M A T E M A T ‹ K K U L E S ‹
E
n
g
i
n
T
o
k
t
a
fl
m a t e m a t i k _ k u l e s i @ y a h o o . c o m
Kilometre Tafllar›
A ve B flehirleri aras›nda yolcu tafl›yan iki otobüs farkl› flehirlerden ayn› anda birbirleri-ne do¤ru yola ç›karlar. A flehrinden hareket eden otobüsün h›z› 5V iken B flehrinden ha-reket edenin h›z› 4V’dir. Yol boyunca her ki-lometreye bir kilometre tafl› yerlefltirilmifltir ancak s›f›r›nc› kilometre tafl› A ve B flehirleri d›fl›nda baflka bir flehirde bulunmaktad›r. Otobüslerin ikinci karfl›laflmas› 145. kilomet-re tafl›nda, üçüncü karfl›laflmas› ise 201. kilo-metre tafl›nda gerçekleflti¤ine göre A ve B flehri aras› kaç kilometredir? (otobüslerin fle-hirlere vard›klar›nda hiç oyalanmadan geri döndüklerini varsay›yoruz)
Gizem
‹lk say›s›n› rasgele seçti¤imiz dört ard›fl›k tamsay›y› önce birbirleri ile çarpal›m ard›n-dan ç›kan sonuca 1 ekleyelim. ‹lginç bir fle-kilde bu ifllem sonucunda her zaman bir ka-re say› elde ederiz. Örne¤in 2x3x4x5 + 1 = 121 = 112. Sizce bu matemati¤in
gizemlerin-den bir tanesi mi yoksa anlaml› bir aç›klama-s› var m›d›r?
104A¤ustos 2006 B‹L‹MveTEKN‹K
Ufuk Çizgisi
Deniz seviyesinden 25 metre yükseklikte bulunan bir fenere, muhteflem manzaray› iz-lemek için ç›kan bir kifli ufuk çizgisini kaç ki-lometre uzakl›kta görür? (Dünya’n›n yar›ça-p›n› 6367 kilometre olarak alabiliriz.)
Hediye Paketi
Kenar uzunluklar› 20, 10 ve 5 cm olan bir hediye kutusu, k›rm›z› bir kurdele ile flekilde-ki gibi sar›lm›flt›r. Kutuyu s›k›ca saran bu kurdelenin yüzeyle yapt›¤› aç›, komflu yüze-ye geçti¤inde de¤iflmemektedir. Bu kurdele-nin uzunlu¤unu bulabilir misiniz? (Tabi ki dü¤üm noktas›ndaki süsleme hariç)
Köfleden Geçer mi?
“Acaba fiekil-1’deki k›rm›z› çubuk, L bi-çimindeki koridorun köflesinden düzleme yatay olarak ge-çip yoluna de-vam edebilir mi?”. Yaz›m›z-da, verilecek herhangi x, a ve b de¤erleri için bu ilginç soru-nun cevab›n› arayaca¤›z. Yapaca¤›m›z fley a ve b de¤erle-rine göre köfleden geçebilecek en uzun çu-bu¤un x uzunlu¤unu bulmak olacak. Bu de-¤erin alt›ndaki çubuklar köfleden rahatl›kla geçebilirken de¤erin üstündeki çubuklar köfleden geçemeyip tak›lacaklar.
fiimdi gelin fiekil-2’yi kulla-narak çözüme ulaflmaya çal›-flal›m. Öncelikle koridorun iki kenar›na ve bir köflesine de¤en x uzunlu¤unu a
ve b cinsinden yazal›m: x = a/sinθ + b/cosθ . Koridorun flekildeki gibi üç noktas›na de-¤ebilen sonsuz say›da çubuk uzunlu¤u bu-lunabilir. Ancak bunlar›n sadece en k›sa olan› köfleyi dönebilecektir. O halde en k›sa uzunlu¤u bulmak için x’in türevini s›f›ra eflitleyelim:
Buradan a.cos3θ = b.sin3θ eflitli¤i elde
edilir. Demek ki koridora üç noktada de¤en en k›sa çubu¤un tanθ de¤eri
’dir.
fiimdi birkaç trigonometrik eflitli¤i hat›rla-ma zahat›rla-man›: cos m = 1 / √(1+tan2m) ve sin
m = (tan m) / √(1+tan2m). Bu eflitlikleri
kullanarak en baflta buldu¤umuz x = a/sinθ + b/cosθ eflitli¤ini sadece a ve b bilinmeyen-lerine ba¤l› hale getirelim. Önce sinθ ve cosθ yerine hemen üstte buldu¤umuz tan-janta ba¤l› de¤erleri koyal›m, ard›ndan
gör-dü¤ümüz her tanθ’y› ile yer
de¤ifltirelim. Tüm bu ifllemlerin sonucunda afla¤›daki eflitli¤i elde ederiz:
‹flte sonuca ulaflt›k! Koridorun köflesin-den geçirebilece¤imiz en uzun çubu¤un uzunlu¤unun (a2/3 + b2/3)3/2oldu¤unu
bul-duk. Art›k “bu çubuk bu köfleden geçer mi?” sorusuna gönül rahatl›¤›yla do¤ru ce-vab› vermenizi sa¤layacak bir formülünüz var :)
Geçen Ay›n Çözümleri
Erik Savafl›
‹lk paylafl›m›n ard›ndan Homer’in H tane, Bart’›n B tane, Lisa’n›n da L tane eri¤i olsun. Ya¤malamadan sonra her birinin önündeki erik say›s› flu flekilde olacakt›r: Homer = 2/3H + 1/5L, Bart = 3/4B + 1/3H, Lisa = 4/5L + 1/4B. Hepsinin son durumda erik say›s›n›n eflit oldu¤unu bildi¤imize göre eflitlikleri kul-lanarak art›k sonuca ulaflabiliriz: H = 12, B = 8 , L = 10. (eflitlikten baflka çözümler de elde edebilirsiniz.)
Bafl Kahraman
Sorudaki dikdörtgenler prizmas›n›n kenar-lar› a, b ve c olsun. Prizman›n tüm yüzey alan-lar› toplam›n›n 100 olabilmesi için ab + ac + bc = 50 olmal›d›r. Eflitli¤i çözmeden önce a, b
ve c say›lar›n›n bir tamsay› oldu¤unu hat›rlat-makta fayda var. Bu koflulu göz önüne ald›¤›-m›zda sadece iki çözüme ulaflabiliriz onlar da a=1, b=2, c=16 ve a=2, b=4, c=7‘dir.
Mümkün mü?
Eflitli¤in geçerlili¤i ancak a = -c ve b = d iken mümkündür. Tek çözümün oldu¤unu göstermek için eflitli¤i flu flekilde düzenleye-lim: (ad+bc) / bd = (a+c) / (b+d). ‹çler d›fllar çarp›m› sonucunda ad2+ b2c = 0 veya di¤er
bir gösterim flekliyle ad2= -b2c eflitli¤i elde
edilir. a ile b ve c ile d’nin aralar›nda asal ol-du¤u bilgisini kullanarak, elde etti¤imiz eflit-likte a’n›n c’yi, c’nin de a’y› bölmesi ve iflaret-lerinin ters olmas› gerekti¤i bilgisine ulaflabi-liriz. a=-c’yi bulduktan sonra b=d eflitli¤ine de ulaflabiliriz.
Faciaya Kanat Ǜrpmak
Öncelikle kuflun uçmaya bafllad›¤› zaman ile çarp›flma an› aras›nda ne kadar süre oldu-¤unu bulal›m. Her iki trenin de h›z› 10 m/sn oldu¤una göre geçen süre = 1000 / (10+10) = 50 saniyedir. Kufl her durumda 25 m/sn h›z-la uçtu¤una göre yapmam›z gereken tek fley süre ile kuflun h›z›n› çarpmakt›r. Kufl, toplam-da 50 * 25 = 1250 m yol alm›flt›r.
