1] aral¬¼g¬üzerinde sa¼glayan PSL problemi, Neumann s¬n¬r ¸sartlar¬n¬[0

(1)

B ¨ol ¨um 6

Fourier Serileri

Fourier serileri elemanter bir çok kaynakta kapsaml¬ olarak incelenmi¸stir, örne¼gin [1],[2],[3],[5]. Bu çal¬¸smada mevcutlar¬ndan biraz farkl¬bir yakla¸s¬mla Fourier serileri konusunu Sturm-Liouville problemleri ile olan yak¬n ili¸skilerini her a¸samada ve sürekli olarak vurgulamak suretiyle inceliyoruz. Böylece seçilen bir aral¬k ve periyotta, seri aç¬l¬mlar¬n¬n nas¬l elde edilebilece¼gine daha iyi bir biçimde kavram¬¸s olaca¼g¬z.

Önceki bölümde inceledi¼gimiz Peryodik ve Regüler Sturm-Liouville(RSL) problemlerinin özfonksiyonlar¬n¬n "taml¬¼g¬" kriterinin pratik uygulamalarda Fourier serisi olarak bildi¼gimiz aç¬l¬mlar¬n gerçekle¸stirilebilmesine imkan sa¼g- lad¬¼g¬n¬gözlemlemi¸stik. Bu bölümde ise verilen bir periyodik f fonksiyonun s¬ras¬yla

periyodik s¬n¬r ¸sartlar¬n¬[ 1; 1] aral¬¼g¬üzerinde sa¼glayan PSL problemi, Neumann s¬n¬r ¸sartlar¬n¬[0; 1] aral¬¼g¬üzerinde sa¼glayan RSL problemi ve

Dirichlet s¬n¬r ¸sartlar¬n¬[0; 1] aral¬¼g¬üzerinde sa¼glayan RSL probleminin özfonksiyonlar¬n¬ lineer kombinasyonu olarak ifadelerinin s¬ras¬yla Fourier serisi, Fourier kosinüs serisi ve Fourier sinüs serisi olarak adland¬r¬ld¬¼g¬na dikkat çekiyor ve bu aç¬l¬mlarlada ilgili katsay¬lar¬n nas¬l hesapland¬¼g¬n¬inceliyoruz. Ayr¬ca

elde edilen seri aç¬l¬mlar¬n¬n yak¬nsad¬klar¬noktalar¬ve yak¬nsaman¬n düzgün veya noktasall¬¼g¬ hakk¬nda analiz gerçekle¸stiriyor ve gra…ksel sunumlarla elde edilen sonuçlar¬destekliyoruz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

(2)

Kompleks katsay¬l¬ ve reel katsay¬l¬ Fourier seri aç¬l¬mlar¬n¬n sadece farkl¬özfonksiyon seçimi sonucu olarak farkl¬gözüktüklerini ve aralar¬n- daki ili¸skileri inceliyoruz,

Gibbs olay¬ad¬verilen süreksiz nokta kom¸sulu¼gundaki davran¬¸s¬n ço¼gun- lukla do¼gru olsa bile her zaman gerçekle¸smesinin gerekmedi¼gine ait ori- jinal örnekler olu¸sturuyoruz ve Maxima sembolik cebirsel yaz¬l¬m¬

deste¼gi ile sunuyoruz.

[ 1; 1]aral¬¼g¬nda gerçekle¸stirdi¼gimiz aç¬l¬mlar¬n herhangi [ b; b]aral¬¼g¬na, [0; 1]aral¬¼g¬ndaki aç¬l¬mlar¬n [0; b] aral¬¼g¬na ve en genel olarak ta yap¬lan her türlü seri aç¬l¬m i¸sleminin [a; b] aral¬¼g¬na nas¬l genelle¸stirildi¼gini ilgili periyodik ve regüler Sturm-Liouville problemleri yard¬m¬yla inceliyoruz.

6.1 Giri¸s

TANIM 6.1. f (x + p) = f (x) özelli¼gini sa¼glayan en küçük p > 0 say¬s¬na f nin peryodu ad¬verilmektedir. Örne¼gin

f (x) = sin(x) için

sin(x + p) = sin(x) = sin(x + 2 ) den p = 2 elde ederiz.

f (x) = sin(2x)için

sin(2(x + p)) = sin(2x + 2p) = sin(2x) = sin(2x + 2 ) den p = elde ederiz.

f (x) = sin( x)için

sin( (x + p)) = sin( x + p) = sin( x) = sin( x + 2 ) olup, p = 2 dir.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .tr

(3)

Genelle¸stirecek olursak sin(kx) fonksiyonunun periyodunu

sin(k(x + p)) = sin(kx + kp) = sin(kx) = sin(kx + 2 )den p = 2 k olarak elde ederiz. Benzer biçimde cos(kx) fonksiyonunun da periyodu p = ²_k d¬r.

TANIM 6.2. f fonksiyonunun herhangi bir süreksizlik noktas¬nda sa¼gdan ve soldan limitleri mevcut ve sonlu ise bu tür süreksizliklere s¬çramal¬ sürek- sizlik ad¬verilir.

Örne¼gin

f (x) = 1; 1 x 0

1 0 < x 1 (6.1)

fonksiyonu x = 0 noktas¬nda s¬çramal¬süreksizli¼ge sahiptir çünkü fonksiyonun süreksiz oldu¼gu bu noktada sa¼gdan ve ve soldan limitleri son- ludur.

lim

x!0 f (x) = 1; lim

x!0⁺f (x) = 1 Öte yandan

f (x) = 1

x 1 (6.2)

fonksiyonunun x = 1 noktas¬ndaki süreksizli¼gi s¬çramal¬ süreksizlik de¼gildir, çünkü bu noktada soldan ve sa¼gdan limitler sonlu de¼gildir:

lim

x!1

1

x 1 = 1; lim

x!1

1

x 1 =1

TANIM 6.3. Tan¬m kümesi içerinde en fazla sonlu say¬da s¬çramal¬sürek- sizli¼ge sahip olan fonksiyonlara parçal¬(piecewise) sürekli fonksiyon ad¬ verilmektedir.

Örne¼gin (6.1) ile tan¬mlanan fonksiyon parçal¬sürekli bir fonksiyon iken, (6.2) ile tan¬mlanan fonksiyon x = 1 noktas¬n¬içeren hiç bir aral¬kta parçal¬

sürekli de¼gildir.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

(4)

¸

Sekil 6.1: Mutlak de¼ger fonksiyonu ve türevi

TANIM 6.4. Kendisi parçal¬sürekli olan ve süreksizlik noktalar¬hariç türevi parçal¬ sürekli olan fonksiyonlara parçal¬düzgün(smooth) fonksiyon ad¬ verilmektedir.

Örne¼gin

f (x) =jxj (6.3)

fonksiyonu sürekli ve

f⁰(x) = 1; 1 x < 0

1 0 < x 1 (6.4)

ise parçal¬süreklidir. O halde 6.3 parçal¬düzgün bir fonksiyondur, ¸Sekil 6.1.

ÖRNEK 6.1. ·I¸saret fonksiyonu olarak bilinen

f (x) = 8<

:

1; x < 0 0; x = 0 1; x > 0

(6.5)

fonksiyonu s¬f¬r noktas¬n¬ içeren herhangi bir kapal¬ [ a; a],a > 0 aral¬¼g¬nda parçal¬düzgün bir fonksiyondur.

I¸·saret fonksiyonunun [ 1; 1] aral¬¼g¬ndaki gra…¼gi ¸Sekil 6.2 ile sunulmaktad¬r.

I¸·saret fonksiyon sadece x = 0 noktas¬nda süreksiz olup lim

x!0

f (x) = 1; lim

x!0⁺

f (x) = 1

(5)

¸

Sekil 6.2: ·I¸saret fonksiyonun [-1,1] aral¬¼g¬ndaki gra…¼gi

sonlu limitlerine sahiptir. Dolay¬s¬yla fonksiyon parçal¬ süreklidir. Ayr¬ca s¬çramal¬ süreksizlik noktas¬ hariç her yerde türevi mevcut ve süreklidir, çünkü f⁰(x) = 0; 8x 6= 0:

ÖRNEK 6.2.

f (x) = x¹⁼⁴

funksiyonu heryerde sürekli ve fakat s¬f¬r noktas¬n¬ içeren hiç bir aral¬kta parçal¬düzgün de¼gildir.

Fonksiyon gra…¼gi ¸Sekil 6.3 ile verilmektedir.

f⁰(x) = 1 4x³⁼⁴

fonksiyonu x = 0 noktas¬nda s¬çramal¬olmayan süreksizli¼ge sahiptir:

lim

x!0⁺

1

4x³⁼⁴ =1

6.2 Periyodik Sturm-Liouville Probleminin Öz- fonksiyonlar¬ve özellikleri

Önceki bölümde Kanonik PSL problemi olarak adland¬rd¬¼g¬m¬z y⁰⁰+ y = 0

y( 1) = y(1) (6.6)

y⁰( 1) = y⁰(1)

(6)

¸

Sekil 6.3: f (x) = x¹⁼⁴ fonksiyonunun gra…¼gi probleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬

0 = 0; u₀ = 1=2; _n = (n )²; u_n = cos(n x); n = 1; 2; : (6.7)

v_n = sin(n x); n = 1; 2; : (6.8)

olarak elde etmi¸stik.

Yukar¬daki incelememize göre un ve vnfonksiyonlar¬n¬n periyodu p = _n² dir. Ancak

f1=2; cos( xg ; sin( x); cos(2 x; sin(2 x); g (6.9) özfonksiyonlar kümesinin periyodu, ortak periyot olan 2 dir. Her pozitif say¬ sabit say¬n¬n periyodu oldu¼gu için 1=2 say¬s¬n¬n periyodunu da di¼gerleriyle ortak olan periyot, yani 2 kabul ediyoruz.

iddia: (6.9) kümesi [ 1; 1] aral¬¼g¬üzerinde ortogonal bir kümedir.

·Ispat Öncelikle

sin(mx nx) = sin mx cos nx cos mx sin nx cos(mx nx) = cos mx cos nx sin mx sin nx aç¬l¬mlar¬ndan

(7)

cos mx cos nx = 1

2(cos(m + n)x + cos(m n)x) sin mx sin nx = 1

2(cos(m n)x cos(m + n)x) sin mx cos nx = 1

2(sin(m + n)x + sin(m n)x) trigonometrik özde¸slikleri ve özel olarak

cos²(mx) = cos mx cos mx = 1

2(1 + cos(2mx)) sin²(mx) = sin mx sin mx = 1

2(1 cos(2mx)) özde¸slikleri hat¬rlayal¬m.

Bu özde¸slikler ve trigonometrik fonksiyonlar¬n integral kurallar¬ yard¬- m¬yla,

Z1

1

cos(n x)dx = ^{sin(n x)}_n ¹

1

= 0; n = 1; 2;

Z1

1

sin(n x)dx = ^{cos(n x)}_n

1

1 = 0; n = 1; 2;

Yukar¬daki iki sonuç kümemizin ilk eleman¬olan 1=2 nin di¼ger her bir eleman ile ortogonal oldu¼gunu gösterir. ¸Simdi s¬ras¬yla kosinüslü elemanlar¬n kendi aralar¬nda, sinüslü elemanlar¬n kendi aralar¬nda ve ayr¬ca kosinüs ve sinüslü eleman ikililerinin ortogonal oldu¼gunu gözlemleyelim:

n; m2 N ve n 6= m için Z1

1

cos(m x) cos(n x)dx (6.10)

= 1

2

sin((m + n) x)

(m + n) + sin((m n) x) (m n)

1

!

= 0

(8)

n; m2 N ve n 6= m için Z1

1

sin(m x) sin(n x)dx (6.11)

= 1

2

sin((m n) x) (m n)

sin((m + n) x) (m + n)

1

!

= 0 n; m2 N ve n 6= m için

Z1

1

cos(m x) sin(n x)dx (6.12)

= 1

2

cos((m + n) x)

(m + n) +cos((m n) x) (m n)

1

!

= 0 n; m2 N ve n = m 6= 0 için

Z1

1

cos(n x) sin(n x)dx = 1 2

cos²(n x) n

1

!

= 0 (6.13)

O halde (6.9) kümesi ortogonal bir kümedir.

Ayr¬ca

n; m2 N ve n = m 6= 0 için Z1

1

sin²(n x)dx = 2n x sin(2n x)+

4 n

1

!

(6.14)

= 1 n; m2 N ve n = m 6= 0 için

Z1

1

cos²(n x)dx = sin(2n x) + 2n x 4 n

1

!

(6.15)

= 1 elde ederiz.

(9)

6.3 Fourier serisi

Sturm-Liouville problemlerinin özfonksiyonlar¬n "taml¬k " özelli¼gi, özfonksiy- onlarla ayn¬periyoda sahip olan peryodik bir fonksiyonun sözkonusu özfonk- siyonlar¬n lineer kombinasyonu olarak ifade edilebilece¼gi anlam¬n¬ta¸s¬r.

Özel olarak Kanonik Periyodik Sturm-Liouville problemleminin (6.9) ile verilen ve ortogonal olan özfonksiyonlar¬yard¬m¬yla, [ 1; 1) aral¬¼g¬üzerinde tan¬ml¬2 periyotlu bir f fonksiyonunu

f =

X1 n=0

a_nu_n+ X1 n=1

b_nv_n

= 1

2a₀+ X1 n=1

a_ncos(n x) + X1 n=1

b_nsin(n x) (6.16) biçiminde ifade edebiliriz. Bu seriye f fonksiyonunun [ 1; 1] aral¬¼g¬ndaki Fourier aç¬l¬m¬ veya Fourier serisi ad¬verilmektedir. Aç¬l¬mdaki reel

a_n; n = 0; 1; ; b_n = 1; 2;

katsay¬lar¬na Fourier katsay¬lar¬ ad¬verilmektedir.

¸

Simdi de Fourier katsay¬lar¬n¬belirleyelim.

Fourier katsay¬lar¬

Öncelikle ( 6.16) aç¬l¬m¬n¬n her iki yan¬n¬n [ 1; 1] aral¬¼g¬üzerinde in- tegralini alarak ve yukar¬da ifade etti¼gimiz integral özelliklerininde ilk ikisini kullanarak

a₀ = Z1

1

f (x)dx elde ederiz.

¸

Simdi seçilen bir n 1 için ( 6.16) aç¬l¬m¬n¬n her iki yan¬n¬ cos(n x) ile iç çarp¬m¬n¬alarak, (6.10)-(6.15) özellikler yard¬m¬yla

Z1

1

f (x) cos(n x)dx = Z1

1

a_ncos²(n x)dx

= a_n

(10)

elde ederiz.

Benzer biçimde seçilen bir n 1 için ( 6.16) aç¬l¬m¬n¬n her iki yan¬n¬

sin(n x) ile iç çarp¬m¬n¬alarak, (6.10)-(6.15) özellikleri yard¬m¬yla

Z1

1

f (x) sin(n x)dx = Z1

1

b_nsin²(n x)dx

= b_n

elde ederiz. O halde ( 6.16) aç¬l¬m¬n¬n katsay¬lar¬n¬

a_n = Z1

1

f (x) cos(n x)dx; n = 0; 1; (6.17)

b_n = Z1

1

f (x) sin(n x)dx; n = 1; 2; (6.18)

olarak elde ederiz.

ÖRNEK 6.3. [ 1; 1) aral¬¼g¬nda f (x) = x+1 olarak tan¬ml¬p = 2 periyotlu f fonksiyonunun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬belirleyiniz.

(6.16) den

a₀ = Z1

1

(x + 1)dx = 2

(11)

ve k¬smi integrasyonla

a_n = Z1

1

f (x) cos(n x)dx

= Z1

1

(x + 1) cos(n x)dx

= 1

n (x + 1) sin(n x)

1

1 n

Z1

1

sin(n x)dx

= 1

n

cos(n x) n

1

= 0; n = 1; 2;

elde ederiz. Benzer biçimde,

b_n = Z1

1

f (x) sin(n x)dx

= Z1

1

(x + 1) sin(n x)dx

= (x + 1)

n cos(n x)

1

+ 1 n

Z 1 1

cos(n x)dx

= 2( 1)ⁿ⁺¹ n elde ederiz.

O halde

f_N = 1 2a₀+

XN n=1

a_ncos(n x) + b_nsin(n x)

= 1 + 2X^N

n=1

( 1)ⁿ⁺¹

n sin(n x)

(12)

¸

Sekil 6.4: Örnek 6.3 ile verilen f fonksiyonu ve N = 5 için fN k¬smi toplam¬.

aç¬l¬m¬n¬ elde ederiz. N = 5 için 2 periyotlu f fonksiyonu(do¼grular) ve fN

k¬smi toplam¬n¬n [ 3; 3] aral¬¼g¬nda çizilen gra…¼gi(pembe e¼gri) ¸Sekil 6.4 ile verilmektedir.

ÖRNEK 6.4. Örnek 6.3 de verilen periyodik fonksiyonun [ 3; 3] aral¬¼g¬n- daki parçal¬düzgün oldu¼gunu gösteriniz.

¸

Sekil 6.4 deki do¼grular Örnek 6.3 ile verilen periyodik f fonksiyonunun [-3,3] aral¬¼g¬üzerindeki gra…¼gini temsil etmektedir. f fonksiyonunun x = 1 ve x = 1 noktalar¬nda süreksiz oldu¼gu görülmektedir. Fakat bu noktalarda fonksiyon sonlu limit de¼gerlerine sahiptir:

lim

x! 1

f (x) = 2; lim

x! 1⁺

f (x) = 0;

lim

x!1 f (x) = 2; lim

x!1⁺f (x) = 0:

Di¼ger tüm noktalarda f süreklidir. O halde f fonksiyonu [ 3; 3] kapal¬ara- l¬¼g¬nda parçal¬süreklidir. f fonksiyonun [ 3; 3] aral¬¼g¬ndaki türevi ise

f⁰(x) = 1; x2 ( 3; 3)nf 1; 1g

olarak tan¬mlan¬r. O halde f⁰ fonksiyonu [ 3; 3] aral¬¼g¬nda f 3; 1; 1; 3g noktalar¬ d¬¸s¬nda her yerde süreklidir. O halde f ayn¬ zamanda parçal¬

düzgündür.

(13)

Öte yandan her N için x = 1 ve x = 1 noktalar¬nda f_N(1) = 1 = f_N( 1)

dir, dolay¬s¬syla

1 = lim

N !1f_N(1) = 1 2 lim

x!1 f (x) + lim

x!1⁺f (x) 1 = lim

N !1f_N( 1) = 1

2 lim

x! 1

f (x) + lim

x! 1⁺

f (x) oldu¼gunu gözlemliyoruz. Bu sonuç genelde de do¼grudur.

TEOREM 6.1. Parçal¬sürekli ve süreksizlik noktalar¬hariç parçal¬ düzgün periyodik f fonksiyonun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬n k¬smi toplam¬ fN ise her x noktas¬nda

N !1lim f_N(x) = f (x ) + f (x⁺) 2

dir, burada f (x ) ve f (x⁺) s¬ras¬yla x noktas¬ndaki soldan ve sa¼gdan lim- itlerdir. f fonksiyonu x noktas¬nda sürekli ise, bu limitler fonksiyonunun x noktas¬ndaki de¼gerine e¸sit olaca¼g¬ndan

N !1lim f_N(x) = f (x) sa¼glan¬r ve bu yak¬nsama noktasald¬r.

N nin artan de¼gerleri için fN k¬smi toplam¬n¬n f ye yak¬nsamas¬n¬bekleriz. N = 50 için Örnek 6.3 ile verilen f fonksiyonu(do¼grular) ve fN k¬smi toplam¬n¬n [ 3; 3] aral¬¼g¬nda çizilen gra…¼gi(sürekli e¼gri) ¸Sekil 6.5 ile verilmektedir.

¸

Sekil 6.5 deki sonucumuz Teorem 6.1 i do¼grulamaktad¬r:

( 1; 1) aral¬¼g¬nda f (x) = x + 1 olup, bu aral¬ktaki her noktada artan N de¼geri için fN(x) > f (x) yak¬nsakl¬¼g¬n¬gözlemliyoruz.

2 birim periyotlu fonksiyonumuz ( 3; 1) aral¬¼g¬nda 2 birim sola kay- d¬r¬larak (x + 2) + 1 = x + 3’e e¸sittir.

Ayr¬ca periyodik fonksiyonumuz (1; 3) aral¬¼g¬nda 2 birim sa¼ga kay- d¬r¬larak (x 2) + 1 = x 1’e e¸sittir.

(14)

¸

Bu aral¬klarda da yak¬nsamay¬gözlemliyoruz.

x = 1 noktas¬nda periyodik fonksiyonumuz sürekli de¼gildir.

f ( 1 ) = lim

x! 1 f (x) = lim

x! 1 (x + 3) = 2 f ( 1⁺) = lim

x! 1 f (x) = lim

x! 1⁺(x + 1) = 0 olup,

f ( 1 ) + f ( 1⁺)

2 = 1

elde ederiz. ¸Sekil 6.5 den de bu sonucu gözlemliyoruz.

Benzer biçimde

f (1 ) = 2; f (1⁺) = 0;f ( 1 ) + f ( 1⁺)

2 = 1

olup, bu sonuç ¸Sekil 6.5 ile uyumludur.

ÖRNEK 6.5. [ 1; 1) aral¬¼g¬nda

f (x) = 0; 1 x < 0 1 0 x < 1

olarak tan¬mlanan p = 2 periyotlu f fonksiyonunun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬

belirleyiniz

(15)

a₀ = Z 1

1

f (x)dx = Z 1

0

dx = 1

a_n= Z1

1

f (x) cos(n x)dx = Z1

0

cos(n x)dx = 0

b_n = Z1

1

f (x) sin(n x)dx = Z1

0

sin(n x)dx

= 1

n (cos(n x)j¹0) = 1

n (( 1)ⁿ 1) = 1 ( 1)ⁿ⁺¹ n olup,

f_N(x) = 1 2a₀+

XN n=1

= 1

2 + 1 X^N

n=1

1 ( 1)ⁿ⁺¹

n sin(n x) (6.19)

elde ederiz.

N = 5 için 2 periyotlu f fonksiyonu(mavi, ye¸sil, k¬rm¬z¬) ve fN k¬smi toplam¬n¬n [ 3; 3] aral¬¼g¬nda çizilen gra…¼gi(pembe) ¸Sekil 6.6 ile verilmektedir.

¸

Sekil 6.6 den görülece¼gi üzere f fonksiyonu

[ 3; 2); [ 1; 0); [1; 2) aral¬klar¬üzerinde 0 sabit de¼geri almakta ve [ 2; 1); [0; 1); [2; 3)aral¬klar¬üzerinde 1 sabit de¼gerini almaktad¬r.

O halde fonksiyon parçal¬süreklidir, herhangi bir kapal¬aral¬ktaki sürek- sizlik noktalar¬ söz konusu aral¬k içerindeki tamsay¬lar kümesidir. O halde f fonksiyonu parçal¬süreklidir.

Ayr¬ca, süreksizlik noktalar¬hariç di¼ger her noktada f türevlenebilirdir ve türevi de süreklidir çünkü sabittir. O halde fonksiyonun türevi de

(16)

¸

parçal¬ süreklidir. Dolay¬s¬yla f süreksizlik noktalar¬ hariç heryerde parçal¬düzgün bir fonksiyondur.

N nin artan de¼gerleri için fN k¬smi toplam¬n¬n f ye yak¬nsamas¬n¬

bekleriz. N = 50 için Örnek 6.5 ile verilen f fonksiyonu ve fN k¬smi toplam¬n¬n [ 3; 3] aral¬¼g¬nda çizilen gra…¼gi ¸Sekil 6.7 ile verilmektedir.

Ayr¬ca nçif t ile gösterece¼gimiz her çift tamsay¬için f (n_{cif t}) = 0; f (n⁺_{cif t}) = 1 olup, Teorem 6.1 gere¼gi

) lim

N !1f_N(n_{cif t}) = f (n_{cif t}) + f (n⁺_{cif t}) = 1

2 = 1

2 n_tekt ile gösterece¼gimiz herhangi bir tek tamsay¬için

f (n_tek) = 1; f (n⁺_tek) = 0 Teorem 6.1 gere¼gi

N !1lim f_N(n_{cif t}) = f (n_tek) + f (n⁺_tek)

2 = 1

2 elde ederiz.

(17)

¸

Di¼ger noktalarda f süreklidir ve herhangi x 2 (n^tek; n_{çif t}) için

N !1lim f_N(x)! f(x) = 0

ve herhangi x 2 (n^çift; n_tek) için lim

N !1f_N(x)! f(x) = 1 oldu¼gunu gözlemliyoruz.

f (x) = 1 x²; x2 [ 1; 1)

ile tan¬mlanan p = 2 periyotlu f fonksiyonunun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬ belirleyiniz

Önceki örneklerimizin aksine bu kez periyodik fonksiyonumuz süreklidir.

¸

Simdi Fourier katsay¬lar¬n¬hesaplayal¬m:

a₀ =R1

1f (x)dx =R1

1(1 x²)dx = 2R1

0(1 x²)dx = 2(x ^x₃³)j¹0 = 4=3

(18)

Öncelikle k¬smi integrasyonla Z

x cos(n x)dx = n x sin(n x) + cos(n x) n² ²

Z

x²cos(n x)dx = (n² ²x² 2) sin(n x) + 2n x cos(n x) n³ ³

integrallerini hesaplayal¬m.. Bu durumda an =

Z1

1

f (x) cos(n x)dx

= Z1

1

(1 x²) cos(n x)dx

= 2 Z1

0

(1 x²) cos(n x)dx

= 2

n sin(n x) (n² ²x² 2) sin(n x) + 2n x cos(n x) n² ²

1

0

!

= 2

n ( 2n ( 1)ⁿ

n² ² ) = 4( 1)ⁿ⁺¹ n² ² ve

b_n = Z1

1

f (x) sin(n x)dx

= Z1

1

(1 x²) sin(n x)dx

= 0 elde ederiz. O halde

f_N(x) = 1 2a₀+

XN n=1

= 2

3 + 4

2

XN n=1

( 1)ⁿ⁺¹

n² cos(n x) (6.20)

(19)

¸

Sekil 6.8: Örnek 6.6 ile verilen fonksiyonun ve Fourier serisi k¬smi toplam(N=5) gra…¼gi

elde ederiz.

N = 5 için 2 periyotlu f fonksiyonu ve fN k¬smi toplam¬n¬n [ 3; 3] aral¬-

¼

g¬nda çizilen gra…¼gi ¸Sekil 6.8 ile verilmektedir.

Fonksiyon sürekli oldu¼gu için önceki örneklerde oldu¼gu üzere k¬smi toplamlar gra…¼ginde s¬çramalar söz konusu de¼gildir. Ayr¬ca N = 5 için elde edilen Fourier k¬smi toplam gra…¼gi ve fonksiyon gra…¼gi, süreksizlik içeren örneklere k¬yasla tüm bölgede örtü¸smektedir. Bu davran¬¸s düzgün yak¬nsaman¬n tipik bir örne¼gidir.

Bu durumu izah edebilmek için a¸sa¼g¬daki teoremi inceleyelim:

TEOREM 6.2. Sürekli ve parçal¬düzgün periyodik f fonksiyonun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬n k¬smi toplam¬fN ise her x noktas¬nda

lim

N !1f_N(x) = f (x) dir, ve bu yak¬nsama düzgündür.

Gerçekten de Weierstrass M-testi yard¬m¬yla Örnek 6.6 ile elde edilen fN

k¬smi toplamlar dizisi düzgün yak¬nsakt¬r.

Hat¬rlatma 6.1. E¼ger bir küme üzerinde juⁿ(x)j M_n

(20)

ve X M_n yak¬nsak bir say¬serisi ise bu taktirde

Xun(x)

serisi söz konusu küme üzerinde düzgün yak¬nsakt¬r.

Örne¼gimiz için R de

( 1)ⁿ⁺¹

n² cos(n x) 1 n²

ve X1

n=1

1 n² =

2

6 (Euler say¬s¬)

yak¬nsak olup, fN(x) fonksiyonlar dizisi R üzerinde düzgün yak¬nsakt¬r, dolay¬s¬yla

f (x) = 2 3 + 4

2

X1 n=1

( 1)ⁿ⁺¹

n² cos(n x) düzgün yak¬nsakt¬r.

Özel olarak her x 2 [ 1; 1] için

1 x² = 2 3 + 4

2

X1 n=1

( 1)ⁿ⁺¹

n² cos(n x) eldee ederiz. x = 0 için

1 = 2 3 + 4

2

X1 n=1

( 1)ⁿ⁺¹ n² veya

X1 n=1

( 1)ⁿ⁺¹ n² = 1

12

2

elde ederiz. Buradan da görülece¼gi üzere Fourier serileri baz¬ say¬ serilerinin yak¬nsad¬¼g¬de¼gerleri belirleyebilmek için de kullan¬l¬r.

(21)

6.4 Tek ve çift fonksiyonlar ve Fourier serileri

A¸sa¼g¬daki kavramlar¬hat¬rlayal¬m:

Hat¬rlatma 6.2. E¼ger 8x 2 [ a; a] için f ( x) = f (x);

ise f fonksiyonuna bu aral¬kta çift fonksiyon ve e¼ger 8x 2 [ a; a] için f ( x) = f (x)

ise f fonksiyonuna söz konusu aral¬kta tek fonksiyon ad¬verilir.

Hat¬rlatma 6.3. E¼ger f fonsiyonu [ a; a] aral¬¼g¬nda çift ise Z a

a

f (x)dx = 2 Z a

0

f (x)dx (6.21)

sa¼glan¬r. Çünkü Z a

a

f (x)dx = Z 0

a

f (x)dx + Z a

0

f (x)dx

e¸sitli¼ginde sa¼gdaki birinci integralde u = x dönü¸sümü yaparak, f nin çift oldu¼gunu ve kullanmak suretiyle

Z 0 a

f (x)dx =

Z 0 a

f ( u)du

=

Z 0 a

f (u)du

= Z a

0

f (u)du

elde ederiz, burada son e¸sitlikte integral s¬n¬rlar¬n¬n yer de¼gi¸siminin, interar- ilin i¸saretinin de¼gi¸simine neden oldu¼gu kural¬n¬ kulland¬k. O halde f çift ise (6.21) kural¬n¬elde ederiz.

Hat¬rlatma 6.4. E¼ger f fonsiyonu [ a; a] aral¬¼g¬nda tek ise Z a

a

f (x)dx = 0 (6.22)

(22)

sa¼glan¬r. Çünkü Z a

a

f (x)dx = Z 0

a

f (x)dx + Z a

0

f (x)dx

e¸sitli¼ginde sa¼gdaki birinci integralde u = x dönü¸sümü yaparak, f nin tek oldu¼gunu ve kullanmak suretiyle

Z 0 a

f (x)dx =

Z 0 a

f ( u)du

= Z 0

a

f (u)du

=

Z a 0

f (u)du

elde ederiz, burada son e¸sitlikte integral s¬n¬rlar¬n¬n yer de¼gi¸siminin, interar- ilin i¸saretinin de¼gi¸simine neden oldu¼gu kural¬n¬ kulland¬k. O halde f tek ise (6.22) kural¬n¬elde ederiz.

Hat¬rlatma 6.5. Tek fonksiyonun integrali çift ve çift fonksiyonun integrali tek fonksiyondur.

Hat¬rlatma 6.6. Tek fonksiyon ile çift fonksiyonun çarp¬m¬tek, tek fonksi- yonla tek fonksiyonun çarp¬m¬çift fonksiyondur.

Sonuç 6.1. E¼ger f fonsiyonu [ a; a] aral¬¼g¬nda tek ise, cos(x) fonksiyonu çift oldu¼gu için, çarp¬mlar¬tek ve dolay¬s¬yla

a_n = Z1

1

f (x) cos(n x)dx = 0

d¬r.

Sonuç 6.2. E¼ger f fonsiyonu [ a; a] aral¬¼g¬nda çift ise, sin(x) fonksiyonu tek oldu¼gu için, çarp¬mlar¬tek ve dolay¬s¬yla

b_n = Z1

1

f (x) sin(n x)dx = 0

d¬r.

(23)

O halde Örnek 6.6 te

b_n = Z1

1

(1 x²) sin(n x)dx = 0

oldu¼gunu integrali hesaplamadan da kolayca görebiliriz.

Sonuç 6.3. E¼ger f fonksiyonu tek ise ( 6.16) ile verilen Fourier aç¬l¬m¬n¬n katsay¬lar¬

a_n = 0; n = 0; 1; (6.23)

b_n = Z1

1

f (x) sin(n x)dx

= 2 Z1

0

f (x) sin(n x)dx; n = 1; 2; (6.24)

olarak elde ederiz.

Sonuç 6.4. E¼ger f fonksiyonu çift ise ( 6.16) ile verilen Fourier aç¬l¬m¬n¬n katsay¬lar¬

a_n = Z1

1

f (x) cos(n x)dx (6.25)

= 2 Z1

0

f (x) cos(n x)dx; n = 0; 1; 2;

b_n = 0; n = 1; 2; (6.26)

olarak elde ederiz.

f (x) = x³; x2 [ 1; 1)

ile tan¬mlanan p = 2 periyotlu f fonksiyonunun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬ belirleyiniz ve [ 3; 3] aral¬¼g¬nda Fourier k¬smi toplam gra…¼gini N = 5; 50 de¼gerleri için çiziniz. Teorem 6.1 yard¬m¬yla Fourier serisinin yak¬nsakl¬¼g¬n¬ara¸st¬r¬n¬z.

(24)

f tek oldu¼gu için

a_n= 0; n = 0; 1; 2;

ve art arda k¬smi integerasyon yard¬m¬yla hesaplayabiliriz bn leri hesaplayabiliriz: Öncelikle

Z

x sin(n x)dx = sin(n x) n x cos(n x)

(n )² ;

Z

x²sin(n x)dx = 2n x sin(n x) + (2 (n x)²) cos(n x)

(n )³ ;

Z

x³sin(n x)dx = (3n² ²x² 6) sin(n x) + (6n x n³ ³x³) cos(n x) n⁴ ⁴

integrallerinden(Al¬¸st¬rma 2), b_n =

Z 1 0

x³sin(n x)dx

= ( 1)ⁿ⁺¹(n² ² 6) n³ ³

= ( 1)ⁿ⁺¹( 1 n

6 n³ ³) katsay¬lar¬n¬elde ederiz. O halde

f = X1 n=1

( 1)ⁿ⁺¹( 1 n

6

n³ ³) sin(n x) elde ederiz.

N = 5 için 2 periyotlu f fonksiyonu ve fN k¬smi toplam¬n¬n [ 3; 3] aral¬-

¼

g¬nda çizilen gra…¼gi ¸Sekil 6.9 ile verilmektedir.

p = 2 periyotlu f fonksiyonu parçal¬ sürekli ve f⁰ de her tek say¬ hariç parçal¬süreklidir. O halde fonksiyonumuz Teorem 6.1 in hipotezlerini sa¼glar, dolay¬s¬yla her tek tamsay¬da Fouirer serisi her tek tamsay¬için

lim

N !1f_N(n_tek) = f (n⁺_tek) + f (n_tek)

2 = 1 + 1

2 = 0

ve di¼ger her bir nokta için

N !1lim f_N(x) = f (x)

dir.N = 50 çin 2 periyotlu f fonksiyonu ve fN k¬smi toplam¬n¬n [ 3; 3]

aral¬¼g¬nda çizilen gra…¼gi ¸Sekil 6.10 ile verilmektedir.

(25)

¸

Sekil 6.9: Örnek 6.7 ile verilen fonksiyonun ve Fourier serisi k¬smi toplam(N=5) gra…¼gi

¸

Sekil 6.10: Örnek 6.7 ile verilen fonksiyonun ve Fourier serisi k¬smi toplam(N = 50) gra…¼gi

(26)

Al¬¸st¬rmalar 6.1.

1. A¸sa¼g¬da verilen fonksiyonlar¬n periyotlar¬n¬belirleyiniz (a) sin(3x)

(b) sin(2x + 1) (c) cos(x=2 1) (d) e^2ix; i =p

1

2. A¸sa¼g¬da verilen integralleri k¬smi integrasyon yard¬m¬yla hesaplay¬nz.

(a) Z

x cos(n x)dx (b) R

x sin(n x)dx (c) R

x²sin(n x)dx (d) R

x³sin(n x)dx (e)

Z

x²cos(n x)dx

3. A¸sa¼g¬daki verilen fonksiyon çiftlerinin [ 1; 1] aral¬¼g¬nda ortogonal oldu¼gunu gösteriniz.

(a)

f1; sin( x)g (b)

f1; cos( x)g (c)

fsin( x); sin(2 x)g (d)

fsin( x); cos( x)g (e)

fcos( x); cos(2 x)g

4. A¸sa¼g¬da verilen fonksiyonlar¬n kar¸s¬lar¬nda verilen aral¬klar üzerinde parçal¬sürekli olup olmad¬klar¬n¬ara¸st¬r¬n¬z.

(27)

(a) f (x) = 1 x < 0 1 x > 0 (b) f (x) = sgn(x); 4 < x < 4

(c) f (x) = [x]; 4 < x < 4; [x] : tamde¼ger fonksiyonu olup [x] =fn : n x < n + 1; n2 Zg ile tan¬ml¬d¬r.

(d) f (x) = 1=x; 1 < x < 1

5. Soru 4 te verilen fonksiyonlar¬n parçal¬düzgün olup olmad¬klar¬n¬ara¸st¬r¬n¬z.

6. A¸sa¼g¬da verilen ve 2 periyotlu olarak tan¬mlanan fonksiyonlar¬n [ 3; 3]

aral¬¼g¬nda gra…klerini çiziniz

(a) f (x) = 1 1 < x < 0 1 0 < x < 1 (b) f (x) = 0 1 < x 0

2 0 < x < 1 (c) f (x) = x; 1 < x < 1 (d) f (x) = jxj; 1 < x < 1

7. Soru 6 daki fonksiyonlar¬n [ 3; 3] aral¬¼g¬üzerindeki süreksizlik noktalar¬n¬belirleyiniz ve gra…k üzerinde i¸saretleyiniz.

8. Soru 7 de elde etti¼giniz süreksizlik noktalar¬ndaki sa¼gdan ve soldan limitlerini hesaplay¬n¬z

9. Soru 6 da verilen fonksiyonlar¬n Fourier seri aç¬l¬mlar¬n¬hesaplay¬n¬z.

Tek veya çift fonksiyon aç¬l¬mlar¬nda sadece s¬f¬rdan farkl¬ katsay¬lar¬

hesaplay¬n¬z.

10. Soru 9 da elde etti¼giniz Fourier serilerinin süreksizlik noktalar¬nda hangi noktaya yak¬nsad¬¼g¬n¬ilgili teorem yard¬m¬yla belirleyiniz.

11. Soru 9 da elde etti¼giniz Fourier serilerinin [ 3; 3] aral¬¼g¬nda gra…klerini çiziniz.

(28)

6.5 Kompleks katsay¬l¬Fourier aç¬l¬m¬

Esasen katsay¬lar¬n kompleks oldu¼gu e¸sde¼ger bir aç¬l¬m daha mevcuttur: (??) de

= k²; k > 0

biçiminde arad¬¼g¬m¬z özde¼geri denklemde yerine yazarak y⁰⁰+ k²y = 0

elde ederiz.

k 6= 0 için bu denklemin lineer ba¼g¬ms¬z kompleks çözümler kümesini, y = e^rx biçimde arayarak

r²+ k² = 0 denklemini sa¼glayan

r₁ = ik; r₂ = ik de¼gerleri ile

fe^r¹^x; e^r²^xg = e^ikx; e ^ikx (6.27) dir. Buradan

y = _ke^ikx+ _ke ^ikx genel çözümünü elderiz.E¼ger

k = k_n= n ; 1; 2;

ise (6.6) ile verilen Periyodik s¬n¬r ¸sartlar¬n¬n sa¼glanmas¬için gerek ve yeter ¸sart

e ^ik e^ik = 0

sa¼glanmas¬d¬r(Al¬¸st¬rma). Bu kriter ise ancak ve ancak k = kn = n ; n = 1; 2; olmas¬n¬ gerektirir. O halde özfonksiyonlar¬m¬z 6.27 nin periyodik s¬n¬r ¸sartlar¬n¬sa¼glayan kn= n de¼gerleri için

u_n = e^{in x}; v_n = e ^{in x}; n = 1; 2; :::

olarak elde ederiz.

k = 0 için elde edece¼gimiz sabit çözümü bu kez 1 alal¬m.

(29)

Bu durumda

1; e^{in x}; e ^{in x} ; n = 1; 2; (6.28) özfonksiyonlar kümesini elde ederiz. Bu kümenin periyodu da 2 ye e¸sittir.

Esasen reel elemanlardan olu¸san (6.9) kümesi kompleks elemanl¬(6.28) kümesinin elemanlar¬n¬n uygun bir lineer kombinasyonu ile elde edilen kümedir.

(6.28) kümesinin de [ 1; 1] aral¬¼g¬üzerinde ortogonal oldu¼gunu kolayca görebiliriz(Al¬¸st¬rma 1),

Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlar kümesi olarak bu küme de tamd¬r. O halde verilen 2 periyotlu periyodik bir fonksiyonu

f = X1 n= 1

c_ne^{in x}; c_n2 C (6.29) olarak ifade edebiliriz. 6.29 n¬n kher iki yan¬n¬n seçilen bir n tamsay¬s¬

için e^{in x} ile [ 1; 1] üzerinde iç çarp¬m¬n¬alarak, c_n= 1

2 Z1

1

f (x)e ^{in x}dx

eldee ederiz.

Reel ve kompleks Fourier katsay¬lar¬aras¬nda

a_n = 2 Re(c_n); n = 0; 1; (6.30) b_n = 2 Im(c_n); n = 1; 2;

ba¼g¬nt¬s¬mevcuttur(Al¬¸st¬rma 2).

6.6 [0; 1) aral¬¼g¬ üzerinde Fourier kosinüs ve sinüs serileri

f fonksiyonunun [0; 1) aral¬¼g¬üzerindeki Fourier sinüs serisi y⁰⁰+ y = 0

y(0) = y(1) = 0

(30)

Kanonik RSL probleminin özfonksiyonlar¬olarak belirledi¼gimiz y_n = sin(n x); n = 1; 2; :::

kümenin taml¬¼g¬n¬esas al¬r. Di¼ger bir deyimle bu fonksiyonlar kümesi 2 ortak periyoduna sahip ve tek fonksiyonlar olduklar¬için

[ 1; 1) aral¬¼g¬nda tek olan ve

f_tek(x) = f (x) 0 < x < 1 f ( x) 1 < x < 0 ile tan¬mlanan ftek fonksiyonunun Fourier seri aç¬l¬m¬

f_tek(x) = 1 2a₀+

X1 n=1

= X1 n=1

b_nsin(n x)

olarak ifade edilir, çünkü an = 0; n = 0; 1; d¬r. ftek fonksiyonuna f nin [ 1; 0) aral¬¼g¬na tek geni¸slemesi ad¬verilir.

f_tek fonksiyonunun tan¬m¬gere¼gi x 2 [0; 1) için

f (x) = X1 n=1

b_nsin(n x) (6.31)

dir ve

b_n = 2 Z1

0

f (x) sin(n x)dx (6.32)

olarak elde ederiz. (6.31) serisine f nin Fourier sinüs serisi ad¬verilir.

ÖRNEK 6.8.

f (x) = 2x + 1; x2 [0; 1)

ile tan¬mlanan p = 2 periyotlu Fourier sinüs seri aç¬l¬m¬n¬belirleyiniz.

(31)

¸

Sekil 6.11: Örnek 6.8 ile verilen fonksiyon ve [ 1; 0] aral¬¼g¬na çift geni¸slemesi ile [ 1; 1] aral¬¼g¬üzerinde f10 k¬smi toplam¬

b_n = 2 Z1

0

f (x) sin(n x)dx

= 2 Z1

0

(2x + 1) sin(n x)dx

= 2( 1 n

3( 1)ⁿ

n )

olup

f (x) = 2 X¹

n=1

(1 3( 1)ⁿ)

n sin(n x) elde ederiz.

¸

Sekil 6.11 da f fonksiyonunun [0; 1] aral¬¼g¬ üzerindeki gra…¼gi,f nin tek geni¸slemesinin [ 1; 0] aral¬¼g¬üzerindeki gra…¼gi ve Fourier sinüs seri aç¬l¬m¬n¬n f_N k¬smi toplam¬N = 10 için hesaplanarak sunulmaktad¬r.

Fonksiyonumuz Teorem6.1 in hipotezlerini sa¼glamaktad¬r, o halde özel olarak her k tamsay¬için

f (k) = 0 = lim

N !1f_N(k)