Tam Sayılı Programlama Yöntemi

DP modeli hemen her türlü işletme sorunlarını çözmek için uygulanabilecek yapıda olmasına rağmen, uygulamada ortaya çıkan sonuç, ya işletmenin üretim şeklinden dolayı, ya da DP modelinin uygulandığı sorunun yapısından dolayı istenilen durumu ortaya koymayabilir. Çünkü ekonomik yaşamda her zaman girdi ve çıktıların bölünmezlik sorunları ile karşı karşıya kalınmaktadır. Bölünmezlikleri ele alınan problemlerin çözümleri de tam sayı olmalıdır. Modellerin uygulanmasında, değişkenlerin tam sayı olması şartının incelenmesi ve araştırılması durumunda kullanılacak model; Tam sayılı Doğrusal Programlama (TDP) modelidir. Tam sayılı Doğrusal Programlama modeli, değişkenlerin bazısının veya hepsinin pozitif tam sayılı değer alacağını varsayan matematiksel programlama problemlerinin çözümü ile ilgilenir.129

Bazı problemlerde tam sayı değerli olmayan çözüm değişkenlerinin bir anlamı bulunmamaktadır. Bazı girdi ve çıktıların bölünmezlik sorunu, karar

127

Dündar Abdullah Oktay, Zerenler Muammer, Bir Un Fabrikasında Hedef Programlama Uygulaması, Selçuk Üniversitesi İibf Sosyal Ve Ekonomik Araştırmalar Dergisi, 2011, s.76,77

128

Alp Selçuk, a.g.e., s.76,77 129

Çevik Osman, Tam Sayılı Doğrusal Programlama İle İşgücü Planlaması Ve Bir Uygulama, Afyon Kocatepe Üniversitesi İktisadi İdari Bilimler Dergisi, 2006, C.2, S.1, s.158

50

değişkenlerinin tam sayı değerli olmasını gerektirir. Doğrusal programlama problemlerinin tam sayılı çözümünün elde edilmesinde kullanılan algoritma (işlem) tam sayılı programlamadır. Doğrusal programlama modeli ile tam sayılı doğrusal programlama modeli arasındaki tek ayrıcalık, doğrusal programlamadaki pozitif olma koşulunun (Xij≥0), tam sayılı olma koşuluna (Xij=0,1,2,3,4,5....) dönüşmesidir. Tam sayılı programlamada tüm Xij değişkenlerinin değerleri sıfıra eşit veya sıfırdan büyük tamsayıdır.130

Tam sayı değişken içeren modeller genellikle büyük ölçekli planlama modelleridir. Kullanım alanlarından bazıları şu biçimde sıralanabilir:

 Teçhizat kullanımı. Pahalı ve büyük kapasiteli araç gerecin (otomatik paketleme makineleri, petrol tankeri gibi) modelin planlama süresi içinde kullanılıp kullanılmayacağı, Xj tams ayılı değişkenlerle simgelenir.

 Sabit şarj sorunları sabit maliyetlerin üretim düzeyi olarak tanımlanan Xj değişkenine bağımlı olmaksızın değiştiği, Xj>0 olduğunda sabit üretimi başlatma maliyeti bulunan sorunlar (çelik işletmesinde yüksek fırın kullanımında olduğu gibi).

 Atölyede iş dağıtım sorunları, çeşitli işlerin çeşitli işlere atanması sorunları ve tek makinede işlenecek n işin en kısa olanaklı zamanda bitirilmek üzere sıraya konulması sorunları.

 Yığın üretim sorunları üretim planlamasında Xj üretim düzeyini Xj=0 ya da Xj≥Lj ( Lj=birim olanaklı yığın üretim miktarı) olacak biçimde kısıtlama gereği olan sorunlar.

 Yap-yapma sorunlar. Xj’ nin 1 ya da 0 olduğu yeni bir tesis kurup kurmama, yeni bir pazara açılıp açılmama sorunları. Bu sorunlar genellikle büyük kapital ve kaynak harcamaları gerektirdiğinden sermaye bütçelemesi sorunları olarak bilinir.

Tam sayılı programlama modellerinin formülasyonu, sürekli değişkenli matematiksel modellerin formulasyonuna önemli derecede benzerlik gösterir. Amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcıların cebirsel ifadesi iki modelde de aynı gibi durmasına rağmen, bazı ya da tüm değişkenlerin tam sayı olmasını sağlayan bazı kısıtların eklenmesi, hesaplama bakımından tam sayılı problemleri daha

130

Gül M. L., Elevli S., Tamsayılı Doğrusal Programlama İle Bir Çimento Fabrikasının Nakliye Probleminin Çözümü, Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi,2006, S.22, s.233

51

zor hale getirir. Doğrusal programlama modelleri, polynominal zamanda çözülebilirken, aynı problemin tam sayılı çözümünü bulmak üssel hesaplama zamanı gerektirebilir.131

Doğrusal Programlama modeli ile Tam sayılı Doğrusal Programlama arasındaki fark, Doğrusal Programlama modelinde karar değişkenlerinin sıfır ve sıfırdan büyük olma koşulu aranırken, Tam Sayılı Doğrusal Programlama da değişken değerlerinin sıfıra eşit ve sıfırdan büyük tam sayı almaları şartının istenmesidir.

Genel olarak Tam Sayılı Doğrusal Programlama problemi sembolik olarak şöyle gösterilebilir;

Maks. Z = ∑

Kısıtlayıcılar ∑ ≤ i=1, 2, ....m xj = 0, 1, 2, ...tam sayı (J = 1, 2, ...n) 132

Bu modele üstünlük kazandıran özellikleri, problemdeki değişkenler arasındaki ilişkiyi sayısal olarak en yalın biçimde göstermesi ve bu sayede problemi anlaşılır hale getirerek, yorumunun açık ve net olarak yapılabilmesi, problemin tümüne bir bütün olarak bakabilmeyi sağlayabilmesi gibi özellikleridir.133

Örnek: Farz edelim ki $14,000 yatırım yapılmak isteniyor. Dört yatırım fırsatı belirlendi.

Yatırım 1: $ 5’ lık bir yatırım gerektirmekte ve getirisinin şimdiki değeri $ 8 olmaktadır.

Yatırım 2: $ 7’ lık bir yatırım gerektirmekte ve getirisinin şimdiki değeri $ 11 olmaktadır.

Yatırım 3: $ 4’ lık bir yatırım gerektirmekte ve getirisinin şimdiki değeri $ 6 olmaktadır.

Yatırım 4: $ 3’ lık bir yatırım gerektirmekte ve getirisinin şimdiki değeri $ 4 olmaktadır.

Hangi yatırımlara para yatırarak getir en büyüklenir?

131

Patır Sait, Tam Sayılı Programlama Ve Malatya Maksan Transformator İşletmesine Bir Uygulama, İnönü Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Ocak 2009, C.23, S.1, s.194, 195

132

Çevik Osman, a.g.e., s.159 133

52

İlk adım değişkenleri belirlemektir. Tam sayı sınırlamasının getirdiği çeşitli karşıtlıklar ve numaralar yüzünden TP’ de bu işlem daha zordur.

Örnekte her yatırım için bir 0-1 kullanılır.

1 ise j. Yatırım yapılır, 0 ise j. yatırım yapılmaz. Bu durumda 0-1 programlama sorunu söz konusudur: Maks 8x1 + 11x2 + 6x3 + 4x4

Öyle ki

5x1 + 7x2 + 4x3 < 14 = 0 veya 1 j = 1,... 4

Doğrudan yapılacak bir değerlemede (amaç fonksiyonu katsayıları kıst katsayılarına oranlanması) yatırım 1’ in en iyi seçenek olduğunu önerebilir. Tam sayı kısıtlarına önem verilmezse en iyi DP çözümü aşağıdaki gibidir.

= 1, = 1, = 0,5 ve = 0; toplam getiri değeri $22,000.

Ne yazık ki bu çözüm tam sayılı çözüm değildir. 0’ a yuvarlanırda $ 19,000 toplam geriri değeri olan olurlu bir çözüm elde edilir.

TP çözüm tekniği kullanılırken en iyi tam sayılı çözüm bulunursa = 0, = = = 1 ve toplam getiri değeri $21,000 olur.134