BÜYÜKLÜK VE ÇOKLUK OLARAK SONSUZ

Matematik’te sonsuzluk kavramı büyüklük ve çokluk bakımlarından ele alınabilir. Sonsuz büyük kavramı, 1655 yılında J.Vallis (1616-1703) tarafından, “sevgi düğümü” denilen  simgesi kullanılarak, 1/0 =  eşitliği ile tanımlamıştır[19,23].

+ ve - simgelerinin R gerçel sayılar kümesine eklenmesiyle R =R  {+, -}

genişletilmiş gerçel sayılar kümesi elde edilir. Bu elemanlar, adi işlemler ve adi sıralama ile ilgili aşağıdaki varsayımları sağlar:

[ ( +) + ( + ) = + ] [ ( -) + ( -) = - ] (  xR ) [ -  x  + ] [ x + (+) = + ] [ x + (- ) = - ] [ x - (+) = -  ] [ x - (- ) = + ] [ x / + = x / - = 0 ] (  xR+ _{) [ x. (+ ) = + ] [ x.(-) = - ] [ x/0 = + ]} ( xR- _{) [ x. (+ ) = -  ] [ x.(-) = + ] [ x/0 = -  ].}

Bunların dışında kalan,

gibi ifadelerin R’de bir karşılığı olmadığından bunlara belirsiz ifadeler denir[24]. Cauchy gerçel değerli bir f fonksiyonu için, “f(x)/xn _{ a  0 ise, f fonksiyonu n. mertebeden sonsuzluğa ulaşır”}

tanımlamasını yapmıştır [19].

Çokluk olarak sonsuzluk kavramı, Cantor (1845-1918) tarafından geliştirilen “güzel ve muhteşem ” küme teorisi içinde ele alınmış ve matematiksel bir dakiklik ile işlenmiştir. Cantor’dan önce, George Peacock (1791-1858), Duncay Gregory (1806-1871), William Rowan Hamilton (1805-1865), Augustos De Morgan (1806-1871), George Bole (1815-1864) gibi matematikçiler sonlu kümelerle ilgili teoriler geliştirmişlerdi. Sonsuz çokluk kavramı çok eskilerden beri konu edilmiştir. Euclid (M.Ö. 300), 13 ciltlik ünlü “elemanlar” adlı eserinin 9. cildinde, sonsuzlukla ilgili bir tanım vermeden, asal sayılar kümesinin sonsuzluğunu kanıtlamıştır[25]. Bernard Bolzano (1781-1848) ise, (0,1) aralığıyla, bunun iki katı uzunluktaki (0,2) aralığının, bijektif f: (0,1) (0,2), f(x)=2x fonksiyonu ile 1-1 eşlenmesindeki çelişkisel duruma dikkat çekmiş, Bernard Bolzano (1781-1881), ve Dedekind (1831-1916), sonsuz kümeleri sonlulardan ayıran karakteristiği “bir öz alt kümesine denk olmak” olarak tanımlamışlardır[26].

Sonsuz kümeleri de içeren ilk önemli küme teorisini Cantor oluşturmuştur. Cantor Küme Teorisi ’nde, birebir (1-1) eşleme esas alınarak, kümeler elemanlarının çokluğu bakımından sınıflandırılmıştır. Herhangi iki kümenin 1-1 eşlenebilmesi, bunların birinden diğerine en az bir bijektif (1-1 örten ) fonksiyonun bulunması demektir. 1-1 eşlenebilen kümelere elemanlarının miktarı bakımından denk kümeler denir.

A  B : f:AB bijektif (A B )ş : f:AB bijektif değil

Hiç bir öz alt kümesi ile 1-1 eşlenemeyen yani hiçbir öz alt kümesine denk olamayan kümelere sonlu, sonlu olmayan yani en az bir öz alt kümesi ile 1-1 eşlenebilen kümelere de sonsuz kümeler denir.

A sonlu : [ (BA ) (B  A )  (B  A)ş ] A sonsuz : (BA ) (B  A ) (B  A)

Örnek olarak N={1,2,3,…} doğal sayılar kümesi, bir öz alt kümesi olan K={1,4,9,…} kare sayılar kümesi ile f: N  K, f (n) = n2 _{fonksiyonu tarafından 1-1 eşlenebildiğinden sonsuz}

bir kümedir. Bu eşleme aynı zamanda doğal sayılar kümesi ile kare sayılar kümesinin eleman çokluğu bakımından denk olduğunu da gösterir. Bu ilginç olgu, paradoksal görünümünden ve ilk kez Galilei Galileo (1564-1642) tarafından dikkat çekildiğinden “Galile Paradoksu” olarak anılır[26,27]. Galile, bu ve benzer nedenlerle sonsuzluğun tek türlü olduğunu savunmuştur. n

elemanlı iki sonlu kümenin birinden diğerine n! tane farklı 1-1 eşleme vardır. Sonsuz iki küme arasında da eğer bir 1-1 eşleme varsa bundan başka daha sonsuz çoklukta 1-1 eşleme var demektir. Sonlu olsun sonsuz olsun iki kümenin denk olduğunu kanıtlayabilmek için bunların birinden diğerine tek bir bijektif fonksiyon bulmak yeter. Sezgisel olarak kabulü zor olmasına karşın, kare sayılar, doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, cebirsel sayılar ve hatta bunların istenildiği kadar büyük kartezyen kuvvetlerinin eleman çokluğu bakımından denk yani aynı sınıftan olmaları, Cantor Teorisi’nin “sanki paradoks’muş gibi görünen” ilk ilginç bulgusudur.

Doğal sayılar kümesine denk olan sonsuz kümelere sayılabilir sonsuz kümeler denir. A sayılabilir sonsuz : _AN

Cantor rasyonel sayılar kümesi ile doğal sayılar kümesinin denk olduklarını yani rasyonellerin de sayılabilir sonsuz sınıfından olduğunu 1873’de Richard Dedekind (1831-1916) ’e yazdığı bir mektupta aşağıdaki 1-1 eşlemeyi oluşturarak kanıtlamıştı:

1 2 3 4 5 6 …       1/1 1/2 2/1 3/1 2/3 1/3 …

Dedekind, Cantor’un mektubuna cevabında hatta tüm cebirsel sayıların (cebirsel denklemlerin kökleri olan sayılar) bile doğal sayılarla 1-1 eşlenebileceğinin kanıtını gönderdi. [27] (Bazı kaynaklarda bu kanıtı da Cantor’un yaptığı belirtilir [28] ) Kanıt şöyledir: Satranç tahtası şeklinde fakat sonsuz satır ve sütunlu bir tablo düşünelim. Her m,n doğal sayı çifti için m. Satır n. sütundaki kareye, katsayılarının mutlak değerlerinin toplamı m olan n. dereceden cebirsel denklemleri (yani tam katsayılı polinom denklemleri) yerleştirelim. Böylece her cebirsel denklem bir karede yer alır ve her karede de sonlu sayıda cebirsel denklem yer alır. Örnek olarak 3x2. karede, 3x2 _{=0 , 2x}2_{+x = 0, 2x}2_{-x =0 , x}2_{+2x=0, x}2_{-2x = 0, x}2_{+x+1 = 0, x}2_{-x+1=0, x}2_{+x-1=0, x}2_-

x-1=0, x2_{+2=0, x}2_{-2=0 olmak üzere 11 denklem olacaktır. Şimdi tahtanın gözlerini çapraz olarak,}

yani 1x1, 1x2, 2x1, 3x1, 2x2, 1x3,… şeklinde sıralayalım. Her bir gözdeki denklemlerin sonlu sayıdaki gerçel köklerini de, i. sıradakinin 1.si, i-1. sıradakinin sonuncusundan hemen sonra gelecek ve aynı cebirsel sayı tekrarlanmayacak şekilde sıralayalım. Böylece gerçel cebirsel sayıların bir dizisi elde edilmiş yani gerçel cebirsel sayılar doğal sayılarla 1-1 eşlenmiş olur.

Galile, “Diolog” adlı eserinde, sonsuzluğun tek türlü olduğunu, bunlar arasında bir büyüklük-küçüklük kıyaslaması yapılamayacağını savunmuştu. Bu doğru değildir! Gerçekten, gerçel sayılar kümesinin SS sınıfından olmayışı CKT’nin ikinci ilginç bulgusudur. Cantor bunu 1873 aralığında (Dedekind’e yazdığı bir mektupta) kanıtlamış ve 1874’de yayınlamıştır. Gerçekte, çok doğal gibi görünen bu sonuç, yukarıda belirttiğimiz ve sanki tüm sonsuz kümeler birbirleri ile, bir şekilde 1-1eşlenebilecekmiş izlenimi veren şaşırtıcı sonuçlardan sonra kanıt

gerektiriyordu. Bunun için (0,1) aralığındaki gerçellerin doğal sayılardan çok olduğunu göstermek yeter. (0,1) aralığındaki gerçel sayılar ve doğal sayıların,

g:N (0,1), g(n) = 0,an1an2an3…

fonksiyonu ile 1-1 eşlendiğini varsayalım. Fakat,

0, ani =1

bi =

1, ani 1

olmak üzere, b = 0,b1b2b3… gerçel sayısı (0,1) aralığında olduğu halde,

nN  g(n) = 0,an1an2an3… 0,b1b2b3…

olduğundan, g(n)=b olacak şekilde hiçbir n doğal sayısı yoktur ve o halde g’nin bir 1-1 eşleme olduğu varsayımı yanlıştır[29,30].

Böylece iki tip sonsuz kümenin varlığı ortaya çıkmıştır: Doğal sayılarla 1-1 eşlenebilen “sayılabilir sonsuz” kümeler ve doğal sayılarla 1-1 eşlenemeyen “sayılamaz (S )” kümeler. 1844’de Liouville, hiçbir cebirsel denklemin kökü olmayan aşkın (transandant) sayıların varlığını ortaya koymuştu. 1873’de Hermite e sayısının, 1882’de Lindemann  sayısının aşkın olduğunu kanıtlamışlardı. Cantor ise 1874’de, aşkın sayıların var olmakla kalmayıp üstelik sayılamaz sonsuzlukta olduklarını kanıtlamıştır. Böylece istenildiği kadar küçük bir aralıktaki aşkın sayıların tüm cebirsel sayılardan daha çok olduğu da ortaya çıkmaktadır.[30] Gerçekten eğer bir (0,) aralığındaki aşkın’lar sayılabilir olsaydı (sayılabilir iki kümenin birleşimi de sayılabilir olacağından) bunlarla bu aralıktaki cebirsellerin birleşimi yani (0,  ) aralığındaki tüm gerçel’ler de sayılabilir olurdu. Oysa ki, söz gelimi

f:(0,  )R, f(x)= tan (x/ -1/2 )

bijektif fonksiyonu gereğince istenildiği kadar küçük uzunluktaki bir (0,) aralığında da tam tüm reel doğrudaki noktalar kadar yani sayılamaz çoklukta nokta vardır.

İstenildiği kadar küçük ya da büyük uzunlukta bir aralık içindeki transandant (aşkın) sayılar, gerçel sayılar, ya da bunların istenildiği kadar büyük kuvvetteki karteziyen çarpımları , “sayılamaz sonsuzluk” denilen sınıfa girerler. Bir karenin, (hatta bir kübün, bir hiper kübün vs ) içindeki tüm noktaların kümesi ile karenin (kübün, hiperkübün vs ) sadece bir kenarındaki noktaların kümesinin birebir eşlenebilmesi, yani aynı miktarda elemana sahip olmaları, sezgisel olarak “bu kadar da olamaz” denilebilecek başka bir ilginç olgudur.

Cantor 1874-1877 yıllarında iki boyutlu bir manifoldun bir boyutludan daha çok nokta içerdiğini kanıtlamaya çalışmış fakat bu gerçekleşmeyince, zamanının ünlü matematikçilerinin ısrarla savunduğu, “farklı boyuttan manifoldlar arasında 1-1 bir eşleme olamaz” tezinden

vazgeçerek, farklı boyuttan kümeler arasında 1-1 eşlemeler aramaya koyulmuştur. 20.06.1877 tarihli mektubunda, Dedekind’e, “yüzeyler, solid’ler, hatta -boyutlu sürekli figürler sürekli eğrilerle bire-bir eşlenebilirler: sonuç olarak yüzeyler, solidler, hatta -boyutlu figürler eğrilerle aynı kuvvete sahiptirler” diye yazdı ve örnek olarak da n-boyutlu bir kübün noktalarının birim aralıktaki noktalarla 1-1 eşlenebileceğini gösterdi [26,32,43]. Kanıtını, birim aralıktaki her sayının sonsuz ondalıklı açılımının tek türlü olarak gösterilebileceğine dayandırmış ve

xi = i,1/10+i,2/102+...+i,/10+...

olmak üzere, n-küb’ün bir (x1,x2,...,xn) noktasına, birim aralığın

y= 0.1,12,1...n,11,22,2...n,2 ...1,3 2,3 ... n,3...

noktasını karşılık getirmiştir . Böylece, örnek olarak, ”açıkça 2-boyutlu ” olan bir karenin içindeki noktalar kümesi ile, “1-boyutlu olduğu besbelli ” olan, karenin bir kenarındaki noktalar kümesi,

[0,1]2 _{ [0,1] , (0,a}

1 a2 a3…; 0,b1 b2 b3…) 0,a1b1a2b2a3b3…

şeklinde 1-1 eşlenebiliyordu.[29,33,43] Cantor, mektubunda bu eşleme karşısındaki heyecanını “görüyorum ama inanamıyorum” şeklinde ifade etmiştir Fakat Dedekind, Cantor’un eşlemesinde 1-1 olmadığını görmüş ve bunu kendisine bildirmiştir. Gerçekten, örnek olarak,

(0,2999…;0,4731…) = (0,300…;0,4731…)

olduğu halde, bunlara karşılık gelen, 0,249793… ve 0,340703… gerçel sayıları farklıdır ve o halde yukarıdaki bir 1-1 eşleme değildir. Cantor iki gün içinde yanılgısını düzeltmiş ve Dedekind’e yeni bir ispat sunmuştur; yanılgısını, sayıların ondalık açılımlarında, her sıfır veya ardışık sıfırlar grubu ile bunlardan hemen sonra ilk sıfırdan farklı ondalığı bir bir blok olarak ele alıp, aynı karma kuralını uygulayarak düzeltmiştir [26,27,28,29,43].

Dedekind, Cantor’un iddiaları ve kanıtları karşısında, farklı boyut’tan kümeler arasında, 1-1 eşleme yapılabileceğini kabul etti fakat bu kez de, eşlemenin sürekli olamayacağını savundu. Cantor’a, “Eğer, bir a boyutlu A sürekli manifoldunun noktaları ile b boyutlu bir B manifoldunun noktaları arasında bir 1-1 eşleme oluşturulabilirse, bu eşlemenin eğer a ve b eşit değilse süreksiz olması gerekir.” diye yazdı. Cantor bu iddianın da kanıt gerektirdiğini savundu. Jakob Lüroth (1844-1910), Johannes Thomae (1840-1921), Enno Jürgens (1849-1907), Eugen Netto (1848- 1919) ve Cantor, “boyut’un sürekli 1-1 eşlemeler altında değişmeyeceğini kanıtlamaya koyuldular. Cantor, 1878’in sonunda Dedekind’e, “ bana öyle geliyor ki durum hala tam olarak çözülmedi” diye yazmıştır.1890’da Giuseppe Peano (1858-1932), (Peano Eğrisi ile), 1891’de Hilbert (Hilbert Eğrisi ile) birim aralıktan birim kare ve içine sürekli fonksiyonlar bulmuşlardır. Henri Lebesgue (1875-1941) katlı noktaları da olmayan, ölçülebilir bir alana sahip ilginç bir eğri örneği vermiştir. Topolojinin ünlü isimlerinden Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966), Arthur Schoenflies’in, “ mn için m-boyutlu bir domain'den n-boyutlu bir domaine 1-1 sürekli bir

fonksiyon gerçekten mümkün müdür?” sorusuna “bunu ispatlamak son derecede zor görünüyor ve belki bu uzun bir süre çözülmemiş bir problem olarak kalacak” demiştir[19,26,33,34,35,43].

Cantor, sayılabilir sonsuzlukla gerçel sayıların sonsuzluğu (continum) arasında başka sonsuzluk olup olmadığını araştırmış, sonunda böyle bir sonsuzluğun almadığını varsayım olarak ileri sürmüştü. Bu varsayım, Hilbert’in 1900 kongresinde sunduğu çözülememiş 23 problemden biridir ve continium problemi olarak bilinir. Doğal sayılarınkinden büyük, gerçel sayılarınkinden küçük bir sonsuzluk bulunabilirse, bu ünlü problem çözülmüş olacaktı; fakat tüm çabalara karşın çözülememiştir. Cantor’un da, kendi hipotezini kanıtlama çabaları, kendi küme teorisinde (Russel Paradoksu gibi) bazı pürüzler ortaya çıkana kadar sürmüştür. 1940’da Kurt Gödel, continium problemi’nin kümeler teorisinin aksiyomları ile çözülemeyeceğini; 1963’de Poul Cohen, Cantor Hipotezi’nin kümeler teorisinin aksiyomlarından bağımsız olduğunu kanıtlamışlardır[36,37,43].

Cantor, “gerçel sayıların sonsuzluğundan daha büyük sonsuzluklar var mıdır?” sorusuna cevap ararken, yukarıda açıkladığımız gibi, her n doğal sayısı için Rn_{’ lerin, istenildiği kadar}

küçük bir aralığın sonsuzluğundan daha büyük sonsuzluklar olmadığını kanıtlamış, fakat bunlardan daha büyük bir sonsuz küme olarak,

F = {f f: RR }

gerçel değerli fonksiyonlar kümesini bulmuştur. Gerçekten bu kümenin sadece gerçel sayılar kadar fonksiyon içerdiği varsayılırsa,

h: R  F, h(x)=fx

şeklinde bir 1-1 eşlemenin varlığını kabul etmek gerekir. Fakat bu durumda g: RR, g(x) = fx(x)+1

fonksiyonu F’ye ait olduğu halde, bunun h altında orijinali olmaz ve varsayım yanlış olur [32]. Buna göre, ( Evren’in, bir küçük zerrecikten, büyük patlama (big-beng) ile oluştuğunu ileri süren astronomi teorilerini de anlamlı kılan), istenildiği kadar küçük çaplı bir toz zerreciğinin noktalarının, istenildiği kadar büyük çaplı bir uzay parçasının noktalarından, hatta istenildiği kadar büyük boyutlu bir soyut uzayın noktalarından daha az olmamasına karşın, fonksiyonlar bunlardan çoktur!. Cantor sonsuzluklar teorisine son noktayı “her sonsuzluktan daha büyüğü vardır” teoremini kanıtlayarak koymuştur. Gerçekten, (sonlu ya da sonsuz) bir A kümesinin alt kümelerinden oluşan P(A) kuvvet kümesinin elemanları A’nın elemanlarından çoktur. Çünkü eğer

f: A P(A), f(x)=AxA

şeklinde bir 1-1 eşleme olduğunu varsayarsak, B={x x Ax }

Cantor’un 1884’de Berlin Üniversitesine geçme isteği Schwarz ve Kronecker tarafından engellendi. 1884’de Mittag Leffler’e Kronecker’i tenkit eden 52 mektup yazmıştır. 1895-1897 de küme teorisine dair ilk kitaplarını yayınladı. (Schröder-Bernstein Teo. diye anılan ) ünlü,

(x  y)(z t)( x= t )( z= y)  y = t

teoremini kanıtladı. Bu teorem, [0,1] ve (2,5) gibi aralarında bir 1-1 eşleme ortaya koymak zor olan kümelerin denk olduğunu göstermekte işe yarar:

x = (0,1) , y= [0,1] , z= [3,4] ve t=(2,5) olsun. f: xt, f(k)=3k+2 bijektif fonksiyonu x ve t kümelerinin denk olduğunu, g: yz, g(k)= k+3 fonksiyonu da y ve z kümelerinin denk olduğunu gösterir. Böylece teoremin

(x  y)(z t)( x= t )( z= y)

şartları sağlanır ve y ve t kümelerinin denk olduğu ortaya çıkar. O halde y’den t’ye bijektif bir (ve o halde sonsuz!) fonksiyon vardır; kuşkusuz bu süreksiz bir fonksiyondur fakat nedir !?

CKT’nde, kümeler x,y,z, gibi harflerle gösterilir ve bir eleman, tek elemanlı bir küme olarak düşünülür. Önermeler simgelerle formülleştirilmiştir. Temel varsayımlar aşağıdaki gibidir: 1. z(zxzy) : x=y ( extensionality )

2. xy [ yx F(y)] . x={y F(y)} ( Comprehension ) 3. f (f:x x ) ( f(x)x ) ( Seçme aksiyomu )

Ayrıca, tüm kümeleri içeren bir evrensel küme de varsayılmıştır. Cantor, 1885 ‘de tüm kümelerin kümesini varsaymanın, kendi ispatladığı “her kardinalden daha büyüğü vardır” teoremi ile çeliştiğini görmüştü. 1902 de, birbirlerinden bağımsız olarak, Bernard Arthur William Russell (1872-1970) ve Zermelo’nun, bulduğu “Russel Paradoksu” son nokta olmuştur [26] . Gerçekten 2. aksiyomda F(y) açık önermesi olarak yy alınır ve sonra y yerine x yazılırsa

xy [ yx  yy ]  x [ xx  xx ]

çelişkisi elde edilir. Russell ve A.N. Whitehead (1861-1947), paradoksların çıkardığı karmaşayı ortadan kaldırmak ve matematiği sağlam bir temele oturtmak için ünlü “Principia Mathematica” yı yazmışlardır [26,36,38,43]

Cantor’un çalışmaları, Matematiğin gelişmesinde büyük önem taşır. Hurwitz ve Hadamard, 1897 Zürih kongresinde Cantor’un çalışmalarından övgüyle söz ettiler.Lebesque, Cantor teorisini temel alarak 1901’de “ölçüm teorisi”ni, 1902’de integral teorisini oluşturdu. Kronecker gibi bir çok matematikçide hakim olan “sezgiselci” anlayış yerini biçimselcilik (formalizm) anlayışına bıraktı . Cantor, devrim niteliğinde buluşları olan gelmiş geçmiş 16 bilim adamı arasında yer almıştır[39]. Bu yüzyılın en büyük matematikçisi ödülü için tek aday olan- David Hilbert (1862-1943)’ “İnsan aktivitesinin en güzel ve en şaşırtıcı ürünleri” yorumunu yapmış ve “Hiç kimse bizi Cantor’un bizim için yarattığı cennetten kovamayacaktır” demiştir.

[26,36]. Ancak Cantor’da çoğu ünlü bilim adamı gibi, bir aziz mertebesine çıkarılmadan önce haksız yere hayli hırpalanmıştı. Leopold Kronocker (1823-1891), Cantor’un çalışmasını “şarlatanlık” olarak nitelemiş ve yayınlanmasını engellemeye çalışmıştır. Jules Henri Poincare ise, “Gelecek kuşaklar Cantor’un kümeler teorisini insanin atlatmış olduğu bir hastalık olarak görecektir” demiştir [40.43].

Ernst Zermelo (1871-1953), Cantor’un küme teorisine ve topolojiye olan katkılarını yayınlamıştır. Cantor’un çalışmalarında temel aldığı, yığılma noktası, türev kümesi, yoğun küme, ayrılmış küme, gibi bir çok topolojik kavram, ilk önce, Giuseppe Peano (1858-1932) ve Camille Jordan (1838-1921) tarafından geometride kullanılmış ve bir çok sezgisel geometrik düşüncenin formüle edilmesinde ya da ortadan kalkmasında işe yaramıştır [26,43].

Cantor, çok basit bir varsayımdan hareketle, salt akıl yoluyla ortaya çıkardığı sonsuzlukların, bir aritmetiğini de oluşturmuştur. Burada onun teorisini son derecede özetleyerek açıklamaya çalıştık. Cantor’un, buluşlarını çağdaşı matematikçilere kabul ettirebilmek için sarfettiği eforun, buluşları için sarfettiğinden fazla olduğu söylenir. Özellikle Kronecker (1823- 1891) ile sert tartışmaları olmuştur. Cantor, 1918’de bir akıl hastahanesinde öldü[43].

5. KARDİNALİTE KURAMININ SİMGESEL ÖZETİ AB : ( f:AB)( f[A]=B ) ( f(a)=f(b)  a=b ], A sonlu : [ (B A )(BA)  \ (B A)] ,

A sonsuz : (B A )(BA) (B A)

A sayılabilir sonsuz : _{AN, sayılabilir : [ (B A )(BA)  \ (B A)]  ( AN )}

A sayılamaz sonsuz : [\(AN)] (B A )(BA) (B A)

( A ={B AB})(A/k ={ A  AA })  a kardinal sayı :a A/k  (AA)(a =A),

N := o , R .=1, F  :=2 ,…, A  B ( f:AB ) [f(a)=f(b)  a=b]

A  B : ( A  B ) ( A  B ) ,  A  .  B  =  AxB  , A  B =    A  +  B  = A  B , A   B  =  AB _

Teoremler

1. (A ={AAA})[ = {(A,B) ( AB)(A,BA)] 

(AA AA)(ABBA) [(AB)(BC)AC] 2. (A/k ,  ) zincir :

( a A/k  a  a ) [ (a  b ) (b  a )  a = b ]

[ (a  b ) (b  c )  a  c ] (a  b  b  a ) 3. (A sonlu  A  o ) (A sonsuz  A  o)

(A sayılabilir sonsuz A =  o) ( A sayılabilir  A  o) ( A sayılamaz  A  o ) 4. AA   A    2A , 5. a A/k  ( b A/k)(a  b) 6 (A  B)(C  D)( AD )(BC) B  D 7. (AB)(CD)(AC=)( BD =  )  AC  BD 8. ( AB )(CD)  A x C  B x D, 9. ( AB )(CD)  AC  BD 10. BC=  AB _{x A}C _{ A}BC_, 11. AC _{x B}C _{ (AxB)}C _, 12. (AB ₎C  ABxC 13. ( A  o )( B A )B  o, 14. A  o   XA  o 15. A  o  2A  o, 16. A  o  ( BA )( B = o ) 17. ( A = o )(BA) B  o, 18. ( A  o ) ( B = o ) AB = o 19. A = B = o  AB = o

20. ( A={B B  o} ) ( A  o )  ( A  o ) (  XA  o )

21. ( A  o)(  B  o)  AB  o ,

22. ( A  o ) ( B  o ) AB =A

23. 2o =R = c = 1  {f f:RR} ,

24. 012... o...1... 2R...

25. ( R)( nN)  (0,)  Rn_,

Continium Hipotezi (1878): {x o  x  1 }=  [32,41,42]