4. KATMA DEĞER VERGİSİNDE İHRACAT İSTİSNASI
4.1 Mal İhracatı
4.1.3 İhraç kayıtlı teslimler ilişkin kdv istisnası ve tecil terkin uygulaması
A defini¸c˜ao de conjunto observador funcional est´a associada `a capacidade do sistema de monitoramento em interceptar uma quantidade predefinida de tr´afego. Nesta Subse¸c˜ao, a quantidade de informa¸c˜ao interceptada ´e estabelecida como parˆametro do sistema de monitoramento. Especificamente, ser´a considerada a capacidade dos n´os observadores em tornar poss´ıvel examinar uma porcentagem esperada do total do tr´afego da rede.
Defini¸c˜ao 3.7 (Observabilidade funcional). Uma rede ´e pass´ıvel de observabilidade fun- cional se, a partir da matriz estoc´astica de transi¸c˜ao A e de uma distribui¸c˜ao de probabi- lidade do estado inicial x[t0], ´e poss´ıvel examinar, pelo menos, uma porcentagem esperada
α do total de informa¸c˜ao que trafega na rede.
A Defini¸c˜ao3.7permite abordar o problema de duas formas. Na primeira, pode-se es- tabelecer um parˆametro α desejado e ent˜ao buscar por um conjunto observador funcional m´ınimo. Na segunda, pode-se estabelecer a quantidade m´axima de n´os e, a partir da maxi- miza¸c˜ao de α, encontrar o conjunto observador funcional. Para que as duas possibilidades sejam consideradas, estuda-se o comportamento do fator α em rela¸c˜ao `a minimiza¸c˜ao da quantidade de n´os. Para tanto, ´e fundamental o projeto de uma matriz A que torne poss´ıvel caracterizar a quantidade de informa¸c˜ao que passa por cada n´o. Para que essa propor¸c˜ao de tr´afego transpare¸ca de forma imparcial no vetor de estado x[t], define-se que todos os n´os da rede possuem igual probabilidade de reten¸c˜ao da informa¸c˜ao, ou seja,
pr(vi) = pr i = 1, . . . , n. (3.19)
Portanto, quanto mais informa¸c˜ao passa por um n´o vi, maior ser´a o valor de xi[t]. Conse-
quentemente, a probabilidade de transmiss˜ao ´e definida por
pt(vi) = 1− pr i = 1, . . . , n. (3.20)
Dada a Premissa 3.3, que trata da conserva¸c˜ao da informa¸c˜ao, se a soma dos estados individuais no estado inicial x[t0] for unit´aria, o estado
x[t0+ k] = Akx[t0], (3.21)
Dado o estado inicial do processo marcoviano, para completar o modelo ´e necess´ario definir a matriz de transi¸c˜ao A. A partir da Equa¸c˜ao 3.19, ´e poss´ıvel definir o elementos da diagonal da matriz. Por´em, as entradas referentes `a matriz de adjacˆencia necessitam da an´alise da pol´ıtica de transmiss˜ao entre cada n´o e seus vizinhos. Em uma rede onde n˜ao h´a pol´ıtica de transmiss˜ao[v], ´e poss´ıvel definir que a transmiss˜ao para qualquer vizinho ´e equiprov´avel. Nesse caso, ´e poss´ıvel definir as entradas relacionadas `a matriz de adjacˆencia como descrita pela Equa¸c˜ao 3.11. Por´em, em redes projetadas, ou onde h´a um princ´ıpio de otimiza¸c˜ao na pol´ıtica de transmiss˜ao de informa¸c˜ao, no momento de repasse h´a uma predile¸c˜ao pelos vizinhos que minimizem a distˆancia de tr´afego. De forma que, se um n´o vi
transmite alguma informa¸c˜ao destinada a vj, a quantidade de repasses deve se aproximar
da distˆancia entre os n´os, isto ´e, sij como estabelecida pela Defini¸c˜aoA.6. Nesse caso, a
pol´ıtica de transmiss˜ao equiprov´avel n˜ao ´e conveniente e deve ser substitu´ıda por outra que considere essa otimiza¸c˜ao. Para tanto, ´e estabelecida uma nova m´etrica que caracteriza a performance de um n´o em rela¸c˜ao `a sua capacidade de minimizar a quantidade de repasses da informa¸c˜ao. Nesse sentido, baseado na ideia de centralidade [Newman 2003], ´e apresentado a seguir o conceito de rendimento de um n´o.
Defini¸c˜ao 3.8 (Rendimento de um n´o). O rendimento de um n´o vi, representado por
γ(vi), ´e definido pela raz˜ao entre a quantidade de outros n´os na rede e a soma das distˆancias
para cada um desses n´os, ou seja,
γ(vi) = P|N| − 1
{vj∈N }sij
(3.22)
onde sij representa a distˆancia entre os n´os vi e vj.
De acordo com a Defini¸c˜ao3.8, se a distˆancia de um n´os para todos os outros da rede for unit´aria, ent˜ao o rendimento de tal n´o ´e m´aximo e quanto maior forem as distˆancias, menor ser´a o rendimento. O Algoritmo apresentado a seguir realiza o c´alculo do rendimento de cada n´o da rede.
Algoritmo 3.2 (Rendimento). E poss´ıvel computar o rendimento de cada n´´ o de um grafo conexo com base na representa¸c˜ao por lista de adjacˆencia.
algoritmo rendimento(L)
1: {Lista de adjacˆencia L de um grafo direcionado G = hN, Ei.}
2: r← novo-vetor(|N|, 0) {Vetor de |N| posi¸c˜oes preenchidas com zero.} 3: para cada vi ∈ N fa¸ca
4: hs, pi ← distancia(L, vi){Calcula as distˆancias de vi para os demais n´os.}
5: t← 0
6: para cada j de 1 at´e|N| fa¸ca
7: t← t + s[j]
8: fim para
9: r[i]← (|N| − 1)/t 10: fim para
11: retorne r {Vetor com os rendimentos de cada n´o da rede.}
A complexidade do algoritmo ´e da ordem de O(n2E{Gout}) em tempo e de Θ(n) em
mem´oria, onde n =|N|.
As complexidades do Algoritmo3.2dependem do procedimento ‘distancia()’, associado ao Algoritmo A.3. Considerando a complexidade desse procedimento, a complexidade do Algoritmo 3.2 ´e da ordem de O(n2E{Gout}) em tempo e de Θ(n) em mem´oria. Com
base nesse Algoritmo e na defini¸c˜ao do conceito de rendimento, ´e poss´ıvel computar as probabilidades de transmiss˜ao. Especificamente, com base na Defini¸c˜ao 3.8, ´e poss´ıvel ponderar a probabilidade de transmiss˜ao entre os vizinhos de um n´o vj, de forma que
quanto maior for o rendimento do vizinho vi, maior ´e a probabilidade de transmiss˜ao da
informa¸c˜ao de vj para vi. Essa pondera¸c˜ao pode ser descrita pela seguinte rela¸c˜ao:
µ(vj, vi) =
γ(vi)
P
{vw∈h(vj)}γ(vw)
vi ∈ h(vj), (3.23)
onde h(vj) representa os vizinhos do n´o vj. Com bases nas probabilidades de reten¸c˜ao e na
politica de transmiss˜ao, ´e poss´ıvel definir os elementos da matriz estoc´astica de transi¸c˜ao como sendo: pij = pr(vi) se i = j (1− pr(vi))µ(vj, vi) se vi∈ h(vj)
0 caso contr´ario
, (3.24)
que, considerando E{Gout} ≪ |N|, define uma matriz esparsa. Embora essa otimiza¸c˜ao do
processo de transmiss˜ao da informa¸c˜ao seja adequada para representa¸c˜ao de alguns siste- mas reais, como ´e o caso das redes de computadores, ´e poss´ıvel que a escolha equiprov´avel do encaminhamento seja mais adequada em outros cen´arios. Dado o objeto de estudo deste trabalho, a constru¸c˜ao da matriz estoc´astica est´a relacionada `a Equa¸c˜ao 3.24. Todavia, em alguns casos pode ser de interesse uma compara¸c˜ao dos resultados de ambas, o que ser´a feito explicitamente. Nesse sentido, elabora-se o seguinte algoritmo de constru¸c˜ao da matriz A.
Algoritmo 3.3 (Constru¸c˜ao da matriz estoc´astica de transi¸c˜ao). E poss´ıvel construir a´ matriz estoc´astica de transi¸c˜ao otimizada de uma rede, em rela¸c˜ao as probabilidades de transmiss˜ao, com base na lista de adjacˆencia e nas probabilidades de reten¸c˜ao.
algoritmo matriz-estocastica(L, pr)
1: {Lista de adjacˆencia L de um digrafo G = hN, Ei e probabilidades de reten¸c˜ao pr.} 2: a← nova-matriz(|N|, |N|, 0) {Matriz nula |N| × |N|, possivelmente esparsa.} 3: r← rendimento(L) {Vetor de rendimentos.}
4: para cada vj ∈ N fa¸ca
5: a[j][j]← pr[j]
6: s← 0
7: para cada vi ∈ L[j] fa¸ca
8: s← s + r[i] {Soma dos rendimentos na vizinhan¸ca de vj.}
9: fim para
10: pt← 1 − pr[j]{Probabilidade de transmiss˜ao em vj.}
11: para cada vi ∈ L[j] fa¸ca
12: a[i][j]← pt(r[i]/s){Probabilidade de transmiss˜ao de vj para vi.}
13: fim para
14: fim para
15: retorne a {Matriz estoc´astica da rede.}
A complexidade do algoritmo ´e da ordem de O(n2E{Gout}) em tempo e de Θ(n E{Gout})
A complexidade em tempo do Algoritmo 3.3, considerando o la¸co de repeti¸c˜ao da linha 4, seria da ordem de Θ(n E{Gout}), por´em, a complexidade em tempo do procedi- mento ‘rendimento()’ ´e superior e, portanto, a complexidade em tempo do algoritmo ´e da ordem de O(n2E{Gout}). Em rela¸c˜ao a complexidade em mem´oria, o Algoritmo 3.3
tem como ponto cr´ıtico o tamanho da matriz estoc´astica. Essa complexidade ´e da ordem de Θ(n E{Gout}), pois apenas essa quantidade esperada de elementos n˜ao ser˜ao nulos, de
forma que a matriz A ocupa tanta mem´oria quanto a representa¸c˜ao por lista de adjacˆencia. Dado que ´e poss´ıvel caracterizar a matriz de transi¸c˜ao A, deve-se agora dar continui- dade ao processo de busca pelo conjunto observador funcional m´ınimo. Nesse sentido, ´e preciso verificar, atrav´es da evolu¸c˜ao do processo descrito pela Equa¸c˜ao3.21, se o processo marcoviano converge para algum estado. Especificamente, ´e preciso considerar se o sistema pode convergir para estados diferentes a partir de estados iniciais distintos. Felizmente, para a matriz A proposta nesta Subse¸c˜ao, o processo marcoviano sempre converge para algum estado e esse estado ´e ´unico. Por´em, para demonstrar essa propriedade, ´e necess´ario apresentar a seguir uma serie de Defini¸c˜oes e Teoremas, que tˆem como finalidade servir de teoria de suporte para a demonstra¸c˜ao dos requisitos de convergˆencia.
Defini¸c˜ao 3.9 (Matriz estoc´astica regular). Uma matriz estoc´astica A ´e regular se Ak, para algum valor de k > 0, possui todos os elementos positivos. Um processo marcoviano, onde a matriz de transi¸c˜ao ´e regular, ´e dito processo marcoviano regular. Com base na defini¸c˜ao de processo marcoviano regular, ´e poss´ıvel se utilizar de alguns Teoremas a fim de mostrar que: (i) o sistema sempre converge e (ii) converge para o mesmo estado independentemente do estado inicial. Nesse sentido, ´e conveniente apresentar o seguinte Teorema sobre o comportamento assint´otico de um processo marcoviano regular. Teorema 3.3 (Comportamento do processo marcoviano regular). [Anton & Busby 2003] Se A ´e uma matriz de transi¸c˜ao regular, ent˜ao
Ak → c1 c1 · · · c1 c2 c2 · · · c2 .. . ... . .. ... cn cn · · · cn , (3.25)
para valores assint´oticos de k, onde ci s˜ao todos n´umeros positivos, e Pni=1ci = 1.
Teorema 3.4 (Estado est´avel do processo marcoviano regular). [Anton & Busby 2003] Se A ´e uma matriz de transi¸c˜ao regular e x[t0] ´e um vetor de probabilidades, ent˜ao
Akx[t0]→ c1 c2 .. . cn = c, (3.26)
para valores assint´oticos de k, onde c ´e o estado est´avel ´unico, independente de x[t0], e
com todos os elementos positivos e Pn
i=1ci = 1.
Esses dois Teoremas podem ser utilizados para garantir a convergˆencia e a unicidade da solu¸c˜ao desde que seja demonstrado que a matriz estoc´astica definida pela Equa¸c˜ao 3.24
´e regular. O Teorema a seguir, associado `a interpreta¸c˜ao da potˆencia de uma matriz de adjacˆencia, torna essa demonstra¸c˜ao poss´ıvel.
Teorema 3.5 (Potˆencias da matriz de adjacˆencia). [Cvetkovi´c et al. 2009] Dado que A ´e a matriz de adjacˆencia de um grafo direcionado G, composto pelos n´os v1, v2, . . . , vn, o
elemento aij da matriz Ak representa a quantidade de caminhos distintos de tamanho k
partindo do v´ertice vj at´e o v´ertice vi.
As potˆencias da representa¸c˜ao por matriz de adjacˆencia possibilitam uma interpreta¸c˜ao razo´avel sobre a evolu¸c˜ao do processo marcoviano, tornando poss´ıvel estabelecer condi¸c˜oes suficientes para que a matriz estoc´astica de transi¸c˜ao seja regular, como apresentado no seguinte Lema.
Lema 3.2 (Regularidade da matriz de transi¸c˜ao). S˜ao condi¸c˜oes suficientes para que a matriz de transi¸c˜ao A, definida pela Equa¸c˜ao 3.24, seja regular:
1. a matriz de adjacˆencia representar um grafo conexo; e
2. as probabilidades de reten¸c˜ao pr(vi) serem todas positivas.
Demonstra¸c˜ao. A partir do Teorema 3.5, tem-se que, se existe pelo menos um caminho de tamanho k do n´o vj at´e o n´o vi, ent˜ao o elemento aij da matriz Ak ser´a positivo.
Portanto, assumindo que o grafo ´e conexo, pode-se afirmar que cada entrada aij da matriz
ser´a positiva para algum valor de k. Tal fato n˜ao garante que elas ser˜ao todas positivas para algum instante k. Ao adicionar as probabilidades de reten¸c˜ao, tem-se como inter- preta¸c˜ao a adi¸c˜ao de um la¸co em cada n´o da rede. Considerando que existe um caminho de tamanho k entre dois n´os, a existˆencia de la¸cos garante que tamb´em existir˜ao quaisquer caminhos maiores que k. Assim, t˜ao logo um elemento qualquer da matriz seja positivo, ele permanecer´a positivo. Como todos os elementos da matriz se tornar˜ao positivos em algum instante e permanecer˜ao positivos, ent˜ao a matriz estoc´astica definida pela Equa¸c˜ao 3.24
´e sempre positiva para algum valor de k e, portanto, regular. C.Q.D. Corol´ario 3.2 (Influˆencia do diˆametro sobre a matriz regular). Uma matriz estoc´astica regular A, que representa uma grafo conexo G, ter´a todas as suas entradas positivas no instante k = d(G), onde d(G) representa o diˆametro do grafo G. Demonstra¸c˜ao. Tomando como base a demostra¸c˜ao do Lema 3.2, tem-se que o ´ultimo elemento da matriz a ser positivo ser´a aquele referente a maior distˆancia do grafo, que ´e representado pelo diˆametro. Portanto, quando k for igual ao diˆametro, todos as entra- das cujos n´os eram separados por distˆancias menores que k, j´a eram positivos e assim permanecem e as entradas que eram nulas passam a ser positivas. C.Q.D. A partir do Lema 3.2 s˜ao estabelecidas condi¸c˜oes suficientes para que a matriz es- toc´astica seja regular. De fato, das duas condi¸c˜oes, apenas a primeira ´e necess´aria. Toda- via, como a defini¸c˜ao proposta para a matriz se encaixa nos requisitos de suficiˆencia, n˜ao ´e necess´ario ir al´em do exposto pelo Lema. Em rela¸c˜ao ao Corol´ario3.2, apesar de n˜ao ser necess´ario para a busca do conjunto observador m´ınimo, ´e ´util para se estimar o tempo de convergˆencia do processo marcoviano que, como pode-se deduzir, est´a diretamente relaci- onado ao diˆametro da rede. Por fim, garantida a convergˆencia do processo e a unicidade da solu¸c˜ao, ´e poss´ıvel desenvolver um algoritmo capaz de encontrar o conjunto observador funcional m´ınimo, com base no seguinte Corol´ario.
Corol´ario 3.3 (Conjunto observador funcional m´ınimo). O conjunto observador funcio- nal m´ınimo ´e composto pela menor quantidade de n´os cuja soma dos estados, considerando
Demonstra¸c˜ao. Considerando que o estado est´avel c representa a quantidade esperada relativa de tr´afego em cada n´o da rede, a escolha gulosa dos n´os pelo respectivo estado no vetor c representa a quantidade m´ınima de n´os para se monitorar a quantidade de tr´afego estabelecida pela soma de seus estados. Portanto, a menor quantidade de n´os cuja soma dos estados excede ou se iguala `a α ´e o conjunto observador funcional m´ınimo. C.Q.D. O Algoritmo apresentado a seguir utiliza esse Corol´ario para encontrar o conjunto observador funcional m´ınimo de um grafo dado o parˆametro de observa¸c˜ao α.
Algoritmo 3.4 (Busca do conjunto observador funcional m´ınimo). E poss´ıvel computar´ o conjunto observador m´ınimo de uma rede, considerando o parˆametro α, com base na representa¸c˜ao por lista de adjacˆencia e no vetor de probabilidades de reten¸c˜ao.
algoritmo observador-funcional(L, pr, α)
1: {Lista de adjacˆencia L, probabilidades de reten¸c˜ao pr e fator de an´alise α.} 2: a←matriz-estocastica(L, pr) {Constru¸c˜ao da matriz estoc´astica regular.}
3: c←estado-estavel(a) {Solu¸c˜ao do estado est´avel da matriz.} 4: o← nova-lista() {Cria uma nova lista vazia.}
5: s← 0
6: enquanto s≤ α fa¸ca 7: vm← arg maxvic[i] 8: s← s + c[m]
9: inserir(o, vm) {Insere o n´o vm no inicio da lista o.}
10: remove(c, vm) {Remove n´o vm da lista c.}
11: fim enquanto
12: retorne o{Conjunto observador funcional m´ınimo.}
A complexidade do algoritmo ´e da ordem de O(n2E{Gout}) em tempo e de O(n E{Gout})
em mem´oria, onde n =|N|.
As complexidades do Algoritmo 3.4 dependem, principalmente, da forma como s˜ao implementados os procedimentos ‘matriz-estocastica()’ e ‘estado-estavel()’, uma vez que a complexidade na linha 6 ´e, no pior caso, da ordem de O(n). As complexidades do procedimento ‘matriz-estocastica()’ s˜ao apresentadas no Algoritmo 3.3e s˜ao da ordem de O(n2E{Gout}) em tempo e de Θ(n E{Gout}) em mem´oria. J´a em rela¸c˜ao ao procedimento
‘estado-estavel()’, pode ser implementado como a solu¸c˜ao do sistema linear:
(I− A)c = 0, (3.27)
com complexidade em tempo da ordem de O(n3), utilizando-se de algum processo de esca- lonamento de matriz. Como a matriz ´e esparsa, ´e poss´ıvel implementar o escalonamento em O(n2E{Gout}). J´a a complexidade em mem´oria de ‘estado-estavel()’ pode chegar a
O(n2) em alguns casos. Em redes reais tal caso n˜ao ´e prov´avel e, portanto, pode-se con- siderar que a complexidade esperada em mem´oria ´e da ordem de O(n E{Gout}). Dessa forma, considera-se que a complexidade do Algoritmo 3.4 ´e da ordem de O(n2E{Gout})
em tempo e de O(n E{Gout}) em mem´oria.
O procedimento de descoberta do conjunto observador funcional apresentado tem como caracter´ısticas a eficiˆencia e a escalabilidade em rela¸c˜ao aos algoritmos apresentados. Na Se¸c˜ao de Experimentos ser´a abordada a quest˜ao de escalabilidade da quantidade de n´os observadores. Por enquanto, ´e conveniente verificar a quest˜ao da observabilidade funcional nas topologias determin´ısticas utilizadas como referˆencia. Nesse sentido, ´e poss´ıvel concluir
que, se as probabilidades de reten¸c˜ao forem iguais, na topologia em anel todos os n´os devem convergir para o mesmo estado, ou seja, ci = 1/n. Isso n˜ao acontece na topologia
em linha j´a que, para pr = 1/n e considerando a matriz estoc´astica como definida pela
Equa¸c˜ao 3.24, o vetor c, para a rede apresentada na Figura 3.2, ´e
cline≈ 0.143 0.357 0.357 0.143 . (3.28)
Por esse resultado, ´e poss´ıvel concluir que espera-se analisar mais de 70% do tr´afego instantˆaneo da rede apenas monitorando os dois n´os centrais. Em rela¸c˜ao `a topologia em estrela, tem-se que, se a propriedade de reten¸c˜ao for igual para todos os n´os, 50% do tr´afego estar´a no n´o central, independentemente da quantidade de n´os, e do valor da probabilidade de reten¸c˜ao. Esse resultado ´e apresentado formalmente pelo Lema C.10. Nota 2 (Sobre o projeto da matriz de transi¸c˜ao). A matriz de transi¸c˜ao de estado de- finida nesta Se¸c˜ao, tem como objetivo o estudo da quantidade de informa¸c˜ao que trafega pela rede. Para considerar o projeto da matriz A a ser utilizada no sistema de monito- ramento, n˜ao ´e pr´atico considerar, por exemplo, que as probabilidades de reten¸c˜ao s˜ao
iguais para todos os n´os da rede[vi].
3.3
Experimentos
Esta Se¸c˜ao tem como objetivo o estudo experimental de caracter´ısticas da rede que influenciam o conjunto dos n´os observadores, por exemplo: (i) como cresce a quantidade de n´os observadores em rela¸c˜ao ao tamanho e a densidade da rede e (ii) como as propriedades da rede influenciam nas propriedades qualitativas e quantitativas dos n´os observadores.
´
E poss´ıvel estabelecer evidˆencias experimentais de duas formas: (i) pela an´alise direta de alguma m´etrica, ou (ii) pela utiliza¸c˜ao de t´ecnicas de visualiza¸c˜ao das propriedades da rede. A fim de ilustrar a segunda, ´e apresentada a Figura 3.6.
Figura 3.6: Rendimento dos n´os em uma rede livre de escala. Todas as redes s˜ao compostas por n = 21 n´os e diferenciam-se pelo parˆametro m, discriminado abaixo da rede.
Na Figura3.6, o rendimento ´e proporcional `a cor do n´o, de forma que de maior ren- dimento ´e mais escuro, culminando com a cor branca para o n´o com menor rendimento. Al´em disso, o n´o com maior rendimento ´e colocado no centro da visualiza¸c˜ao e as arestas que n˜ao comp˜oem a ´arvore de cobertura m´ınima em rela¸c˜ao ao n´o central s˜ao mais claras. [vi]Pode-se perceber que, em redes de computadores, tem-se n´os em que a reten¸c˜ao ´e baixa, como pode ser o caso de roteadores, enquanto a reten¸c˜ao de outros ´e alta, como ´e o caso de servidores de armazenamento.
A partir das redes apresentadas, ´e poss´ıvel verificar que existe uma rela¸c˜ao entre o rendi- mento de um n´o e o seu grau, uma vez que os n´os com maior rendimento possuem uma quantidade consider´avel de vizinhos. A fim de ilustrar como essas caracter´ısticas podem ser verificadas de forma experimental, ser´a considerada rela¸c˜ao esperada entre o grau de um n´o e o seu rendimento. A partir da cria¸c˜ao e an´alise de 104 redes livre de escala de ta- manhos n ={50, 100, 150}, para valores de m = {1, 2, 3}, foi verificado o comportamento do grau de um n´o em rela¸c˜ao ao seu rendimento esperado. Esses resultados, agrupados em 3 gr´aficos em rela¸c˜ao ao valor de m, s˜ao apresentados na Figura3.7.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 grau rendim o (a) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 rendim o (b) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 rendim o (c)
Figura 3.7: Rela¸c˜ao entre o rendimento e o grau em redes livre de escala. Em (a), onde m = 1, tem-se que a inclina¸c˜ao relativa ´e a mais acentuada; em (b), onde m = 2, h´a um aumento no valor esperado dos rendimentos para graus menores; o que ´e ainda mais not´avel em (c), onde m = 3.
Com base na aparente rela¸c˜ao linear entre o grau de um n´o e seu rendimento esperado, como apresentado na Figura 3.7 para valores distintos do parˆametro m e para redes de tamanho tamb´em distintos, ´e poss´ıvel estabelecer a Observa¸c˜ao a seguir.
Observa¸c˜ao 3.1 (Rela¸c˜ao entre grau e o rendimento esperado). Em uma rede livre de escala, o rendimento esperado de um n´o, representado por E{Y}, est´a proporcionalmente
Os gr´aficos apresentados na Figura3.7possuem comportamentos ligeiramente diferen- tes para valores distintos do parˆametro m. Especificamente, para valores maiores de m, a inclina¸c˜ao da reta de valor esperado do rendimento ´e menor. Isso porque para m = 1 o valor esperado do rendimento para graus menores ´e aproximadamente 1/5, j´a para m = 2 tem-se que esse valor ´e de, aproximadamente, 1/3, e para m = 3 ´e de, aproximadamente, 2/5. Esses resultados d˜ao suporte a Observa¸c˜ao a seguir.
Observa¸c˜ao 3.2 (Rela¸c˜ao entre m e o rendimento esperado). Em uma rede livre de escala, o rendimento esperado de um n´o, representado por E{Y}, est´a proporcionalmente
associado ao valor do parˆametro livre da rede m.
´
E natural que haja um aumento no rendimento proporcional `a m pois, quanto maior esse parˆametro maior ser´a a quantidade de arestas. Uma quantidade maior de arestas aumenta a densidade da rede, fazendo com que a distˆancia m´edia tenda a ser menor, o que aumenta o rendimento. De forma geral, os resultados, expressos na forma de observa¸c˜oes,