M A T E M A T ‹ K K U L E S ‹
E n g i n T o k t a fl m a t e m a t i k _ k u l e s i @ y a h o o . c o m
Mutlu Y›llar !
Adettendir, matematik sayfalar› yeni y›la o senenin say›s›n› içeren sorularla merhaba der. Biz de bu gelene¤i sürdürelim ve yeni y›-l›n›z› bu güzel soruyla kutlayal›m:
say›s›n›n son basama¤›nda acaba hangi ra-kam bulunur? Hepinize mutlu y›llar!!!
Denklemin Üssü
Genelde tek bilinmeyenli denklemleri çöz-mek çok kolayd›r. Peki ya ayn› bilinmeyenli bir baflka denklem de denklemin üslü ifade-sinde yer al›rsa? Emin olun durum yine de vahim de¤il. Biz önümüzdeki ay cevab› ver-meden önce
104Ocak 2006 B‹L‹MveTEKN‹K
eflitli¤inin tüm reel çözümlerini bulabilir mi-siniz?
Kardunya Krall›¤›
Dünyan›n ücra bir köflesinde bulunan Kardunya ülkesinin ç›lg›n kral›, ülkesinde banknot olarak sadece 6, 10 ve 15 Kar-dun’un (para birimleri) bas›lmas›na izin ve-rir. Ayr›ca bu ülkede fiyatlar kurallarla öyle ayarlan›r ki tüm ödemeler bu üç banknotun kombinasyonu ile tam olarak ödenebilir. Ma-temati¤i zay›f tüccarlar ise yanl›fl fiyat koy-malar›n› canlar›yla öderler. Acaba bu ülkede konmas› yasak olan fiyatlar hangileridir? Unutmay›n ki birçok tüccar›n hayat› sizin eli-nizde.
S›radan Görünüm
Kenar uzunluklar› 39, 40 ve 25 olan fle-kildeki ABC üçgeninin s›radan görünümüne sak›n kanmay›n! Hakk›nda sadece kenar uzunluklar›n› bildi¤imiz bu gizemli üçgeni s›rf daha iyi tan›-yabilmek için içi-ne sakland›¤› çemberin yar›ça-p›n› bulmak isti-yoruz. Yard›mc› olabilir misiniz?
Cahit Arf’›n An›s›na
Zor bir fley ustalar›n ustas› hakk›nda yazmak... Türkiye için son derece önemli olan “efsane” bir hayata bizzat tan›kl›k yapmadan, ayn› havay› solu-madan matematik efsanesini kelimelere dökmek gerçekten zor bir fley. Ama inan›n as›l zor olan, bu efsanenin ölüm y›ldönümü an›s›na bir yaz› haz›r-lamak, hem de ölümüne kendim bile inanmam›fl-ken. Hanginiz çocukluk kahraman›n›z Süper-men’in, Örümcek Adam’›n öldü¤üne inanmak is-ter ki?
1910 y›l›nda Selanik’te, tam da Balkan Harbi öncesinde kaynayan topraklarda bafllad› bu büyük bilim adam›n›n hayat maceras›. Savafl sonras›nda ailesinin ‹stanbul’a göç etmesiyle e¤itimine ‹stan-bul’da devam etti. Genelde utangaç bir çocuk ola-rak tan›n›yordu ama özellikle matematik dersle-rinde gösterdi¤i üstün baflar›yla k›sa zamanda dik-katleri üzerine çekmeyi baflard›. Çevresindeki in-sanlar›n da etkisiyle babas›, Cahit Arf’› Fransa’da okutmaya karar verdi. Fransa’daki e¤itimini bafla-r›yla bitirdikten sonra Türkiye’ye döndü¤ünde Arf, idealist bir matematik ö¤retmeni olarak ücra köylerde çal›flmak, köy çocuklar›na matematik ö¤-retmek için yan›p tutufluyordu. Ancak kader Arf’› yeteneklerini çok daha fazla gösterebilece¤i aka-demisyenli¤e yönlendirdi. Ard›ndan baflar›lar pefli s›ra gelmeye bafllad›. Cebirsel say›lar teorisi, geo-metri, analiz, elastisite teorisi gibi konularda yap-t›¤› çal›flmalarla dünyada halen kullan›lan Arf de-¤iflmezi, Arf halkalar›, Arf kapan›fl›, Hasse-Arf te-oremi gibi birçok terimi matematik literatürüne kazand›rd›. Bu sayede kitaplarda hep yabanc› bi-lim adamlar›n›n isimlerini okumaya al›flm›fl bir ulusa gurur verdi, yol gösterdi, teflvik etti.
Her zaman üniversite içi çekiflmelerden ve po-litikadan özenle uzak durdu¤u halde 1960’l› y›l-larda ODTÜ sistemi tehlikeye düfltü¤ünde duyarl› ve sorumlu bir bilim adam› olarak kendini müca-delenin içine atmaktan çekinmedi. Yine ayn› so-rumluluk ruhuyla kimsenin cesaret edemedi¤i bir zamanda Türkiye’de bilimin ilerlemesi için TÜB‹-TAK’›n kurulmas›na önderlik etti. Ama bunlar›n hiçbiri ö¤rencilerine zaman ay›rmas›na, onlarla çok s›cak iliflkiler kurmas›na engel oluflturmam›fl-t›. O, ö¤rencileri için yaflayan bir efsaneydi.
“Cahit Arf’›n özellikle yetifltirdi¤i bir ö¤rencisi olmad›. Ama Cahit Arf efsanesinin çok ö¤rencisi var... evrensel kültüre katk›n›n kendi yerel kültü-rünü evrensel k›larak sa¤lanaca¤›n› bilen ö¤renci-ler, t›pk› Cahit Arf gibi” (Sinan Sertöz). ‹flte bu yüzden ustalar›n ustas› 26 Aral›k 1997 tarihinde gözlerini yumdu¤unda ard›nda de¤erlerine, yaflam felsefesine, o hayat›n› adad›¤› matemati¤e sahip ç›-kacak, bir gün usta da olsalar her zaman Arf’›n ö¤-rencileri kalacak büyük bir nesil b›rakt›.
Geçen Ay›n Çözümleri
Sonsuz Toplam-2
ABC üçgeninin alan›n› S olarak ka-bul edersek benzer-likten ötürü A(DEF) = S/4, A(KLM) = S/16 ... olur. O
hal-de bulmak istedi¤imiz sonsuz seri toplam› T = 1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... fleklinde olacakt›r. fiimdi bu toplam› tekrar düzenleyelim: T = 1 + 1/4.( 1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... ) . Dik-kat ederseniz seri sonsuza gitti¤i için parante-zin içindeki ifadenin toplam› da T olur. Yani T = 1 + T/4. Bu basit eflitli¤i çözdü¤ümüzde iç içe geçmifl sonsuz üçgenlerin alanlar› topla-m›n›n (4/3 x S) oldu¤unu buluruz. S = (102√3)/4 = 25√3 ise toplam alan
(100√3)/3 olur.
fiüpheli Asal
Merakl› okuyucular›m›z için hemen ceva-b› verelim: say›m›z asal de¤ildir. ‹pucu olarak verdi¤imiz 1,001 say›s› da 11x91 olarak yaz›-labildi¤i için asal de¤il. Ayn› flekilde 1,000,001 = 101 x 9,901 ve 1,000,000,001 = 1,001 x 999,001 say›lar› da asal de¤ildir. Bu-rada dikkat edilmesi gereken nokta bafl›nda ve sonunda iki tane 1 bulunan ve aras›nda toplam 3k + 2 tane (k=0, 1, 2, ...) s›f›r bulu-nan say›lar›n yukar›daki gibi çarpanlar›na ay-r›labildi¤i için hiçbir zaman asal
olamayaca¤›-d›r. O halde bahsetti¤imiz kurala uyan 1,000,000,000,001 = 10,001 x 99,990,001
sa-y›s› da asal de¤ildir.
‹ki Kat›
Öncelikle bir düzeltme yapmam›z gereki-yor. Soru yanl›fll›kla “en küçük basamaktaki 4 rakam›, say›n›n en önüne al›n›yor” yerine “en küçük basamaktaki 4 ile en büyük basa-maktaki rakam yer de¤ifltiriyor” fleklinde so-rulmufl. Bu hatadan dolay› özür diliyoruz ve Sn. Bu¤ra Bilgili ile ö¤rencilerine dikkatleri ve ilgileri için teflekkür ediyoruz. Zaten bu so-runun sorulmas›ndaki amaç okuyucular›m›-z›n sonucu do¤rudan bulmas›n› sa¤lamaktan çok, onlar› araflt›rmaya ve biraz da mücadele etmeye yönlendirmekti. Gelelim düzeltti¤imiz sorumuzun cevab›na. Say›m›z 210 526 315 789 473 684’tür.
Hacim Hesab›
Oluflan flekil to-rustur. Bir silindirin iki ucunun birleflti-rilmifl hali diye
düflü-nebiliriz. Silindirin yüksekli¤i çemberin mer-kezinin döndürülmesiyle elde edilen uzun-luktur. Bu da kolayca görülebilece¤i gibi bir çemberdir ve yar›çap› döndürülen çemberin yar›çap›na eflittir. Buna göre yükseklik h = 2πr olur. Hacim = taban alan› x yükseklik ol-du¤una göre V = (πr2) x (2πr) = 2π2r3olarak
bulunur. (Çözüm: Bar›fl Evrim Demiröz, Ka-d›köy/‹STANBUL)
