Tesadüfi Etkiler Modeli (The Random Effects Model)

Panel veri analizi tahmininde kullanılan ikinci yöntem Tesadüfi Etkiler Modeli (REM)’dir. Sabit etkiler modelinde, birim etkilerin (µ_i) dolayısıyla birimler arası farklılıkların sabit olduğu ve sabit terimdeki farklılıklarla ifade edildiği varsayılmıştır. Fakat bazen örnekteki birimler rassal olarak seçilmektedir ve bu durumda, birimler arası farklılıklar da rassal olmaktadır. Bu birim farklılıklarına “tesadüfi farklılıklar” denmektedir (Baltagi, 2005: 51).

Sabit etkiler tahmin yöntemi, birim etkiler açıklayıcı değişkenler ile korelasyonlu ise kullanılmaktadır. Katsayıları tahmin etmek için sadece zamana göre değişkenliği dikkate almakta ve bu durumda tutarlı tahminciler üretmektedir. Birim etkiler ile açıklayıcı değişkenler arasında korelasyon yoksa, sabit etkiler modelinde yapılan dönüşüm nedeniyle birim etki modelden elimine edildiği için etkin değildir. Eğer birim etkiler açıklayıcı değişkenler ile korelasyonsuz ise, dirençli havuzlanmış en küçük kareler yönteminin kullanılması mantıklı görülebilmektedir. Fakat havuzlanmış en küçük karelerin hata terimi, eğer varsa hem birim hem de artık hata öğesini içermektedir. Bu durumda havuzlanmış EKK yöntemi ile tahmin sonucunda, bu iki hata öğesinin tahmini birbirinden ayrılamadığı için hata teriminin yapısı hakkındaki bilgiler yok olacağından, etkinlik kaybı olacaktır. Dolayısıyla, havuzlanmış EKK yöntemi gibi

i

µ 'yi hata terimi içerisine koyan fakat bu iki hata öğesini ayırmaya çalışan tesadüfi

et-kiler tahmin yöntemlerinin kullanımı uygun olmaktadır (Tatoğlu, 2012: 103). Panel veri modeli tekrar ele alındığında,

113

0 1 1 2 2 ... 1, 2,... 1, 2,...

it it it k kit it

Y =β +β X +β X + +β X +v i= N t= T (4.28)

Tesadüfi etkiler modelinde birim etki, sabit parametre içerisinde değil, hata payı içerisinde yer almaktadır. Çünkü birim etki burada sabit değil tesadüfidir. Tesadüfi etkiler modeli kesitlere ve zamana bağlı olarak meydana gelen değişikliklerin modele hata teriminin bir bileşeni olarak dahil edilmeleri durumunda söz konusudur (Hsiao 2002: 31). Hata terimi v_it =u_it+µ_i’dir. Burada u artık hataları, _it µ_i birim hatayı göstermektedir.

Denklemde (v_i+u_it) birleşik hata bileşeni olarak adlandırılmakta ve bireysel hata ( )v _i

ve panel hata (u_it) terimleri olmak üzere iki bileşenden oluşmaktadır. Bir başka deyişle

i

µ , i. yatay kesit birimin sabitini temsil etmektedir ve sabit değil tesadüfi olduğundan hata terimi içerisinde ifade edilmiştir. Tesadüfi etkiler varsayımı altındaki panel veri modeli aşağıdaki şekilde gösterilebilir.

0 1 1 2 2 ... 1, 2,... 1, 2,... it i i it i it ki kit i it Y =β +β X +β X + +β X +µ +u i= N t= T (4.29) Şeklinde ya da, 0 1 ( ) 1, 2,... 1, 2,... K it ki kit it i k Y β β X u µ i N t T = = +

∑

+ + = = (4.30)

olarak ifade edilebilmektedir.

Tesadüfi etkiler modelinde farklı yatay kesit birimlerin kalıntılarının birbirinden bağımsız (birimler arası korelasyonsuzluk) olmasına rağmen, µ_i’nin varlığı nedeniyle aynı yatay kesit birimlerin kalıntıları arasında korelasyon (birim içi otokorelasyon) görülebilecektir.

Tesadüfi etkiler modelinde önemli olan ülkeye veya ülkeye ve zamana özel katsayıların bulunması değil, bunlara ait özel hata bileşenlerinin bulunması ve bunların rassallık göstermesidir. Tesadüfi etkiler modeli, sadece gözlenen örnekteki ülkeler ve zamana göre meydana gelen farklılıkların etkisini değil, örnek dışındaki etkileri de dikkate almaktadır. Tesadüfi etkiler modelinde, ele alınan değişkenler dışında bağımlı

114

değişkeni; toplumsal değer yargıları, yaşam tarzları, üretim biçimleri, tüketim alışkanlıkları v.s gibi faktörlerin de etkilemesi söz konusudur (Hsiao, 2002: 31).

4.2.2.3.1. Genelleştirilmiş En Küçük Kareler – GEKK (Generalized OLS)

Genelleştirilimiş En Küçük Kareler – GEKK (Generalized Least Squares – GLS) metodu Kiefer (1980) tarafından, hata terimlerinin homoskedasite ve otokorelasyonsuz olması varsayımının sağlanmadığı durumlar için önerilmiştir. Bu gibi durumlarda sıradan EKK yöntemi istatistiksel olarak etkin olmayacak veya yapılan çıkarımlar yanlış olacaktır. Her iki durumda da, ya dirençli varyans matrisi kullanılmalıdır ya da alternatif hata terimlerinin homoskedasite ve otokorelasyonsuz olması varsayımı esnetilerek esnek genelleştirilmiş en küçük kareler yöntemi ile tahmin yapılmalıdır.

Tipik bir doğrusal regresyon modelinde bağımsız değişken X değerleri için elde edilen Y bağımlı değişkeninin beklenen ortalaması X’in doğrusal fonksiyonudur ve X’e bağlı hata terimlerinin koşullu varyansı bilinmeyen Ω matrisidir. Bu ilişki şu şekilde ifade edilebilmektedir;

, E[ | ] 0, Var[ | ]

Y =X

β ε

+

ε

X =

ε

X = Ω (4.31)

Burada

β

veri seti yardımıyla elde edilmesi gereken bilinmeyen regresyon katsayıları vektörüdür. b ’nin

β

’nın bir tahmini olduğunu varsayarsak b için hata terimleri vektörü

Y−Xb olacaktır. GEKK metodu

β

’yı bu hata terimlerinin karesi alınmış Mahalanobis uzaklığı¹³’ını minimize ederek hesaplamaktadır.

1 1 1

ˆ _{(X X) X Y.}

β = ′Ω− − ′Ω− (4.32)

GEKK tahmincisi unbiased, tutarlı, etkin ve asimptotik normal dağılımlıdır.

(

1 1

)

ˆ

( ) ^d 0,( ) .

n β β− → N X′Ω− X − (4.33)

GEKK veri setinin doğrusal transformasyonuna uğramış versiyonuna sıradan en küçük kareler yönteminin uygulanması ile aynı sonucu verir.

13

Veriden elde edilen kovaryans matrisini ifade etmek üzere, herhangi x ve y noktaları (vektörleri) arasındaki Mahalanobis uzaklığı

-1 d= (x-y)'C (x-y)

biçiminde hesaplanır. Aradaki kovaryans matrisinin tersi ile çarpma işlemi, elde edilen uzaklığın o doğrultuda hesaplanan değişinti (varyans, standart sapmanın karesi) ile bölünmesi gibi yorumlanabilir. Yani elde edilen uzaklığın birimi, iki nokta arasından geçen doğrunun doğrultusu boyunca olan standart sapma cinsindendir.

115

Y = X

β ε

+ denkleminin her iki tarafını β−1

ile çarparsak * * *

Y =X β ε+ denklemini elde ederiz. Burada * 1

Y =B Y⁻ ; * 1

X =B X⁻ ve

ε

^*=B−¹

ε

dir. Bu modelde

* 1 1 '

[ ] B ( )

Var ε = − Ω B− =I (4.34)

Böylece

β

’yı transforme edilmiş veri setine sıradan EKK yöntemine başvurarak etkin bir şekilde tahmin edebiliriz.

* * * * 1

(Y −X b) (^′ Y −X b)=(Y−Xb)^′Ω⁻ (Y−Xb). (4.35) Bu denklem hata terimlerinin ölçeğinin standardize edilmesi ve korelasyonun ortadan kalkmasını sağlamaktadır. GEKK yöntemi

β

için en iyi doğrusal sapmasız tahmincidir.

4.2.2.3.1. Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler – EGEKK (Feasible Generalized OLS)

Hata terimlerinin kovaryansları genellikle bilinmediği için GEKK metodu pratikte uygulanabilir değildir. GEKK modelinin uygulanabilir bir versiyonu olarak iki aşamada gerçekleştirilen Esnek Genelleştirilmiş EKK yöntemini kullanmaktır (EGEKK). (1) ilk aşamada model sıradan EKK yöntemi veya bir başka tutarlı fakat etkin olmayan tahmin yöntemi, tutarlı hata terimleri kovaryans matrisi elde etmek için kullanılır. (2) ikinci olarak bu tutarlı hata terimleri kovaryans matrisi tahmincileri kullanılarak GEKK metodu uygulanarak tahmin yapılır.

EGEKK yöntemi her zaman tutarlı olmayabilir. Örneğin yatay kesit sabit etkiler söz konusu olduğunda EGEKK yönteminin tutarlı olmayabilir. Özellikle küçük örnekler için sıradan EKK yöntemi EGEKK yöntemi kıyasla daha etkin olmaktadır. Bu yöntemin etkinliğini arttırmak için zaman zaman bazı iterasyonlara başvurulsa da örneklem sayısının orijinal halinin küçük olduğu durumlarda bu çabalar tahmincinin etkinliğini gerçek anlamda arttırmamaktadır. Gözlem sayısının küçük olduğu böyle durumlarda havuzlanmış varyans tahmincisi, 2 1

(X X)

σ ′ − ‘i işlem dışı bırakarak ve HAC (Heteroskedasticity and Aurocorrelation Consistent)¹⁴ tahmincileri kullanarak sıradan EKK yöntemine başvurmak mantıklı bir tercih olabilir. Örneğin otokorelasyon sorunu olduğunda Newey-West tahmincisi; heteroskedasite durumunda ise Eicker-White

116

tahmincisi kullanılabilir. Bu yaklaşım çok daha doğru ve gözlem sayısı büyük olmadığı sürece uygun bir yöntemdir.

Sıradan EKK yöntemi genel olarak şu şekilde hesaplanmaktadır;

1

ˆ _{( )}

OLS

X X X Y

β = ′

−

′

(4.36)

Hata terimleri ise,

ˆ_j ( )_j

u = Y−Xb (4.37)

şeklinde elde edilir. Hata terimleri vektörünün varyans-kovaryans matrisi Ω’in köşegen matris olduğunu veya farklı gözlemlerden elde edilmiş hata terimlerinin ilişkisiz olduğunu varsayalım. Bu durumda tahmini hata terimleri yardımıyla hesaplanan her bir köşegen uˆ_j ve dolayısıyla

ˆ

EKK

Ω

şu şekilde elde edilecektir;

2 2 2

1 2

ˆ _{diag(ˆ , ˆ , , ˆ ).}

OLS

σ σ σ

n

Ω = …

(4.38)

İlk formülasyon kullanılarak şu şekilde devam edilebilir;

1

ˆ

1

ˆ

_{EGEKK EGEKK}

u = −Y Xβ

(4.39) 2 2 2 1 1,1 1,2 1, ˆ _{diag(ˆ , ˆ , , ˆ )}

EGEKK

σ

EGEKK

σ

EGEKK

σ

EGEKK n

Ω = … (4.40)

1 1 1

2 1 1

ˆ ₍ ˆ ₎ ˆ

EGEKK

X

EGEKK

X X

EGEKK

y

β = ′Ω

− −

′Ω

− (4.41)

ˆ

Ω ‘ın bu tahmini yakınsama için sürdürülebilir,

Her hangi bir EGEKK tahmincisinin ₍ˆ ₎

( )

_0,

EGEKK

n

β

−

β

N V şeklinde asimptotik dağılacağı geçerli varsayımı altında, n gözlem sayısını göstermek üzere,

1

p-lim( / )

V = X′Ω⁻ X T ‘dir.

T zaman boyutunu göstermek üzere; p-lim, T sonsuza giderken varyansın limitini ifade etmektedir.

117

4.2.2.4. Havuzlanmış Model, Sabit Etkiler Modeli ve Tesadüfi Etkiler Modeli

Belgede Gelişmekte olan ülkelerin yakın komşularıyla dış ticaret hacminin doğrudan yabancı yatırımlar üzerine etkisi (sayfa 130-135)