E
n
g
i
n
T
o
k
t
a
fl
m a t e m a t i k _ k u l e s i @ y a h o o . c o m
Sütlü Kahve
Sütlü kahve yaparken en iyi süt ve kahve ora-n›n›n flu flekildeayarlanabilece¤i söylenir: Öncelikle ayn› hacimdeki iki bardaktan biri tamamen süt-le, di¤er bardak da tamamen kahveyle dol-durulur. Kahve barda¤›ndan al›nan bir damla kahve, süt barda¤›na damlat›l›r ve ayn› anda da süt barda¤›ndan ayn› hacim-deki bir damla, üçüncü bir barda¤a aktar›-l›r. E¤er bu ifllem kahve barda¤› tamamen boflal›ncaya kadar devam ederse, süt bar-da¤›ndaki süt oran› (en ideal oran) en so-nunda ne olur? (Damla damlat›ld›¤›nda kar›fl›m›n an›nda ve homojen olufltu¤unu varsay›n.)
Saat Kaç?
Akrebi, yelko-van› ve saniye gös-tergesi bulunan standart bir saatte, üç göstergenin bir-birleriyle
yapt›kla-r› aç›n›n eflit ve 120 derece oldu¤u zaman-lar› ve bu durumun görülme s›kl›¤›n› bula-bilir misiniz?
‹lginç Diyalog
Yan›nda 3 küçük ye¤eni bulunan Ru-hi Can (R) ile onlar› yolda gören komflu-su (K) aras›nda flöy-le bir diyalog geçer: K: “Merhaba Ruhi Can. Çok flirin ye-¤enlerin varm›fl.
Yafllar› kaç?” R: “Üçünün yafllar› çarp›m› 72.” K: “Bu bilgiyle yafllar›n› tahmin et-mem mümkün de¤il. Baflka?” R: “Yafllar›-n›n toplam› bizim soka¤›n numaras› ile ay-n›.” K: “Do¤ru bir tahmin yapabilmem hâ-lâ olanaks›z. Baflka?” R: “Ye¤enlerimden en büyü¤ü Bilim ve Teknik dergisini ve özellikle Matematik Kulesi’ni çok seviyor.” K: “Tamam, art›k yafllar›n› do¤ru tahmin edebilirim.” Bu diyalogdan yafllar› siz tah-min edebilir misiniz peki?
Rastlant›sal Güzellik
Matematik gerçekten rastlant›sal güzel-liklerle dolu! ‹flte bunlardan biri: (30 + 25)2= 3025. Ayn› flekilde toplamlar›n›n
ka-resi, say›lar›n birleflmifl durumlar›yla ayn› olan di¤er tüm iki basamakl› say›lar› bula-bilir misiniz?
Evlilik Teoremi
Teknoloji hayat›m›z› kolaylaflt›r›yor, insano¤lunun s›n›rlar›n› geniflletiyor, yaflam kalitesini art›r›yor, hepsine ta-mam ama teknoloji de bir yere kadar! Bu cümlenin Bilim ve Teknik dergisin-de yer almas›n› belki yad›rgayabilirsiniz, ancak eminim bir iki cümleyi daha oku-yunca bana hak vereceksiniz. Teknoloji yüzünden, daha do¤rusu teknolojinin kötü kullan›m› nedeniyle, hayatta o ka-dar kolaya al›flt›k ki art›k evlenece¤imiz insan› bile ‹nternet’teki çöpçatan sitele-rinden seçer olduk. fiimdi gelelim bu ya-z›n›n as›l konusuna... ‹nanmayacaks›n›z belki ama çöpçatan sitelerinin çal›flma il-kesinin temelinde ünlü bir matematik te-oremi yer al›yor.
Evlilik Te-oremi” olarak bilinen bu ün-lü teorem, ‹ngi-liz matematikçi Philip Hall’›n 1935 y›l›ndaki çal›flmalar›yla ortaya ç›kt›. Teoremdeki so-ru flöyle: Evlenmek isteyen n tane bayan ve n tane erkek bulunuyor. Bu kiflilerin birbirlerini görmeleri sa¤lan›yor ve ba-yanlardan evlenebilecekleri erkeklerin listesini, erkeklerden de evlenebilecekle-ri bayanlar›n listesini yapmalar› isteni-yor. Ard›ndan listeler n x n’lik bir matris-te flu flekilde derleniyor: Yatay eksende her s›raya bayanlar›n isimleri, düfley ek-sendeki her s›raya da erkeklerin isimleri yaz›l›yor. E¤er i. s›radaki erkek ve j. s›ra-daki bayan birbirlerini be¤enmifllerse M matrisinin mijeleman› 1 olarak yaz›l›yor,
aksi durumda 0 giriliyor. Bu flekilde dol-durulmufl n x n matrisini kullanarak hiç biri aç›kta kalmayacak flekilde n bayan› ve n erke¤i evlilik için efllefltirip efllefltire-meyece¤inizi söyleyebilir misiniz?
Teorem, 3 kurala bakarak çözümün olup olmad›¤›n› anlayabilece¤inizi söylü-yor. 1) Grup içerisinden rastgele seçilen r tane bayan (1 ≤ r ≤ n) en az toplamda r farkl› erke¤i seçmifl olmal›. 2) Grup içerisinden rastgele seçilen r tane erkek (1 ≤ r ≤ n) en az toplamda r farkl› baya-n› seçmifl olmal›. 3) n x n’lik matrisin içinden seçilecek ve tüm elemanlar› s›f›r olan a x b’lik s›f›r matrisi hiçbir flekilde (a + b) > n eflitsizli¤ini sa¤lamamal›. Üç kural da matriste sa¤lan›yorsa, ne mutlu size ki tüm bayanlar› ve erkekleri bir stadyum dü¤ünüyle mutlu mesut evlen-direbilirsiniz.
Geçen Ay›n Çözümleri
Top 20
‹lk hafta 1. s›radaki flark› 2. s›raya, 2. haftada 3. s›raya, ... 19. haftada 20. s›raya düflsün. ‹lk 20’deki flark›lar›m›z dikkat ederseniz hâlâ ayn›. 20. haftada ilk hafta 2. s›radaki flimdi ise 1. s›radaki flark›m›z her hafta bir basamak afla¤›ya inecek fle-kilde düflmeye bafllas›n ve düflmeye baflla-d›ktan 18 hafta sonra 19. s›raya gelsin. Bu flekilde s›ralamay› de¤ifltirdi¤imizde en fazla 19 + 18 + ... + 1 = 190 hafta boyun-ca (ilk haftay› da sayarsak 191 hafta) s›ra-lama ayn› kalabilir.
Edi ile Büdü
‹kili toplamlar› bir k›s›m hata ile sa¤la-yan birden fazla çözüm bulunabilir: a) -1, 3, 5, 6, 7; b) 2, 4, 6, 7, 8; c) 0, 1, 2, 4, 11; d) 0, 1, 2, 3, 10; e) 0, 2, 3, 4, 9; f) 0, 2, 3, 4, 9. Ancak ilk üç ve son üç toplam›n dlamlar› bir k›s›m hata ile sa¤layan birden fazla çözüm bulunabilir: a) -1, 3, 5, 6, 7; b) 2, 4, 6, 7, 8; c) 0, 1, 2, 4, 11; d) 0, 1, 2, 3, 10; e) 0, 2, 3, 4, 9; f) 0, 2, 3, 4, 9. Ancak ilk üç ve son üç toplam›n do¤ru ol-mas› 0, 1, 2, 4, 11; d) 0, 1, 2, 3, 10; e) 0, 2, 3, 4, 9; f) 0, 2, 3, 4, 9. Ancak ilk üç ve son üç toplam›n do¤ru olmas› koflulunu
yaln›zca a fl›kk›nda yer alan çözüm sa¤la-yabilir. (-1, 3, 5, 6, 7).
Yar› Yar›ya
5 top sonunda torbada eflit siyah ve be-yaz top bulunabilmesi için, arka arkaya 5 beyaz topun seçilmesi (BBBBB) gerekiyor ki bu durumun olas›l›¤› 1 x 0,9 x 0,8 x 0,7 x 0,6 = 0,3024 yani 0,5’ten küçük. 6 topun seçildi¤i durumlardan BBBBSB’nin ger-çekleflme olas›l›¤› 0,121 ve BBBSBB duru-munun gerçekleflme olas›l›¤› 0,091’dir. 6 topun seçildi¤i durumlardan yaln›zca üçü-nün bile (BBBBBS, BBBBSB, BBBSBB) olas›l›klar› toplam› 0,5’i geçmeye yeterdir. Sonuç: En az 6 top seçilmeli.
Kutu Krizi
Kutuda hiç bofl yer kalma-yaca¤› için hac-minin 1000 m3
oldu¤unu söyleyebiliriz. Normalde yüzey alan›n›n en küçük oldu¤u çözüm 10 x 10 x 10 ebatlar›d›r; fakat hiç bofl yer kalma-yacak flekilde bu kutuya malzemeleri 250 adet 1 x 1 x 4 ebatlarda dizmek olanaks›z-d›r. ‹kinci en ideal çözüme bakt›¤›m›zda (ki bu da 5 x 10 x 20 ebatlar›d›r) malzeme-lerimizi bu kutuya boflluk kalmayacak fle-kilde dizebilece¤imizi görürüz.
77
May›s 2008 B‹L‹MveTEKN‹K
