Estruturas aeron´auticas s˜ao bastante complexas e consequentemente fica imposs´ıvel conhe- cer a natureza de todas as n˜ao linearidades do comportamento dinˆamico-estrutural. Lee, Price e Wong (1999) classificam as n˜ao linearidades estruturais em distribu´ıdas e concentradas. N˜ao linearidades distribu´ıdas est˜ao sobre toda estrutura como as n˜ao linearidades caracterizadas pelo comportamento dos materiais e tipo de geometria, e tˆem grandes efeitos em oscilac¸˜oes de am- plitudes altas. As n˜ao linearidades concentradas atuam localmente e costumam ser encontradas em mecanismos de controle ou em partes de conex˜oes e contatos da estrutura. Esse tipo de n˜ao linearidade possui efeito significativo em oscilac¸˜oes de baixas amplitudes. Uma n˜ao linearidade estrutural concentrada ´e o resultado da aplicac¸˜ao de um esforc¸o aerodinˆamico sobre a estrutura criando uma resposta que n˜ao ´e proporcional `a forc¸a aplicada.
Por exemplo, considera-se o sistema da Equac¸˜ao (1.1) onde os estados s˜ao dados pelos deslocamentos verticais e torsional (α) estruturais. No sistema aeroel´astico com a estrutura linear, o momento de torc¸˜ao em arfagem ´e M(α) = Kαα. Uma n˜ao linearidade na resposta
estrutural em torc¸˜ao ´e obtida com uma constante de rigidez de mola n˜ao linear ¯Kα, e pode ser
da seguinte forma:
M(α) = ¯Kαα ou M(α) = Kαf(α), (1.6)
onde f(α) ´e uma func¸˜ao n˜ao linear que determina o tipo de n˜ao linearidade no modelo estrutu- ral.
Assim, a curva que descreve a resposta do momento em torc¸˜ao, M(α), ´e que determina a n˜ao linearidade estrutural introduzida ao sistema aeroel´astico na Equac¸˜ao (1.1). A func¸˜ao n˜ao linear f(α) caracteriza o tipo de n˜ao linearidade, e costumam ser classificadas pelos autores em alguns tipos b´asicos. Dowell e Tang (2002b) classificam por trˆes tipos de curvas, o free- play, histerese e c´ubica. N˜ao linearidades concentradas tamb´em podem ser obtidas por uma combinac¸˜ao destes trˆes tipos de curvas. A Figura 1.4 mostra a curva da resposta do momento de torc¸˜ao pelo deslocamento da superf´ıcie de controle, representando uma n˜ao linearidade do tipo free-playdecorrente, por exemplo, de superf´ıcies de controle com folga em sua articulac¸˜ao.
Figura 1.4: N˜ao linearidade estrutural do tipo free-play.
As influˆencias das n˜ao linearidades estruturais foram analisadas na fronteira de ocorrˆencia do flutter em muitos trabalhos. Por exemplo, free-play, histerese, e n˜ao linearidade c´ubica fo- ram analisadas por Woolston, Runyan e Andrews (1957). Estes autores estudaram o movimento de um sistema aeroel´astico dado por uma sec¸˜ao t´ıpica com dois graus de liberdade, utilizando a func¸˜ao de Wagner para representar o escoamento linear. Este estudo mostrou que a veloci- dade cr´ıtica de flutter foi reduzida na presenc¸a dos trˆes tipos de n˜ao linearidades. Price, Lee e Alighanbari (1994b) tamb´em encontraram oscilac¸˜oes em ciclos limite com a n˜ao linearidade do tipo free-play no modo de torc¸˜ao no equacionamento estrutural bidimensional em regime subsˆonico abaixo da velocidade cr´ıtica do flutter linear.
Lee e Kim (1995) analisaram a hist´oria no tempo da resposta aeroel´astica de um modelo es- trutural com N graus de liberdade considerando n˜ao linearidade do tipo free-play na superf´ıcie de controle em arfagem. Os autores definiram regi˜oes de estabilidade do comportamento ae- roel´astico, onde o sistema obteve respostas convergentes, oscilac¸˜oes em ciclos limite, caos e respostas divergentes. Em pesquisas realizadas por Price, Lee e Alighanbari (1994a) e Lee, Price e Wong (1999) foram encontradas respostas aeroel´asticas ca´oticas para v´arios tipos de n˜ao linearidades estruturais em escoamentos incompress´ıveis. Lee e Kim (1995), Conner et al. (1997), Tang e Dowell (2002), Alighanbari e Hashemi (2002) e Alighanbari (2002) analisam os efeitos de n˜ao linearidades dos tipos c´ubica e free-play pela construc¸˜ao de diagramas de bifurcac¸˜oes. Nestes casos, foram obtidas boas relac¸˜oes entre o modelo matem´atico e o experi- mento nas respostas em oscilac¸˜oes em ciclos limite.
As n˜ao linearidades estruturais tamb´em demonstram ter grandes influˆencias nos fenˆomenos que envolvem escoamentos em regime transˆonico, como mostram os trabalhos de de Thomas, Dowell e Hall (2001) e Kousen e Bendiksen (1994). Em Kousen e Bendiksen (1994) foi obser- vado que a n˜ao linearidades do tipo free-play, no modo de torc¸˜ao, alterou a velocidade cr´ıtica de flutterpara valores menores que aqueles obtidos com o modelo estrutural linear em escoamento transˆonico. Neste trabalho tamb´em foi notado que as oscilac¸˜oes com amplitudes finitas obtidas considerando o free-play mostraram amplitudes variadas e altas frequˆencias, diferentemente das oscilac¸˜oes em ciclos limite sem o free-play no modelo estrutural. Em Morton (1996), o autor analisa a n˜ao linearidade do tipo bilinear em torc¸˜ao para um sistema aeroel´astico com dois graus de liberdade no c´alculo da fronteira de flutter. Este autor foi o pioneiro na an´alise de bifurcac¸˜ao de Hopf para o c´alculo da fronteira de flutter em regime transˆonico, e tamb´em observou que a velocidade cr´ıtica de flutter decaiu ao considerar a n˜ao linearidade estrutural.
Um dos pontos importantes considerados por Roberts, Gaitonde e Jones (2005) foi o fato de que a n˜ao linearidades do tipo free-play ´e uma func¸˜ao descont´ınua, e os m´etodos de integrac¸˜ao no tempo s˜ao frequentemente utilizados para a soluc¸˜ao do sistema aeroel´astico como os m´etodos de Runge-Kutta. Liu, Wong e Lee (2002a) fizeram um estudo detalhado da utilizac¸˜ao de m´etodos Runge-Kutta com n˜ao linearidades descont´ınuas e mostrou que ocorreram diferenc¸as
bastante significativas entre algumas soluc¸˜oes exatas e `as obtidas numericamente. Ent˜ao, al- guns trabalhos est˜ao desenvolvendo metodologias adequadas para tratar este tipo de problema. Dentre estes, (LIU; WONG; LEE, 2002b) desenvolvem um m´etodo de transformac¸˜ao de ponto, onde ocorre a descontinuidade, para problemas que envolvem n˜ao linearidades estruturais do tipo free-play e os m´etodos de Runge-Kutta para soluc¸˜ao. Al´em dos problemas encontrados com os m´etodos de marcha no tempo, a teoria de sistemas dinˆamicos utiliza como hip´otese fundamental para a soluc¸˜ao a continuidade das equac¸˜oes. Roberts, Gaitonde e Jones (2005) encontraram um caminho bastante simples ao descrever as func¸˜oes descont´ınuas por func¸˜oes cont´ınuas atrav´es de uma func¸˜ao tangente hiperb´olica e conseguiram definir v´arias formas de n˜ao linearidades atrav´es desta func¸˜ao.