Doğrusal Programlama Yöntemi

Genel doğrusal programlama problemi, verilmiş (r) değişkenli doğrusal eşitlikler ya da eşitsizliklerin, bir kısım değişkenlerin doğrusal fonksiyonu olan sınır şartlarını aşmadan, maksimize ya da minimize eden pozitif değerlerin bulunmasıdır. Bu, işletme açısından, malzeme, işgücü, makina gibi faktörlerin bazı sınırlayıcı şartlar altında amaca ulaşacak biçimde kullanılmasını sağlayan teknik olarak alınabilir. Bu itibarla doğrusal programlama işletmede kapasitenin ya da kıt kaynakların değişik kullanım biçimlerinin en uygun olanını tayin işlemi olarak da tanımlanabilir.135

134

Önsel Şule, İstanbul Teknik Üniversitesi, Tam Sayılı Programlama Ders Notları, http://web.itu.edu.tr/kabak/dersler/EM302/pdf/TSP.pdf, 20 Ocak 2014, s.1,2

135

Gürdoğan Nazif, Üretim Planlamasında Doğrusal Programlama Ve Demir Çelik Endüstrisinde Bir Uygulama, Atatürk Üniversitesi Siyasal Bilgiler Fakültesi Yayınları, S.473, s.29

53

Doğrusal Programlama bir optimizasyon (en iyileme) tekniğidir. Yöneylem araştırmasının klasik optimizasyon modellerinden biri olup, üretim sistemlerinin planlanmasında yaygın biçimde kullanılır.

Doğrusal Programlama, değişkenlere ve kısıtlayıcılara bağlı kalarak amaç fonksiyonunu en uygun (maksimum veya minimum) kılmaya çalışır. Buna göre Doğrusal Programlama, değişkenlere ve kısıtlayıcılara bağlı kalarak amaca en iyi ulaşma tekniğidir. Temelde doğrusal programlama, verilen optimallik ölçütüne bağlı kalarak kıt kaynakların optimal dağıtımını içeren matematiksel bir tekniktir.

Bir başka tanıma göre doğrusal programlama, doğrusal eşitlik veya eşitsizlikler halinde bulunan kısıtlayıcı şartlar altında, belli bir amaç fonksiyonunun en iyilenmesidir.136

Doğrusal Programlama fikri ilk kez, ikinci dünya savaşı yıllarında, Rus matematikçi L. W. Antarovich tarafından savaş operasyonlarında karmaşık planlama problemlerinin çözümü için geliştirilmiştir. Geliştirilen yöntem savaş süresince gizli tutuldu. Kantarovich’in 1942 de yazdığı “The best use of economic resources” başlıklı çalışması ancak 1959 yılında yayınlanmıştı. Savaş sonrası, 1947 yılında G. B. Danzig simpleks yöntemini yayınladı; J. Von Neumann dualite ilkesini geliştirdi ve oyun teorisine uyguladı. İlerleyen yıllarda pek çok endüstri günlük planlama problemlerinde doğrusal programlamayı kullandı. Doğrusal programlamanın yaygın ve etkin olarak kullanıldığı alanlar arasında üretim planlaması, hava yolu taşımacılığı, deniz taşımacılığı, telekomünikasyon ağları, rafineriler, hisse senetleri piyasası, portföy yönetimi sayılabilir.137

Doğrusal programlamanın üretim planlamasında ilk uygulaması atölye tipi üretim üzerinde M.E. Salveson tarafından yapılmıştır. Talepte meydana gelebilecek değişmeler, üretimin planlamasında, kapasitenin kullanılmasında ve işgücünün ayarlanmasında; yöneticiler için oldukça güç sorunları ortaya çıkarırlar. Değişmelere ancak fazla çalışma saatleri ekleyerek, işgücünde uyarlamalar yaparak, ürün stoklarının seviyesinde değişiklik ve taleplerin miktarında ayarlamalar yaparak ya da bunlardan bir kaçını birleştirerek karşılamak zorundadırlar. Burada yapılan düzenlemelerin her biri üretim planlamasında minimum maliyetle karar almada çok etkili olabilecek yükler getirir. Bu itibarla belirli bir ürünün toplam maliyetlerini minimize ederek,

136

Türköz N. Filiz, Doğrusal Programlama Methodu İle Üreti Planaması, Süleyman Demirel Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü, Isparta, 2001, s.14

137

Karakaş Halil İbrahim, Başkent Üniversitesi, Ders Notları,

54

gelecekteki talepleri karşılayabilecek bir biçimde programlanma yapılması oldukça önemlidir.138

Bir doğrusal programlama problemi genel itibari ile amaç fonksiyonu ve doğrusal sınır/sınırların yer aldığı iki kısımlı bir matematiksel ifadedir. Bu matematiksel ifade ile bir amaç ya maksimize yada minimize edilir. Doğrusallık ifadesi modelde yer alan tüm değişkenler (fonksiyonlar) arasındaki ilişkinin doğrusal olmasından kaynaklanmaktadır. Doğrusal sınırların oluşturduğu kesişim kümesinden yola çıkılarak mümkün çözümler ya da uygun çözüm alanı belirlenir. Belirlenen uygun çözüm alanı ise amaç doğrultusunda eniyilemeye çalışılır. Doğrusal programlama ile bağımsız değişkenlerden oluşan bir dizi fonksiyon ile yine bir dizi bağımsız değişkenlerin bir fonksiyonu olan bağımlı değişkenin optimal değeri belirlenmeye çalışılır. Bir başka ifade ile doğrusal programlama, belirli bir amacı eniyilemek maksadıyla sınırlı kaynakların nasıl dağıtılması gerektiğine çözüm arayan bir karar verme aracıdır.139

En yaygın kullanım alanı bulan tekniklerden bir tanesi olan Doğrusal Programlama (DP), doğrusal karar modelleriyle ilgili kavram ve teknikler bütünüdür. Doğrusal programlama, bütün model parametrelerinin kesin olarak bilindiğini varsayan deterministik bir tekniktir.

Bir doğrusal programlama problemi (DPP) üç bölümden oluşur:

1- Bir DP problemi, karar değişkenlerinin (x1, x2, ....,xn) doğrusal bir fonksiyonu olan amaç fonksiyonu içerir. Amaç fonksiyonu maksimizasyon ya da minimizasyon amaçlı olabilir.

2- Bir DP problemi, karar değişkenlerinin alacağı değerleri sınırlayan kısıtlar seti içerir. Her bir kısıt seti doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik şeklinde ifade edilmelidir.

3- Bir DP problemi, karar değişkenlerinin negatif olmama gerekliliğini belirleyen bir kısıt içerir. xj ≥ 0, (j=1,...,n).140

Doğrusal bir amaç fonksiyonunda: , , ..., : Karar değişkenleri

138

Çetindere Aysel, Sevim Şerafettin, Duran Cengiz, Üretim Planlama Problemlerinde Doğrusal Programlama Tekniğinin Kullanımı, Bir Konfeksiyon İşletmesinde Uygulama, Erciyes Üniversitesi İktisadi Ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi, Ocak-Temmuz 2010, S.35, s.273

139

Küçükkoç İbrahim, Balıkesir Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, Doğrusal Programlamada Karışım Problemleri, http://w3.balikesir.edu.tr/~ikucukkoc/dokumanlar /mixture.pdf, s.2

140

Çebi Ferhan, İstanbul Teknik Üniversitesi İşletme Fakültesi, Ders Notları, http://web.itu.edu.tr/~cebife/DP_model(2).pdf, s.2

55

, , ..., : Kar ve maliyet sabit katsayıları

, , ...., ve , , ...., : Kısıtlayıcı şartlar olduğunda, + + ... + ( ≤ = ≥ ) + + ... + ( ≤ = ≥ ) ... + + ... + ( ≤ = ≥ ) kısıtlayıcı şartlar; ∑ ( ≤ = ≥ ) ( i= 1, 2, ....m ) pozitiflik şartı; , , ... , ≥ 0 ≥ 0 ( j = 1, 2, .... n )

amaç fonksiyonu ( amaç denklemi ) ise; Z = + + ... + =

Z = ∑ şeklinde tanımlanabilir.

Burada amaç, Z’ i maksimum veya minimum yapacak değerini bulmaktır. Doğrusal programlama modelinin amaca ulaşımını sağlayacak alternatif yollarının olması gerekmektedir. Bu bağlamda, Z’ nin belirli bir değere en yüksek veye en az olabilmesi için de bir değer olmalıdır. Yoksa Z , + ∞ da maksimum veya minimum olur ki, bunun işletme için hiçbir anlamı yoktur. Bu yöntemin amacı, işletmenin amacını maksimize veya minimize edecek kontrol edilebilen değişkenleri bulmaktır. Doğrusal programlama modeli ile problemler çözülebilir hale getirilir ve amaçlanan , ’ nin değerini bulmak değil, modeli kurmaktır.141

Örnek: Turan A.Ş. işletmesi yatırım için 28.000 TL bütçe ayırmıştır, yatırım seçeneklerine ilişkin tablo aşağıdaki gibidir. Doğrusal programlama yöntemi ile sermaye bütçelemesi modelini kurunuz.

İşletmenin doğrusal programlama yöntemine ilişkin verileri tablo 9’ daki gibidir.

141

Öncer Ayla Zehra, İşletmelerin Büyüme Stratejisini Belirlemede Doğrusal Programlama Yaklaşımı, Marmara Üniversitesi İ.İ.B. Dergisi, 2012, C.33, S.2, S.412,413

56

Yatırım seçeneği 1 NBD: 16.000 TL Yatırım Miktarı: 5.000 TL

Yatırım seçeneği 2 NBD: 18.000 TL Yatırım Miktarı: 9.000 TL

Yatırım seçeneği 3 NBD: 20.000 TL Yatırım Miktarı: 10.000 TL

Yatırım seçeneği 4 NBD: 22.000 TL Yatırım Miktarı: 11.000 TL

Tablo 9: Doğrusal Programlama Yöntemi Örnek Tablosu = 1; i=1,2,3,4 seçeneği seçilmişse

= 0; i=1,2,3,4 seçeneği seçilmemişse Bu durumda amaç fonksiyonu:

Z=16x1 + 18x2 + 20x3 + 22x4 Toplam yatırım miktarı:

5x1 + 9x2 + 10x3 + 11x4 <28

= = =1, =0 için:

Problemin en iyi çözümü

Z=16(1)+18(0)+20(1)+22(1) = 58.000 TL Olarak belirlenmiştir.

26.000 TL harcanarak en iyi çözüme ulaşılmış, tam sayı olma koşulundan dolayı 2.000 TL elde kalmıştır.

1.2.4. Riskli Yatırım Projelerinin Değerlendirilmesinde Kullanılan