Tesadüfi Katsayılar Modeli

Panel veri modellerinde yapılan tahminlerde eğim parametresinin sabit olduğu yorumu yapılmaktadır. Bu varsayımın gerçekleşmeyip eğim parametresinin birimler arasında ve/veya hem birim hemde zamanlar arasında değiştiği durumlarla da karşılaşılabilmektedir. 0 1 it i i it it Y =β +β X +u (4.92) 0 1 it it it it it Y =β +β X +u (4.93)

Birimlere göre değişen yapıdaki eğim parametreleri homojenlik varsayımı ile tahmin edilirse, parametre tahminlerinde ciddi sapmalar görülecektir. Havuzlanmış model, sabit etkiler modeli ve tesadüfi etkiler modellerinde elde edilen parametreler tüm alt birimler boyunca heterojen olduğundan, hata terimlerinin uzamsal ve zamansal birimler boyunca rassal olmayacağı dikkate alınmamaktadır. Eğim katsayıları tüm birimler ve zamanlar için eşit kabul edilmektedir. Eğim parametrelerinin homojen olduğu varsayımı genellikle gerçekle örtüşmeyen bir varsayımdır (Maddala ve diğ., 1997, 90).

Kittel (1999, 232-43) çalışmasında, panel veri analizlerinde tam homojenlik ve tam heterojenlik konularını ele almaktadır. Kittel, sabit veya tesadüfi etkilerin ilave

150

edilmediği panel veri modellerinde, sabit katsayıların zaman ve birim kesitleri için ortalama kısmi etkinin kombinasyonunu gösterdiğini ifade etmektedir. Fakat bu iki kesitin görece katkısına dair bir bilgiye yer verilmemektedir. Diğer bir deyişle, modellerde ülkeler arası spesifik farklılıkların veya ülke içi gelişmelerin varlığından kaynaklanan değişimlerin olup olmadığına dair sorular cevapsız kalmaktadır.

Havuzlanmış modelde ilişkilerde zaman içende ortaya çıkan gelişmeleri araştırmak için çok sayıda tekrar eden yatay kesit regresyon modelleri tahmin ederiz. Özellikle, bağımlı değişken ile bağımsız değişkenler arasındaki ilişkinin ele alınan zaman dilimi içerisinde değişip değişmediğini veya sabit katsayılar modelinin öngördüğü gibi sabit kalıp kalmadığını, yıllık yatay kesit modelleri tahmin ederek ölçeriz. Diğer bir yöntem ele alınan ülkelerin zaman serilerini karşılaştırmaktır. Örneğin araştırmamızda birçok açıklayıcı değişkenin bir ülkeden diğerine farklılık gösterdiği ve bazı ülkelerin kendi içerisinde sabit veya değişken eğim parametreleri olmasından dolayı söz konusu ilişki zaman serisi kesitleri ilişkisi olarak değerlendirilemez. Zaman serisi boyutundaki genellikle sabit olan veri setinin kullanılması nedeniyle bu değişkenlerin havuzlanmış katsayıları neredeyse tamamen yatay kesit boyutuna bağlıdır. Bu yüzden Kittel (1999: 232-323)’e göre, veri seti dikkatli bir şekilde incelenmeden ve havuzlanmış sabit katsayılar modelinde zaman ve birim etkilerinin katsayılara yönelik katkıları dikkate alınmadan yapılacak çıkarımlar doğru olmayacaktır.

Sabit katsayılar modelinin tam homojenlik ve yatay kesit veya zaman serisi verilerinin ayrı ayrı tahmininde elde edilen katsayılarındaki tam heterojenlik şeklindeki bu iki uç durumu arasında çok sayıda uygun çözüm yolları vardır.

Veri setini havuzlama veya her bir yatay kesit veya zaman serisi verisi için ayrı ayrı model tahmin etme şeklindeki bu iki yönteme ilişkin problem her ikisinin de gerektirdiği varsayımların ağır olmasıdır. Parametrelerin her birinin aynı veya her bir yatay kesit ve/veya zaman kesiti için farklı olması varsayılır.

Bu iki tahmin yönteminde aslında parametreler tam olarak aynı olmasa da aralarında bazı benzerlikler vardır (Maddala ve diğ. 1997, 91). Benzerliği ele almanın bir yolu parametrelerin hepsinin her bir zaman ve/veya birim için değişken olduğunu varsaymaktır. Ülkeler içerisindeki nedensellik süreçlerindeki farklılıkların

151

karşılaştırmalı analizlerin kavramsal açıklamalarındaki temel problem ülkeler arasında değişkenlik gösteren karakteristik özelliklerdir.

Bağımlı değişken yit’nin xis açıklayıcı değişkenine tepkisi farklı birimler için farklı olurken, belirli bir yatay kesit için zaman içerisinde sabit olacaktır. Bu şekildeki modeller şu şekilde yazılabilir.

1 k it ik kit it k y β x e = =

∑

+ (4.94) 1 ( ) k ki kit it k x e β α = =

∑

+ + (4.95)

İlk denkemle kıyaslandığında, ikinci denklemde sabit terim diğer açıklayıcı değişkenlerden farklı tutulmamaktadır. β =(β₁...β_k) ortak ortalamalı katsayı vektörüdür ve α_i =(α_1i...α_ki) ortak ortalamadan bireysel farkları göstermektedir. β_ki

sabit ve farklı sabit olarak ele alındığında, denklem (1.61) SUR modeli şeklini alır. Buna aykırı olarak β_ki tesadüfi parametre olarak ele alınacak olursa denlem (1.61) tesadüfi katsayılar modeli haline gelir (Judge ve diğ., 1985: 538-539; Hsiao, 1986: 130-131)

Tesadüfi Katsayılar Modeli sabit ve tesadüfi etkilerin birlikte ele alındığı modellerdir. Burada sabit etkiler kısmı standart regresyon katsayılarından oluşur ve normal olarak hesaplanır. Tesadüfi etkiler kısmı ise tahmin edilen varyans ve kovaryans değerlerinin özet halidir. Tesadüfi katsayılar modelinde, sabit etkiler ve gruplar arası etkiler modelleri yardımıyla gruplar arası ve grup içi varyanslar ayrıştırılmaktadır. Tesadüfi etkiler; tesadüfi sabitler ve/veya tesadüfi katsayılar şeklinde olabilmektedir. Tesadüfi etkiler modeli kullanılarak sabit terimin ve bağımsız değişkenlerin katsayılarının her bir ülke için farklı olmasına izin verilmektedir (Baum, 2013: 2).

Mümkün olan sabit terim ve eğim parametresi arasındaki oluşabilecek kombinasyonları şu şekilde gösterebiliriz.

Sabit sabit terim & Sabit Eğim Katsayısı (EKK Modeli):

0 1

ij ij ij

y β= +β x +ε (4.96) Eğim Parametreleri Sabit & Sabit Terimler Değişken (Sabit Ekiler Modeli):

152 0 1 ij i ij ij y β= +β x +ε (4.97) 0 0 1 ( i) ij ij ij y β= +b +β x +ε (4.98) 0 1 ij ij i ij y β= +β x + +u ε (4.99) Eğim Katsayıları Değişken & Sabit Terim Sabit (Fazla Görülmemektedir):

0 1 ij i ij ij y β= +β x +ε (4.100) 0 ( 1 ) ij i ij ij y β= + β +b x +ε (4.101) Eğim Parametreleri Değişken & Sabit Katsayısı Değişken (Tesadüfi Katsayılar Modeli)

0 1 ij i i ij ij y β= +β x +ε (4.102) 0 0 1 ( i) ( ) ij i ij ij y β= +b + β +b x +ε (4.103) 0 1 ij i ij i ij y β= +β x + +u ε (4.104) Tesadüfi Katsayılar Modeli genel olarak şu şekilde gösterilebilir;

2 2 0

(

1

) ~ (0, ), ~ (0, )

ij i ij i ij i u ij

y β= + β +b x + +u ε u N σ ε N σ

_ε (4.105) Buradan; 0 1 ( ) ( ) ij ij i i ij ij y β= +β x + u +b x +ε (4.106) Burada, (β₀ +β x_{1 ij}) ifadesi sabit katsayıları göstermekte ve spesifik olarak ise;

β

₀sabit terimi,

β

₁ise sabit eğim katsayısını göstermektedir. (u_i+b x_{i ij})tesadüfi katsayıları göstermekte ve spesifik olarak

u

_itesadüfi sabit ve

b

_itesadüfi eğim parametresidir. ε _ij hata terimlerini göstermekte ve bu modelde tesadüfi hata terimi şeklini almaktadır.

β1 = Ortalama Eğim

bi = Ortalama eğimden ülkeye özgü tesadüfi farklar

u_i = Ülkeye özgü tesadüfi sabit

Tesadüfi katsayılar modeli, Mixed (birleşik etkiler) modelleri yardımıyla, sabit ve tesadüfi etkileri birlikte içerirler ve gözlem değerlerinin belirli açılardan gruplandırıldığı durumlarda (Farklı okullardaki öğrenciler, farklı bölgelerdeki seçmenler, farklı

153

firmalardaki çalışanlar gibi) uygun yöntemdir. Öğrencilerin ayrı sınıflar içerisinde, sınıfların da ayrı okullar içerisinde kategorize edilmesi örnek olarak verilebilir. Aynı sınıf içerisindeki öğrencilerin bir testten elde ettikleri sonuç, sınıfın öğretmeni veya söz konusu sınıfta kullanılan ders materyalleriyle korelasyonlu olabilir. Aynı şekilde, sınıfların ortalama başarısı, aynı sosyoekonomik seviyeye sahip öğrencilerin bulunduğu bir okulla korelasyonlu olabilir. Burada elde edilen tahminciler her okul için farklı değerler almaktadır. Tesadüfi katsayılar modelleri yatay kesit birimler arası değişkenlik gösteren birim etkileri dikkate alırlar. Klasik regresyon modelleri birimler arası ortalama değişkenliği dikkate almamaktadırlar.

Tesadüfi katsayılar modellerinde her bir ülkeye ait yıllık ortalama DYY girişleri hesaplandığında, her bir ülke gözlem değerlerinin, ülkelerin genel ortalamasının etrafında değiştiği görülecektir. Aynı şekilde, her bir bölge için ortalama hesapladığımızda, şehirlerin ortalamalarının da bölge ortalaması etrafında değiştiği görülecektir. Ayrıca genel bir ortalama hesaplarsak bölgesel ortalamalarında bu genel ortalama etrafında değişeceği görülecektir.

Tesadüfi katsayılar modelinde örnek ortalaması modelin “sabit” kısmını oluşturur ve gözlem değerleri ile ortalama arasındaki fark modelin hata terimleri veya “tesadüfi” kısım olarak adlandırılır.

µ

sembolü ile ifade edilebilecek olan sabit kısım örnek ortalaması gibi oldukça basit bir kavramı veya bazı açıklayıcı değişkenler ve bunların parametrelerini temsil etmektedir.

{ijk ^{ {ijk

Sabit Etki

Gözlenen Tesadüfi Etki

Y = µ + e

Yani, her bir gözlem değeri modelin “sabit etki” kısmından kendi farkı şeklinde ifade edilebilir. Hiyerarşik kısmı açıklamak için tesadüfi kısım biraz daha açılır ve y_ijk ve hata terimi birlikte ele alınacak olursa,

.. . 2 i.. 2 . 2 (0, ) (0, ) (0, ) ijk i ij ijk ij ijk y u u e u N u N u N µ γ τ σ = + + + (4.107)

154

Burada gözlem değerleri kendi ülke ortalamalarından eijk kadar ayrışmaktadır. Yani, gözlem değerleri her bir ülke ortalamasından e_jik kadar sapma gösterirler. Ülke ortalamaları grup ortalamalarından u_ijkadar farklılaşmakta ve gözlem değerlerinin grup ortalamaları modelin sabit etkiler kısmından (

µ

)u kadar ayrışmaktadır. Gözlem _i..

değerlerinin hata payları ülke, grup ve genel ortalamalara bağlı olarak üç kısma ayrıştırılmaktadır. Bu tip modeller, her bir hiyerarşik seviye için değişkenliği dikkate aldıklarından, genel olarak “varyans bileşenleri” modelleri olarak da adlandırılmaktadırlar.

Belgede Gelişmekte olan ülkelerin yakın komşularıyla dış ticaret hacminin doğrudan yabancı yatırımlar üzerine etkisi (sayfa 167-172)