Matemati¤in fiafl›rtan Yüzü

M A T E M A T ‹ K K U L E S ‹

E

n

g

i

n

T

o

k

t

a

fl

m a t e m a t i k _ k u l e s i @ y a h o o . c o m

Erik Savafl›

Bart ve Lisa aras›nda yaflan›r. Bu muhte-flem üçlü denizden ç›kt›ktan sonra yuvarlak bir masan›n etraf›na otururlar ve göz karar› masadaki erikleri bir ç›rp›da paylafl›rlar. An-cak hiçbiri pay›na düflen erik say›s›ndan memnun de¤ildir. Uygun bir f›rsat kollayan üçü de ayn› anda sa¤›ndaki kiflinin eriklerine bir hamle yapar. Homer Lisa’n›n eriklerinin 1/5’ini, Bart Homer’inkilerin 1/3’ünü, Lisa da Bart’›n eriklerinin 1/4’ünü al›r. En son durumda üçünün de erik say›s›n›n ayn› oldu-¤unu ve her birinin 1’den fazla erik ald›¤›n› bildi¤imize göre sizce ilk durumda her biri-nin kaç eri¤i vard›r?

Bafl Kahraman

Sorunun bafl kahraman› olan dikdörtgen-ler prizmam›z›n tüm kenarlar›n›n bir tamsay› oldu¤unu biliyoruz. D›fl yüzey alanlar› topla-m› 100 birim2_{olan bu prizman›n her bir}

ke-nar›n›n uzunlu¤unu bulabilir misiniz?

104Temmuz 2006 B‹L‹MveTEKN‹K

Mümkün mü?

a ile b aralar›nda asal ve c ile d de kendi aralar›nda asal iken acaba Ölüdeniz’in muh-teflem manzaras›nda yer alan eflitli¤in sa¤lan-mas› mümkün müdür?

Faciaya Kanat Ǜrpmak

Her birinin h›z› 10 m/sn olan ve yanl›fll›k-la ayn› rayda bulunan iki tren birbirlerine do¤ru h›zla ilerlemektedir. Aralar›nda tam 1000 m varken 1. trenin ön ucundan bir kufl 25 m/sn h›zla ray boyunca 2. trene do¤ru uçmaya bafllar. 2. trenin ön ucuna ulafl›r ulaflmaz kufl bu sefer ayn› h›zla tekrar 1. tre-ne do¤ru uçar ve bu mekik dokuma trenler çarp›fl›ncaya kadar sürer. Acaba facia gerçek-leflinceye kadar kufl kaç metre yol alm›flt›r?

Futbolun Matemati¤i

Haz›r flu s›ralar hayat›m›z›n her an› fut-bol ile içli d›fll› olmuflken, bunu f›rsat bile-rek biz de bu ayki yaz›m›z› bir futbol turnu-vas›na ve turnuvan›n matematiksel hesapla-mas›na ay›rd›k.

‹çlerinde ezeli rakip (ismi laz›m de¤il) A ve B tak›mlar›n›n da bulundu¤u 16 tak›ml›k tek maç eleme usulü bir turnuva düzenleni-yor. Her tur öncesinde ikili kuralar›n çekil-di¤i bu turnuvada A ve B tak›mlar›n›n ilk turda yapt›klar› maç› kazanma olas›l›klar› 0.7, ikinci turda yapt›klar› maç› kazanma olas›l›klar› 0.6 ve daha üst turlarda yapt›k-lar› maç› kazanma olas›l›kyapt›k-lar› 0.5’dir. Ancak bu iki tak›m hangi turda birbirleriyle karfl›-lafl›rsa karfl›lafls›n, A tak›m› 0.6 olas›l›kla maç› kazan›yor. A tak›m›n›n yöneticileri ezeli rekabet duygusuyla turnuvan›n kupa-s›n› mutlaka B tak›m›n› her hangi bir turda yenerek almak istiyorlar. fiimdi dilerseniz gelin böyle bir durumun olma olas›l›¤›n› he-saplayarak yöneticileri, isteklerinin olabilir-li¤i konusunda bilgilendirelim.

Sonuca ulaflmak ad›na yapmam›z gere-ken, her tur için ayr› ayr› A ve B tak›mlar›-n›n karfl›laflma olas›l›¤›n› ve sonunda A tak›-m›n›n kupay› alma olas›l›¤›n› hesaplamak olacak. ‹lk önce, kupay› kazanmas› için 4 maç oynamas› gereken A tak›m›n›n ilk tur-da B tak›m›n› yenerek kupay› ald›¤› duru-mu inceleyelim. A ve B tak›mlar›n›n ilk tur-da karfl›laflma olas›l›¤› 1/15, A tak›m›n›n yenme olas›l›¤› 0.6, A tak›m›n›n 2. turu geç-me olas›l›¤› 0.6, yar› finali ve finali geçgeç-me olas›l›¤› ayr› ayr› 0.5 ise tüm olay›n gerçek-leflme olas›l›¤› P(1) = 1/15 * 0.6 * 0.6 * 0.5 * 0.5 = 0.006 olur. fiimdi de 2. turda A ve B tak›mlar›n›n karfl›laflt›¤› durumu inceleye-lim. A ve B tak›mlar› 14/15 olas›l›kla ilk turda eflleflmezler ve 0.7’fler olas›l›kla efllefl-tikleri tak›mlar› yenerler. 1/7 olas›l›kla ikin-ci turda birbirleri ile eflleflirler, 0.6 olas›l›k-la A tak›m› kazan›r. A tak›m›n›n yine yar› fi-nali ve fifi-nali geçme olas›l›¤› ayr› ayr› 0.5 olur ve tüm olay›n gerçekleflme olas›l›¤› P(2) = 14/15 * 0.7 * 0.7 * 1/7 * 0.6 * 0.5 * 0.5 = 0.0098 olarak bulunur. Benzer flekil-de A ve B tak›mlar›n›n yar›final ve finalflekil-de karfl›laflma olas›l›klar›n› da hesaplarsak P(3) = 0.014 ve P(4) = 0.014 de¤erlerini elde ederiz. Tüm olas›l›klar› toplad›¤›m›zda A ta-k›m›n›n B tak›m›n› eleyerek kupay› alma olas›l›¤›n›n P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 0.044 oldu¤unu buluruz. Yani %4,4 olas›l›kla A ta-k›m›n›n yöneticilerinin hayali gerçek ola-cakt›r.

Geçen Ay›n Çözümleri

Say›lar›n Efendisi

D = A+100 say›s›n›n çift bir say› oldu¤u-nu biliyoruz. O halde A say›s› da çift olmal›-d›r. Bu durumda B = A+20 ve C = A+80 say›-lar› da çift olur. Asal say›say›-lar›n çarp›msay›-lar› çift oldu¤una göre mutlaka asallardan biri 2 ol-mal›d›r. fiimdi gelin flans›m›za güvenerek bi-raz deneme yan›lma yöntemini kullanal›m ve B say›s›ndaki asal› 2 olarak kabul edelim. B y›l›n›n anlaml› bir y›l olabilmesi için kare sa-y›y› 312_{= 961 olarak alabiliriz. B = 2 x 961}

= 1922 olarak kabul etti¤imizde asl›nda soru-yu da çözmüfl oluruz: A = 2 x 3 x 137 = 1902, B = 2 x 961 = 1922, C = 2 x 991 = 1982, D = 2 x 7 x 11 x 13 = 2002.

Eflit mi?

Orijinal soru-nun üzerine fle-kildeki ek do¤ru parçalar›n› ve çemberi çizdi¤i-mizde flekilde gösterilen aç› eflitliklerini elde ederiz. Bu

eflitlik-lere göre QOP ile AOR üçgenleri benzer üç-genler olur. O halde QO + OA = PO + OR’dir. Di¤er bir deyiflle QA = PR’dir. Dikkat ederse-niz dikdörtgenin karfl› kenarlar› olan PR ile AD birbirine eflit kenarlard›r. Böylelikle PR = QA = AD eflitli¤ini yazarak soruda istenen QA = AD eflitli¤ini de göstermifl oluruz.

Sakl› Güzellik

71/2_{< 3 ‘dür çünkü (7}1/2₎2_{= 7 < 3}2_{= 9.}

Ayn› flekilde 71/3 _{< 2’dir çünkü (7}1/3₎3_{= 7 <}

23_{= 8. Son olarak 7}1/4 _{< 7}1/3 _{< 2 oldu¤una}

göre 71/2_{+ 7}1/3 _{+ 7}1/4_{< 3 + 2 + 2 = 7’dir.}

So-runun ilk k›sm›n› çözmüfl olduk. Benzer yön-temi sorunun ikinci k›sm› için de uygulayabi-liriz. 41/2 _{= 2’dir. (4}1/3₎3 _{= 4 > (1)}3_{= 1 olmas›}

sebebiyle 41/3 _{> 1’dir. Ayn› sebepten ötürü}

41/4_{> 1 olur. Tüm eflitsizlikleri toplarsak 4}1/2

+ 41/3 _{+ 4}1/4 _{> 2 + 1 + 1 = 4 eflitsizli¤ini elde}

ederiz ve sorunun ikinci k›sm›n› da çözmüfl oluruz.

Kaç Üçgen Var?

Küpün toplam 8 köflesinden seçece¤imiz herhangi 3 köfle ile bir üçgen yaratabiliriz. O halde kombinasyon formülünü kullan›rsak oluflturabilece¤imiz toplam üçgen say›s›n› C(8;3) = 8! / (3!x5!) = 56 olarak buluruz. Çe-flit olarak da 3 farkl› üçgen oluflturabiliriz: 1) iki kenar› küpün kenarlar›ndan, bir kenar› küp yüzeyindeki karenin köflegeninden olu-flan üçgenler, 2) üç kenar› da küp yüzeyinde-ki karenin köflegenlerinden oluflan üçgenler, 3) bir kenar› küpün kenar›ndan, bir kenar› küp yüzeyindeki karenin köflegeninden, bir kenar› da küpün kendi köflegeninden oluflan üçgenler.

Matemati¤in fiafl›rtan Yüzü

Düzeltme:

Geçen ay yay›mlad›¤›m›z “fians›n Matemati¤i-2” adl› yaz›m›zda nxn’lik tahtada kazanmay› sa¤layan

toplam yol say›s›: ve toplam

ka-zanma olas›l›¤›

olacakt›r. Bu hatadan ötürü okuyucular›m›zdan özür diliyoruz.