Heterojen Eğim Modelleri

it it it

x ∈ y x

aşağıdaki şekilde grup içi transformasyon uygulanır.

it it i z% =z − +z z (4.75) Burada 1 1 ⁱ i T it i it t t z T⁻ z = =

∑

ve

( )

1 i it i t z =

∑

T ⁻

∑ ∑

z dir.

Grup içi tahmincisi standart EKK yöntemi ile tahmin edildiğinden,

'

it it it

Y% = X% β +u_{% (4.76)}

İkinci adımda model Driscoll-Kraay standart hatalar ile havuzlanmış EKK yöntemi kullanılarak tahmin edilir. Stata paket programında xtscc komutu ile doğrusal panel veri modellerinde Driscoll-Kraay panel düzeltilmiş standart hatalar kullanılarak havuzlanmış model ve sabit etkiler modelleri tahmin edilebilmektedir.

4.2.5. Heterojen Eğim Modelleri

Panel veri modelleri regresyon parametrelerinin tüm yatay kesit birimler için sabit olduğu varsayımı altında kullanılmaktadırlar. Çalışmanın bu bölümünde panel veri modellerinde eğim parametrelerinin heterojenliği üzerinde durulacaktır. Sabit etkiler modelinde eğim parametrelerinde heterojenliğin varlığı Heckman ve Hotz (1989), Cornwell ve diğerleri (1990), Allison (1990), Chamberlain (1992), Polachek ve Kim (1994) ve Winship & Morgan (1999) tarafından ele alınmıştır. Fakat söz konusu problemin varlığına değinmiş olmalarına rağmen pratikte bu problemin çözümü üzerinde pek durulmamıştır. Panel veri modelleri çok sayıda yatay kesit verinin yıllar itibariyle aldıkları değerlerin birlikte ele alındığı veri setlerinin kullanıldığı analizlerinde oldukça önemlidir. Bunlardan biri olan sabit etkiler modelinde her bir yatay kesit birim kendi sabit terimine sahiptir. Fakat genel olarak panel veri modellerinde çok büyük bir veri setine sahip olmanın avantajından yararlanmak için, eğim katsayılarının her bir yatay kesit birim için aynı olduğu varsayılmaktadır. Bu yolla veri setlerini bir araya getirerek her bir ülke için ayrı regresyon modeli tahmin edilerek hesaplanacak sabit eğim katsayılarına ulaşmaktan çok daha etkin tahminciler hesaplanabilmektedir.

144

Sabit etkiler modelinde gözlenemeyen heterojenlik dikkate alınmakta ve modele ilave edilen parametrelerle kontrol edilmeye çalışılmaktadır. Geleneksel sabit etkiler modeliyle yapılan çok sayıda çalışmada katı dışsallık göz ardı edildiğinden eksik kalmaktadır. Burada zaman sabit gözlenemeyen faktörler gözlenebilen etkilerle korelasyonludur. Gözlenemeyen etkiler zaman içerisinde değişmektedir.

Şuana kadar ele aldığımız gözlenemeyen etkiler modellerin hepsinde Yit üzerinde aynı kısmi etkiye sahip bir gözlenemeyen etki ilave edilmekteydi. Birim spesifik heterojenliğin ilave edildiği birim sipesifik eğim modeli;

, 1,..., ; 1,..., T

it it i it it

y =w a +x β+u i= N t= (4.77)

Burada w ,1xJ; _it a , Jx1; _i x , 1xK ve _it

β

Kx1’dir. Standart gözlenemeyen etiler modeli 1

it

w ≡ ile özel bir durumdur.

Genel modelde, başlangıç olarak

β

’yı tahmin emeyi hedefler daha sonra ( )_i

a=E a ’yi tahmin ederiz. Burada a=E a( )_i , z ortak değişkeninin ortalama kısmi _it

etkiler vektörüdür.

Varsayımlar (FE.1)’: E u( _it|w_i, x ,_i. a_i)=0, t=1, 2,..., .T Denklem ile birlikte ele alındağında, FE.1’ aşağıdaki ifadeye eşittir.

1 1 .

(y |_{it i} ,..., w , x ,..., x ,_{iT i iT i}) (y |_{it it}, x ,_{it i}) _{it i it}

E w a =E w a =w a +x β

Bu ifade w , _it x ve _it a kontrol altında tutulduğunda (_i w_is, x )_is ’nin, s≠t için y ’yi _it

açıklamadığı anlamına gelmektedir.

i

W ’yi TxJ t’inci sütunun w olan TxJ matrisi ve aynı şekilde _it X ’yi TxK matrisi şeklinde _i

tanımlayalım. Bu durumda denklem ’u aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

i i i i i

y =W a +X β +u (4.78)

' i i

W W ’nin tekil olmayan matris olduğunu varsayarsak,

1

( ' ) '

i T i i i i

145

İz düşüm matrisini W ’nin hiçlik uzayı üzerine tanımlayalım (_i W W W_i( _i' _i)⁻¹W_i' matrisi W_i

’nin sütun uzayının üzerine iz düşüm matrisidir). Diğer bir deyişle, her bir yatay kesit gözlem değeri “i” için; M y ; _{i i} y ’nin _it w ile _it t=1, 2,...,T

zaman serisi regresyonunun hata terimlerinin Tx1 vektörüdür. Standart sabit etkiler modelinde (1.68) ifadesi y ’nin 1 ile (_it t =1, 2,...,T) regresyonu şeklindedir ve hata terimleri basitçe zamana indirgenmiş değişkenlerdir.

TxK şeklindeki M X matrisinin sütunları, _{i i} x ’nin _it w ile (_it t=1, 2,...,T) regresyonundan elde edilen hata terimlerinin 1xK vektörlerinden oluşur. Burada M ile önden _i

çarpmamızın nedeni denklem ’i M ile önden çarparak elde ettiğimiz _i M W_{i i} =0 sonucu ile, gözlenemeyen etki a ’yi elimine etmemizi sağlamış olmasıdır. _i

i i

y= X&&β +u

&& && (4.80)

Burada _&&y=M y_{i i}, X&&_i =M X_{i i ve}

i i i

u&& =M u ’dir. Bu ifade standart sabit etkiler modelinde kullanılan grup içi transformasyonunun bir uzantısıdır.

β

’nın denklem üzerinden standart EKK yöntemi ile tutarlı bir şekilde tahmin edilmesi için, aşağıdaki varsayım yapılmaktadır;

Varsayım SE.2’: E && &&(X 'X )_{i i} ’nın rankı =K, burada X&&_i =M X_{i i’dir.}

i

M ’nin rankı T-J’dir ve dolayısıyla, SE.2’ varsayımı için gerekli koşul J<T’dir. Diğer

bir deyişle, a ’lerin sayısından en az bir fazla zaman periyoduna sahip olmamız _i

gerekiyor. Standart gözlenemeyen etkiler modelinde, J=1 ve T≥2 olması gerekiyordu. Denklem ’ün EKK tahmincisi aşağıdaki gibi yazılabilir:

1 1 1 1 1 1 1 1 ˆ ^{N N N N} SE i i i i i i i i i i i i X X X y N X X N X u

β β

− − − − = = = =  ′   ′   ′   ′  =_{   }= +_{   }



∑

&& &&  

∑

&& _&&  

∑

&& &&  

∑

&&  _(4.81)

SE.1’ varsayımı altında E(X&&_i′u_i)₌0’dır ve SE.2’ varsayımı altında E(X&&_i′ X&&_i)’nın rankı “K”dır. Dolayısıyla genel tutarlılık koşulları sağlanmaktadır.

146

Sabit etkiler tahmincisi N - asimptotik normal dağılımlıdır. Asimptotik varyansının

en basit ifadesini elde etmek için sabit koşullu varyans varsayımı ilave edilmiş ve idiosyncratik hata terimlerinin ardışık korelasyonlu olmadığı varsayılmıştır.

SE.3’ varsayımı:

2 ( _{i i} | w , x , a )_{i i i u T}

E u u^′ =σ I (4.82) SE:3’ varsayımı altında yinelenen beklentilere yasasına göre,

2

(X_{i i i} X )_i E _i ( _{i i} | W , X ) X_{i i i u} (X X )_{i i}

E ′u u′ ₌ X E u u′ ′ ₌

σ

E ′

 

&& && && && && && _(4.83)

( )_i

E a

α = ’nin tutarlı bir tahmincisini elde etmek için denklem ’yi 1 (W_i′W_i)⁻W_i′ile önden çarpıp aşağıdaki eşitliği elde ederiz.

1 1

a_{i =}(W_i′W_i)−W_i′(y_i−X_iβ)₋(W_i′W_i)− W u_i′ _i (4.84) SE.1’ varsayımı altında, E(u |_i W_i)=0, ve dolayısıyla denklem’un ikinci terimi “0” beklenen değerine sahiptir. Bu yüzden,

1

[(W_{i i}) _i ( _{i i} )]

E W W y X

α ₌ ′ − ′ ₋ β (4.85)

Buradan α’nın N -asimptotik normal dağılımlı tahmincisi;

1 1 1 ˆ ˆ (W ) ( ) N i i i i i SE i N W W y X α − − β = ′ ′ =

∑

− (4.86) i

a ’ler parametre olarak görüldüklerinde, sabit T ile bunları tutarlı tahmin edemeyiz.

Fakat her bir i için, denklem ’in toplamındaki terim, ˆa şeklinde ifade edilsin; SE.1’ ve _i

SE.2’ varsayımları altındaa ’nin tarafsız bir tahmincisidir. Varılan bu sonuç basit _i

şekilde şu şekilde gösterilebilir:

1 1 ˆ ˆ (a | , ) (W ) [E( | , X) ( | W, X) (W ) [ ] i i i i i i SE i i i i i i i i E W X W W y W X E W W W a X X a

β

β β

− − ′ ′ = − ′ ′ = + − = (4.87)

147 Burada,

₍ ˆ _{| , )}

SE

E β W X =β

şeklinde ifade edilmiştir. ˆα tahmincisi tüm yatay kesit gözlemler boyunca ˆa ’lerin ortalamasıdır. _i

Belgede Gelişmekte olan ülkelerin yakın komşularıyla dış ticaret hacminin doğrudan yabancı yatırımlar üzerine etkisi (sayfa 161-165)