Esta questão visava à identificação de propriedades matemáticas, mais especificamente, as propriedades envolvendo termos eqüidistantes, através do exercício de observação e da ação empírica com o auxílio de facilitadores: computador e software Cabri Géomètre II.
Panorama do ambiente:
• Atividade aplicada em sala ambiente de informática com duração de 2 horas aula (100 minutos),
• Recursos utilizados: 8 computadores em rede, protocolo da atividade 2 – Degraus – software Cabri Géomètre II e caneta.
• Instrumentos de coleta de dados: gravação de registros de dados via protocolo dos alunos, diário de bordo, gravação em vídeo, uso do blog, arquivos do Cabri gravados em mídia digital.
Considerações preliminares:
Dentre os 8 alunos envolvidos, 7 tinham familiaridade com o uso do computador, dentre os quais 5 conheciam o Cabri II, sem contudo dominar o seu uso.
Essa inexperiência não se traduziu em obstáculos, ao contrário, os alunos participantes encararam como uma trabalhosa mas gostosa tarefa, um desafio possível de ser vencido, como podemos reconhecer através de comentário postado 1 no blog .
Consoante ao que havia escrito anteriormente, nesta pesquisa utilizo um blog, como espaço de livre manifestação dos alunos, cujos comentários auxiliaram na reflexão sobre a prática pedagógica, embora também este instrumento de coleta de dados tenha servido para outras funções, que serão vistas adiante.
[nanda souza] [[email protected]]
Bom, acho q a matemática deve ser levada deste modo. Pois tem uma frase q diz:"È errando q se aprende" e aqui é brincando q se aprende. Levar a matemática deste modo fica bem mais fácil e divertida. Claro q tem momentos em q temos q deixar a esportiva de lado mais nem sempre é bom... 04/05/2007 12:35
Na maior parte do tempo, a filmadora ficou fixa em posição cuja angulação permitia o maior enquadramento do grupo e, em alguns momentos de intervenção do mediador, a mesma o acompanhou.
Desta feita, a quantidade de alunos permitiu um melhor aproveitamento do tempo, ao que acrescento que foram poucas as dificuldades relativas ao uso operacional do computador, favorecendo o desenvolvimento das habilidades de experimentação e visualização, muito importante para a tarefa neste ambiente. Os maiores entreveros estiveram relacionados ao uso do teorema do ponto médio e do conceito de simetria, mas a ação do mediador contava com estas dificuldades para orientar os alunos a uma observação cuidadosa.
A opção pelo uso do Cabri Géomètre II era prevista nas linhas do AprovaMe, traduzida inicialmente pela disponibilidade do software em escolas da rede pública estadual, depois, pela familiaridade que o pesquisador possui em relação ao software, em muito devido ao curso de geometria e um pequeno bocado à TIC’s, ambas cursadas ao longo deste mestrado profissional na PUC-SP. e também por apostar na eficiência desse software de uso tipicamente geométrico, em situações de aprendizagem envolvendo contextos de iniciação a prova e demonstração, dado aos recursos de visualização e continuidade, permitindo pela via da experimentação que nossos alunos interajam, formulando e validando suas representações, obtidas muitas vezes, pela reconstrução do erro, importante apoio proporcionado pela informática.
Etapa analítica da segunda atividade: Degraus.
Indico a segmentação das atividades guiadas pelos hábitos de pensamento matemático no indicadas no quadro informativo 16.
BLOCO – COR QUESTÕES HÁBITOS DO PENSAMENTO MATEMÁTICO Amarelo 1,2, 3,7, 8, 9,
13 e 14
A tendência para traduzir informação apresentada verbalmente em informação visual (e vice-versa)
Turquesa 4,10, 11 e 12 A tendência para procurar invariâncias
Violeta 5,6,15,16,17
e 18 A tendência para misturar experimentação e dedução
O mediador começou a atividade com uma pequena exposição do papel facilitador do computador, salientando a importância em observar detalhes do desenvolvimento da atividade a cada ação solicitada. A seguir, entregou aos alunos presentes um protocolo que, em sua primeira parte, continha as orientações sobre os procedimentos a serem adotados no Cabri II, apresentado pelo quadro informativo 17 indicado na próxima página. Posicionados cada qual com um computador, começaram os trabalhos e a ação do mediador se pautou em auxiliar no uso das ferramentas do Cabri II, principalmente ponto médio e simetria axial e assim seguiu até que os alunos conseguissem obter o objeto de visualização que serviu de parâmetro para as demais questões da atividade, indicando o início da fase interpretativa dos dados, pois, presumo que nos três blocos propostos para esta atividade, o processo de visualização era fundamental para que o aluno pudesse atribuir o significado ao que se pretendia com a proposição dos itens 2 e 3 da atividade.
O objetivo específico lançado era que o aluno observasse e aplicasse a condição generalizante identificada na propriedade: Em uma PA finita de quantidade de termos
quaisquer, para se obter a soma de seus termos basta multiplicar a média aritmética entre termos eqüidistantes pela quantidade de termos da PA., a partir da confecção de
objeto visual retratando primeiramente uma quantidade ímpar de elementos e depois com quantidade par.
Nesta proposta, a mediação foi direcionada em orientar para observação reflexiva de processos visuais como meio de favorecer a descrição de processos matemáticos, sejam propriedades, definições ou algoritmos. Promover a experimentação como forma autônoma de criação e expressão, além de estimular interação, com vistas ao aprimoramento do vocabulário matemático envolvendo a definição de termos eqüidistantes em seqüência finita de termos de uma PA qualquer.
Nessa atividade, começa a inserção pela via tecnológica como forma de auxiliar no desenvolvimento da capacidade argumentativa dos alunos participantes. A intenção era de que, a partir de uma constante interação entre eles, os alunos fossem capazes de perceber invariâncias nos procedimentos decorrentes de comandos imputados ao computador e socializassem suas observações obtidas via interface tecnológica, levando-as à discussão com o grupo, de tal sorte que pudessem ou não ser validadas por aquela comunidade.
Esperava-se que dessa contínua re-elaboração das imagens mentais e conseqüente aprimoramento da habilidade de visualizar, surgissem elementos que corroborassem no alcance da meta matemática dessa atividade: a formulação de uma propriedade relacionada
aos termos eqüidistantes de uma progressão aritmética. A atividade é apresentada aos alunos com o suporte do roteiro descritivo abaixo:
i. Edite mostrar eixos e deixe a grade aparente
ii. Crie uma seqüência ímpar (maior ou igual a 5 elementos) de retângulos com áreas em PA, todos alinhados verticalmente à esquerda, como se fosse uma escada;
iii. Nomeie cada um desses retângulos por: a1, a2, a3, a4, a5...
iv. Colorir cada uma das figuras (evite usar o vermelho, para que não se confunda com a legenda e também não dificulte identificar o ponto médio)
v. Encontre e nomeie o ponto médio M entre os vértices superior direito do primeiro e o vértice inferior direito do último (atenção).
vi. Peça a simetria central de cada um dos polígonos criados em relação ao ponto M
A primeira etapa desta atividade visava levar o aluno a perceber, pela reconstrução mental de sua experiência e, facilitado pelo exercício da visualização, que os novos degraus formados em decorrência da junção da segunda escada com a original, formavam dois a dois, todos eles, figuras (fig.1) de mesma área .
Figura 1 – Tela do Cabri II com a apresentação do objeto visual – Degraus ímpares
Essa percepção foi explorada na segunda questão, que começou focando nos aspectos geométricos da nova figura e exigiu que fossem feitas observações e descrições, baseadas na figura, ou seja, através da visualização da mesma.
E, a partir daí, seguiu requisitando informações mais algebrizadas como pode ser notado no item 3 (exemplo 2).
Recortes da segunda atividade - Exemplo 2
A quarta questão já enveredou por um procedimento mais analítico do que numérico, não fazendo menção a valores e entendo que sua concretização mostra evoluções nos hábitos relacionados à construção de explicações sistemáticas para as invariâncias observadas.
Recortes da segunda atividade - Exemplo 3
A questão de número 5, requeria que o aluno fizesse o uso correto de termos matemáticos para dar sentido a uma frase , mais do que isso, para evidenciar uma
definição.
Utilizei a questão 6 para apontar ao aluno que, assumida determinada posição – mais tarde tratada por hipótese – era preciso procurar elementos para constituir a defesa para aquela opinião e a mediação orientou para que refizessem o processo que tinham acabado de desenvolver para uma escada de número impar de degraus, para criar uma nova escada, desta feita com número par de degraus.
Os alunos entenderam a proposta e se empenharam na criação da nova escada. Segundo o proposto na Teoria da Comunicação, a relação entre o esforço desprendido e a satisfação obtida é um elemento essencial para conseguir a adesão do auditório, assim considerado os alunos desta pesquisa.
O modo diferente como se interpreta o termo médio nesta questão foi o ponto de reflexão utilizado pelo mediador para fazer crer aos seus alunos que é preciso sempre desenvolver o processo a níveis seguros para sua proposição, não podendo basear-se simplesmente no ‘acho que é’. Todos os oito alunos presentes partiram da suposição de que seria possível aplicar o mesmo procedimento para encontrar a soma dos termos de uma PA finita com quantidade de termos pares, conforme nos mostra o exemplo 5.
Recortes da segunda atividade - Exemplo 5
Portanto, foi a partir desse momento, com as questões que se seguiram, que a atividade se mostrou mais investigativa da condição de apreensão do conceito em estudo por parte do aluno. As afirmações passaram a se basear em nova figura (fig. 2) inicial com número par de degraus.
Apresento fragmentos dos resultados apresentados, com poucas diferenças nos modos de se expressar para as questões: 7, 8 e 9, devido, principalmente. ao formato da atividade, que tinha esta intenção inicial (exemplos 6 e 7):
Recortes da segunda atividade - Exemplo 6
Os exemplos para as questões 7, 9 e 10 têm resultados muito semelhantes, mas cabe chamar a atenção para o item 8, para a qual somente um aluno (ex. 7) respondeu ‘não’. Notoriamente, a intervenção do mediador feita no sentido de orientar a leitura do enunciado, não surtiu efeito e conclui-se que para esses alunos: termo médio e termo do meio tinham o mesmo significado e estava fortemente associado à idéia da visualização. Ao final da atividade e após a entrega dos protocolos, retomei a discussão com a turma e apontei as diferenças entre médio e meio para esta atividade.
Recortes da segunda atividade - Exemplo 7
Os próximos exemplos – 8 e 9 – ilustram a apresentação dos itens 11 e 12 da atividade e se constituíam em um exercício de treinamento de descrição de processos visuais, como já o fora às atividades 3 e 4. Foram ações necessárias para que se pudesse fazer uma limpeza de procedimentos, tais como: não esquecer a colocação do sinal das operações de forma conveniente, não deixar de indexar termos quando assim for exigido e
fazê-los de forma consciente, não deixar de utilizar elementos separadores – como os parênteses – para empreender o verdadeiro sentido matemático da operação: enfim, serviu para que fossem tomando consciência da necessidade dos detalhes em escrita matemática.
Recortes da segunda atividade - Exemplo 8
Recortes da segunda atividade - Exemplo 9
Os procedimentos envolvendo a explicação sistemática de um fato matemático (ex. 10) foram retomados, ainda que apoiados na estrutura do enunciado, entendo, que esse apoio, encorajou a proposição de justificativas, quando questões mais abertas (item 15) foram propostas :
Recortes da segunda atividade - Exemplo 10
Nesta etapa da atividade, esperava-se o confronto entre o que o aluno acabará de conjeturar com a apresentação da sentença matemática da questão 16 – que pedia a
descrição de um procedimento geral para a obtenção de termos eqüidistantes – com o que havia admitido como hipótese na questão 6: “Responda: O mesmo procedimento se aplica a uma PA finita de quantidade de termos par?”, para a qual obtive 7 respostas afirmativas. As conclusões apresentadas registram o entendimento que, a propriedade para pares é soberana, porém, a forma como o item 16 foi apresentado para os alunos, sem a indicação da lacuna para o assentamento do termo – quantidade –, mostra que é preciso rever esta parte da atividade que, acabou por influenciar na escrita da proposição como um todo. Outra orientação que precisa ser feita, está relacionada ao uso do termo qualquer para casos gerais, vê-se no exemplo dado que a idéia compreendida não consegue ser expressa de forma esperada pelo professor:
Recortes da segunda atividade - Exemplo 11
A atividade através de seu enfoque dirigido, deixa pouca abertura a observação quanto aos resultados, sobretudo, que este não era o nosso objetivo maior com a mesma. No entanto, um fato chamou a atenção deste pesquisador, refiro-me a questão 8, para a qual, sete dos oito alunos que participaram desta atividade responderam sim e, entendo que, em geral, os enunciados são textos a espera de interpretação. Tal interpretação vai depender do repertório de cada indivíduo ao se apropriar do mesmo. Este repertório se amplia através de experiências que forcem novos olhares e não apenas porque o professor ou outro colega aponta ou fala sobre algo novo.
Esperava possibilitar um ambiente propício ao desenvolvimento de diálogos e questionamentos que pudessem ser encaminhados na direção que esta pesquisa aponta como rumo: a argumentação em processos de negociação de significados E encontrei vários motivos que servem como incentivo a continuar com essa proposta que, busca desenvolver hábitos que possam permitir ao aluno, emitir justificativas e a apresentar argumentações em condições de progredir gradativamente à demonstração e prova.
Focando nos hábitos da visualização e experimentação, pude constatar pelo comentário postado 2 no blog, que o retorno obtido por parte dos alunos indica que o trabalho em equipe para este tipo de atividade é bem ajustado . Consegue dar segurança ao aluno para experimentar e obter por conta de seu experimento, melhores condições de estruturar suas justificativas, torna-se mais fácil falar sobre algo já vivenciado ou no qual sua participação no processo de construção não foi meramente figurativa:
[Daniela Dias] [[email protected]] [danielaprinces.zip.net]
Atividade da escada Esta aula foi muito boa,pois trabalhamos em equipe,tiramos todas as nossa dúvidas não só com os colegas e também com o prof° Eduardo. Além disso tivemos a
oportunidade de ter o auxílio do computador,que tivemos a melhor visualização da atividade. gostei da aula,pois consegui entender e tirar todas as minhas dúvidas. valeuuuuuuuuu a aula pof°,bem que poderia ter mais vezes,né!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
04/05/2007 11:21 Blog - comentário postado 2
Ao propor a interação entre os alunos, percebe-se que o ambiente ganha em criatividade, que muitas vezes, pode não ser transmitida pelas vias mais comumente utilizadas para apresentar resultados e que os alunos são favoráveis a este tipo de iniciativa, pois, mostram-se mais dispostos a dedicar tempo e esforço.
Quando os alunos se acham seguros e confortáveis, eles se mostram mais produtivos, não temendo ao erro, já que o crivo de interpretação primeiro é o da sua comunidade de colegas e fortalecidos pelos incentivos mais próximos, ganham em confiança e autonomia no momento de sua argumentação.
Durante a análise do material coletado, principalmente as gravações, pude observar que rápidos diálogos continham muitos elementos expressivos e condizentes com a linha desta pesquisa. Os diálogos que aparecem a seguir evidenciam os episódios ao estilo de história em quadrinhos, utilizando seqüência de quadros extraídos da gravação original. Saliento que o roteiro é baseado no diálogo real e os personagens são os sujeitos participantes da pesquisa.
Diálogos em sala de aula 2 – Cenários de mediação com auxilio do computador.
Aluna indagando ao professor sobre a possibilidade de uso da mesma figura para encontrar o ponto médio, fazendo alusão a mesma indicando-a na tela do computador
Sua amiga começa a indicar que o ponto médio da figura... Î
não será o mesmo, pois haverá a inclusão de mais um lance
Aponta na tela local onde supostamente seria
acrescido o novo degrau Î
E argumenta, que a partir desse acréscimo, o meio não seria mais representado pelo bloco amarelo...
que é o atual ponto médio. Quando vai terminando sua fala, desvia o olhar para o professor que observa a sua argumentação, esperando uma confirmação... Î
Por fim, para validar o argumento da colega, nossa primeira aluna repete as informações, confrontado com aquela sua primeira impressão, a fim de mostrar seu entendimento.
As dificuldades das atividades são encaradas de forma desafiadora e estimulante, quando os alunos sentem-se capazes de resolvê-las, deixando-os mais motivados e confiantes, quando as etapas vão sendo vencidas:
[camila...] [[email protected]] [ca.legg.zip.net]
Essa atividade foi um pouco longa,mas quando vc se envolve na atividade,quando vc começa a entender o q lhe é passado,tudo fica muito mais fácil... Eu gostei,mas só depois q eu começei a entender,mas no começo eu não estava gostando mas eu curti pra caramba essa experiencia...
04/05/2007 11:24
Blog - comentário postado 3
[Carolina Vitorino]
sim na opiniao eu acho que com essa atividade cada um vai reconhecendo mais matematica. acaba influindo mais na vontade
04/05/2007 11:24 Blog - comentário postado 4
As maneiras diferentes como uma mesma idéia matemática pode ser vista, é importante para estabelecer que, embora seja uma ciência exata, há muitos modos de expressarmos a mesma opinião em Matemática e cada um deve fazê-lo pela forma como se sentir mais seguro.
[karen] [[email protected]]
A atividade foi bem interesante pois podemos ver a diferença de cada um pensar e espresar suas ideias sobre cada assunto.... A a tividade foi bem interesante pois vi que não so eu mas como varias outras pessoas tem dificuldadede alguma coisa... Bom fiko por aki BIG BJKS. A TODOS.
04/05/2007 11:31 Blog - comentário postado 5