangi bir t anındaki konumu;

2 0

0 2

) 1

(t s v t at

s = + +

dir. Gerçekten s=s(t) fonksiyonunun t ye göre birinci mertebeden türevi at

v t

s′()= ₀ +

bu hareketlinin herhangi bir t anındaki hızıdır. )s=s(t nin t ye göre ikinci mertebeden türevi a

t s′′ )( = hareketlinin ivmesidir.

Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir aracın başlangıç noktasına göre t . saniyedeki konumu 10s(t)= t2 ² + (metre) fonksiyonu ile verilmiştir. Aracın 5. saniyedeki hızını ve ivmesini bulunuz.

Örnek: Yerden y metre yükseklikten yukarı doğru (dikey) ₀ v m/s ilk hızı ile fırlatılan bir ₀ cismin herhangi bir t anındaki yerden yüksekliği (g yer çekim ivmesi olmak üzere)

0 0 2

2 ) 1

(t gt v t y

y =− + +

metredir. Bu cismin herhangi bir t anındaki hızını veren v(t) fonksiyonunu bulunuz. v(t) nin ne zaman pozitif ne zaman negatif olduğunu tespit ederek yorumlayınız. Bu cisim en fazla kaç metre yükseğe çıkabilir? Yorumlayınız.

3. FONKSİYONLARIN MONOTONLUĞUNUN, MAKSİMUM – MİNİMUM NOKTALARININ VE KONVEKSLİĞİNİN BELİRLENMESİ

Fonksiyonlar konusunda;

Reel değerli ve reel değişkenli bir f :A→B fonksiyonu verildiğinde

2

1 x

x < olmak üzere tüm x₁,x₂∈A için f(x₁)< f(x₂) ise f fonksiyonu A da artandır demiştik. Ancak bu kriteri kullanmak her zaman kolay olmayabilir. Örneğin bu kriter ile

5 2 ) (x = x+

g fonksiyonunun monotonluğunu incelemek kolaydır, ancak

5 3 ) 1

( ²

+

= + x x x f

fonksiyonu için bu yorucu bir işlem olabilir. Öyleyse çok daha kullanışlı ve güçlü bir kriteri ifade edelim:

Teorem: f fonksiyonu

[ ]

a,b de sürekli ve

( )

a,b nin her bir noktasında türevli olsun.

( )

a b x∈ ,

∀ için f′ x( )>0 ise f fonksiyonu

[ ]

a,b aralığında artan 0

) ( <

f′ x ise f fonksiyonu

[ ]

a,b aralığında azalandır.

Örnek:

5 3 ) 1 (

2

+

= + x x x

f ile tanımlanan f fonksiyonunun monotonluğunu inceleyiniz.

Örnek: f(x)=x² −2x−3 fonksiyonunun artan-azalan olduğu aralıkları bulunuz.

Örnek: f(x)=x³ −12x fonksiyonunun yerel ekstremum noktasını bulunuz.

Fermat Teoremi: Verilen bir ^{f :}

[ ]

^{a,b →R} fonksiyonunun bir c∈

( )

a,b de bir yerel ekstremumu varsa ve f fonksiyonu x= da türevlenebiliyorsa x₀ f′ c( )=0 dır.

Uyarı: Fermat teoreminin karşıtı her zaman doğru değildir. Gerçekten f(x)=x³ ile tanımlı f fonksiyonunu ele alalım. f′(0)=0 olmasına rağmen f fonksiyonu x=0 da bir ekstremum noktasına sahip değildir.

Uyarı: Fermat teoreminin hipotezini iyi anlamak gerekir. Bir fonksiyonun herhangi bir noktada ekstremuma sahip olması, o fonksiyonun o noktadaki birinci mertebeden türevinin varlığını garanti etmez. Örneğin g(x)= x−1 ile tanımlı g fonksiyonu x=1 de bir yerel minimuma sahiptir. Ama f ′(1) yoktur.

Bu iki uyarıyı dikkate alarak bir fonksiyonun ekstremum noktalarını tespit etmek için bir kriter geliştirebiliriz. Reel değerli ve reel değişkenli bir f :A→B fonksiyonunu ele alalım:

1) f′ x( )=0 denkleminin köklerini bulalım; bunlar x₁,x₂,K,x_n olsun. Apsisleri xn

x

x₁, ₂,K, olan noktalara f fonksiyonunun kritik noktaları diyelim. Fermat teoreminin karşıtının doğru olmadığını hatırlayarak şunu söyleyebiliriz: f fonksiyonunun kritik noktaları, ekstremum noktaları olmaya aday noktalardır.

2) Eğer f ′(x); x= de işaret değiştiriyorsa x_i x apsisli nokta f fonksiyonunun bir _i ekstremum noktasıdır. Daha özel olarak x= nin solunda x_i f′ x( )<0 ve sağında

0 ) ( >

′ x

f ise f fonksiyonunun x= bir yerel minimum noktasının var olduğunu x_i anlarız. Bu durumda A

(

x_i, f(x_i)

)

noktası, f fonksiyonunun bir yerel minimum noktasıdır. Diğer taraftan x= nin solunda x_i f′ x( )>0 ve sağında f′ x( )<0 ise f fonksiyonunun x= bir yerel maksimum noktasının var olduğunu anlarız. x_i

Örnek: ^{5 3}

3 ) 20

( ,

:R R f x x x

f → = − fonksiyonunun kritik noktalarını bulunuz. Bu noktalardan hangileri yerel ekstremum noktalarıdır? Varsa f fonksiyonun mutlak ekstremum noktalarını bulunuz.

Örnek: f(x)=sinx fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulunuz.

Örnek: 45f(x)=2x³ −9x² −24x+ ile tanımlanan ^{f :}

[

^{− 55,}

]

^→R fonksiyonun maksimum ve minimum değerini hesaplayınız.

Şimdi f fonksiyonunun ekstremum noktaları için verdiğimiz kriterin ikinci adımını aşağıdaki teoremle geliştirelim.

Teorem: f ,

( )

a,b aralığında türevli bir fonksiyon, c noktası f fonksiyonunun bir kritik noktası, )f ′′(c mevcut ve sıfırdan farklı olsun.Eğer

0 ) ( >

′′ c

f ise x=c de f fonksiyonunun bir yerel minumumu, 0

) ( <

′′ c

f ise x=c de f fonksiyonunun bir yerel maksimumu vardır.

Örnek: f :[0,2π]→R, f(x)=2sinx+cos2x fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulunuz.

Bir fonksiyonun monotonluğuna, fonksiyonun birinci türevinin işaretini inceleyerek karar verebiliyoruz. Örneğin fonksiyonun artan olduğu durumda fonksiyonun değerindeki artmanın da giderek arttığını, azaldığını ya da sabit kaldığını görebiliriz.

x f

g

h

t

k x s

y y

Yukarıda verilen f, g, h fonksiyonları artandır ve birinci mertebeden türevleri pozitiftir. Bu durumda bir fonksiyonun artan olmasını da sınıflandırmamız gerektiğini anlarız. Benzer durum t, k, s fonksiyonları için de geçerlidir.

0 ) ( <

′ x f

0 )

′(

f f′ x( )>0

0 ) ( >

′′ x f y

x

0 ) ( <

′ x g

0 )

′( 0 f

) ( >

′ x g

0 ) ( >

′′ x y g

x

Şekilde grafiği verilen f fonksiyonu konvekstir (ya da yukarı bükümlüdür) denir. Şekildeki g fonksiyonu konkavdır (ya da aşağı bükümlüdür) denir.

Teorem: f :[a,b]→R fonksiyonunun (a,b) aralığında ikinci mertebeden türevi var olsun.

) , (a b x∈

∀ için

f ′′ x( )>0 ise f fonksiyonu )(a,b aralığında konveks, f ′′ x( )<0 ise f fonksiyonu )(a,b aralığında konkavdır.

Örnek: f :R→R, f(x)=x³ −2x² −x+2 fonskiyonunun a) Artan-azalan olduğu aralıları tespit ediniz.

b) Yerel ekstremum noktalarını bulunuz.

c) Konveks-konkav olduğu aralıkları tespit ediniz.

d) f in grafiğini çiziniz.

Örnekte fonksiyonun konkavlıktan konveksliğe geçtiği noktaya eğrinin dönüm noktası (ya da büküm noktası) denir. Bu noktada fonksiyonun sürekli olduğuna dikkat ediniz.

UYARI: Bir fonskiyonun dönüm noktasında ikinci mertebeden türevi var olmayabilir.

4. MAKSİMUM – MİNİMUM PROBLEMLERİ

Bir fonksiyonun ekstremum noktalarını bulmak için yukarıda verilen yöntemi kullanarak bazı özel problemleri çözebiliriz. Örneğin bir otobüsle yolculuk yaparken y= x eğrisi biçiminde kıvrılan bir yolda A(4,0) noktasında bulunan bir abidenin fotografını çekmek istiyorsunuz. Abidenin fotografını çekebileceğiniz en kısa mesafe kaç birimdir?

Bu tip problemlerde şu adımları izlemek kolaylık sağlar:

1) Problemi matematiksel olarak ifade ediniz.

2) Problemin içeriğine göre maksimum ya da minimum olması istenilen büyüklüğü, miktarı ya da uzunluğu problemdeki bir değişkenin fonksiyon olarak yazınız.

3) Problemin içeriğine uygun olarak bu fonksiyonun tanım kümesi tespit edilir.

4) Fonksiyonun maksimum ve minimum değerleri bulunur.

Örnek: Rcm yarıçaplı bir küre içine yerleştirilebilen bir koninin hacmi en fazla kaç cm olabilir? ³

B r H R

R M h-R

C A

Örnek: Hipotenüsü 6cm olan dik üçgen biçimindeki bir karton parçası dik kenarlarından birisi etrafında döndürülüyor. Oluşan dairesel dik koninin hacmi en fazla kaç cm olabilir? ³

6 cm h

r

Örnek: Çevresi sabit bir C sayısına eşit olan dikdörtgenler içinde alanının değeri en büyük olanının bir kare olduğunu gösteriniz.

5. TÜREV İLE İLGİLİ BAZI TEOREMLER

Teorem: (Rolle Teoremi) f fonksiyonu [ ba, ] aralığında sürekli ve ∀x∈( ba, ) de türevli olsun. f(a)= f(b) ise f′ c( )=0 olacak şekilde en az bir x∈( ba, ) vardır.

Rolle Teoreminde sözedilen c için y = f(x) eğrisinin x=c apsisli noktasındaki teğeti için ne söyleyebilirsiniz?

Teorem: (Diferensiyel Hesabın Ortalama Değer Teoremi) f fonksiyonu [ ba, ] aralığında sürekli ve ∀x∈( ba, ) de türevli olsun. O taktirde

a b

a f b c f

f −

= −

′ ( ) ( )

) ( olacak şekilde en az bir c∈(a,b) vardır.

Bu teoremde sözü edilen c sayısı 0<θ <1 olmak üzere c=a+θ(b−a) biçiminde yazılabilir. Bu durumda teoremin hükmü;

a b

a f b a f

b a

f −

= −

−

′ + ( ) ( )

) ) (

( θ

olacak şekilde en az bir θ∈(0,1) sayısı vardır biçiminde yazılabilir.

Örnek: Ankara – İzmir arası 580 km dir. Bu yolu toplam 8 saatte aldığımızı kabul edelim.

Başlangıç anından (x=0) herhangi bir xanına kadar aldığımız yolu f(x) ile gösterelim.

Ortalama Değer Teoremi,

0 8

) 0 ( ) 8 ) (

( −

= −

′ f f

c f

olacak şekilde en az bir c∈(0,8) sayısının var olduğunu garanti eder. Gerçekten 5

, 8 72 580 0

8

) 0 ( ) 8

( = =

−

− f f

olup, en az bir c∈(0,8) için f′ c( )=72,5 olmalıdır. Yorumlayınız.

Sonuç: f fonksiyonu [a,b] aralığında sürekli olsun. ∀x∈(a,b) için f′ x( )=0 ise f bir sabit fonksiyondur.

Problem: Süreklilik ve türev ile ilgili uygun koşullar altında )f′(x)=g′(x ise f(x) ile g(x) arasındaki ilişki hakkında ne söyleyebilirsiniz?

Örnek: Bir f fonksiyonu için f′(x)=4x³ ve f(−1)=8 olduğuna göre f(x)=?

6. LİMİTLERDE BELİRSİZ DURUMLAR

Teorem: (L’Hospital) f ve g x=a da sürekli, x=anın bir delinmiş komşuluğunda türevli fonksiyonlar ve bu komşuluktaki her x için g′ x( )≠0 olsun. Eğer

0 ) ( lim ) (

lim = =

→

→ f x g x

a x a

x

ise

) (

) lim ( ) (

) lim (

x g

x f x

g x f

a x a

x ′

= ′

→

→

dır.

ÖRNEKLER 1) x

x

x

limsin

→0 (

0

0 belirsizliği, C: 0)

2) ₂

0

limsin x

x x

x

−

→ (

0

0 belirsizliği, C:

2

− ) 1

3)

1 2

cos1

lim

x x

x

x→∞ + (

0

0 belirsizliği, C: 1)

4) 4 2 1

3 3 lim5 ²₂

+

− + +

∞

→ x x

x x

x (

∞

∞ belirsizliği, C:

4 5)

5) ln(tan ) ) ln(sin

lim0 x

x

x→ ⁺ (

∞

∞ belirsizliği, C: 1)

6) x x

x (1 cos )cot

lim0 −

→ (0⋅∞ belirsizliği, C: 0)

7) x x

x (1 sin )tan lim

2

→^π − (0⋅∞ belirsizliği, C: 0)

8) lim(cot ¹)

0 x

x x−

→ (∞−∞ belirsizliği, C: 0)

9)

(

x

)

^x

x

5 4

1 lim0 +

→ (1 belirsizliği, C: 20) ^∞

10)

1 5

4 1 3 lim

+

∞

→ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + ^x

x x (1 belirsizliği, C: ^∞ 4 15)

11)

(

x

)

^x

x

ln1

cot

lim→0⁺ (∞ belirsizliği, C: ⁰ e⁻¹)

12)

(

^x

)

^x

x e ^sin

0 1 lim₋ −

→ (0 belirsizliği, C: 1) ⁰

7. DİFERENSİYEL KAVRAMI VE BİR FONKSİYONA LİNEER YAKLAŞIM

x x+∆x

f (x) f (x+∆x)

y = f (x)

∆y dy

x y

∆x=dx

Türevin tanımından ve türevin geometrik anlamından

x f x mt

x

y = ′ =

∆

∆

→

∆lim ( )

0

olduğunu biliyoruz. Buradan

ε +

′ ∆

=

∆y f (x) x

→0

∆x iken ε→0 olacak şekilde bir ε sayısı vardır. Diğer bir ifade ile kısaca x

x f y≅ ′ ∆

∆ ( )

yazılabilir. Burada

x x f′ )( ∆

ifadesine f fonksiyonunun diferensiyeli denir ve dy ile gösterilir. Özetle; y= f(x) fonksiyonunun diferensiyeli:

x x f dy= ′( )∆ dir.

Özel olarak y= f(x)=x fonksiyonunun diferensiyeli:

x x x

x

dx= ⋅′∆ =1⋅∆ =∆ olarak bulunur ki bu eşitlik den

x dx=∆ olduğu görülür.

x

dx=∆ olmasına karşın dy≠∆y dir. Ancak dy≅∆y yazılabilir. Bunları yukarıdaki grafikte görebilirsiniz.

) ( ) (x x f x f

y= +∆ −

∆ ve dy= f′(x)∆x

x x f x f x x

f( +∆ )− ( )≅ ′( )∆ ⇒ f(x+∆x)≅ f(x)+ f′(x)∆x elde edilir. Burada x yerine a ve x+∆x yerine x yazılırsa, ∆x=x−a olup

) ( ) ( ) ( )

(x f a f a x a

f ≅ + ′ −

elde edilir. Burada

) ( ) ( ) ( )

(x f a f a x a

L = + ′ −

yazılırsa gerçekten L(x)≅ f(x) yaklaşımı elde edilir. Bu L(x) yaklaşımına; x=a civarında f fonkisyonuna lineer yaklaşım denir.

Örnek: f(x)= 1+x fonksiyonu için a=0 civarında lineer yaklaşımı bulunuz.

Gerçekten L x x 2 1 1 )

( = + elde edilir. Yani x x 2 1 1

1+ ≅ + yaklaşımı bulunur.

x

x 2

1 1

1+ ≅ + lineer yaklaşımından hareketle 1,0201 sayısının değerini yaklaşık olarak

hesaplayalım. f(x)= 1,0201=1,01 olup, lineer yaklaşımdan 1,01005 2

1 1 )

(x = + x=

L elde

edilir ki gerçek değerle yaklaşık olarak bulduğumuz değer arasındaki fark −0,00005 olarak hesaplanır.

Şimdi de x x

2 1 1

1+ ≅ + lineer yaklaşımından hareketle 1,1 sayısının değerini yaklaşık olarak hesaplayalım.

05 , 1 1 , 2 0 1 1 ) 1 , 0

( = + ⋅ =

L

bulunur ki 1,1≅1,05 dir. Bilgisayar yardımı ile 1,1≅1,048808848 olduğunu görürüz.

Problem: Acaba 1,1 sayısının değerini daha hassas hesaplamak için ne yapmalıyız?

Örnek: 5 sayısını yaklaşık olarak hesaplayınız.

x x

f( )= olsun. Önce f(x)= x fonksiyonunun a=4 civarındaki lineer yaklaşımını bulalım.

) 4 ( ) 4 ( ) 4 ( )

(x = f + f′ x−

L ⇒ ( 4)

4 2 1 )

(x = + ⋅ x− L

olarak bulunur. L(5)=2,25 aradığımız yaklaşımdır.

Şimdi daha hassas bir yaklaşım bulalım: f(x)= x fonksiyonunun a=4,84 civarındaki lineer yaklaşımını bulalım.

) 84 , 4 ( ) 84 , 4 ( ) 84 , 4 ( )

(x = f + f′ x−

L ⇒ ( 4,84)

4 , 4 2 1 , 2 )

(x = + ⋅ x− L

olup, 636364L(5)=2,23636363 olarak hesaplanır.

Gerçekten 5 irrasyonel sayısının bilgisayar yardımı ile hesaplanan yaklaşık değeri 749979

2,23606797

5≅ olup, a=4,84 civarında yapılan yaklaşımın daha hassas olduğu görülür.

Örnek: (Ö.Akın) Yarıçapı 10 br olan yarım küre biçiminde bir kasede x br derinliğinde su bulunmaktadır. Kasedeki suyun hacmi

) 30

3(

3

2 x

x

V =π −

ile hesaplanmaktadır. Kasedeki suyun derinliği, en fazla 1/16 br ölçüm hatası ile 5 br olarak ölçülmüştür.

a) Buna göre suyun hacminin hesaplanmasındaki maksimum hatayı tespit ediniz.

b) Gerçek değerden yaklaşık değer çıkarılarak hesaplanan değere, mutlak hata adı verilir.

Mutlak hatanın gerçek değere oranına da bağıl (göreceli) hata adı verilir. Suyun hacminin hesabında yapılan mutlak ve bağıl hatayı bulunuz.

(Y.G. ∆y= f(x+∆x)− f(x)≅dy= f′(x)∆x )

Örnek:

x x x

f 1

)

( = ² − ile tanımlı f fonksiyonu veriliyor.

a) dy b) d²y c) d³y diferensiyellerini hesaplayınız.

8. EĞRİ ÇİZİMLERİ

Eğri çizimleri için son aracımızı ele alalım: Asiptotlar. y= f(x) eğrisinin asimtotları şöyle bulunur.

Düşey Asimtot: ₋ =∞

→ ( )

lim f x

a

x ya da ₊ =∞

→ ( )

lim f x

a

x oluyorsa x=a doğrusu, y= f(x) eğrisinin bir düşey asimtotudur.

Yatay Asimtot: f x b

x =

−∞

→ ( )

lim ya da f x b

x =

∞

→ ( )

lim oluyorsa y = doğrusu, )b y= f(x eğrisinin bir yatay asimtotudur.

Eğri Asimtot: lim ( )− ( ) =0

−∞

→ f x P x

x ya da lim ( )− ( ) =0

∞

→ f x P x

x olacak şekilde bir P

polinomu varsa; y= P(x) eğrisi, y= f(x) eğrisinin bir eğri asimtotudur. Eğer y=P(x) bir doğru ise eğik asimtot adını alır.

Eğer y= f(x) eğrisinin eğik asimtotları varsa; x>0 için bu asimtot

x x m f

x

) lim (

∞

= → ve n

(

f x mx

)

x −

=lim→∞ ( ) olmak üzere

n mx y= +

dir. x<0 için eğik asimtot x→−∞ durumundaki limitlerden hesaplanan m ve n için bulunur. Bu iki eğik asimtot çakışık olabilir.

Örnek: Aşağıda verilen eğrilerin asimtotlarını bulunuz.

a) 3 12 1 2

2 2

−

= + x y x

b) 4

1

2 −

= + x y x

c) 4

2

= − x y x

d) y= 3^x1 e) y ln= x

= x

g) x y x

=ln h) x

y=lnx

ı) y= x² −2x

Şimdi )y= f(x denklemli bir eğriyi çizmek nasıl bir yol izleneğini özetleyelim:

1) )f(x i reel sayı yapan tüm x∈R lerin kümesi tespit edilir. Yani y= f(x) denklemi ile tanımlanan f fonksiyonunun en geniş tanım kümesi bulunur.

2) Varsa y= f(x) eğrisinin asimtotları bulunur.

3) Eğrinin eksenleri kestiği noktalar bulunur.

4) f fonksiyonunun birinci mertebeden türevi yardımıyla monotonluğu incelenir, ekstremum noktaları tespit edilir.

5) Gerek duyulursa f fonksiyonunun ikinci mertebeden türevi yardımıyla konveksliği- konkavlığı incelenir.

6) Yukarıda elde edilen bilgiler bir tabloda özetlenir.

7) Çizim yapılır.

Örnek:

x x

y 1

+

= ,

x x

y 1

+

= ,

x x y= + 1 ,

x x

y 1

+

= eğrilerini çiziniz.

Örnek:

x y x

= +

1 eğrisini çiziniz.

Örnek:

1 ln 1

+

= − x

y x eğrisini çiziniz.

Örnek: ^x

x

e y

+1

= eğrisini çiziniz.

Örnek: y= x²−2x−3 eğrisini çiziniz.

Örnek: _x

y e

= − 1

1 eğrisini çiziniz.