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Essa questão visava à aquisição de fluência matemática implicando na apreensão de termos e objetos matemáticos relacionados com a definição do termo geral de uma Progressão Aritmética.
O objetivo específico era que o aluno entendesse o processo de construção da formulação do termo geral da PA e conseqüentemente
a sua definição.
Panorama do ambiente:
• Atividade aplicada em sala de aula convencional, contando com a participação de 35 alunos, com duração de 3 horas aulas (150 minutos).
• Recursos utilizados: baralho convencional, protocolo da atividade 1 e caneta;
• Instrumentos de coleta de dados: gravação em vídeo, coleta de registros de dados via protocolos dos alunos, diário de bordo (anotações do aplicador / pesquisador).
Considerações preliminares:
Utilizei a dinâmica de um jogo que guarda uma semelhança com o bingo tradicional, onde os números são cantados e marcados em cartelas. No nosso caso, os números são “cantados” pelos participantes, cada qual na sua fileira e fileira por fileira. A intenção era fazer com que os alunos da sala descobrissem o valor da carta que foi distribuída ao segundo elemento de cada fileira e descrevessem um procedimento padrão que permitisse sempre encontrar o valor daquela carta.
Esta recorrência ao lúdico foi uma das formas propostas por esta pesquisa, para facilitar a aquisição dos termos matemáticos envolvidos na questão 1, promovendo um equilíbrio entre o dinamismo do jogo e a passividade de um protocolo mais extenso, buscando manter em níveis satisfatórios a motivação dos participantes.
Primeira etapa – O jogo:
Como essa atividade utilizou noções de ordenação, solicitei aos (35) alunos
presentes que se distribuíssem eqüitativamente em 05 fileiras como pode ser visto no painel ilustrativo 1 que apresento adiante. Cada aluno recebeu um protocolo
(questionário)88 para inicialmente marcar os valores pronunciados por seus colegas e depois dar prosseguimento a atividade no tocante a aquisição de vocabulário e percepção de invariâncias.
Painel ilustrativo 1 – Alunos perfilados durante a dinâmica do jogo da 1ª atividade.
Comuniquei-lhes as regras do jogo, enfatizando que a interação e a socialização eram bem vindas, mas que o auxílio deveria vir em forma de dicas e não com o fornecimento da resposta. O protocolo apresentava em primeira folha, um quadro tabela com figuras geométricas, que serviu para indexar cada uma das fileiras, dessa forma os alunos puderam identificar a fileira que estava em ação, o nome do aluno e o valor que este indicou, fatos que serviram mais adiante para a seqüência da atividade.
A TABELA ABAIXO SERVIRÁ PARA REGISTRO DOS VALORES E CONSEQÜENTE DESENVOLVIMENTO DA SEQÜÊNCIA DA ATIVIDADE. NESSA TABELA DEVERÁ SER MARCADO QUEM COMEÇA, QUEM ESTÁ COM A CARTA E CADA PARTICIPANTE DA SÉRIE: EX.; A1, A2, A3, A4 E A5 (PRIMEIRA RODADA).
Ð 1ª Fileira Ð 2ª Fileira Ð 3ª Fileira Ð 4ª Fileira Ð 5ª Fileira
Quadro Informativo 14 - Cabeçalho da folha de acompanhamento da dinâmica do jogo – 1ª atividade.
A reprodução do quadro-tabela no quadro negro foi uma sugestão da turma, prontamente acatada por esse mediador, que ato contínuo passou pelas fileiras, solicitando ao segundo aluno de cada uma que retirasse, aleatoriamente, uma carta do baralho, tomasse ciência de seu valor, de acordo com as regras já comunicadas, e a mantivesse sob sua guarda e sigilo até o final daquela rodada.
88
Painel ilustrativo 2 – Tabela preenchida após término da dinâmica do jogo.
A dinâmica do jogo consistiu em fazer com que, a partir da ação do primeiro aluno de cada fileira (antecessor) ao pronunciar um valor qualquer, o segundo aluno – obrigatoriamente uma pessoa que possuísse a carta do baralho – adicionasse o valor que tinha em mãos ao valor citado pelo primeiro aluno, encontrando e pronunciando o resultado.
No papel de mediador, orientei ordenadamente aos alunos para que tentassem aplicar o mesmo procedimento que o seu antecessor, e que o fizesse sem revelá-lo, atendo- se somente a pronunciar o valor encontrado e assim, sucessivamente, até a última fileira terminar sua seqüência, momento em que requisitei a todos, com exceção daqueles que portavam as cartas, que revelassem os procedimentos que utilizaram para encontrar, cada qual, o seu respectivo valor, promovendo uma grande interação entre os elementos da sala. Alguns imprevistos dessa atividade: a 3ª aluna da primeira fileira que, não tendo inicialmente compreendido a lógica do jogo, não conseguia encontrar seu resultado, fato que me levou a mudar para a segunda fileira, que apresentou andamento normal e esse acompanhamento da formação da seqüência da segunda fila ( 9, 1, -7, -15, -23, -31, -39), auxiliado pelas informações oferecidas por vários alunos, com destaque para um aluno, cuja participação, em aulas no formato tradicional é mínima, possibilitaram condições àquela aluna com dificuldades para encontrar o valor pretendido e completar a seqüência de sua fileira quando retornei o procedimento para lá. Em um outro episódio, a postura de mediação foi diferente. Uma aluna, vendo sua vez se aproximar, reclama e avisa que não
Sentido das fileiras
vai falar por não ainda ter entendido a dinâmica, mostro a seguir, como se deu a mediação nesse sentido:
Diálogos em sala de aula 1 – Episódio: O jogo !
. Agora é chegada a vez de C.
Eu me dirijo a sala e peço que auxiliem a C. Ela complementa o pedido de ajuda:
C.:_ Eu não sei ... não entendi... Eu, como professor da sala,, estou atrás da
filmadora, e durante a atividade 1 da pesquisa, enquanto aplicava a dinâmica do jogo.
C., indicada no quadro ao lado, pouco antes de chegara sua seqüência, reclamava: C.:_Eu não vou falar não !
P.:_Pera aí, C ! – e sigo com os outros alunos que a antecediam na seqüência
F. se prontifica e começa sua explicação: F.: _ C. vai vendo, de 12 prá 6, quantos números foram, e tá sempre diminuindo...
M., que aparece com a mão enfaixada, também contribui:
M.:_ C., você só conta o número e coloca o negativo.
P.:_Isso C., faça o que elas disseram...
Esse aconselhamento dá a C., a segurança necessária para fiar-se em suas colegas. C., volta-se em direção das colegas e pede ajuda:
C.:_Não entendi...fala de novo F continua
tentando
convencer C, que ainda desconfiada, desvia o olhar para o P., que não aparece no quadro P incentiva C. a confiar em suas colegas: C. M F
Agora são 4 amigas que se misturam e tentam explicar a C. como proceder. Isto sem contar com um colega, que distante do bloco de amigas, indica pra C, o que deveria fazer. As explicações de F e M, repetem-se, há agora a colaboração de D e A, apesar da confusão, C. consegue captar os passos necessários:
E fala o que tinha entendido, como teria que proceder:
C.:_Ah!....É prá somar dezoito mais seis e colocar negativo.
Ao que se ouve um monte de expressões _ Isso...
_Ai ehehehehe A expressão de
cada uma que participou diretamente da mediação mostra o contentamento com o êxito de C.
Houve até palmas...
C. agradece com um esticar de braços na direção de suas colegas, para mostrar a P que havia compreendido e de onde tinha vindo a sua ajuda
C.:_Agora eu entendi ! E finaliza...olhando para o professor... D F M A C
Um outro imprevisto referiu-se ao tempo que este primeiro bloco de atividade consumiu, em torno de 80 minutos – previsão inicial era 60 minutos –, o que fez com que somente 8 alunos conseguissem completar a segunda etapa, minha providência neste sentido foi propor a continuidade da atividade na aula seguinte.
No dia seguinte, utilizei 1 (uma) hora aula, coincidentemente a última aula de uma sexta-feira, para dar continuidade ao preenchimento do protocolo e admito que este prolongamento, além da ausência de 5 alunos que haviam participado da primeira atividade, provocou um certo esmorecimento em alguns alunos no momento de preencher o questionário.
Embora faça parte da análise interpretativa, vi pertinência em registrar o papel de mediação desta primeira etapa da atividade, onde destaco a importância da mensagem – o jogo – para favorecer a realização de um propósito, o preenchimento de um protocolo extenso.
Segunda etapa – o protocolo:
Quando os alunos chegaram ao consenso sobre o procedimento para a formação das seqüências, e já sabedores dos valores das cartas guardadas pelos segundos alunos das fileiras, este mediador solicitou que se desse início à segunda etapa da atividade com o preenchimento do protocolo que fora entregue quando começou a atividade.
Cabe-me chamar a atenção de nosso leitor para a singularidade desta atividade, no tocante à sua aplicabilidade, pois, ao apontar como característica principal desta questão a aquisição de fluência matemática para o termo em estudo, denota-se que esta ação vai se desenvolvendo paulatinamente, seguindo o andamento da resolução da proposição.
Trata-se de um protocolo de instruções, como poderá ser visto a medida em que forem surgindo os fragmentos da atividade para ilustrar um e outro comentário e, é dessa maneira, facilitadora e amiúde, que entendo que tal contribuição vá se dar.
Logo, informo que a percepção da aquisição deste hábito poderá ser sentida ao longo da aplicação das outras etapas da pesquisa, até por ser uma atividade inicial e com enfoque interativo muito influente como foi a dinâmica do jogo que envolveu esta primeira questão.
Outrossim, durante a dinâmica do jogo, verificou-se a pertinência de dirigir a análise interpretativa no sentido da segunda questão desta pesquisa, que tem por objetivo, investigar a influência da argumentação cotidiana em processos de negociação do significado matemático.
A segmentação da atividade realizada, de modo a permitir uma análise mais compacta e concisa, guiou-se pela similaridade entre os processos que deveriam ser executados, segundo hábitos do pensamento matemático. Dado ao número de protocolos envolvidos nesta atividade: 30 e a quantidade de questões: foram 8 apresentadas no protocolo, busquei referências na escala produzida pelo AprovaME no tocante aos tipos de justificativas, para obter uma primeira categorização dos resultados, o que, em segundo momento, me permitiu identificar os casos mais típicos, dos quais elegi alguns exemplos para apor comentários e observações feitas sob a perspectiva do hábito do pensamento matemático que indiquei para o bloco. Em suma, separei os protocolos seguindo a apresentação de justificativas, segundo a exigência de cada bloco e depois as analisei, focando no teor da argumentação apresentado.
Como mediador me dediquei a estimular a aquisição dos termos matemáticos envolvidos e pertinentes à formulação do termo geral de uma progressão aritmética, e também a promover a discussão sobre a regularidade dos procedimentos do jogo que permitiam encontrar o valor da carta. Indicando que esses procedimentos deveriam ser aplicados para encontrar a razão de uma progressão aritmética.
Essa proposta de mediação faz parte do planejamento da atividade e permite aos participantes o uso de expressões matemáticas adquiridas recentemente, tornando a fala da mediação inteligível, com reflexos:
• No interesse da participação da atividade – baixo nível de desistência;
• Na organização lógica das informações e apresentação em formato conclusivo, seja utilizando algoritmos, seja apresentando um registro discursivo;
Possibilitando ao aluno atribuir significado coerente e consistente aos termos tratados, refletindo nos resultados da atividade tanto em evolução cognitiva quanto nos modos de expressar-se com desenvoltura matemática, tal como poderá ser visto nos exemplos que são apresentados, segundo os hábitos de pensamento matemático relacionados por blocos mostrado no quadro informativo 15, mostrado adiante, a partir de nossa fundamentação teórica:
Etapa analítica da primeira atividade: Baralho PA.
À titulo de informação, esclareço que 5 alunos que participaram da dinâmica do jogo, primeira etapa desta atividade – não estiveram presentes na segunda fase e, por este motivo, essa amostra passa a ter como referência 30 protocolos.
BLOCO – COR QUESTÕES HÁBITOS DE PENSAMENTO MATEMÁTICO
Amarelo 1 e 2 Traduzir informação apresentada verbalmente em informação visual
(e vice-versa)
Vermelho 3 , 4 e 5 Descrever, formal e informalmente, relações e processos
Verde claro 6, 7 e 8 Construir algoritmos e raciocinar acerca deles (uma das muitas
conexões com a álgebra)
Quadro Informativo 15 - Indica os hábitos de pensamento matemático analisados na 1ª atividade.
Comecei a análise pelo bloco amarelo. Os itens 1 e 2 representam atividades que não necessitavam de justificativas elaboradas, mas se pode considerar que o preenchimento das lacunas, como proposto pela atividade, serviu para que os participantes colocassem exemplos obtidos pela conversão das informações das quais tinham somente registros visuais.
Recortes da primeira atividade - Exemplo 1
A maioria dos participantes adotou a indicação da operação juntamente com o valor como forma de validar seus argumentos, as sutis diferenças entre os resultados apresentados estão vinculadas aos modos de expressar a continuidade da progressão, à forma como se referiram à obtenção da razão e também ao pertinente uso da condição de
inteiro negativo e positivo para justificar o crescimento da progressão aritmética. Nesse sentido, entendo que o exemplo 1, para o qual o aluno faz a aposição de algoritmos (itens i, ii, iii, iv, v,vi) para justificar cada um dos termos da seqüência, como uma indicação da habilidade de traduzir informação verbal em visual.
Na seqüência, a alusão ao crescimento, que trata o item vii da primeira questão, é indicada pela comparação entre a ordenação dos números, referindo-se ao fato de que não diminuir e sim aumentar implica em crescimento, é a forma coerente de expressão que usa em sua justificativa. E que ainda é complementada pelo item xi quando o mesmo argumento é utilizado, mas contendo uma especial distinção ao papel do valor que representa a razão em uma dada progressão quando faz uso dos termos: ‘em volta deste nº’, que considerei como a indicação da apreensão do termo razão por parte desta aluna.
Na questão 2, a aluna indica acertadamente uma seqüência e sua razão negativa, porém, apesar da pertinência de sua afirmação sobre os números estarem diminuindo, não indica de que forma chegou ao 8 negativo como se vê no exemplo 2.
Recortes da primeira atividade - Exemplo 2
Pelo que ela apresenta na seqüência de sua atividade, é possível afirmar que não o fez por assumir que estivesse subentendido por quem fosse ler, nesse caso em específico - o professor. Este é um fato para o qual o professor deve estar atento e que precisa ser esclarecido ao aluno, que por vezes deixa de apresentar uma melhor descrição do raciocínio por ter em mente que quem irá avaliá-lo é uma pessoa que já sabe o que ele quer dizer – o professor – e assim sendo, deixa de fazê-lo de modo mais completo.
O terceiro exemplo (ex. 3) que utilizo é apresentado com alguns realces feitos no sentido de indicar algumas evidências matemáticas apontadas pelo aluno. Primeiro, encontra uma representação em forma de diagrama com a intenção de explicitar uma condição de invariância, traduzida pela indicação da constante 7 ser a razão da progressão em estudo, depois, pela indicação da condição de crescimento da razão se dar por “estarmos somando e não subtraindo”, referindo-se a seqüência numérica (8, 15, 22, 29,
36, 43) desenvolvida pela primeira fileira, ainda na etapa do jogo, além da indicação do valor. A aluna também é precisa na indicação do modo de continuar a seqüência: “somaríamos o último resultado + 7”.
Recortes da primeira atividade - Exemplo 3
O exemplo (ex.4), que ilustra a questão 2, também indica uma apropriação de idéia matemática ao indicar no item ii “razão decrescente de -8 ” e a coerente dedução, embora insuficiente, de que se chegaria a todos os resultados daquela progressão subtraindo 8.
Recortes da primeira atividade - Exemplo 4
Entendo, que o complemento desta idéia exige do professor orientações para que o aluno considerasse a origem da progressão − o primeiro termo − como referência e complemento de sua resposta, além de chamar a atenção para a ação de juntar, em um mesmo procedimento; subtração e números negativos, pois, da forma como está indicado, dá margem à interpretação de que se trata de uma razão positiva. Deste modo, a
contribuição se daria no sentido de fazer o aluno perceber que, pequenos detalhes são, muitas vezes, essenciais à uma boa argumentação e nesse caso dariam maior consistência à justificativa apresentada.
No bloco vermelho, o enfoque esteve direcionado a retratar as formas como os alunos expressam um processo matemático recentemente adquirido.
Na questão 3 (ex. 5), o aluno aponta um a1 múltiplo de 10, coincidentemente outros
exemplos se valeram dessa estratégia provavelmente pela facilidade nas operações de adição e multiplicação. O processo segue os procedimentos indicados pela atividade e cumpre seu objetivo com o preenchimento das lacunas.
Recortes da primeira atividade - Exemplo 5
Ao passar para a quarta questão, quando a atividade solicitava o complemento do registro do procedimento para encontrar a2, os alunos apresentaram dificuldades para
diferenciar a quantidade de vezes que se multiplicava a razão e o valor assumido pela mesma e, conseqüentemente, não utilizaram corretamente o sinal de multiplicação (ex. 5 e 6) representado pelo *, em contraposição ao que apresentam em a5 com o uso ajustado do
sinal de multiplicação para mostrar que “ a5 = a1 + 4 * r “ mostrado ao final do exemplo 6.
Recortes da primeira atividade - Exemplo 6
Os registros apresentados na continuação da atividade e a intervenção do mediador forneceram os insumos necessários, haja vista que os alunos apresentam os algoritmos com
correção. Porém, é na questão 5 que surgiram as diferenças nos modos de descrever os processos. O exemplo 7 utiliza registros numéricos para explicar relação entre índice e razão, emprega o n como símbolo da razão:
Recortes da primeira atividade - Exemplo 7
Já no exemplo 8, o aluno indica que a relação entre índice e quantidade de vezes que se multiplica a razão, é sempre inferior em uma unidade na razão:
Recortes da primeira atividade - Exemplo 8
O exemplo 9 é sintético, indica uma condição generalizante com a adoção de y para indicar índice referente ao termo da PA e apresenta um discurso ajustado embora ainda necessite fazer alusão ao modo que estaria representando an.
Recortes da primeira atividade - Exemplo 9
O bloco verde-claro apresentava um salto informacional que exigia do aluno concentração e capacidade reflexiva para que pudesse, a partir da releitura das atividades anteriores, mentalizar uma estrutura lógica de constituição de uma progressão, buscar significado coerente a cada um dos itens, entendendo uma ação maior do mediador.
Percebo que a releitura da atividade ganhou realmente esse significado pretendido, afirmação que faço a partir dos registros analisados e que utilizo como exemplos.
No exemplo escolhido (ex. 10) , a indicação de generalização é dada pela adoção de x e ( x -1 ) como índice e quantidade de vezes que se multiplica a razão, mas descuida- se na indicação de a1:
Recortes da primeira atividade - Exemplo 10
O outro exemplo apresentado (ex. 11) neste bloco aponta um registro discursivo numérico e um fechamento bem ajustado da atividade com o assentamento do algoritmo de modo correto:
Recortes da primeira atividade - Exemplo 11
O terceiro exemplo (ex.12) sintetiza, de forma plenamente satisfatória, as intenções da atividade. As indicações são apresentadas com registros algébricos consistentes e, ao apresentar o algoritmo no fechamento, ainda faz menção à seqüência obtida na primeira etapa da atividade anterior − (8, 15, 22, 29, 36, 43, 50) −, dando indícios da compreensão e aplicação de noções de prova, ainda principiantes nesta etapa:
Recortes da primeira atividade - Exemplo 12
As três questões deste bloco exigiam que o aluno estivesse envolvido e concentrado para identificar a invariância de um procedimento e utilizá-la em um ordenamento supostamente dedutivo, como requer o exercício 7, com a apresentação de (n-1)* r como resposta pretendida. Nesse sentido assumo que o adiamento da fase de preenchimento do protocolo para outro dia prejudicou um pouco da concentração do grupo, percebi, por exemplo, que nas etapas que exigiam maior autonomia por parte do participante, muitos alunos esmoreceram e com a atenção do mediador sendo freqüentemente requisitada pelos outros participantes, não houve uma ação no sentido de mexer com a motivação daqueles.
O fechamento desta atividade presumia uma condição de abstração mais acentuada, pois havia um pequeno salto informacional, já que até chegar nesse tópico o aluno valeu-se do suporte de procedimentos numéricos e, nesse momento, era esperado algo de generalização para a obtenção de um pretendido algoritmo, que bem representasse a definição do termo geral de uma progressão aritmética.
A fórmula adotada pelo todo desta primeira atividade, apresentava: _ Primeiro bloco instrucionista; dirigido e facilitador para a repetição e memorização de etapas de uma progressão.
_ O segundo bloco no qual se esperava que o aluno imitasse o procedimento do bloco anterior, mostrando uma certa compreensão da estrutura de uma seqüência e criasse uma outra qualquer e, apesar de ainda dirigido, o aluno mostrasse apropriação de algumas idéias matemáticas interessantes, tais como:
Indicação de exercício anterior
para validar o procedimento
• A necessidade de identificação de uma razão para construção de uma progressão a partir de um a1 conhecido;
• Compreensão da estrutura lógica de criação dos termos de uma progressão, permitindo evoluir para além da ação de reproduzir um processo.
E volta ao instrucionismo buscando uma transição entre os princípios aditivo e multiplicativo que foram relacionados com a razão, como procedimento preparatório à construção de fórmulas e algoritmos – termo geral da PA – mas ainda focando na percepção de invariância contida na relação entre termo específico de uma PA e a