Bu bölümde amacımız Frege’nin aritmetik bilgisini nasıl gerekçelendirdiğinin ayrıntılı bir sunumunu yapmak değildir. Kaldı ki bu konu zaten sayısız çalışmanın konusunu oluşturmuştur.
Dahası Frege’nin bizzat kendisi aritmetik bilgisinin oluşumu ve gerekçelendirilmesi konusunda çeşitli yapıtlarında o kadar açıktır ki muğlak bir nokta neredeyse hiç bırakmamaktadır. Burada bu çalışmanın konusu açısından Frege’nin matematik felsefesi ve matematik epistemolojisi hakkında önemli olan bazı noktalara değinilecektir.
Öncelikle Frege, Kant’ın kavram çerçevesini olduğu gibi kabul eden bir filozoftur. Dahası o Kant’ın ortaya koyduğu dikotomilere ve özellikle analitik-sentetik dikotomisine tıpkı Bolzano gibi büyük bir değer vermiştir. Buna ek olarak Frege de tıpkı Kant gibi a priori sentetik önermelerin varlığını kabul etmektedir. Örneğin geometrinin yargıları açıkça Kant’ın da ileri sürdüğü gibi a priori sentetiktir. Frege’nin kendi ifadesiyle: “Geometrinin yargılarını sentetik ve a priori olarak adlandırırken Kant onların gerçek doğalarını ortaya koymuştur. Ve bunun tekrar edilmesi halen önemlidir, çünkü bugün bile yeterince kabul görmemektedir”(Frege, 2007 [1884]: §89, 182).
Ancak bilindiği gibi Frege’nin asıl ilgisi aritmetik bilgisi hakkındadır. Burada Frege’nin neden aritmetiğe büyük bir önem verdiği tartışılabilir. Frege içinde yaşadığı dönemin doğal bir sonucu olarak Kant’ın aksine aritmetik bilgisini problematik görmekteydi: Dönem matematik felsefesindeki büyük temeller krizinin başlangıç dönemiydi. Gerçekten de Frege Aritmetiğin Temelleri yapıtının daha ilk bölümünde bunu açıkça göstermiştir. Dönem negatif ve irrasyonel sayıların güvenilirliği hakkındaki pek çok tartışmaya ek olarak (büyük olasılıkla Cantor’un bazı küme kuramsal teoremlerin bir sonucu olarak) fonksiyon, limit, süreklilik ve sonsuzluk gibi pek çok kavramın temelleri de tartışmaya açılmıştı. Bunun sonucunda “önceden kendinden apaçık kavranabilir kabul edilenler için artık kanıtlama” beklenmekteydi (Frege, 2007 [1884]: §1, 87). Bunlar Kant’ın yaşadığı dönem için yabancı sorunlardır. Kant “7+5=12” gibi bir yargının doğruluğundan emin olmak için bu önermeye bir kanıt sağlama gerekliliği görmemişti. Ancak Frege’nin içinde yaşadığı dönem sezgi gibi bir kavramın aritmetik doğruluk için dayanak olarak değerlendirebileceği bir dönem değildir. Dolayısıyla Frege’nin Kant’ın aritmetiğin a priori sentetik olduğu iddiasını reddetmesi bu tarihsel şartlar altında doğaldır: Frege de aritmetiğe ait yargıların a priori sentetik olduğu iddiasını reddetmiş ve a priori analitik olduğunu ileri sürmüştür. Frege’nin bu yaklaşımı bir matematikçi ile bir filozofun bir matematik önermesinin epistemik güvenceliliği konusundaki yaklaşım farklılığına da dayanır. Frege’nin de ifade ettiği gibi “7+5=12” gibi sayısal ifadelerin kanıtlanmasını talep ederek “onları tartışma konusu yapmak neredeyse gülünç gözükebilir. Ancak, bir kanıtlamanın olanaklı olduğu her yerde, kanıtlamayı (…) tercih etmek matematiğin doğasında bulunur” (Frege, 2007 [1884]: §2, 88).
Frege’nin Kant’ın matematik epistemolojisine karşı çıkışına ilişkin başka bir neden de Kant’ın aritmetik epistemolojisinin yalnızca sonlu sayıda belirli sayılarla ilgili ifadeler hakkında olup, tüm sayılar için geçerli olan genel yasalar hakkında olmamasıdır. Frege (2007 [1884]: §5,
92)’de bu ikisinin epistemolojisini birbirinden ayırmıştır. Frege’ye göre Kant bunlardan yalnızca
birinci grup ifadelerle ve hatta onların da yalnızca “küçük” olanlarıyla ilgilenmiştir.
En önemlisi Frege, Kant’ın sayıların a priori temeli olduğu iddiasını da tam olarak savunamadığını düşünmekteydi. Kendi ifadesiyle: “Kant (…) parmakların veya noktaların görüsünden yararlanabileceğini düşünüyor, dolayısıyla da kendi düşüncesine karşıt olarak bu önermelerin deney kökenli olduğu düşüncesine sürüklenme tehlikesini beraberinde getiriyordu(…) (Frege, 2007 [1884]: §5, 93).
Böylece Frege aritmetiğin a priori olan ancak sezgisel temelli olmayan, dolayısıyla sentetik olmayan bir temele sahip olduğunu, yani aritmetiğin a priori analitik olduğunu göstermeye çalışmıştır. Ancak Frege Kant’ın analitiklik anlayışında içerilen ve Bolzano’nun da işaret ettiği bazı sorunların farkındadır:
Kant’ın tanımı temel alındığında yargıların analitik ve sentetik olarak bölünmesi olanaklı tüm durumları kapsamamaktadır. Kant, tümel olumlayıcı yargıları düşünmektedir. Bu yargılarda, özne olan kavramdan söz edilebilir ve –Kant’ın tanımının gerektirdiği gibi- yüklem olan kavramın onda içerilip içerilmediği sorulabilir. Ancak, özne tekil bir nesneyse bunu nasıl yapabiliriz? Ya da yargı varoluş bildiren bir yargı ise? (Frege, 2007 [1884]: §87, 181)
Bu noktada Frege tıpkı Bolzano gibi yeni bir analitiklik-sentetiklik ayrımı yapmıştır: Bir yargının kanıtları geriye doğru sorgulandığında bu sorgulamanın bittiği ve ilksel doğrulara ulaşıldığı noktada yalnızca genel mantık yasaları ve mantıksal kavramlarla karşılaşılıyorsa yargı analitiktir. Eğer bir kanıtlamayı yalnızca genel mantıksal doğruluklarla yapabilmek mümkün değilse ve bunun için özel bir bilgi alanının doğrulukları da gerekiyorsa, yargı sentetiktir (Frege, 2007 [1884]: §3, 89).
Böylece Frege aritmetiğe tamamen temelci bir epistemoloji önermiştir. Bu epistemoloji onun a priori doğruluk tanımında daha açıktır: Bir yargının doğruluğunun “kanıtlanması tümüyle tümel yasalar aracılığıyla yapılabiliyorsa ve bu yasaların kendileri de kanıtlanamıyor ve de kanıtlama gerektirmiyorsa, bu doğruluk a prioridir” (Frege, 2007 [1884]: §3, 90).
Bu epistemoloji sonucunda Frege’nin ortaya koyduğu proje bugün iyi bilindiği gibi mantıksalcılık olarak anılan proje, yani (1) aritmetiğin doğrularının saf mantıksal ilkelere dayandığını ve (2) aritmetiğe ilişkin kavramların saf mantıksal kavramlarla tanımlanabileceğini
gösterme projesidir. Projenin gelişiminin ayrıntılı bir sunumunu yapmak bu çalışma açısından gereksizdir ancak proje hakkında üzerinde durulması gereken bir nokta bulunuyor. Şimdi, eğer Frege’nin aritmetiğin tamamen mantıksal bir temeli olduğu iddiası doğruysa bu durum aritmetiğe ilişkin epistemik sorunu mantığa ilişkin epistemik soruna indirger. Dolayısıyla mantıksal yasaların gerekçesi a prioriyse o zaman aritmetik yasaların gerekçesi de a prioridir. Mantık yasaları ise Frege’ye göre herhangi bir kanıtlamaya ihtiyaç duymadıkları için a prioridir. Böylece bu noktada onların neden kanıtlama gerektirmediği sorunu ortaya çıkmaktadır.
Frege’ye göre bunun cevabı onun mantıksal-psikolojik yargı ayrımında saklıdır. Psikolojik bir yargı öznel bir yargıdır ve böyle bir yargı insanın psikolojik, fizyolojik ve fiziksel koşulları temelinde kurulur. Ancak mantıksal bir yargı, örneğin bir mantık yasası nesneldir. Doğruluğu insanın psikolojik, fizyolojik veya fiziksel koşullarına dayanmaz. Böylece mantıksal yargılar doğrulukları insandan bağımsız yargılarken, psikolojik yargılar doğruluğu insanın psikolojik, fizyolojik ve fiziksel koşullarına, daha özetle insanın zihinsel kuruluşuna dayanır. Şu şekilde bir düşünce deneyimi konuyu daha da açık kılacaktır: Belirli bir kişinin t gibi bir zamanda “bir şey ya A’dır ya da A olmayandır” gibi bir mantık önermesine veya “2+2=4” gibi aritmetik doğrusuna inandığını varsayalım. Eğer bu yargılar psikolojik yargılar olsaydı, insanın zihinsel kuruluşu değiştiğinde (örneğin radyasyon sonucunda mutasyona maruz kalmak) kişinin “her şey hem A’dır hem de B’dir” veya “2+2=5” gibi bir yargıya inanabileceğini düşünebilirdik. Ancak bu yargılar nesnel yargılarsa doğrulukları insana, örneğin insanın zihinsel kuruluşuna veya arzularına bağlı olmamalıdır.
Bu ayrımın doğal bir sonucu Frege’de bir yargının insan zihninde oluşmasını sağlayan bilişsel unsurlarla o yargının gerekçeliliğini sağlayan unsurları birbirinden ayrı düşünmektir. Bu nokta Frege’nin Kant’tan ayrıldığı temel noktalardan biridir. Kant’a göre gerek geometri yargılarının gerekse aritmetik yargılarının oluşumunda zihnin kuruluşundan gelen a priori sezgiler (zaman, mekan) devreye girmektedir ve Kant’a göre bu yargıları doğru kılan unsurlar da bizzat bu a priori sezgilerle ilişkilidir. Frege’ye göre aritmetik yargılar eğer nesnelse onların gerekçelendirilmesini sağlayan unsurlar öznel değildir. Frege’nin analitiklik tanımı bu temelde anlam kazanır (Frege, 2007 [1884]: §3, 89).