Começaremos esta seção apresentando um resultado auxiliar que garante, a existência de uma vizinhança suficientemente pequena de um ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero xλ0 ∈∂Aλ0(xs
λ0) que é disjunta das variedades estáveis de todos os pontos de equi-
líbrio que estão na fronteira∂Aλ0(xs
λ0).
Lema 8.1.1. Seja xλ0 um ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero na fronteira da região de estabilidade∂Aλ0(xs
λ0) de um ponto de equilíbrio hiperbólico assintoticamente estável
xsλ
0 de (7.1) para λ =λ0. Se x
i
λ0, i= 1, ..., k são os pontos de equilíbrio hiperbólicos
em∂Aλ0(xs
λ0), então existe uma vizinhança U de xλ0 tal que U∩W
s
λ0(x
i
λ0) = /0 para todo
i= 1, ..., k.
Demonstração. Sejam N uma vizinhança de xλ0 e xiλ
0, i = 1,...,k os pontos de equilíbrio
em∂Aλ0(xsλ
0). Considere uma partição de {1,...,k} = {1,...,s} ∪ {s + 1,...,k}, onde l ∈
{1,..,s} se N ∩Wλs0(xlλ 0) = /0 e j ∈ {s + 1,..,k} se N ∩W s λ0(x j λ0) 6= /0. Se {s + 1,...,k} = /0,
o lema está provado. Suponha que {s+1,...,k} 6= /0. Desde que N−
λ0∩W
s
λ0(x
j
Nλ+
0∩W
s
λ0(x
j
λ0) 6= /0 para todo j ∈ {s+1,..,k}. A vizinhança N pode ser escolhida suficien-
temente pequena de tal modo que N+
λ0∩W s λ0(x j λ0) ⊂ W s λ0(x j λ0) para todo j ∈ {s + 1,..,k} e N ∩Ws λ0(xλ0) ⊂ W s λ0(xλ0). Como W s λ0(x j λ0) ∩W s λ0(xλ0) = /0, então N + λ0∩W s λ0(x j λ0) é dis- junto de N ∩Ws
λ0(xλ0) para todo j ∈ {s + 1,..,k} e estes são conjuntos fechados, logo pelo
Teorema 2.1.6 podemos afirmar que existem conjuntos abertos disjuntos Uj e Vj, con-
tendo N+ λ0∩W s λ0(x j λ0) e N ∩W s λ0(xλ0), respectivamente. Considere U = T jVjTN. Como
xλ0 ∈ U, basta mostrar que U ∩ Wλs
0(x
j
λ0) = /0 para todo j ∈ {s + 1,..,k}. Suponha, por
absurdo, que exista algum p ∈ U ∩Ws
λ0(x j λ0). Como U ⊂ N, então p ∈ (N + λ0∩W s λ0(x j λ0)) ⊂ Nλ+ 0∩W s λ0(x j
λ0) ⊂ Uj. Por outro lado, como U ⊂ Vj temos que p ∈ Uj∩ Vj levando-
nos a um absurdo, pois Uj e Vj são disjuntos. Logo, U ∩Wλs0(xλj
0) = /0 para todo j ∈
{s + 1,...,k}. Se {1,...,s} = /0 a demonstração acabou, caso contrário, se existir índice l tal que N ∩Ws
λ0(x
l
λ0) = /0 e sabendo que U ⊂ N podemos afirmar que U ∩W
s
λ0(x
l
λ0) = /0
para todo l ∈ {1,...,s}. Portanto, U ∩Ws
λ0(x
i
λ0) = /0 para todo i ∈ {1,...,k} e o lema está
provado.
Como consequência do Teorema 5.5.4 e Lema 8.1.1, obtemos o seguinte corolário: Corolário 8.1.1. Seja xλ0 um ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero na fronteira da região de estabilidade∂Aλ0(xs
λ0) de um ponto de equilíbrio hiperbólico assintoticamente
estável xsλ
0 de (7.1) paraλ =λ0. Suponha que(A1 ′
), (A3) e (A4) sejam satisfeitas para
λ=λ0e o número de pontos de equilíbrio na fronteira∂Aλ0(x
s
λ0) seja finito. Então existe
uma vizinhança U de xλ0 tal que(Uλ+
0−W
s
λ0(xλ0)) ⊂ Aλ0(x
s
λ0).
A Figura 8.1 ilustra o Corolário 8.1.1.
Figura 8.1: Comportamento da vizinhança U de um ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero xλ0 que está na fronteira da região de estabilidade de um ponto de equilíbrio assin- toticamente estável xs
λ0.
O Teorema 6.1.2 garante, sob algumas hipóteses, que os pontos de equilíbrio hiper- bólicos na fronteira da região de estabilidade persistem na fronteira. Dentre as hipóteses consideradas no Teorema 6.1.2, uma delas é que todos os pontos de equilíbrio na fron- teira sejam hiperbólicos. O teorema que será apresentado a seguir relaxa esta hipótese,
8.1 Comportamento da fronteira da região de estabilidade na presença de um ponto de equilíbrio sela-nó
do tipo zero 89
e garante a persistência dos pontos de equilíbrio hiperbólicos na fronteira mesmo com a presença de um ponto de equilíbrio não hiperbólico sela-nó do tipo zero na fronteira da região de estabilidade . Para demonstrar o teorema precisaremos do seguinte resultado. Lema 8.1.2. (SHUB, 1987) Sejam zλ∗ e wλ
∗ pontos de equilíbrio hiperbólicos do sistema
(7.1) para λ = λ∗. Se Wλu ∗(zλ∗) ∩ W s λ∗(wλ∗) 6= /0, e W u λ∗(zλ∗) e W s λ∗(wλ∗) satisfazem a
condição de transversalidade, então existeδ > 0 tal que Wu
λ(zλ) ∩Wλs(wλ) 6= /0 para todo
λ ∈ (λ∗−δ,λ∗+δ) onde zλ e wλ são os pontos de equilíbrio perturbados.
Com o Lema 8.1.2, podemos demonstrar o teorema a seguir, que garante a persistên- cia de pontos de equilíbrio hiperbólicos na fronteira da região de estabilidade mesmo na presença de um ponto de equilíbrio não hiperbólico sela-nó do tipo zero na fronteira. Teorema 8.1.1. (Persistência de pontos de equilíbrio hiperbólicos na fronteira da região
de estabilidade) Seja xλ0 um ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero na fronteira da região de estabilidade∂Aλ0(xs
λ0) de um ponto de equilíbrio hiperbólico assintoticamente
estável xsλ
0 de (7.1) para λ =λ0. Admita que as suposições (A1 ′
), (A2), (A3) e (A4)
sejam satisfeitas paraλ =λ0. Se xiλ0, i= 1, ..., k são os pontos de equilíbrio hiperbólicos em∂Aλ0(xsλ
0), então existeε> 0 tal que o ponto de equilíbrio perturbado x
i
λ ∈∂Aλ(xsλ),
para todo i= 1, ..., k eλ ∈ (λ0−ε,λ0+ε).
Demonstração. O Teorema da Função Implícita 6.1.1 garante a persistência dos pontos
de equilíbrio hiperbólicos xi
λ0, i = 1,...,k e do ponto de equilíbrio hiperbólico assintotica-
mente estável xs
λ0, sob pequenas variações do parâmetroλ. Em outras palavras, existem
vizinhanças Uie V de xiλ0 e xsλ0, respectivamente, eε1> 0 tal que existe um único ponto
de equilíbrio hiperbólico xi
λ em Ui e um único ponto de equilíbrio hiperbólico assin-
toticamente estável xs
λ em V para todo i = 1,...,k e λ ∈ (λ0−ε1,λ0+ε1). Desde que xiλ
0 ∈∂Aλ0(x
s
λ0) e as suposições (A1 ′
), (A2) − (A4) são satisfeitas para λ =λ0, o Teo-
rema 5.5.3 garante que Wu
λ0(x
i
λ0) ∩ Aλ0(x
s
λ0) 6= /0 para todo i = 1,...,k. Além disso, esta
interseção é transversal. Por outro lado, como Aλ0(xsλ
0) = W s λ0(x s λ0), temos que W u λ0(x i λ0) ∩ Wλs 0(x s
λ0) 6= /0 para todo i = 1,...,k. Logo, pelo Lema 8.1.2, podemos afirmar que existe ε2 > 0 tal que Wλu(xiλ) ∩ Wλs(xsλ) 6= /0 para todo i = 1,...,k e λ ∈ (λ0−ε2,λ0+ε2), ou
seja, Wu
λ(xiλ) ∩ Aλ(xsλ) 6= /0 para todo i = 1,...,k eλ∈ (λ0−ε2,λ0+ε2). Portanto, o Teo-
rema 4.1.1 garante que xi
λ ∈∂Aλ(xsλ) para todo i = 1, ..., k e λ ∈ (λ0−ε,λ0+ε) com
ε= min{ε1,ε2}. Com isso, o teorema está provado.
Nos próximos resultados, estaremos interessados em estudar o comportamento da fronteira da região de estabilidade para pequenas variações do parâmetro λ próximo a um parâmetro de bifurcação sela-nó do tipo zeroλ0. Neste estudo, será necessário con-
trolar o aparecimento de novos pontos de equilíbrio quando parâmeros são variados, já que esse fenômeno pode ocorrer conforme foi visto no Exemplo 6.1.1. Sendo assim, admitiremos como hipótese nos próximos resultados a condição que para um parâmetro
de bifurcação sela-nó do tipo zero λ0, os pontos de equilíbrio do sistema ˙x = f (x,λ0)
são todos hiperbólicos, exceto o ponto de equilíbrio não hiperbólico sela-nó do tipo zero
xλ0. Além disso, para pequenas variações do parâmetro λ próximo a λ0, os pontos de
equilíbrio do sistema perturbado ˙x = f (x,λ) são exclusivamente os pontos de equilíbrio perturbados do sistema original ˙x = f (x,λ0).
O teorema a seguir estuda o comportamento da fronteira da região de estabilidade na vizinhança de um ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero.
Teorema 8.1.2. (Comportamento da fronteira da região de estabilidade na vizinhança
de um ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero): Seja(xλ0,λ0) um ponto de bifurcação sela-nó do tipo zero de (7.1). Suponha que o ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero xλ0 pertença à fronteira da região de estabilidade ∂Aλ0(xsλ
0) de um ponto de equilíbrio
hiperbólico assintoticamente estável xsλ
0 de (7.1) para λ =λ0. Admita que a suposição
(A3) seja satisfeita em um intervalo aberto I contendo o valor de bifurcação sela-nó
do tipo zeroλ0 e a suposição (A4) é satisfeita para λ =λ0. Além disso, assuma que o número de pontos de equilíbrio hiperbólicos do sistema (7.1) é finito e xλ0 é o único ponto de equilíbrio não hiperbólico paraλ =λ0. Suponha também, que para todoλ ∈ I, todos os pontos de equilíbrio do sistema perturbado ˙x= f (x,λ) são pontos de equilíbrio
perturbados originados do sistema ˙x= f (x,λ0). Então existe uma vizinhança U de xλ0 e
β′
>β > 0 tal que:
(i) Existem somente dois pontos de equilíbrio hiperbólicos ysλ e yuλ em U do tipo zero e tipo um, respectivamente para todoλ ∈ (λ0−β′,λ0) e não existe ponto de equilíbrio em U para todoλ ∈ (λ0,λ0+β′). Além disso, a variedade estável do ponto de equilíbrio do tipo zero e a variedade instável do tipo um se interceptam ao longo de uma variedade unidimensional.
(ii) yu
λ ∈∂Aλ(xsλ) ∩∂Aλ(ysλ) para todoλ ∈ (λ0−β,λ0).
(iii) U ⊂ Aλ(xs
λ) para todoλ ∈ (λ0,λ0+β).
Demonstração. (i) A existência da vizinhança U e escalarβ′ com as propriedades dese- jadas é uma consequência direta do Teorema 7.2.2.
(ii) Primeiramente, mostraremos a existência deβ > 0 tal que yuλ ∈∂Aλ(xsλ) para todo
λ∈ (λ0−β,λ0). Sejam xiλ0, i = 1...,k, os pontos de equilíbrio hiperbólicos em∂Aλ0(x
s
λ0)
e xλj
0, j = k+1,...,m, os pontos de equilíbrio hiperbólicos que não pertencem a∂Aλ0(x
s
λ0).
Desde que o ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero xλ0∈∂Aλ0(xs
λ0) e o número dos pon-
tos de equilíbrio em∂Aλ0(xs
λ0) é finito, então, pelo Lema 8.1.1, a vizinhança U de xλ0pode
ser escolhida de tal modo que Ws
λ0(x
i
λ0) ∩U = /0 para todo i = 1...,k. Por outro lado, como
Wλs
0(x
j
λ0) ∩ U
−
λ0 = /0 e o Corolário 8.1.1 garante que (U
+ λ0−W s λ0(xλ0)) ⊂ Aλ0(x s λ0), pode-
mos afirmar que Ws
λ0(x
j
λ0) ∩U = /0 para todo j = k + 1...,m. Do fato que xλ0 ∈∂Aλ0(x
s
λ0),
temos que U ∩ Aλ0(x
s
λ0) 6= /0, além disso, esta interseção é transversal. Desde que in-
8.1 Comportamento da fronteira da região de estabilidade na presença de um ponto de equilíbrio sela-nó
do tipo zero 91
tubações, existeε2> 0 tal que U ∩ Aλ(xsλ) 6= /0, Wλs(xiλ) ∩U = /0, Wλs(xλj) ∩U = /0 para
todo i = 1...,k, j = k + 1...,m eλ ∈ (λ0−ε2,λ0+ε2). Tomando β = min{ε2,β′} > 0,
temos que U ∩Aλ(xsλ) 6= /0, Wλs(xiλ) ∩U = /0 ∀i = 1,...,k, Wλs(xλj) ∩U = /0 ∀ j = k +1,...,m e existem dois pontos de equilíbrio hiperbólicos ys
λ e yuλ em U para todoλ∈ (λ0−β,λ0).
Do fato que U ∩ Aλ(xs
λ) 6= /0, a vizinhança U é conexa e U não está inteiramente contida em A(xs
λ), podemos afirmar que U ∩∂Aλ(xsλ) 6= /0 para todo λ ∈ (λ0−β,λ0). Desde
que a suposição (A3) seja satisfeita para todoλ próximo a λ0, podemos afirmar que a
fronteira da região de estabilidade∂Aλ(xs
λ) está contida na união das variedades estáveis dos pontos de equilíbrio em ∂Aλ(xs
λ). Como consequência, concluímos que U inter- cepta a variedade estável de pelo menos um ponto de equilíbrio na fronteira∂Aλ(xsλ). Desde que, por hipótese os pontos de equilíbrio do sistema perturbado ˙x = f (x,λ) são
xiλ, ∀i = 1,...,k, xλj ∀ j = k + 1,...,m, ysλ e yλu para todo λ ∈ (λ0−β,λ0) , além disso Wλs(xi
λ) ∩U = /0 ∀i = 1,...,k, Wλs(xλj) ∩U = /0 ∀ j = k + 1,...,m, ysλ ∈/∂Aλ(xsλ), pois ysλ é assintoticamente estável e Wu
λ(yuλ) ∩ U 6= /0, necessariamente yuλ ∈∂Aλ(xsλ) para todo
λ ∈ (λ0−β,λ0).
Mostraremos agora que yu
λ ∈∂Aλ(ysλ) para todoλ ∈ (λ0−β,λ0). Do item (i), temos que Wλs(ys
λ) ∩ Wλu(yuλ) 6= /0, isto é, Aλ(ysλ) ∩ Wλu(yuλ) 6= /0, logo o Teorema 4.1.1 garante que
yuλ ∈∂Aλ(ys
λ) para todoλ ∈ (λ0−β,λ0).
(iii) Considerando o mesmo β > 0 do item (ii), temos que os pontos de equilíbrio do sistema perturbado ˙x = f (x,λ) são xiλ, ∀i = 1,...,k, xλj ∀ j = k + 1,...,m para todo λ ∈ (λ0,λ0+β), além disso U ∩Aλ(xsλ) 6= /0, Wλs(xiλ)∩U = /0 para todo i = 1,...,k e Wλs(xλj)∩ U= /0 para todo j = k + 1, ..., m eλ ∈ (λ0,λ0+β). Em particular, de acordo com o item
(i), também não existe ponto de equilíbrio em U para todoλ ∈ (λ0,λ0+β). Do fato que U∩ Aλ(xs
λ) 6= /0, a fronteira da região de estabilidade∂Aλ(xsλ) está contida na união das variedades estáveis dos pontos de equilíbrio em∂Aλ(xs
λ) e a vizinhança U é conexa, pode- mos afirmar que U ⊂ Aλ(xs
λ) para todoλ ∈ (λ0,λ0+β). Suponha, por contradição, que U
não esteja inteiramente contida em Aλ(xs
λ), então U ∩∂Aλ(xsλ) 6= /0 e consequentemente
U interceptaria a variedade estável de pelo menos um ponto de equilíbrio em∂Aλ(xsλ), levando-nos a um absurdo.
Do Teorema 8.1.2, paraλ <λ0o ponto de equilíbrio hiperbólico do tipo um yuλ em U
está na fronteira da região de estabilidade de xs
λ. Quandoλ cresce, o ponto de equilíbrio estável ys
λ aproxima-se do ponto de equilíbrio hiperbólico do tipo um yuλ. Eles coalescem, dentro de U emλ =λ0em um ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero xλ0. Emλ =λ0,
o ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero está na fronteira da região de estabilidade de
xsλ
0. Quandoλ continua crescendo, o ponto de equilíbrio xλ0 desaparece e a vizinhança
U do ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero agora está contida na região de estabilidade
de xs
λ. O Teorema 8.1.2 mostra que a região de estabilidade e a fronteira da região de estabilidade sofrem mudanças drásticas emλ =λ0. A fronteira da região de estabilidade
intercepta a vizinhança U paraλ 6λ0 enquanto U está totalmente contida na região de estabilidade paraλ >λ0.
O próximo teorema é o passo inicial para entendermos o comportamento global da região de estabilidade e de sua fronteira sob variação do parâmetro nas vizinhanças de um parâmetro de bifurcação sela-nó do tipo zero.
Teorema 8.1.3. (A herança dos pontos de equilíbrio na fronteira da região de estabili-
dade): Seja(xλ0,λ0) um ponto de bifurcação sela-nó do tipo zero de (7.1). Suponha que o ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero xλ0 pertença à fronteira da região de estabil- idade∂Aλ0(xs
λ0) de um ponto de equilíbrio hiperbólico assintoticamente estável x
s
λ0 de
(7.1) paraλ =λ0. Admita que a suposição(A3) seja satisfeita em um intervalo aberto contendo o valor de bifurcação sela-nó do tipo zeroλ0 e as suposições(A2) e (A4) são satisfeitas paraλ =λ0. Além disso, assuma que o número de pontos de equilíbrio hiper- bólicos do sistema (7.1) é finito e xλ0 é o único ponto de equilíbrio não hiperbólico para
λ =λ0. Suponha também, que para todo λ ∈ I, todos os pontos de equilíbrio do sis- tema perturbado ˙x= f (x,λ) são pontos de equilíbrio perturbados originados do sistema ˙x = f (x,λ0). Se x∗λ0 é um ponto de equilíbrio hiperbólico em∂S∗(xλ0), então existe uma vizinhança U de xλ0,β′ > 0 ,η> 0 eζ > 0 tal que:
(i) Existem somente dois pontos de equilíbrio hiperbólicos ys
λ e yuλ em U do tipo zero e
tipo um, respectivamente para todoλ ∈ (λ0−β′,λ0) e não existe ponto de equilíbrio em U para todoλ ∈ (λ0,λ0+β′).
(ii) O ponto de equilíbrio perturbado xλ∗ ∈∂Aλ(ysλ) para todoλ ∈ (λ0−η,λ0). (iii) O ponto de equilíbrio perturbado xλ∗ ∈∂Aλ(xsλ) para todoλ ∈ (λ0,λ0+ζ).
Demonstração. (i) A existência da vizinhança U e do escalar β′ com as propriedades desejadas é uma consequência direta do Teorema 7.2.2.
(ii) Seja x∗λ
0∈∂Sλ0(xλ0). Sem perda de generalidade vamos admitir que a vizinhança U é
a mesma do Teorema 8.1.2. Do Teorema 5.6.4 podemos afirmar que Wu
λ0(x ∗ λ0) ∩ S(xλ0) 6= /0, em particular Wu λ0(x ∗ λ0)∩U − λ06= /0. Seja q ∈ W u λ0(x ∗ λ0)∩U − λ0, como U − λ0é aberto, existe r > 0 tal que B(q;r) ⊂ U−
λ0. Além disso, dadoα > 0 suficientemente pequeno, o número r > 0
pode ser escolhido arbitrariamente pequeno tal que B(q;r) ⊂ U−
λ para todo λ ∈ (λ0−
α,λ0). Por outro lado, a variedade instável Wλu0(xλ∗0) intercepta B(q; r) transversalmente
e como interseções transversais persistem a pequenas pertubações, existeε2> 0 tal que Wλu(x∗λ) ∩ B(q;r) 6= /0 para todo λ ∈ (λ0−ε2,λ0+ε2). Tomando η = min{α,ε2,β′},
temos que Wu
λ(xλ∗) ∩ B(q;r) 6= /0 e B(q;r) ⊂ Uλ− ⊂ Aλ(ysλ) para todo λ ∈ (λ0−η,λ0).
Portanto, Wu
λ(x∗λ) ∩ Aλ(ysλ) 6= /0 e pelo Teorema 4.1.1 podemos afirmar que x∗λ ∈∂Aλ(ysλ) para todoλ ∈ (λ0−η,λ0).
(iii) De acordo com o item (ii), podemos afirmar que Wu
λ0(x
∗
λ0) ∩U 6= /0 e esta interseção
8.1 Comportamento da fronteira da região de estabilidade na presença de um ponto de equilíbrio sela-nó
do tipo zero 93
ε3> 0 tal que Wλu(x∗λ) ∩U 6= /0 para todoλ∈ (λ0−ε3,λ0+ε3). Tomandoζ = min{ε3,β}
onde β > 0 é definido no item (iii) do Teorema 8.1.2, temos que Wλu(x∗λ) ∩ U 6= /0 e
U⊂ Aλ(xsλ) para todoλ ∈ (λ0,λ0+ζ). Portanto, Wλu(x∗λ) ∩ Aλ(xsλ) 6= /0 e pelo Teorema
4.1.1 podemos afirmar que x∗
λ ∈∂Aλ(xsλ) para todoλ ∈ (λ0,λ0+ζ).
O Teorema 8.1.3 mostra que a região de estabilidade de xs
λ "herda" toda a região de estabilidade do ponto de equilíbrio assintoticamente estável ys
λ que desaparece na bifur- cação sela-nó do tipo zero em λ =λ0. Tecnicamente, o Teorema 8.1.3 mostra que os
pontos de equilíbrio na fronteira da região de estabilidade de ys
λ paraλ <λ0são herdados
pela fronteira da região de estabilidade de xs
λ quandoλ cresce e passa porλ0.
As Figuras 8.2, 8.3 e 8.4 ilustram os Teoremas 8.1.2 e 8.1.3. A Figura 8.2 mostra a região de estabilidade do sistema (7.1) paraλ <λ0. Existem dois equilíbrios assintoti-
camente estáveis xs
λ e ysλ nesta figura. O ponto de equilíbrio hiperbólico do tipo um yuλ pertence à fronteira da região de estabilidade de ambos pontos de equilíbrio assintotica- mente estáveis, enquanto x∗
λ está na fronteira da região de estabilidade de ysλ. Quandoλ cresce, o sistema fica sujeito a uma bifurcação sela-nó do tipo zero emλ =λ0. A Figura
8.3 ilustra a região de estabilidade do sistema (7.1) paraλ =λ0. Os pontos de equilíbrio yuλ e ysλ da Figura 8.2 coalescem em um único ponto de equilíbrio xλ0 na Figura 8.3. O
ponto de equilíbrio xλ0 é um ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero que pertence à fron- teira da região de estabilidade do ponto de equilíbrio hiperbólico assintoticamente estável
xsλ
0. O ponto de equilíbrio x
∗
λ da Figura 8.2 persiste. O ponto de equilíbrio x∗λ0, que estava
na fronteira da região de estabilidade do ponto de equilíbrio assintoticamente estável que desaparece na bifurcação, pertence agora à fronteira da região de estabilidade fraca do ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero xλ0. Quandoλ continua crescendo, o ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero e a região de estabilidade fraca desaparecem e o ponto de equilíbrio perturbado do tipo um x∗
λ, que pertencia à fronteira da região de estabilidade de ys
λ paraλ <λ0, pertence agora à fronteira da região de estabilidade de xsλ, ver Figura
8.4. Em outras palavras, a região de estabilidade do ponto de equilíbrio perturbado xs
λ "herda" a região de estabilidade do ponto de equilíbrio assintoticamente estável ys
λ que desapareceu na bifurcação sela-nó do tipo zero.
As demonstrações dos Teoremas 8.1.1, 8.1.2 e 8.1.3 também podem ser encontradas em (AMARAL; ALBERTO, 2010b).
Usando os Teoremas 5.5.4, 8.1.1, 8.1.2 e 8.1.3, obtemos o seguinte corolário que fornece uma caracterização da fronteira da região de estabilidade na vizinhança de um parâmetro de bifurcação sela-nó do tipo zero.
Corolário 8.1.2. (Caracterização da fronteira da região de estabilidade na vizinhança
de um parâmetro de bifurcação sela-nó do tipo zero): Seja (xλ0,λ0) um ponto de bi- furcação sela-nó do tipo zero de (7.1). Suponha que o ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero xλ0 pertença à fronteira da região de estabilidade ∂Aλ0(xs
Figura 8.2: Região de estabilidade do sistema (7.1) paraλ <λ0. A área em roza mais
escuro é a região de estabilidade do ponto de equilíbrio assintoticamente estável ys
λ en- quanto a área em roza mais claro é a região de estabilidade de um ponto de equilíbrio assintoticamente estável xs
λ.
Figura 8.3: Região de estabilidade do sistema (7.1) paraλ =λ0. O ponto de equilíbrio
assintoticamente estável ys
λ da Figura 8.2 coalesceu com o ponto de equilíbrio do tipo um
yuλ em um ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero xλ0. O ponto de equilíbrio sela-nó do
tipo zero xλ0 está na fronteira da região de estabilidade de xs
λ0e a área em roza mais escuro
é a região de estabilidade fraca de xλ0.
Figura 8.4: Região de estabilidade do sistema (7.1) paraλ >λ0. O ponto de equilíbrio
hiperbólico do tipo um x∗
λ que pertencia a fronteira da região de estabilidade de ysλ para
λ <λ0agora pertence a fronteira da região de estabilidade de xsλ. O ponto de equilíbrio xsλ "herda" toda a região de estabilidade do ponto de equilíbrio ysλ, que desapareceu.