n nin 0 veya 1 olmas¬durumunda s¬ras¬yla de¼ gi¸ skenlerine ayr¬labilir ve lineer denklem durumu elde edilir.

(1)

2.7. Bernoullli Diferensiyel Denklemi Bernoulli diferensiyel denkleminin genel formu

y ⁰ + p (x) y = q (x) y ⁿ (1)

¸ seklindedir.

n nin 0 veya 1 olmas¬durumunda s¬ras¬yla de¼ gi¸ skenlerine ayr¬labilir ve lineer denklem durumu elde edilir.

n 6= 0; 1 durumunda bu denklemi çözmek için z = y ^{1 n} de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ stirmesi yap¬l¬rsa

y = z

1 1 n ve y ⁰ = 1 1 n z

n 1 n z ⁰ olur. Bu dönü¸ süm orjinal denklemi

1 1 n z ^{1 n} ⁿ z ⁰ + p (x) z ^{1 n} ¹ = q (x) z

¹ⁿⁿ

haline getirir. Daha sonra her taraf (s¬f¬ra e¸ sit olmayan) z n

1 n ile bölünerek 1

1 n z ⁰ + p (x) z = q (x)

¸ seklindeki lineer diferensiyel denklem elde edilir. Önce lineer diferensiyel den- klem çözülür, sonra da z = y ^{1 n} yerine yaz¬larak Bernoulli diferensiyel den- kleminin çözümü elde edilir. Ayr¬ca n > 0 ise y = 0 ayk¬r¬çözümü vard¬r.

Örnek 1. 3y ² y ⁰ + y ³ = e ^x denkleminin tüm çözümlerini bulunuz.

Çözüm. Verilen denklemi (1) deki forma getirirsek y ⁰ + 1

3 y = e ^x 3 y ²

yaz¬l¬r. n = 2 olmak üzere z = y ³ , _dx ^dz = 3y ^{2 dy} _dx alarak denklemde yerine yaz¬l¬rsa

z ⁰ + z = e ^x (2)

olur. Burada integral çarpan¬ (x) = e ^R ^dx = e ^x dir.

(2) denklemi (x) ile çarp¬l¬rsa

e ^x z ⁰ + e ^x z = 1

) (e ^x z) ⁰ = 1

) e ^x z = x + c

) z = (x + c) e ^x

1

(2)

elde edilir. Böylece genel çözüm

y (x) = (c + x) ¹⁼³ e ^x=3 ; 8x 2 R dir.

Örnek 2.

dy

dx + 2xy = xe ^x

²

y ³ denklemini çözünüz.

Çözüm. Burada n = 3 oldu¼ gundan

z = y ^{1 3} = y ² ) z ⁰ = 2y ³ y ⁰ dir.

¸

Simdi denklemin her iki taraf¬ 2y ³ ile çarp¬larak 2y ³ y ⁰ 4xy ² = 2xe ^x

²

) z ⁰ 4xz = 2xe ^x

²

elde edilir. Bu denklem lineerdir. · Integral çarpan¬

e ^R ^4xdx = e ^2x

²

oldu¼ gundan her iki taraf e ^2x

²

ile çarp¬larak

e ^2x

²

z ⁰ 4xe ^2x

²

z = 2xe ^3x

²

e ^2x

²

z ⁰ = 2xe ^3x

²

ze ^2x

²

= Z

2xe ^3x

²

^dx = 1 3

Z

6xe ^3x

²

dx = 1

3 e ^3x

²

+ c

z = e ^x

²

3 + ce ^2x

²

bulunur. Böylece genel çözüm:

y = e ^x

²

3 + ce ^2x

²

! 1=2

olur. Ayr¬ca n = 3 > 0 oldu¼ gundan y = 0 ayk¬r¬çözümü vard¬r.

Örnek 3. y ⁰ 2y

3x = y ⁴ ln x denkleminin çözümünü bulunuz.

2

(3)

Örnek 4. dy

dx + 3x ² y = y ² xe ^x

²

n nin 0 veya 1 olmas¬durumunda s¬ras¬yla de¼ gi¸ skenlerine ayr¬labilir ve lineer denklem durumu elde edilir.

2.7. Bernoullli Diferensiyel Denklemi Bernoulli diferensiyel denkleminin genel formu

y 0 + p (x) y = q (x) y n (1)

¸ seklindedir.

n nin 0 veya 1 olmas¬durumunda s¬ras¬yla de¼ gi¸ skenlerine ayr¬labilir ve lineer denklem durumu elde edilir.

n 6= 0; 1 durumunda bu denklemi çözmek için z = y 1 n de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ stirmesi yap¬l¬rsa

y = z

1

1 n ve y 0 = 1 1 n z

n 1 n z 0 olur. Bu dönü¸ süm orjinal denklemi

1

1 n z 1 n n z 0 + p (x) z 1 n 1 = q (x) z

haline getirir. Daha sonra her taraf (s¬f¬ra e¸ sit olmayan) z n

1 n ile bölünerek 1

1 n z 0 + p (x) z = q (x)

¸ seklindeki lineer diferensiyel denklem elde edilir. Önce lineer diferensiyel den- klem çözülür, sonra da z = y 1 n yerine yaz¬larak Bernoulli diferensiyel den- kleminin çözümü elde edilir. Ayr¬ca n > 0 ise y = 0 ayk¬r¬çözümü vard¬r.

Örnek 1. 3y 2 y 0 + y 3 = e x denkleminin tüm çözümlerini bulunuz.

Çözüm. Verilen denklemi (1) deki forma getirirsek y 0 + 1

3 y = e x 3 y 2

yaz¬l¬r. n = 2 olmak üzere z = y 3 , dx dz = 3y 2 dy dx alarak denklemde yerine yaz¬l¬rsa

z 0 + z = e x (2)

olur. Burada integral çarpan¬ (x) = e R dx = e x dir.

(2) denklemi (x) ile çarp¬l¬rsa

e x z 0 + e x z = 1

) (e x z) 0 = 1

) e x z = x + c

) z = (x + c) e x

1

elde edilir. Böylece genel çözüm

y (x) = (c + x) 1=3 e x=3 ; 8x 2 R dir.

Örnek 2.

dy

dx + 2xy = xe x

y 3 denklemini çözünüz.

Çözüm. Burada n = 3 oldu¼ gundan

z = y 1 3 = y 2 ) z 0 = 2y 3 y 0 dir.

¸

Simdi denklemin her iki taraf¬ 2y 3 ile çarp¬larak 2y 3 y 0 4xy 2 = 2xe x

) z 0 4xz = 2xe x

elde edilir. Bu denklem lineerdir. · Integral çarpan¬

e R 4xdx = e 2x

oldu¼ gundan her iki taraf e 2x

ile çarp¬larak

e 2x

z 0 4xe 2x

z = 2xe 3x

e 2x

z 0 = 2xe 3x

ze 2x

= Z

2xe 3x

dx = 1 3

Z

6xe 3x

dx = 1

3 e 3x

+ c

z = e x

3 + ce 2x

bulunur. Böylece genel çözüm:

y = e x

3 + ce 2x

! 1=2

olur. Ayr¬ca n = 3 > 0 oldu¼ gundan y = 0 ayk¬r¬çözümü vard¬r.

Örnek 3. y 0 2y

3x = y 4 ln x denkleminin çözümünü bulunuz.

2

Örnek 4. dy

dx + 3x 2 y = y 2 xe x

, y (1) = 0 ba¸ slang¬ç de¼ ger probleminin çözümünü bulunuz.

Örnek 5. x 2 y 0 (2 ln x) y = y 3 e 4 ln x

x denkleminin çözümünü bulunuz.

3

y ⁰ + p (x) y = q (x) y ⁿ (1)

n 6= 0; 1 durumunda bu denklemi çözmek için z = y ^{1 n} de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ stirmesi yap¬l¬rsa

1 n ve y ⁰ = 1 1 n z

n 1 n z ⁰ olur. Bu dönü¸ süm orjinal denklemi

1 n z ^{1 n} ⁿ z ⁰ + p (x) z ^{1 n} ¹ = q (x) z

1 n z ⁰ + p (x) z = q (x)

¸ seklindeki lineer diferensiyel denklem elde edilir. Önce lineer diferensiyel den- klem çözülür, sonra da z = y ^{1 n} yerine yaz¬larak Bernoulli diferensiyel den- kleminin çözümü elde edilir. Ayr¬ca n > 0 ise y = 0 ayk¬r¬çözümü vard¬r.

Örnek 1. 3y ² y ⁰ + y ³ = e ^x denkleminin tüm çözümlerini bulunuz.

Çözüm. Verilen denklemi (1) deki forma getirirsek y ⁰ + 1

3 y = e ^x 3 y ²

yaz¬l¬r. n = 2 olmak üzere z = y ³ , _dx ^dz = 3y ^{2 dy} _dx alarak denklemde yerine yaz¬l¬rsa

z ⁰ + z = e ^x (2)

olur. Burada integral çarpan¬ (x) = e ^R ^dx = e ^x dir.

e ^x z ⁰ + e ^x z = 1

) (e ^x z) ⁰ = 1

) e ^x z = x + c

) z = (x + c) e ^x

y (x) = (c + x) ¹⁼³ e ^x=3 ; 8x 2 R dir.

dx + 2xy = xe ^x

y ³ denklemini çözünüz.

z = y ^{1 3} = y ² ) z ⁰ = 2y ³ y ⁰ dir.

Simdi denklemin her iki taraf¬ 2y ³ ile çarp¬larak 2y ³ y ⁰ 4xy ² = 2xe ^x

) z ⁰ 4xz = 2xe ^x

e ^R ^4xdx = e ^2x

oldu¼ gundan her iki taraf e ^2x

e ^2x

z ⁰ 4xe ^2x

z = 2xe ^3x

e ^2x

z ⁰ = 2xe ^3x

ze ^2x

2xe ^3x

^dx = 1 3

6xe ^3x

3 e ^3x

z = e ^x

3 + ce ^2x

y = e ^x

3 + ce ^2x

Örnek 3. y ⁰ 2y

3x = y ⁴ ln x denkleminin çözümünü bulunuz.

dx + 3x ² y = y ² xe ^x

Örnek 5. x ² y ⁰ (2 ln x) y = y ³ e 4 ln x