John Dewey problemi, insanın zihnini karıştıran ona meydan okuyan ve inancı belirsizleştiren her şey olarak tanımlamaktadır. Gerçekte bir kimse belirsiz bir durumu aydınlatma ya da çözme ihtiyacındaysa ve bunu çözmeye çalışıyorsa, bu durum zihnini karıştırıyor, inancı belirsizleştiriyor ve düşüncelerini alt-üst ediyorsa bundan kurtulmak istiyordur denilebilir (Baykul, 2014).
Altun’a (2000) göre problem, çözümü bir araştırma veya tartışma gerektiren zor ya da sonucu belirsiz bir sorudur. Bu soruyu çözme konusunda kişi hazırlıksız fakat isteklidir. Problem, (a) “karşılaşan bireyin çözme ihtiyacı duyduğu veya çözmek istediği”, (b) “çözümü için birey tarafından hazır bir yolu bilinmeyen”, (c) “bireyin çözmeye kalkıştığı iştir” (Van De Walle, 2004).
Olkun ve Toluk (2009) ise “problemi, kişide çözme arzusu uyandıran ve çözüm prosedürü hazırda olmayan fakat kişinin bilgi ve deneyimlerini kullanarak çözebileceği durumlar” olarak tanımlamışlardır.
Adair (2000) ise problemi, bireyin önüne atılmış ve onu engelleyen durum olarak açıklamıştır. Problemlerde çözümün bütün elemanlarının problemin kendi içinde bulunduğunu söyleyerek problemi bir tür çözüm ya da çözümün problem biçiminde gizlenmiş şekli olarak tanımlamıştır.
1. Bir güçlüğün varlığı,
2. Bu güçlüğün ortadan kaldırılma isteği ve 3. Bir çaba gösterme gerekliliğidir.
Problemin tanımı genel olarak çözülmesi gereken ve çözüm yolunun net olarak bilinmediği durumlar olarak yapılırken, her sorunun problem niteliği taşımadığı durumlar olabilir. Örneğin: Her gün evinden çıkıp işine aynı yoldan giden bir kimse, ilk gün problemi çözmüştür. Ondan sonraki gidişlerinde bir problem çözüyor olamaz; çünkü ilk günden sonraki gidişlerinde karşılaştığı yeni durumlar yoktur. Ama her gün kullandığı yolun kapalı olduğunu görüp başka bir yol bularak işine gidebilen kimse bir problem çözmüştür. Çünkü yolun kapalı olması, o kişi için yeni bir durumdur, kişiyi rahatsız etmiştir. O halde, bir durumun problem olabilmesi için, öğrenciye yeni gelen, ilk defa karşılaştığı bir durumun olması gerekir. Problemi bu şekilde anladığımıza göre; bir kişinin problem olarak gördüğü bir durum başka bir kişi için problem olmayabilir çünkü o kişi daha önce o problemle karşılaşmış olabilir. Ayrıca bir durumun problem olarak tanımlanabilmesi için o durumun kişide rahatsızlık uyandırması ve kişinin problemi çözmeye istek duyması gerekir. Durum eğer kişide rahatsızlık uyandırmıyorsa ve durumu ortadan kaldırmak istemiyorsa o durum problem değildir (Baykul, 2014).
Bir sorunun problem özelliği taşıyıp taşımama durumu, o problemi çözecek kişinin ön bilgileri ile ilgilidir. Yani kişi o konu hakkında önceden bir deneyime ya da bilgiye sahipse, karşılaştığı durumu nasıl çözebileceğini bildiği için, daha önceki deneyimlerini kullanarak çözüme ulaşır ve artık o durum, o kişi için problem olmaktan çıkar. Çözümünde matematiksel düşünmenin kullanılacağı bir problem hakkında, eğer kişi hiçbir deneyime sahip değilse, durum o zaman bir problem halini alır. Bu süreçte öğrenci bildiği tüm bilgileri kullanarak sonuca ulaşmaya çalışarak, tecrübelerinden yola çıkarak çözüm için stratejiler geliştirebilir (Umay, 2007).
O halde problem, çözüm yolunun doğrudan görülemediği, çözüme ulaşmak için basit bir modelin anında uygulanamadığı bir durum olarak tanımlanabilir. Eğer bir problem belirli algoritmalar yoluyla çözülmeye başlandıysa artık problem olma özelliğini kaybetmiştir. Bundan dolayı bir zamanlar problem olarak görülen durumlar
zamanla alıştırmaya, daha sonra da soruya dönüşürler (Toluk ve Olkun, 2002). Ayrıca konu anlatımlarından sonra konunun daha iyi anlaşılması için öğretmenler örnekler kullanırlar. Bu terimleri daha iyi anlamak için aşağıda açıklanmışlardır:
Örnek: Uygun olan ve olmayan temsillerin verilmesi ve paylaşılmasıdır.
Örneğin, köklü sayı öğretiminde √2, √5, √7 gibi sayıların köklü sayı olduğu bilgisinin verilmesidir (Yenilmez ve Ev Çimen, 2014).
Alıştırma: Belirli bir matematiksel algoritma veya becerinin pekiştirilmesi için
kullanılan sözel problem durumlarıdır. Öğretmen tarafından bir problemin çözümü sınıfta gösterilmişse ve öğrenciler bu çözüm yolunu diğer problemlerin çözümünde de kullanırsa bu bir alıştırmadır. Köklü sayı öğretiminde yer alan bir özelliğin verildikten sonra özelliği ve matematiksel işlemleri içeren uygulamaların yapılmasıdır. √ = a√ olarak yazılabileceği gösteriminden sonra, öğrencilerin √72, √120 sayılarını veya √ ifadesini kök dışına çıkarmaları birer alıştırmadır (Yenilmez ve Ev Çimen, 2014).
Soru: Problem durumuyla karşılaşıldığında bu durumun nasıl çözüleceği
doğrudan hatırlanıyorsa bu bir sorudur. Öğrenci daha önce böyle bir problem durumuyla defalarca karşılaştığı için artık nasıl çözüleceğini biliyordur.
Problem: Öğrenci daha önce böyle bir problem durumuyla hiç karşılaşmamış
ve nasıl çözüleceğini bilmiyordur. Bu belirsizliğin üstesinden gelebilmek için öğrencinin bir strateji belirleyerek çözüme ulaşması gerekir. Bunun için de önceden sahip olduğu bilgilerin sentezi yapılarak kullanılması gerekir.
Krulik ve Rudnick (1989), sıkça birbiri yerine kullanılan üç terim olan soru, alıştırma ve problem arasındaki farkı şöyle ortaya koymuştur: Soru, hafızadaki bilginin hatırlanması ile çözülebilen durumdur. Alıştırma, önceden öğrenilen bir beceri ya da algoritmanın pekiştirilmesi için tekrar ve uygulama yapmayı sağlayan durumdur. Problem, çözümü için düşünmeyi ve önceki bilgileri sentezlemeyi gerektiren durumdur. Problem, çözüme yönelik önceki öğrenilen bilgilerin analizini ve sentezini gerektirdiği için soru ve alıştırmalardan ayrılmaktadır.
Ayrıca matematik derslerinde karşılaşılan problemler matematiksel durumlardır ve daha çok niceldir. Çözüm için açıkça görülen yolları yoktur. İlkokul matematik derslerinde karşılaşılan ve problem diye verilen durumlar ilkokul sınıflarına göre aşağıdaki gibi üç grupta toplanabilir (Baykul, 2014).
I. Hiçbir anlamı olmayan durumlar. Bunlar öğrencilerin seviyelerinin çok
üstünde, tamamen yabancı kavramlara dayalı problemlerdir. Bunlar öğrencilere bilmece gibi görünürler.
Örnek: İlkokul birinci sınıfa yeni başlamış bir öğrenci için, “Bir musluktan
akan su bir havuzu kendi başına 4 saatte, diğer bir musluktan akan su da 6 saatte dolduruyor. Bu iki musluk aynı havuzu kaç saatte doldurur?” sorusu bir bilmecedir.
II. Dört işlemle ilgili alıştırmalar genellikle öğrencilerin, hemen cevap
verebilecekleri türden sorulardır. Hatta bu sorulara cevabın mekanik olarak verilebilmesi bile mümkündür. Dolayısıyla alıştırmalar genel olarak problem durumları değildir.
Örnek: İki basamaklı doğal sayıları iki basamaklı doğal sayılarla toplama
işlemi konusundaki bilgi ve becerileri kazanmış bir ikinci sınıf öğrencisi için 29+15=? işleminin yapılması bir problem değil, alıştırmadır. Aynı durum (soru), toplama kavramını kazanmış fakat henüz iki basamaklı sayılarla toplamayı tam olarak öğrenmemiş bir öğrenci için problem olabilir.
III. Öğrencilerin mekanik olarak cevap veremeyecekleri fakat kazanmış
oldukları mevcut davranışlarla cevaplayabilecekleri durumlar (sorular) problemdir.
Örnek: 22, 17 sayıları üzerine kurulmuş ve sadece bir toplama işlemi
gerektiren “Ali’nin 22 tane koyunu vardır. Mehmet’in koyunları Ali’nin koyunlarından 17 tane fazladır. Mehmet’in kaç koyunu vardır?” sorusu bir ilkokul ikinci sınıf öğrencisi için önceden karşılaşmamış olması şartıyla problem olabilir.