Lineer S¬n¬r De¼ ger Problemleri

Lineer S¬n¬r De¼ ger Problemleri

Bu bölümde ikinci basamaktan lineer homogen olmayan

p

(x) y

+ p

(x) y

+ p

(x) y = f (x) (1) denklemi ve

`

[y] = a

y (a) + a

y

(a) +

y (b) +

y

(b) = A (2)

`

[y] =

y (a) +

y

(a) + b

y (b) + b

y

(b) = B

s¬n¬r ko¸ sullar¬ele al¬nmaktad¬r. (1) (2) problemine homogen olmayan iki nokta s¬n¬r de¼ ger problemi denir. Homogen

p

(x) y

+ p

(x) y

+ p

(x) y = 0 (3) denklemi ve

`

[y] = 0; `

[y] = 0 (4)

s¬n¬r ko¸ sullar¬ndan meydana gelen probleme de homogen s¬n¬r de¼ ger problemi denir. S¬n¬r ko¸ sullar¬n¬n baz¬özel durumlar a¸ sa¼ g¬daki gibi verilir:

1) Dirichlet ko¸ sullar¬: y (a) = A; y (b) = B;

2) Kar¬¸ s¬k ko¸ sullar: y (a) = A; y

(b) = B ya da y

(a) = A; y (b) = B;

3) Ayr¬lm¬¸ s s¬n¬r ko¸ sullar¬: a

y (a) + a

y

(a) = A; b

y (b) + b

y

(b) = B;

4) Periyodik s¬n¬r ko¸ sullar¬y (a) = y (b) ; y

(a) = y

(b) :

Tan¬m 1. a ve b nin ikisi de sonlu ve her x 2 I için p

(x) 6= 0 ise, o zaman (1) (2) problemi düzgün (regüler) s¬n¬r de¼ ger problemi ad¬n¬ al¬r. a = 1 ve/veya b = +1 ve/veya p

(x) katsay¬s¬ en az bir x 2 I için s¬f¬r ise, bu durumda (1) (2) problemine singüler s¬n¬r de¼ ger problemi denir. Biz sadece düzgün (regüler) s¬n¬r de¼ ger problemlerini ele alaca¼ g¬z.

Tan¬m 2. (1) (2) BVP nin çözümünden, (1) denkleminin (2) s¬n¬r ko¸ sullar¬n¬

sa¼ glayan bir çözümü anla¸ s¬l¬r.

Örnek 1.

y

+ y = 1; 0 < x <

2 ; y (0) = 0; y

2 = 1 iki nokta s¬n¬r de¼ ger problemini çözünüz.

Çözüm. Verilen denklemin genel çözümü

y (x) = c

cos x + c

sin x dir. Ko¸ sullar¬n bu çözüme uygulanmas¬yla

y (0) = c

+ 1 = 0;

y 2 = c

+ 1 = 1;

olup c

= 1 ve c

= 0 bulunur. Böylece istenen çözüm y (x) = 1 cos x

1

olur.

Teorem 1. y

(x) ve y

(x), (3) denkleminin herhangi lineer ba¼ g¬ms¬z çözümü ol- sun. Bu durumda (3)-(4) homogen s¬n¬r de¼ ger probleminin sadece s¬f¬r çözümüne sahip olmas¬için gerek ve yeter ko¸ sul

= `

[y

] `

[y

]

`

[y

] `

[y

] 6 = 0 d¬r.

Sonuç. (3)-(4) homogen BVP nin sonsuz say¬da belirgin olmayan çözüme sahip olmas¬için gerek ve yeter ko¸ sul = 0 d¬r.

Örnek 2.

xy

y

4x

y = 0; (5)

`

[y] = y (1) = 0 (6)

`

[y] = y (2) = 0

BVP yi ele alal¬m. (5) denkleminin lineer ba¼ g¬ms¬z iki çözümü y

(x) = cosh x

1 ve y

(x) = 1

2 sinh x

1 olup, s¬n¬r ko¸ sullar¬ndan

= 1 0

cosh 3

sinh 3 6 = 0 d¬r. O halde verilen BVP sadece a¸ sikar çözüme sahiptir.

Teorem 2. (Fredholm Alternative Teoremi)

Homogen olmayan (1)-(2) BVP nin bir tek çözüme sahip olmas¬ için gerek ve yeter ko¸ sul (3)-(4) homogen BVP nin sadece s¬f¬r çözüme sahip olmas¬d¬r.

2