Entegrasyonun Başarısı İçin Temel Koşullar

O último algoritmo a ser apresentado é o Aprem-IR. Este algoritmo foi apresentado por Taouil e outros [53], também, por R. Taouil e seus co-autores. O algoritmo recebe, como parâmetro de entrada, uma lista de conceitos e retorna uma cobertura própria de implicações.

Seja (G,M,I) um contexto formal e B(G,M,I) a lista de conceitos associados ao contexto. O conjunto dos antecedentes, para um atributo m ∈ M, é o conjunto

lhs(m) = {X ∈ B(G, M, I)|m /∈ X ∧ ∀Y ⊂ X Y 6→ m}.

De acordo com Taouil e seus co-autores [53], este conjunto pode ser encontrado através de conjuntos ínfimo-irredutíveis. Esta afirmação é baseada em um teorema retirado do livro de Mannila e Raiha [38] o qual demonstra que o conjunto dos antecedentes de um atributo m é o conjunto de minimal transversals do hipergrafo formado com o complemento dos conjuntos máximos ínfimo-irredutíveis não contendo m (CIRR( ¯m)). Como o algoritmo Aprem-IR baseia- se nestes conceitos, é importante descrevê-los com um pouco mais de detalhes.

Um conjunto C é ínfimo-irredutível, se ele não pode ser descrito como o ínfimo de elemen- tos estritamente maiores que ele. Estes conjuntos podem ser, facilmente, detectados em um diagrama de linha observando-se os elementos com apenas um vizinho inferior. Para computar o conjunto CIRR( ¯m), é necessária a computação do conjunto IRR( ¯m) dos conjuntos máximos ínfimo-irredutíveis não contendo m. Como demonstrado por Mannila e Raiha [38], o conjunto IRR( ¯m) é idêntico ao conjunto das máximas intensões não contendo m. Assim, a família dos conjuntos máximos ínfimo-irredutíveis não contendo m é

IRR( ¯m) = {Y |(X,Y ) ∈ B(G, M, I), m /∈ Y, ∀(W, Z) ∈ B(G, M, I)[Y ⊂ Z → m ∈ Z]}. Obtido o conjunto IRR( ¯m), pode-se obter o conjunto CIRR( ¯m) já que

CIRR( ¯m) = {M − I|I ∈ IRR( ¯m)}.

O conjunto CIRR( ¯m) forma um hipergrafo cujos vértices são os atributos de M e as arestas os elementos de CIRR( ¯m). Um transversal em um hipergrafo é um subconjunto de vértices

que possui interseção com todas as arestas do hipergrafo. Seja H = (M,E) um hipergrafo cujo conjunto de arestas seja E e cujo conjunto de vértices seja M e seja T ⊆ M. T é um transversal se, para toda aresta E ∈ E, T ∩ E 6= /0. T é um minimal transversal se não existe subconjunto próprio de T que seja também um transversal. Assim, o conjunto dos minimal transversals associados a CIRR( ¯m) é

MT R(CIRR( ¯m)) = {T ⊆ M|T 6= {m}, ∀C ∈ CIRR( ¯m)[C ∩ T 6= /0],

∀X ⊆ M se X é um transversal e X ⊆ T , então X = T }.

Como o algoritmo Aprem-IR baseia-se no fato de que o conjunto dos antecedentes de um atributo m, lhs(m), é igual ao conjunto MT R(CIRR( ¯m)), ele possui basicamente duas etapas. Primeiro, ele determina, para cada atributo m do contexto, uma lista com o complemento dos conjuntos ínfimo-irredutíveis máximos não contendo m. Depois, determina o conjunto dos mi- nimal transversalse, com isso, o conjunto de implicações para cada atributo m ∈ M. O pseudo- código do algoritmo é apresentado pelo Algoritmo 7. As funções obterCIRR e obterRegras referem-se às duas etapas mencionadas anteriormente as quais são apresentadas em Algoritmo 8 e 9.

Algoritmo Aprem-IR

Entrada: Uma lista de conceitos formais B(G, M, I) Saída: Uma cobertura canônica F

início

1. CIRR:= obterCIRR(B(G,M,I)) 2. F:= obterRegras(CIRR) 3. retorne F

fim

Algoritmo 7: Encontra cobertura canônica dada uma lista de conceitos B(G, M, I).

O Algoritmo 8, para obter os conjuntos CIRR( ¯m) de cada atributo m, inicialmente, insere o conjunto vazio na lista dos conjuntos ínfimo-irredutíveis não contendo m (linhas 1 a 3). Em seguida, utilizando-se do fato de que IRR( ¯m) é igual ao conjunto das máximas intensões não contento m, o algoritmo verifica cada conceito (linhas 4 a 15). Para cada atributo m não perten- cente à intensão do conceito, remove-se de IRR( ¯m) todo subconjunto da intensão do conceito (linhas 6 a 10). Nas linhas 11 a 13, o algoritmo verifica se a intensão do conceito C não é subconjunto de nenhum conjunto pertencente a IRR( ¯m) (i.e. verifica se a intensão do conceito é máxima) antes de inserí-la no conjunto. Finalmente, nas linhas 16 a 21, o algoritmo obtém, para cada atributo m, o complemento dos conjuntos máximos ínfimo-irredutíveis não contendo m.

A segunda etapa do algoritmo, a obtenção dos minimal transversals e das implicações, é apresentada em pseudo-código pelo Algoritmo 9. O algoritmo inicia com a base de implicações

Algoritmo obterCIRR

Entrada: Uma lista de conceitos formais B(G, M, I)

Saída: O complemento dos conjuntos máximos ínfimo-irredutíveis associados a cada atributo CIRR início

1. para cada m∈ M faça 2. IRR( ¯m) := /0 3. fim para

4. para cada C∈ B(G, M, I) faça 5. para cada m∈ M − int(C) faça

6. para cada conjunto ínfimo-irredutível I∈ IRR( ¯m) faça 7. se I⊂ int(C) então

8. IRR( ¯m) := IRR( ¯m) − I

9. fim se

10. fim para

11. se∀I ∈ IRR( ¯m)[int(C) 6⊂ I] então 12. IRR( ¯m) := IRR( ¯m) ∪ {int(C)}

13. fim se

14. fim para 15. fim para

16. para cada m∈ M faça 17. CIRR( ¯m) := /0

18. para cada conjunto ínfimo-irredutível I∈ IRR( ¯m) faça 19. CIRR( ¯m) := CIRR( ¯m) ∪ {M − I}

20. fim para 21. fim para 22. retorne CIRR fim

Algoritmo 8: Encontra o complemento dos conjuntos máximos ínfimo-irredutíveis.

vazia (linha 1). Em seguida, entra em uma repetição para encontrar os antecedentes de cada atributo de M (linhas 2 a 28). Para determinar o conjunto MT R( ¯m), o algoritmo inicia com o conjunto vazio (linha 3) e obtém os minimal transversals gradualmente. Isto é, na i-ésima iteração, o algoritmo obtém os minimal transversals de tamanho i e determina os potenciais minimal transversalsde tamanho i + 1. Os candidatos iniciais a minimal transversals são ob- tidos na linha 4. Seguindo, nas linhas 5 a 24, todos os candidatos a minimal transversal são considerados. O ciclo das linhas 6 a 11 verifica quais candidatos do conjunto GEN são minimal transversals(linha 7), insere aqueles que, realmente, são (linha 8), removendo-os do conjunto de candidatos (linha 9). Nas linhas 12 a 23, o algoritmo determina os novos candidatos a mini- mal transversals. Inicialmente, ao conjunto dos novos candidatos, é atribuído o conjunto vazio (linha 12). Depois, cada candidato G remanescente em GEN (linhas 13 a 22) é combinado com os demais candidatos G′_{tais que |G| < |G}′_{| e |G ∩ G}′_{| = |G| − 1 (linhas 14 a 21). Assim, o pon-}

tencial novo candidato G′′ _{= G ∪ G}′ _{é gerado (linha 16). Se todos os subconjuntos de G}′′ _com

tamanho |G′′_{| − 1 elementos já foram avaliados como candidatos a minimal transversals (linha}

17), então, G′′ _{é inserido no conjunto dos novos candidatos (linha 18). Após todos minimal}

transversalsterem sido encontrados, as implicações do tipo T → m são encontradas para cada antecedente (minimal transversal) T ∈ MT R( ¯m) − {m} no ciclo das linhas 25 a 27. Enfim, após todos os atributos terem sido considerados, a base de implicações F é retornada.

Algoritmo obterRegras

Entrada: Um conjunto com os complementos dos conjuntos máximos ínfimo-irredutíveis CIRR Saída: Uma cobertura canônica F

início 1. F:= /0

2. para cada m∈ M faça 3. MT R( ¯m) := /0 4. GEN:= {{a}|a ∈S

CIRR( ¯m)} 5. enquanto GEN6= /0 faça

/* Verificando quais G∈ GEN são minimal transversals */ 6. para cada G∈ GEN faça

7. se∀I ∈ CIRR( ¯m)I ∩ G 6= /0 então 8. MT R( ¯m) := MT R( ¯m) ∪ {G}

9. GEN:= GEN − {G}

10. fim se

11. fim para

/* Encontrando novos potenciais minimal transversals em GEN */ 12. GEN′:= /0

13. para cada G∈ GEN faça

14. para cada G′∈ GEN tal que |G| < |G′_{| faça}

15. se|G ∩ G′| = |G| − 1 então

16. G′′:= G ∪ G′

17. se{S ⊂ G′′| |S| = |G′′| − 1} ⊆ GEN então

18. GEN′:= GEN′∪ {G′′} então

19. fim se 20. fim se 21. fim para 22. fim para 23. GEN:= GEN′ 24. fim enquanto

/* Determinando as regras cujo lado direito é m a partir de MT R( ¯m) */ 25. para cada transversal T6= {m} ∈ MT R( ¯m) faça

26. F:= F ∪ {T → m} 27. fim para

28. fim para 29. retorne F fim