(b, f(b)) noktalarından yararlanarak a – b arasında herhangi bir x için F(x) değeri, bu noktalar arasındaki değişimin doğrusal olduğu varsayılarak bulunabilir

İNTERPOLASYON

İnterpolasyonda amaç x0, x₁, x₂, ... , x_n noktaları için verilen f0, f₁, f₂, ... , f_n ölçümlerinden yararlanarak xi - x1+1 arasındaki herhangi bir x için bir F(x) aradeğeri bulmaktır. Bu bölümde bu amaçla geliştirilmiş yöntemleri görecek ve değerlendireceğiz.

1. Doğrusal İnterpolasyon

Verilen (a, f(a)), (b, f(b)) noktalarından yararlanarak a – b arasında herhangi bir x için F(x) değeri, bu noktalar arasındaki değişimin doğrusal olduğu varsayılarak bulunabilir.

(a, f(a)), (b, f(b)) noktalarından geçen doğrunun denkleminin

F(x) = Ax + B olduğunu varsayalım. Doğru a, f(a)), (b, f(b)) noktalarından geçtiği için F(a) = f(a), F(b) = f(b) olacaktır. Buradan haraketle

Aa + B = f(a)

Ab + B = f(b) olacaktır. Her iki nokta bilindiğinden bu noktalardan geçen doğru denkleminin katasyıları A ve B bu durumda;

a b

a f b A f

−

= ( )− ( )

a b

b af a B bf

−

= ( )− ( )

Doğru denklemi ise;

a b

b af a x bf a b

a f b x f

F −

+ −

−

= ( )− ( ) ( ) ( ) )

( olur.

Verilen iki nokta arasındaki değişimin doğrusal olduğu varsayımı ile yapılan hatanın üst sınırı;

) 2 (

| ) )(

( ) | ( ) ( )

( x a x b f c

x f x F x

R = − = − − ′′′ , a < c < b ile verilir.

Eğer verilen noktalar arasında değişim gerçekten doğrusal ise f”(c) = 0 olur. Yani hata yapılmamıştır, zira interpolasyon da doğrusaldır.

Örn: f(x) = e^x fonksiyonun 0.2 ve 0.3 noktlarındaki değeri sırasıyla 1.22140 ve 1.34986’dır. Doğrusal interpolasyon yöntemiyle F(0.26) değerini bulunuz ve bu değerin bağıl hatasını hesaplayınız.

a b

b af a x bf a b

a f b x f

F −

+ −

−

= ( )− ( ) ( ) ( ) )

(

2 . 0 3 . 0

34986 . 1

* 2 . 0 22410 . 1

* 3 . 0 2

. 0 3 . 0

22140 . 1 34986 . ) 1

( −

+ −

−

= − x

x F

96448 . 0 28460 . 1 )

(x = x+ F

29848 . 1 96448 . 0 26 . 0

* 28460 . 1 ) 26 . 0

( = + =

F

Bu değer üzerindeki bağıl hata;

735 . 3

% 03735 .

| 0 29848 . 1

| )

26 . 0 (

| ) 26 . 0 ( ) 26 . 0 (

| |

|

26 . 0 26 .

0 − = =

− =

− =

= e

e f

F f

x x x

t t

εa

2. Gregory-Newton İleri İnterpolasyon Yöntemi

0 0

3 0

2 0

0 ... ( , )

! 3

) 2 )(

1 (

! 2

) 1 ) (

( r r r f r n f

r f f r r f x

F − − Δ + + Δⁿ

+

− Δ + Δ +

=

Burada (r,n); r’nin n’li kombinasyonlarının sayısını, Uⁿf0 ise ileri sonlu farkları göstermektedir.

0 1

0 f f

f = −

Δ

0 1 0

2f =Δf −Δf Δ

0 2 1 2 0

3f =Δ f −Δ f

Δ ...

0 1 1 1

0 f f

f ^{n n}

n =Δ− −Δ −

Δ

h x r x− ⁰

= ve h=x₁−x₀ =x₂ −x₁ =x₃−x₂ =.... ‘dir.

Örn: Aşağıda verilen xi , fi değerlerini kullanarak Gregory-Newton ileri insterpolasyon yöntemiyle herhangi bir x aradeğeri için F(x) fonksiyonunu ve bu fonksiyondan yararlanarak F(0.5) değerini bulunuz.

i xi fi Δ fi* Δ² f_i^**

0 0 1

Δ f0 = 1

1 1 2 Δ² f₀ = 1

Δ f1 = 2 2 2 4

* Δf₀ = f₁− f₀ =2−1=1 Δf₁ = f₂ − f₁ =4−2=2 ** Δ²f₀ =Δf₁−Δf₀ =2−1=1

1 0 1 1

1 2

2 0

1− = − = − = − =

= x x x x

h x x

h x

r x − =

− =

= 1

0 0

bulunur.

2 1 1 2 1 1

! 2

) 1 1 (

.

! 1 2

) 1 ) (

( = ₀ + Δ ₀ + − Δ² ₀ = + + x x− = x² + x+ x

r f f r r f x F

375 . 1 1 5 . 20 5 1 . 20 ) 1 5 . 0

( = ² + + =

F

2. Gregory-Newton Geri İnterpolasyon Yöntemi

n n n

n n

n

n r r r f r n f

r f f r r f x

F = − ∀ + − ∀ − − − ∀ +...+(−1) ( , )∀

! 3

) 2 )(

1 (

! 2

) 1 ) (

( ^{2 3}

Burada (r,n); r’nin n’li kombinasyonlarının sayısını, Uⁿf₀ ise ileri sonlu farkları göstermektedir.

−1

−

=

∀f_n f_n f_n

1

2 =∀ −∀ −

∀ f_n f_n f_n

1 2 2

3 =∀ −∀ −

∀ f_n f_n f_n ...

1 1 1

−

−

− −∀

∀

=

∀ⁿf_n ⁿ f_n ⁿ f_n

h x r xⁿ −

= ve h=x₁−x₀ =x₂ −x₁ =x₃−x₂ =.... ‘dir.

Örn: Aşağıda verilen xi , fi değerlerini kullanarak Gregory-Newton geri insterpolasyon yöntemiyle herhangi bir x aradeğeri için F(x) fonksiyonunu ve bu fonksiyondan yararlanarak F(0.5) değerini bulunuz.

i x_i f_i Vfi* V²f_i^**

0 0 1

Vf1 = 1

1 1 2 V²f2 = 1

Vf2 = 2 2 2 4

* ∀f₁ = f₁− f₀ =2−1=1 ∀f₂ = f₂ − f₁ =4−2=2 ** ∀²f₂ =∀f₂ −∀f₁ =2−1=1

1 0 1 1

1 2

2 0

1− = − = − = − =

= x x x x

h x x

h x

r x − = − = −

= 2

1

2 2

bulunur.

2 1 1 2 1 1

! 2

) 1 2 )(

2 2 ( ).

2 (

! 4 2

) 1 ) (

( _{2 2} ² ₂ − − − = ² + +

+

−

−

=

− ∀ +

∀

−

= x x x x

x r f

f r r f x F

375 . 1 1 5 . 20 5 1 . 20 ) 1 5 . 0

( = ² + + =

F

3. Newton Kesirli Farklar İnterpolasyon Yöntemi

Aralarında eşit uzaklık bulunmayan noktalar için sonlu farklar yerine kesirli farklar kullanılarak uygulanan interpolasyon yöntemidir. Aşağıdaki formüller kullanılır.

Birinci derceden kesirli fark:

i i

i i i

i x x

f x f

x

f −

= −

+ + +

1 1 1) , (

İkinci dereceden kesirli fark:

i i

i i i

i i

i

i x x

x x f x x x f

x x

f −

= −

+

+ +

+ + +

2

1 2

1 2

1

) , ( ) , ) (

, , (

Üçüncü derceden kesirli fark:

i i

i i i i

i i i

i i

i x x

x x x f x x x x f

x x x

f −

= −

+

+ + +

+ + +

+ +

3

2 1 3

2 1 3

2 1

) , , ( ) , , ) (

, , , ( ...

olmak üzere;

...F(x)= f(x₀)+(x−x₀)f(x₀,x₁)+(x−x₀)(x−x₁)f(x₀,x₁,x₂)+

Örn: Aşağıda verilen (xi,fi) ikililerini kullanarak, Newton kesirli farklar interpolasyon yöntemi ile F(2) değerini bulunuz.

i x_i f_i f(x_i,x_i+1)* f(x_i,x_i+1,x_i+2)** f(x_i,x_i+1,x_i+2,x_i+3)***

0 -1.0 3.000

-5.000

1 0.0 -2.000 5.500

3.250 -1.000

2 0.5 -0.375 3.500

6.750 -1.000

3 1.0 3.000 1.750

8.750 -1.000

4 2.5 16.125 -1.500

5.750

5 3.0 19.000

* 5.000

) 0 . 1 ( 0 . 0

000 . 3 000 . ) 2

, (

0 1

0 1 1

0 =−

−

−

−

= −

−

= − x x

f x f

x f

250 . 0 3

. 0 5 . 0

) 000 . 2 ( 375 . ) 0

, (

1 2

1 2 2

1 =

−

−

−

= −

−

= − x x

f x f

x f

750 . 5 6

. 0 0 . 1

) 375 . 0 ( 000 . ) 3

, (

2 3

2 3 3

2 =

−

−

= −

−

= − x x

f x f

x f

750 . 0 8

. 1 5 . 2

000 . 3 125 . ) 16

, (

3 4

3 4 4

3 =

−

= −

−

= − x x

f x f

x f

750 . 5 3

. 2 0 . 3

125 . 16 000 . ) 19

, (

4 5

4 5 5

4 =

−

= −

−

= − x x

f x f

x f

** 5.500 )

0 . 1 ( 5 . 0

) 000 . 5 ( 250 . 3 ) , ( ) , ) (

, , (

0 2

1 0 2

1 2

1

0 =

−

−

−

= −

−

= −

x x

x x f x x x f

x x f

500 . 0 3

. 0 0 . 1

250 . 3 750 . ) 6 , ( ) , ) (

, , (

1 3

2 1 3

2 3

2

1 =

−

= −

−

= −

x x

x x f x x x f

x x f

000 . 5 1 . 0 5 . 2

750 . 6 750 . 8 ) , ( ) , ) (

, , (

2 4

3 2 4

3 4

3

2 =

−

= −

−

= −

x x

x x f x x x f

x x f

500 . 0 1

. 1 0 . 3

750 . 8 750 . ) 5 , ( ) , ) (

, , (

3 5

4 3 5

4 5

4

3 =−

−

= −

−

= −

x x

x x f x x x f

x x f

*** 1.000

) 000 . 1 ( 000 . 1

500 . 5 500 . 3 ) , , ( ) , , ) (

, , , (

0 3

2 1 0 3

2 1 3

2 1

0 =−

−

−

= −

−

= −

x x

x x x f x x x x f

x x x f

000 . 000 1 . 0 500 . 2

500 . 3 000 . ) 1 , , ( ) , , ) (

, , , (

1 4

3 2 1 4

3 2 4

3 2

1 =−

−

= −

−

= −

x x

x x x f x x x x f

x x x f

000 . 500 1 . 0 000 . 3

000 . 1 500 . 1 ) , , ( ) , , ) (

, , , (

2 5

4 3 2 5

4 3 5

4 3

2 =−

−

−

= −

−

= −

x x

x x x f x x x x f

x x x f

Daha üst dereceden tüm kesirli farklar “0” olacaktır. (Formülde yerlerine koyarak denetleyiniz!)

f(1.0) = 3.000 < f(2) = ? < f(2.5) = 16.125 olduğundan indeksleri tekrar belirlerken interpolasyonun yapılacağı nokta (x=2) hangi tarafa yakınsa kaydırma o tarafa doğru yapılır.

Verilen sorunun özelinde interpolasyon yapılacak nokta 3. ve 4. noktaların arasında olduğu için 1. nokta 0. nokta olarak kabul edilerek (x₀ = x₁) diğer noktaların indeksleri uygun şekilde değiştirilir (x1 = x_2, x₂ = x_3, x₃ = x_4, x₄ = x₅). Kesirli farklar da buna uygun olarak kaydırılır.

(f(x0,x1) = f(x1,x2), f(x0,x1,x2) = f(x1,x2,x3), f(x0,x1,x2,x3) = f(x1,x2,x3,x4)).

Bu durumda,

) , , , )(

)(

)(

(

) , , ( ) )(

( ) , ( ) (

) ( ) (

3 2 1 0 2 1

0

2 1 0 1 0

1 0 0 0

x x x x f x x x x x x

x x x f x x x x x x f x x x

f x F

−

−

−

+

−

− +

− +

=

000 . 14 ) 000 . 1 )(

0 . 1 0 . 2 )(

5 . 0 0 . 2 )(

0 . 0 0 . 2 (

500 . 3 ) 5 . 0 0 . 2 )(

0 . 0 0 . 2 ( ) 250 . 3 )(

0 . 0 0 . 2 ( 000 . 2 ) (

=

−

−

−

−

+

−

− +

− +

−

= x F

4. Merkezi Fark İnterpolasyon Yöntemleri

x_i < x < x_i+1 olmak üzere x değeri xi ya da x_i+1 ‘den hangisine daha yakınsa o nokta x0

noktası olarak alınır ve diğer noktalar bu noktaya göre x-p, x_-p+1, x_-p, x_-p+2, ... , x_-1, x₀, x₁, x_-2, ... , x-n-p olacak şekilde sıralanır. Burada x0’ın her iki tarafında da aynı sayıda nokta olacağından 0 – (-p) = n – p => p = n/2 ‘dir. Daha sonra s = (x - x0) / h parametresinin değerine göre Sterling ya da Bessel formüllerinden uygun olanı takip edilir.

4.1. Sterling Formülü

h x s x− ⁰

= ve h=x₁−x₀ =x₂ −x₁ =x₃ −x₂ =.... olmak üzere

14

0< s< veya 1

34< s< ise

0 2 2 2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 2

2 2 2 2

0 4 2 2 2

0 3 2 2

0 2 2

0 0

)!

2 (

) )...(

2 )(

1 ( )!

1 2 (

) ) 1 ( )...(

2 )(

1 (

! ...

4 ) 1 (

! 3

) 1 (

! ) 2

(

k f

k s s

s f s

k

k s s

s s

s f f s

s f s f s

s f x F

k

k δ

μδ

δ μδ

δ μδ

−

− + −

−

−

−

−

−

+

− +

− + + +

+

=

−

Burada,

) ( )

( _+1/2 − _−1/2

= _{i i}

i f x f x

δf birinci dereceden merkezi fark, )

( )

( _1/2 ¹ _1/2

1

−

− +

− −

= ^r _i ^r _i

i

rf δ f x δ f x

δ r. dereceden merkezi fark,

)) ( )

( 2( 1

2 / 1 2

/

1 −

+ +

= ^r _i ^r _i

i

r f δ f x δ f x

μδ ortalama operatörünü göstermektedir.

4.2. Bessel Formülü

34

14≤ s≤ ise

2 / 1 2

2 / 1 1 2

2 / 1 3 2

/ 1 2 2

/ 1 2

/ 1

)!

2 (

) )...(

2 )(

1 )(

1 (

)!

1 2 (

) 2 / 1 ))(

1 ( )...(

2 )(

1 )(

1 (

! ...

3

) 2 / 1 )(

1 (

! 2

) 1 ) (

2 / 1 ( )

(

k f

k s s

s s s

k f

s k s s

s s s

s f s f s

s f s

s f x F

k

k

μδ

δ

δ μδ

δ μ

+

− +

−

− +

−

− +

− +

−

+

− + + −

+ −

− +

=

−

‘dır ve aynı merkezi fark formülleri geçerlidir.

Örn: Aşağıda verilen (xi,f_i) ikililerini kullanarak, uygun merkezi fark interpolasyon yöntemi ile F(2.2) değerini bulunuz.

i xi fi δfi* δ²fi** Δ³fi*** Δ⁴fi****

0 1 1

4

1 2 5 1

5 1

2 3 10 2 -1

7 0

3 4 17 2

9

4 5 26

*δf_1/2 = f(x₁)− f(x₀)=5−1=4 δf_3/2 = f(x₂)− f(x₁)=10−5=5 7

10 17 ) ( )

( _{3 2}

2 /

5 = f x − f x = − =

δf δf_7/2 = f(x₄)− f(x₃)=26−17=9

** 1δ²f₁ =δf_3/2 −δf_1/2 =5−4= δ²f₂ =δf_5/2 −δf_3/2 =7−5=2 2

7

2 9

/ 5 2 / 7 3

2f =δf −δf = − =

δ

*** 1δ³f_1/2 =δ²f₂ −δ²f₁ =2−1= δ³f_3/2 =δ²f₃−δ²f₂ =2−2=0

**** 1δ⁴f₁ =δ³f_3/2 −δ³f_1/2 =0−1=−

x1 = 2 < x = 2.2 < x2 = 3 olduğu ve x = 2.2, x1 = 2’ye daha yakın olduğundan x⁰ = x1

alınır. Bu durumda yeni indeksler; x-1 = x₀, x₀ = x₁, x₁ = x₂, x₂ = x₃, x₃ = x₄şeklinde oluşmuş olur. Merkezi fark ifadelerinin indeksleri aynı şekilde kaydırılır (δ^rf_-1 = δ^rf₀, δ^rf_-1/2 = δ^rf_1/2, δ^rf₀

= δ^rf1, δ^rf1/2 = δ^rf3/2, ...).

h = x₁ – x₀ = x₂ – x₁ = x₃ – x₂ = 1 ‘dir 2

. 1 0

0 . 2 2 .

0 2 − =

− =

= h

x

s x , dolayısı ile 0< s=0.2< 14 olduğu için Sterling formülü kullanılır.

0 4 2 2 2

0 3 2 2

0 2 2

0

0 4!

) 1 (

! 3

) 1 (

! ) 2

( s s f

s f f s f s

s f x

F = + μδ + δ + − μδ + ⁻ δ

Bu noktada öncelikle ortalama operatörü ile verilen terimleri hesaplamamız gereklidir.

92 ) 4 5 2( ) 1 2(

1

2 / 1 2 / 1

0 = f + f₋ = + =

f δ δ

μδ