Esta questão procurou propor atividades em que se fizesse necessário o uso de evidências matemáticas como propriedades, algoritmos e definições para justificar os argumentos apresentados como soluções. A intenção era fazer com que o aluno percebesse a pertinência em utilizar a fórmula do termo geral da PA e a partir de sua aplicação obter insumos para solucionar a atividade.
Panorama do ambiente:
• Atividade aplicada em sala ambiente de informática, com duração de 3 horas aula. – (150 minutos).,
• Recursos utilizados: 8 computadores em rede, protocolo da atividade 3 – Progredindo na vida! (A escada) – software Cabri Géomètre II, papel e caneta.
• Instrumentos de coleta de dados: gravação de registros via protocolo dos alunos, diário de bordo, gravação em vídeo, uso do blog, arquivos do Cabri gravados em mídia.
Considerações preliminares:
Esta atividade foi desenvolvida em dois dias com rodízio de 1 aluno por dupla. As duplas foram distribuídas de modo que não ficassem juntos alunos sem nenhuma experiência anterior com o Cabri II; deste modo, o uso do computador não representou um obstáculo à tarefa. Dispostos em 8 duplas, os alunos receberam os protocolos e instruções para acessar o Cabri II e dar início à atividade.
A filmadora ficou fixa, em posição cuja angulação permitia o enquadramento da intervenção da mediação entre professor e alunos.
A mediação do professor esteve direcionada ao desenvolvimento dos hábitos de pensamento matemático, embora o ambiente tenha se mostrado pródigo em cenários de mediação com outros protagonistas, como será mostrado mais adiante.
Etapa analítica da terceira atividade: A Escada:
O objetivo específico lançado é que o aluno observasse a regularidade propiciada pelos degraus da escada e fizesse ligação com uma PA crescente, e daí, ao aplicar a subtração entre termos subseqüentes, poderia determinar a razão de crescimento.
BLOCO - COR QUESTÕES HÁBITOS DO PENSAMENTO MATEMÁTICO
turquesa 1 para procurar invariâncias
Violeta 1 para misturar experimentação e dedução
verde claro 3 para construir algoritmos e raciocinar acerca deles
Rosa 2 para raciocinar por continuidade
Quadro Informativo 18 - Indica os hábitos de pensamento matemático analisados na 3ª atividade
Os alunos foram orientados a acessar o Cabri II e abrir o arquivo escada.fig (fig 3). Os protocolos foram entregues aos alunos, no sentido de facilitar a leitura no desenrolar da elaboração do objeto visual, evitando o desconforto em ir e vir com o procedimento de rolagem da tela do Cabri, para acompanhar o enunciado.
Figura 3 – Tela do Cabri II com enunciado da terceira atividade
O enunciado da primeira questão propunha que o aluno criasse ‘degraus’ em uma escada, representada por dois segmentos de retas concorrentes denominados perfis laterais, seguindo determinadas condições.
1. A sua primeira tarefa é colocar degraus paralelos uns aos outros nessa escada com a
seguinte condição: _que escolhido o espaçamento dentro do intervalo de 25cm a 40 cm, esse espaçamento seja único entre os degraus, ou seja, do primeiro ao último degrau essa distância deverá ser mantida; em seguida deverá informar qual a quantidade exata de sarrafo utilizado para tal tarefa. Você pode utilizar qualquer ferramenta do CABRI, porém deverá registrar (utilizar a ferramenta comentário com o título: primeira escada) o passo a passo desse procedimento para que possamos entender como se deu essa tarefa.
Esta autonomia em poder escolher, mesmo dentro de limites, as medidas que poderiam utilizar, mostra uma leve abertura na proposição da atividade. No começo da atividade é grande a procura pelo professor, por parte dos alunos, em busca de encontrar meios para dar seguimento à atividade. A mediação, nesse sentido, foi direcionada a fazer com que o aluno buscasse uma melhor compreensão do contexto da atividade, através de uma leitura cuidadosa e da contra-argumentação feita pelo professor, com perguntas e ações direcionadas a fazê-los praticar hábitos do pensamento úteis na resolução da questão.
Apresento a seguir, uma seqüência de quadros retratando momentos em que este tipo de mediação, envolvendo professor e uma dupla de alunos com dificuldades de compreender a atividade aconteceu. Peço ao leitor que preste atenção aos semblantes e gestos que indico durante o diálogo. Os diálogos foram obtidos da transcrição do vídeo gravado durante a atividade:
Diálogos em sala de aula 3 - Cenários de mediação no início da atividade 3. P:_Quais as dúvidas??? Î _Entender tudo!!!!- diz L. Î
Professor pede para que releiam a questão...
Começo da questão Î
Escada apresentada no teto original
Î P:_ Vocês subiriam nesta escada? ...A sua primeira tarefa
é colocar degraus paralelos uns aos outros nessa escada
com a seguinte condição...
L:_ Não ! Î
P:_ Porque não? L:_Tem que colocar os degraus...- e sorri começando a entender
O gestual é utilizado para indicar que as medidas indicadas são comumente encontradas...
Prof. pede para que L. indique o local na atividade onde deve colocar os degraus
Em seguida, solicita que trace os degraus no rascunho...
Observa que L. faz os traços com distância regular uns dos outros
L. coça a cabeça e reflete sobre o que acabou de ouvir e K. também alterou sua postura em função do comentário...
Professor informa que ao que tudo indica elas já entenderam o que a atividade pede nessa primeira questão
E, apontando para o computador, indicando que este lhes servirá para simular , experimentar se as suas estratégias são boas ou não....
E elas, com as feições mais aliviadas dirigem-se ao computador...
Quando as alunas começam a entender o que delas se espera, e sentem que é algo possível, tangível, as expressões de seus rostos ficam mais leves, descontraídas.
O professor aproveita o momento para se referir às
condições impostas pelo enunciado, buscando consolidar a adesão à
atividade...
O professor volta a aproveitar- se do momento e indica que essa é outra das condições impostas pelo enunciado e que foi feita por L.
inconscientemente.
AAhhh, o resultado desse diálogo?????...
Figura 4 - Objeto visual construído pelas alunas protagonistas do diálogo
A figura acima indica o objeto visual que as alunas construíram para dar continuidade na resolução da atividade, observando as regularidades de distância [últimos degraus] e trabalharam bem a questão do paralelismo, além de observarem corretamente que os degraus em seqüência apresentavam a mesma constante de crescimento de um para o outro.
Neste episódio, a ação do mediador em conduzir um suposto não entender tudo (2º quadro do diálogo), através de perguntas que tinham respaldo no protocolo, permitiu obter a adesão da dupla para o propósito da atividade. Chamo a atenção, ao fato de que, a argumentação para esse convencimento foi toda construída com base em termos do cotidiano, que o gestual apareceu em vários momentos dando ênfase às duvidas, compreensões, consentimentos, sempre contribuindo para a evolução da negociação.
Outro cenário de mediação que despertou o interesse deste pesquisador, envolveu o uso do blog com a informação sobre os procedimentos que foram utilizados para a elaboração. No comentário 6, a dupla apresenta uma narrativa matemática, onde explicitam o procedimento usado no Cabri para ‘descobrir’ a solução do problema. Além disso, sugerem uma futura interação, quando colocam: ‘ essa é a minha opinião e a de vocês!??’
[kinha e gilmar]
Gilmar: agente colokou os pontos primiero, depois usamos a circunferência para disância os pontos entre si, após isso colokamos a ferramentas usamos a linha reta para dife~rência um ponto entre o outro da escada, usei o seguimento para ligar os pontos parar saber a
distância entre eles assim ddeessccoobbrriinnddooaaddiissttâânncciiaaeeccoommpprriimmeennttoo entre eles e a ligação
entre os sarrafos.... eessssaaeehhaammiihhaaooppiinniiããeeaaddeevvccss!!????
25/05/2007 10:49 Blog - comentário postado 6
A figura 5 mostrada abaixo é a representação visual que a dupla se refere no comentário postado no blog.
Figura 5 - Tela do Cabri com objeto visual da terceira atividade
O processo de criação de degraus da escada, apesar de trabalhoso, mostrou-se bastante produtivo, pois essa fase de construção permitiu ao aluno refletir sobre o procedimento e buscar formas mais acessíveis e práticas de se chegar à solução.
Os comentários postados (7 e 8) apresentaram um cenário, onde as duplas fizeram suas suposições sobre qual seria a direção a ser seguida para resolver a atividade, com a indicação do uso da ‘progressão aritmética’, o que acabou acontecendo através do uso da fórmula do termo geral.
[david e dani]
camila me fale uma coisa o que realmnte o prof quer relacionada a questão dois? 25/05/2007 10:49
[Cáh e quinho...]
Dani eu acho q a dois tem q entender q nao precisa fikar fazendu a escada td de novo é só
entender q podemus usar a progressao aritimetica...nao precisa se matar p fazer td de
novu...eu achu q é issu... 25/05/2007 10:57 Blog - comentário postado 8
Essas suposições foram articuladas após a verificação de algumas evidências matemáticas pelos alunos, baseadas novamente na proposta de visualização, embora com graus distintos de certeza.
O enfoque de mediação praticado pelo professor procurou fazer com que o aluno fosse tomando conhecimento de formas de estruturação lógica de um processo matemático, e com isso, admitisse a possibilidade de existência de algum procedimento que viesse a facilitar o tratamento dos dados disponíveis.
2. Sua segunda tarefa é responder qual a metragem que deveria ser comprada para repetir
o processo em uma escada com o dobro da altura;
A segunda questão foi planejada para fazer com que o aluno, baseado na prática da visualização e descrição de registros visuais focada no objeto visual ‘ a escada ’ que acabara de construir, buscasse em seu repertório a fórmula do termo geral e percebesse a pertinência em aplicá-la. Tal como mostra o comentário (9) abaixo:
[kynha e Dany]
podemos usar a forma aritimética pq podemos perceber que a medida esta aumentando conforme fazemos os percursos usados, assim seria mais util usar essa formula ao inves de fazer a escada de 100 degraus
24/05/2007 12:12
Blog - comentário postado 9
Isto feito, o aluno poderia encontrar o 10º, o 20º e o 100º termo da PA, necessários à continuidade da atividade. Para isso, o aluno precisou exercitar sua condição visual e perceber a invariância necessária, para admitir que os degraus da escada estavam em PA.
Para alguns (fig. 6) bastaram poucas informações confirmatórias para dar-lhes a segurança necessária ao investimento em uma propriedade matemática . Nesse sentido, verifica-se a influência do repertório de cada um ao assumir uma dada postura relativa às informações visuais :
Figura 6 – Objeto visual da segunda atividade com poucas evidências levantadas.
O segundo exemplo (fig.7) apresentou evidências de que os alunos buscaram garantias suficientes para seguir com a atividade, primeiro, com a apresentação da distância entre pontos que simbolizavam o tamanho dos degraus, utilizada nos três primeiros lances do alto da escada e, depois, com a verificação de outras propriedades anunciadas no corpo de texto da atividade – distância entre degraus constante – na parte baixa da escada, ambas pertinentes e mostrando evolução na habilidade visual e descrição de processos com o uso de propriedades matemáticas.
Houve também àqueles que recorreram ao blog89 em busca de auxílio, e os comentários que apresento a seguir oferecem uma boa indicação de como tal instrumento funcionou nesta mediação. As enunciações colocadas contemplam idéias diferentes.
Neste comentário postado ( 10 ) foi feito um pedido de ajuda para outra questão da tarefa. Entretanto, sem estabelecer onde residiria tal dúvida..
[andrew]
eu não entendi como é que faz a pergunta da dois,tem como alguem nos ajudar ou dar uma ideia.
25/05/2007 11:05 Blog - comentário postado 10
Para ajudar Andrew (10), Daniela (11) adverte sobre a não necessidade de fazer o processo novamente e oferece um caminho via fórmula ‘ fórmula da progressão aritmética an=a1 + (n-1).r’, prontificando-se a auxiliar caso eles não tivessem entendido:
[dani]
andrew ,ao invés de fazer nioovamente o processo ,a escada é de 3 metros porém na questão dois ele quer o dobro que seria 6, vcs usam o eessttaaffoo´´rrmmuullaaddaapprrooggrreessssããoo a
arriittmmééttiiccaaaann==aa11++((nn--11))..r entenderma senão me perguntemr
25/05/2007 11:08 Blog - comentário postado 11
Já Cáh e quinho (12) coloca que se ele não entender a primeira questão ela não conseguirá ir adiante.
[Cáh e quinho...]
bom aannddeewwvvcctteemmqqeenntteennddeerrpprriimmeeiirroo...ai depois td fika mais facil...
25/05/2007 11:08 Blog - comentário postado 12
A mensagem foi bem recebida pela dupla de Andrew (13), ao admitir que com o uso da fórmula indicada por Dani (11) seria mais fácil resolver a segunda questão:
[andrew e jhonatan]
eu entemdi que a dois tem uma formula mais fácil de fazer que é que tem que usar a seguinte formula an=a1+(n-1)r isso foi oque eu entemdi.
25/05/2007 11:23 Blog - comentário postado 13
89
A interação mostrada na página anterior, na verdade, uma mediação conduzida por aluna e envolvendo vários colegas participantes, era uma das intenções planejadas para o ambiente de aprendizagem. Lembro ao leitor que, disséramos anteriormente que outros cenários de mediação poderiam surgir e, nesta atividade são vários os cenários e os protagonistas. O blog permitiu notar que o uso de linguagem matemática começava a fluir nos diálogos travados entre os alunos, já que surgiram comentários que indicavam que a atividade buscava providências matemáticas que facilitassem a resolução do problema, como aparece ilustrado pelo comentário a seguir:
[kinha]
olha o q eu entendi e que seria mais dificil fazer o desenho pois que eh a escade de 3* o dobro que seria uma imaginação enorme de uma escada de 3cm e ainda o dobro
dele...enorme neh?....seria então mais facil fazer a conta de progressão aritimética que eh an=a1+(n-1).r que axaria a conta do 2 questão, ou seja, na segunda ela tah pedindo para axar o an= ao numero qualquer pois uma conta sem numero naum chega a um
resultado....e o 3 eh pra saber a soma dos calculos todos da escada!! 25/05/2007 11:41
Blog - comentário postado 14
E aí surgiu outra das intenções da atividade, fazer perceber ao aluno que essas facilidades podem ser obtidas por eles mesmos, mas que antes precisariam garantir a legitimidade de suas formulações, e por isso, a importância em provar e demonstrar em matemática deveria ser enfatizada pelo professor durante suas intervenções, como aconteceu.
O exemplo da página anterior (figura 8), apesar das contraditórias informações dos tamanhos dos degraus, causadas pela forma como o Cabri II aplica o fator de arredondamento, não se transformou em um problema para a dupla. O mediador esclareceu o porquê de tal incoerência e reportou-se a importância em saber descrever os procedimentos adotados, fato que, permitiu ao mediador validar as ações dos participantes. Ao chegarem ao consenso de que a construção da escada estava correta, a dupla buscou novos insumos para continuar a atividade.
É expressiva a forma como a argumentação sofre modificações dentro deste mesmo contexto de sala de aula, agora envolvendo o professor e essa mesma dupla que me referi no parágrafo anterior, que já havia se envolvido na atividade e trazia um repertório mais ajustado à proposta do ambiente, que apresento em outra seqüência de quadros extraídas da gravação e com roteiro extraído da transcrição da atividade.
Diálogos em sala de aula 4 – Cenários de mediação: alunos concluindo atividade 3. Elas respondem que os degraus aumentam sempre o mesmo tamanho e eu
pergunto quanto: F.:_ 0,22 Antes de fornecer maiores explicações, pergunto a dupla o que elas haviam percebido na figura que criaram
P.:_e o que é esse número? F:_ a razão !
Aproveito para verificar se elas tinham percebido a regularidade entre a distância dos degraus, e pergunto se a seqüência é uma progressão, obtendo resposta afirmativa, então peço a fórmula do termo geral.
F. desvia o olhar para enxergar os valores
Concordando com a formulação, aponto na direção do local onde estavam sentados, e digo que as informações iniciais estão na tela...
F
E começam a montar o algoritmo para encontrar os valores que precisa
F. tem uma dúvida e me questiona o porquê de estar usando a1 se elas precisam achar o valor do degrau da escada que é o dobro do tamanho
P.:_Mas você também vai precisar do a1 para ela – referindo-me a
escada.
Ela coça o pescoço, pensa um pouco mas se convence que de fato não dava para ficar sem o a1, e saí à procura de calculadora para fazer as contas para encontrar os valores de a10 e a20.
Enquanto elas encontram os valores, vou ver o andamento de outra dupla
Aqui a reação de F. quando compreende que vai ter que achar o valor de a100.
Voltando a atendê-las, elas pedem para que eu verifique os resultados
Ficamos satisfeitos até aqui, eu e elas...
Faço alguns exemplos numéricos para dar-lhes uma idéia
Para dar continuidade atividade, recorro à história da Matemática e resumo o episódio de Gauss e a soma dos números inteiros, tentando fazer com que entendessem a estrutura da operação que teriam que fazer
Elas apresentam o resultado abaixo para soma de 100 degraus, que apesar de erros na aplicação do algoritmo [esquecem de multiplicar por 100 ], e deixou bastante satisfeito pela desenvoltura com que
identificaram propriedades e se valeram delas para evoluir cognitivamente.
E peço para que utilizem o mesmo sistema para encontrar os valores das somas que precisam
A proposta inicial era que a atividade fosse resolvida diretamente no Cabri II, mas quase todos os alunos optaram por utilizar o verso da folha de protocolo para desenvolver seus algoritmos, tal qual se vê nos quadros finais do diálogo acima.
Presumo que essa preferência se traduziu pela facilidade como os cálculos puderam ser registrados em papel e embora o Cabri disponibilize a ferramenta calculadora, muitos alunos sentem maior segurança em aplicar algoritmos quando podem ver a sua notação geral e ir substituindo os valores aos poucos.
A terceira questão desta atividade exigia do aluno um pensar mais generalizante, focado na continuidade dos procedimentos que haviam sido empregados.
3. E sua terceira e última atividade, também será encontrar a quantidade de sarrafo necessária à confecção de uma escada com 100 degraus a partir do modelo criado em sua primeira tarefa.
Ah! Justifique suas respostas...
Para algumas duplas que já haviam terminado a fase de construção do objeto visual e procuravam orientações, o direcionamento dado por este mediador seguiu por uma retomada histórica, um contar da história de Gauss sobre a formulação da soma dos termos finitos de uma PA, mas prezando pela não generalização, deixando sob a responsabilidade de nossos alunos a adaptação da quantidade de termos para atender às suas necessidades.
Quando conseguiram entender como aplicar a fórmula, prestaram-se imediatamente a divulgar (comentário 15), mostrando o procedimento para encontrar a soma dos 10 primeiros degraus:
[joabe e victo ]
eu achei a formula memimas(os)? que er S10=a1+a10.n10 2 24/05/2007 11:50
Depois, a mesma dupla apresenta sua conclusão (comentário 16), embora bastante confusa, mas com a indicação correta da fórmula para encontrar a soma dos 100 primeiros degraus, tal como solicitado na questão:
[joabe e victor]
como eu cheguei a conclusão que 23.82.100cm eu chego a 307,30 m 1,30.30cm que eu chego a conclusão que sn=(a1+a100).100 isto è 23.82.100cm que dividinos por 2 que da este resutado que er 307,30m?
24/05/2007 12:17 Blog - comentário postado 16
Outra dupla conseguiu ser mais objetiva e indica os procedimentos (comentário 17 ) na ordem em que deveriam ser utilizados, primeiro usando a fórmula do termo geral para encontrar os valores necessários de an, e depois aplicar a fórmula da soma dos termos de
uma progressão aritmética.
[kynha e Dany]
a 2 é só usarmos a forma progressão aritimética... an=a1+(n-1).r e na 3 coloka lugar do n colokar o numero 100 e depois fazer a outra conta da soma: sn= a1+ a100%2.100 e achar o cm de tudo!! 24/05/2007 12:10
Blog - comentário postado 17
Ao término da atividade, solicitamos que os alunos postassem suas impressões via Blog, do qual extraímos alguns dos comentários que foram apresentados ao longo da análise da atividade e escolhi alguns deles (18 e 19) para fechar esta seção.
[Kakal e lari]
Bom o que pude perceber que a varis maneiras de se fazer contas na qual entendi poucas mas foi bem legal interagir com os colegas de classe adorei fazer essa atividade que apesar de começo não ter intendido bem foi bem interesante... Beijosss FUI K FUI... 26/05/2007 15:20
Blog - comentário postado 18
[daniela]
relacionado ao trablho de hoje tivemos uma boa atuação tiramos muitas dúvidas em equipe e omais importante entendemos a lição dada pelo o prof,como todos sabem usamos nessas últimas aulas a progressão aritmética e sua fórmulas existentes ebom é isso e até outro dia com pastor e compania
25/05/2007 11:46
Blog - comentário postado 19