M A T E M A T ‹ K K U L E S ‹
E
n
g
i
n
T
o
k
t
a
fl
m a t e m a t i k _ k u l e s i @ y a h o o . c o m
Satranç Tahtas›
Bir satranç tahtas›n›n 8 x 8 = 64 küçük kareden olufltu¤unu mutlaka biliyorsunuz-dur. Peki satranç tahtas› üzerindeki küçük karelerden, pozisyonu ya da kenar uzunluk-lar› farkl› toplam kaç çeflit kare oluflturabile-ce¤imizi biliyor musunuz?
Say› Kutusu
Tüm alt› basamakl› say›lar› teker teker yazarak bir kutunun içerisine atal›m. Ard›n-dan rakamlar› aras›nda en az bir tane 5 raka-m› bulunan say›lar› bu kutudan ç›karal›m. En son durumda acaba kutuda kaç tane say› kal›r?
‹stiflenmifl Kareler
Kenar uzunluklar› 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 ve 18 cm olan 9 adet kareyi bir dikdörtgenin içerisine, boflluk kalmayacak ve kareler
bir-104Ekim 2006 B‹L‹MveTEKN‹K birleri üzerinde çak›flmayacak fle-kilde yerlefltir-mek istiyoruz. Acaba bu ifle uy-gun bir dikdört-genin kenar uzunluklar› ne olmal›d›r?
Kestirme Yol
Bu soruda bir kargo flirketine yard›m et-menizi istiyoruz. fiekilde A, B, C, D, E ve F olarak gösterilen alt› flehre de u¤ramas› gere-ken bir kargo arac›n›n, en az yol kat ederek tüm flehirleri dolaflmas› için seçmesi gereken güzergah acaba ne olmal›d›r? (Say›lar iki fle-hir aras›ndaki mesafeyi kilometre olarak gös-termektedir.)
Kar Tanesi
Art›k gelen k›fl› yavafl yavafl hissetmeye bafllad›k... Yaz ay›na girerken kelime da¤ar-c›¤›m›zdan ç›kard›¤›m›z eldiven, kaflkol, so-ba gibi kelimeleri naftalinli sand›klar›ndan ç›kar›p tekrar kullanmaya bafllad›k. Hava durumunda “kar” kelimesini duymam›z da do¤rusu an meselesi. ‹lginçtir ki “kar” keli-mesini duyduklar›nda insanlar farkl› tepki-ler verebilmektedir. Örne¤in çocuklar için kar e¤lenceyi temsil etse de yetiflkinler için hayat›n zorlaflmas› demektir. Peki “kar” bir matematikçi için ne demektir? Bir matema-tikçi için kar, daha do¤rusu bir kar tanesi sonsuzlu¤un simgesi demektir.
Bir kar tanesini al›p incelerseniz, sonsu-za do¤ru giden kusursuz ve büyüleyici si-metriyi keflfedebilirsiniz. 1904 y›l›nda Helge von Koch ad›ndaki ‹sveçli matematikçi bu kusursuz flekillerden bir tanesini matema-tiksel olarak keflfetmifl. fiimdi gelin Koch’un yöntemi ile bu keflfe biz de dahil olal›m. Önce kenarlar› 1 birim olan bir efl-kenar üçgen alal›m (fiekil-1).
Ard›ndan her kenar› 3 eflit parçaya bölelim ve üç parça-n›n ortas›nda kalan parçalar›
silelim. Sildi¤imiz parça uzunlu¤unda 2’fler do¤ru parça daha ekleyerek aç›k olan k›s›mlar› kapatal›m (fiekil-2). fiimdi bu yöntemi oluflan her yeni kenar için tekrarlayal›m (fiekil-3). Bu
fle-kilde sonsuza kadar ilerleme-miz mümkün. Sonsuza gider-ken elde etti¤imiz her yeni
flek-le “Koch’un Kar Tanesi” denilmektedir. Her yeni fleklin çevresi, bir önceki fleklin 4/3’ü kadar olmaktad›r. Yani sonsuza gitti¤imiz-de fleklin çevresi gitti¤imiz-de sonsuza gitmektedir. ‹flin ilginç taraf› ise sonsuzda fleklin alan›-n›n sonsuz de¤il sonlu bir say› olmas›d›r. Siz de birkaç ifllem ile alan›n belli bir say›-ya say›-yak›nsad›¤›n› görebilirsiniz.
En basit fraktallardan biri olan “Koch’un Kar Tanesi” hakk›nda daha fazla bilgi için afla-¤›daki linklerden faydalanabilirsiniz:
http://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake http://library.thinkquest.org/26242/full/fm/fm16.html
Geçen Ay›n Çözümleri
Sardunya Krall›¤›
Soru asl›nda 4. Sardun’un sinsi bir sorusu-dur. Dikkat ederseniz tüm torbalar›n içinde tek say›lar vard›r (1, 3, 5, 7). Hangi torbalar-dan say›lar› seçersek seçelim, toplam 10 tane say› seçece¤imiz için bu say›lar›n toplam› çift bir say› olacakt›r. O halde 37 say›s›n› elde et-mek imkans›zd›r.
‹lginç Bölüm
Yapmam›z gereken 2a + 3b + c say›s› 7 ile bölünürken abc say›s›n›n da 7’ye bölünece¤i-ni göstermek. Üç basamakl› abc say›s›n› 100a + 10b + c fleklinde yazal›m. (2a + 3b + c) say›-s›n›n 7 ile bölündü¤ünü varsayarak (100a + 10b + c) say›s›ndan ç›karal›m: (100a + 10b + c) - (2a + 3b + c) = 98a + 7b = 7(14a + b). Gö-rüldü¤ü gibi ç›kan fark da 7 ile bölünüyor. O halde 7 ile bölünen iki say›n›n toplam›, yani abc say›s› da 7 ile bölünür.
Üçüz Say›lar
Üç say›m›z x, y ve z ise soruya göre xy + z = xz + y = yz + x = 2 eflitli¤i geçerli olmal›d›r. Eflitlikler ikiflerli olarak çözülürse, çözüm için x = y = z eflitli¤inin olmas› gerekti¤i görülür.
2 say›s›na eflit olmas› durumu da incelendi¤in-de saincelendi¤in-dece (1, 1, 1) ve (-2, -2, -2) çözümlerinin var oldu¤u sonucuna ulafl›l›r.
‹stiflenmifl Çemberler
Üç eflit çemberi s›¤d›rabilen en küçük ka-re flekildeki gibi olmal›d›r. fiimdi çizimlerin de yard›m›yla karenin bir kenar uzunlu¤unu bu-lal›m. E¤er AE uzunlu¤unu bulabilirsek, bu uzunlu¤a 2 yar›çap uzunlu¤u olan 1 birimi de ekleyerek arad›¤›m›z sonuca ulaflabiliriz. fiek-le göre AB = 1’dir. AEB üçgeninde trigono-metrik eflitlik kullanarak AE uzunlu¤unu AB x cos 15° olarak yazabiliriz ve yaklafl›k olarak AE = 1 x 0.966 = 0.966 de¤erini elde ederiz. O halde en küçük karenin bir kenar uzunlu¤u 1 + 0.966 = 1.966 olur.
